proporzioni e rapporti

PROPORZIONI E RAPPORTI
Divisioni
•
Es. di divisioni in
problemi.
1) Devo distribuire
sei biscotti tra 2
amici; quanti
biscotti per
ciascun amico?
Divisioni
2. Si divide un campo
di 28 ettari tra 4
eredi. Quanti ettari
per ciascun erede?
Indicazione unitaria
Negli esempi di divisione fatti il risultato
indicava sempre “quanto ad uno?”.
Infatti:
• Primo problema 3 biscotti ad un amico e
• Secondo problema 7 ettari ad un erede.
• In questi casi il quoziente (cioè il risultato
della divisione) prende il nome di
RAPPORTO.
Indicazione unitaria
Allora il rapporto tra due numeri è un
quoziente.
Il rapporto risponde alla domanda “quanti…
per un…..”
Indicazione unitaria
• Es. Paolo gioca a calcio e ha vinto 6 partite
su 10 giocate. Qual è il rapporto? Qual è
l’indicazione unitaria data dal rapporto?
• Risposta:
• 6 : 10 = 0,6 partite vinte per partita
giocata!!!
• Il rapporto è di 0,6 partite vinte ogni una
partita giocata.
Indicazione unitaria
• Es. A Verona ci sono 7728 alunni e 14
scuole medie. Quanti alunni ci sono
mediamente in una scuola? Qual è
l’indicazione unitaria data dal rapporto?
• Risposta:
• 7728:14 = 552 alunni per scuola.
• Il rapporto è di 552 alunni per scuola ed
indica il numero di alunni in una scuola.
Come scrivere il rapporto
Posso scrivere il rapporto tra due numeri in tre
modi:
• come divisione
es. 8:5 (leggi rapporto
«8 a 5» o «8 su 5»),
• come frazione
es. 8/5 (leggi «otto
quinti»),
• come numero decimale es. 8:5 = 1,6
Antecedente e conseguente
• Nella
divisione:
divisore
12 : 6 = 2
dividendo
quoziente
Antecedente e conseguente
• Nel
rapporto:
conseguente
12 : 6 = 2
antecedente
rapporto
Antecedente e conseguente
Scambiando l’antecedente con il conseguente il
rapporto cambia (come per la divisione che non
gode della proprietà commutativa).
Es.
8:4=2
ma 4 : 8 = 0,5.
Per questo motivo è importante capire in quale
ordine prendere i termini di un rapporto.
Antecedente e conseguente
Un rapporto non cambia moltiplicando o
dividendo i termini per lo stesso numero.
Es.
4:2=2
ma anche 400 : 200 = 2,
cioè (4  100) : (2  100) = 2.
Rapporti tra grandezze omogenee
Due grandezze sono omogenee se si
misurano con la stessa unità di misura.
Es.
• Il rapporto tra circonferenza e diametro del
cerchio è  = 3,14.
• Il rapporto tra le due dimensioni di uno
schermo è per es. 16/9.
Rapporti tra grandezze omogenee
Il rapporto tra due grandezze
omogenee è un numero puro
(cioè non è seguito da unità di
misura).
Rapporti tra grandezze non omogenee
Le grandezze non omogenee:
• non si possono misurare con la stessa
unità di misura;
• hanno un rapporto che non è numero
puro (cioè è seguito da unità di misura);
• il rapporto è un’altra grandezza con una
sua unità di misura.
Rapporti tra grandezze non
omogenee
Alcuni interessanti rapporti tra grandezze non
omogenee sono:
• La velocità (km/h)
• Il peso specifico (kg/dm3).
Proporzioni
Una proporzione è l’uguaglianza tra due rapporti.
Es. 10 : 5 = 8 : 4
Infatti 2 = 2
Proporzioni: glossario
conseguenti
12 : 6 = 16 : 8
antecedenti
Proporzioni: glossario
ESTREMI
12 : 6 = 16 : 8
MEDI
Proprietà fondamentale
In una proporzione il prodotto dei medi è uguale
al prodotto degli estremi
Es. 10 : 5 = 8 : 4
Prod. estremi =
10 x 4 =40
Prod. medi =
5 x 8 =40
Quindi 40 = 40
Proprietà permutare
In una proporzione scambiando tra loro i medi o
gli estremi si ottiene ancora una proporzione
10 : 5 = 8 : 4
Gli estremi:
4 : 5 = 8 : 10
I medi:
10 : 8 = 5 : 4
È ancora una proporzione
Proprietà invertire
In una proporzione scambiando ogni antecedente
con il proprio conseguente si ottiene ancora una
proporzione
10 : 5 = 8 : 4
5 : 10 = 4 : 8
È ancora una proporzione
Proprietà comporre
La somma del primo termine e
del secondo sta al primo come
la somma del terzo e quarto
termine sta al terzo
10 : 5 = 8 : 4
(10 + 5) : 10 = (8 + 4) : 8
15 : 10 = 12 : 8
La somma del primo termine e
del secondo sta al secondo
come la somma del terzo e
quarto termine sta al quarto
10 : 5 = 8 : 4
(10 + 5) : 5 = (8 + 4) : 4
15 : 5 = 12 : 4
Proprietà scomporre
La differenza del primo termine
e del secondo sta al primo come
la differenza del terzo e quarto
termine sta al terzo
10 : 5 = 8 : 4
(10 - 5) : 10 = (8 - 4) : 8
5 : 10 = 4 : 8
La differenza del primo termine
e del secondo sta al secondo
come la differenza del terzo e
quarto termine sta al quarto
10 : 5 = 8 : 4
(10 - 5) : 5 = (8 - 4) : 4
5:5=4:4
Proporzioni: calcolo termine incognito
Per calcolare un medio incognito:
1. Moltiplico i due estremi (10x4)
2. Divido per il medio noto (5).
10 : 5 = x : 4
Per calcolare un estremo incognito:
1. Moltiplico i due medi (5x8)
2. Divido per l’estremo noto (4).
x:5=8:4
x = 10 ∙ 4 : 5
x=5∙8:4
x = 40 : 5 = 8
x = 40 : 4 =10
Proporzioni continue: calcolo termine
incognito
Per calcolare il medio incognito:
1. Moltiplico i due estremi (25x4)
2. Estraggo la radice del risultato
25 : x = x : 4
Per calcolare l’estremo incognito:
1. Moltiplico i due medi (4x9)
2. Estraggo la radice del risultato.
x:4=9:x