0.1 Problemi ben posti

0.1
Problemi ben posti
Abbiamo già detto che affinchè un problema formulato con equazioni differenziali (in particolare lineari) sia determinato, cioè affinchè una sua soluzione, se
esiste, sia unica, occorre formulare alcune condizioni supplementari (non necessariamente di Cauchy).
Inoltre affinchè il problema sia possibile, cioè affinchè esista una soluzione,
occorre specificare alcune proprietà di regolarità delle funzioni coefficienti e termine noto, per le equazioni lineari, e delle funzioni che definiscono le condizioni
supplementari nonchè del supporto delle condizioni supplementari (nel caso particolare del problema generalizzato di Cauchy la superficie supporto non deve
essere in alcun punto caratteristica 1 ).
Ma occorre anche esigere un altro requisito affinchè il problema sia ben posto:
occorre che la soluzione sia continua rispetto ai dati supplementari cioè che una
piccola variazione dei dati supplementari possa solo cambiare di poco i valori
della funzione nella regione in cui essa è determinata dai dati supplementari.
Più precisamente. poichè per le equazioni differenziali a derivate parziali i dati
supplementari sono formulati assegnando un insieme di funzioni su un opportuno
supporto, la continuità si formula nel modo seguente:
∀ε, ∃y tale che se il sup del modulo della variazione di ciascuna funzione dato
supplementare è minore di y, allora il sup del modulo della variazione della
soluzione è minore di ε, sup calcolato per i punti della regione in cui la soluzione
è determinata dai dati supplementari.
La motivazione del requisito di continuità è ovvia. Poichè le condizioni
supplementari in qualunque problema delle scienze naturali, o di economia, di
sociologia ecc., sono conosciuti solo approssimativamente con un errore che si
può rendere sufficientemente piccolo ma non nullo, se non ci fosse continuità
rispetto ai dati supplementari la soluzione potrebbe variare di una quantità
arbitrariamente grande per piccole variazioni dei dati supplementari ed essere
quindi di fatto completamente indeterminata.
Diremo, pertanto, che un problema è ben posto (secondo Hadamard) se è
formulato in modo da garantire esistenza, unicità e continuità della soluzione
rispetto ai dati supplementari. Faremo ora vedere che il problema di Cauchy per
l’equazione di Laplace non è ben posto, utilizzando un controesempio trovato da
Hadamard per mostrare che la soluzione del problema non è continua rispetto
ai dati supplementari.
Consideriamo il seguente problema di Cauchy: trovare una soluzione dell’equazione
di Laplace
∂2u ∂2u
+ 2 =0
∂x2
∂y
1 Osserviamo che per l’equazione del calore i piani t=cost. sono caratteristici e quindi il
problema di Cauchy per t=cost. non è possibile. Tuttavia esiste ed è unica la soluzione
assegnando come dato supplementare u(t0 , ~
x) = f (~
x) con f (~
x).
1
con le condizioni
u(0, y) = 0
1
∂u
(0, y) = k sin ny
∂x
n
con n, k interi positivi.
Facciamo vedere che la soluzione di tale problema può essere scritta nella
forma
u(x, y) = X(x)Y (y).
Infatti sostituendo nell’equazione si ha
1 d2 X
1 d2 Y
=
−
X dx2
Y dy 2
e quindi
d2 X
= α2 X,
dx2
d2 Y
= −α2 Y.
dy 2
Pertanto
X(x)
Y (y)
e quindi
= Aeαx + Be−αx
= C sin αy + D cos αy
u(x, y) = (Aeαx + Be−αx )(C sin αy + D cos αy).
Poichè u(0, y) = 0 deve essere A = −B e quindi
u(x, y) =
∂u
(0, y) =
∂x
(eαx − e−αx )(C sin αy + D cos αy)
2α(C sin αy + D cos αy).
Poichè ∂u(0, y)/∂x = sin ny/nk si ha D = 0, α = n,
C = 1/2nk+1 .
Pertanto la soluzione del problema è
µ
¶
sin ny enx − e−nx
u(x, y) = k+1
n
2
Poichè
¯
¯
¯ ∂u(0, y) ¯
1
¯
¯
¯ ∂x ¯ < nk
è arbitrariamente
segue che per n sufficientemente grande il modulo di ∂u(0,y)
∂y
piccolo. D’altra parte il modulo della soluzione assume valori arbitrariamente
grandi non appena n è sufficientemente grande. Supponiamo ora di aver trovato
la soluzione del problema di Cauchy per l’equazione di Laplace con condizioni
supplementari
∂u(0, y)
= ϕ1 (y)
u(0, y) = ϕ0 (y)
∂x
2
ed indichiamo con u0 (x, y) tale soluzione (ovviamente tale soluzione non è in
generale il prodotto di una funzione della sola x per una funzione della sola y).
Allora la funzione
µ
¶
sin ny enx − e−nx
v(x, y) = u0 (x, y) + k+1
n
2
è soluzione del problema di Cauchy con dati supplementari
v(0, y) = ϕ0 (y)
1
∂v(0, y)
= ϕ1 (y) + k sin ny.
∂x
n
Pertanto un cambiamento arbitrariamente piccolo dei dati supplementari dovuto
all’aggiunta della funzione sin ny/nk alla ϕ1 dà luogo ad un cambiamento arbitrariamente grande del modulo della soluzione per x arbitrariamente piccolo
non appena n è sufficientemente grande. Pertanto la soluzione del problema di
Cauchy per l’equazione di Laplace non è continua rispetto ai dati supplementari
ed il problema non è ben posto. Lo stesso si può dimostrare per l’equazione di
Laplace per un numero qualsiasi di variabili indipendenti, e più in generale per
le equazioni di tipo ellittico. Invece il problema di Dirichelet per l’equazione
di Laplace è ben posto perchè, come vedremo, la soluzione esiste, è unica ed è
continua rispetto al dato supplementare (soluzione assegnata sul bordo di una
regione connessa).
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