Equilibrio idrostatico

Lezione n. 2
Equilibrio idrostatico
r
M   4r dr
2
r
0
P
g
r
P
P  P   dr
i
e
r
GM 
r dr
F 
g
r2
Mr
GM 
P

r
r
r
2
Teorema del viriale
Una sfera di gas autogravitante in equilibrio
idrostatico, che irradia (e perde) energia dalla
superficie deve contrarre per mantenere l’equilibrio
tra la pressione e la gravita’. Se la sfera contrae da un
raggio inziale molto grande fino ad un raggio R,
indicando con Wg l’energia potenziale gravitazionale e
T l’energia termica (cinetica) del gas, dall’equazione
dell’equilibrio idrostatico, si ottiene:
GM 
P

r
r
GM 
P
4

r
dr


4

r
dr


r
r
r
2
R
R
3
3
0
r
2
0
R
R
3 4r Pdr   4r
2
0
2
0
R

0
GM 
dr 
r
r
GM 
dV   W ( R )  W (   R )
r
r
g
g
R
R
0
0
 W  W  3 PdV  2  UdV  2
g
g
1
1
   W  W
2
2
g
g
Per un gas
perfetto non
relativistico
P=2/3U (U
densita’ di
energia interna)
Se la contrazione avviene in regime
di equilibrio idrostatico, il 50%
dell’energia gravitazionale rilasciata
viene convertita in energia termica
(riscaldamento) mentre l’altro 50%
e’ emesso sotto forma di radiazione
dalla superficie (irraggiamento)
Tempo scala di Kelvin-Helmotz
R
M r dM r
GM 2
W g  G 
 q
0
r
R
0
1
Mr R Mr
q
d
 1.5
r M M
0
per il teorema del viriale
Se q ed M
sono costanti
1
T   Wg
2
1
E  T  Wg  Wg
2
1 GM 2
E q
2
R
dE 1 GM 2 dR
L( R )  
 q 2
dt 2 R dt
il tempo necessario per
una contrazione da
infinito a R’ sara’:
R'
t KH 
t KH
1
dR
qGM 2  2
2
R L( R)

1 GM 2
 q
2 LR
Assumendo L(R)=cost
Per il sole
(L=3.84x1033 erg/sec,
M=1.989x1033 g
R=6.9x1010 cm)
tKH=2x107 anni
Valori medi dei
parametri stellari
2
M dM
GM
W  G 
 q
 3P V
r
R
M R M
q
d
 1 .5
r M M
R
r
r
g
0
1
r
r
0
4
3
PM R  M
2
4
2
3
Tempo scala dinamico
r
P 1 GM


t
r 
r
2
2
accelerazione=
=forza/massa
r
2
GM
P 1

r
r 
Collasso:
r
2
In questo caso si ha un free folding (collasso)
della stella. Il tempo necessario affinche’, il
raggio vada a 0 e’ dell’ordine di :
3
R
R
t 

g
GM
ff
GM
P 1

r
r 
esplosione:
r
2
In questo caso la pressione del gas fa
esplodere la stella. Analogamente al caso
precedente, il tempo necessario affinche’, il
raggio vari di una quantita’ R sara’:
t 
exp
R

 R
a
P
Ossia:
t R
exp

P
Per il sole il tempo scala dinamico e’
dell’ordine di 30 m, per una gigante rossa 18
giorni, per una nana bianca pochi secondi.