appunti di algebra

APPUNTI DI MATEMATICA
schema degli appunti
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NUMERI REALI
POLINOMI
FRAZIONI
ALGEBRICE
EQUAZIONI
Principi di
equivalenza
Insiemi numerici
Semplificazione
Criteri di
divisibilità
Moltiplicazione e
divisione
Addizione
Potenza
Sottrazione
Moltiplicazione
Divisione
Potenza
Radice
Prodotti notevoli
Divisioni
Scomposizioni
Somma
Algebrica
Sviluppo
Espressioni
frazionarie
Espressioni
con radicali
Equazioni lineari
Equazioni fratte
Equazioni letterali
Equazioni
di 2° grado
Equazioni
parametriche
Equazioni di
grado superiore
al 2°
Equazioni
irrazionali
SISTEMI
Sistemi lineari
Metodo di
sostituzione
Metodo di
addizione
Metodo di
confronto
Metodo di
Cramer
Metodo grafico
Sistemi letterali
DISEQUAZIONI
GEOMETRIA
Studio del segno
di primo grado
Studio del segno
di 2° grado
Principi di
equivalenza
Dis. di 1° grado
Dis. di 2° grado
Dis. fratte
Sistemi di dis.
Dis. di grado
superiore al 2°
Dis. con valori
assoluti
Definire e
dimostrare
Principali
teoremi
Algebra applicata
alla geometria
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1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Numeri
Polinomi
Frazioni algebriche
Equazioni
Sistemi
Disequazioni
Geometria
1. NUMERI
•
•
•
•
•
•
•
•
Insiemi numerici
Criteri di divisibilità
Addizione
Sottrazione
Moltiplicazione
Divisione
Potenza
Radice
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INSIEMI NUMERICI
1. Naturali
2. Interi
3. Razionali
4.
5.
ℕ={0,1,2,3,4…}
ℤ={…-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3…}
ℚ={interi, decimali finiti,
decimali illimitati periodici}
ℚ={x|x=p/q, p∈ℤ e q∈ℕ*}
Reali
ℝ={razionali, irrazionali}
(irrazionali: decimali illimitati non periodici)
Complessi
ℂ={reali, i}
i=√-1 unità immaginaria
“+” positivi
“-” negativi
es. ℤ -={-1,-2,-3…}
“*” escluso lo zero
es. ℤ *={…-3,-2,-1,+1,+2,+3…}
“a” assoluti
es. ℤ a={0,1,2,3…}=ℕ
“0” con l’aggiunta dello zero
es. ℤ -o={0,-1,-2,-3…}
CRITERI DI DIVISIBILITA’
2:
5:
4:
ultima cifra multipla di 2 (0,2,4,6,8)
ultima cifra multipla di 5 (0,5)
ultime due cifre multiplo di 4
(00,04,16,52,76…sono 25)
25: ultime due cifre multiplo di 25
(00,25,50,75)
8:
ultime tre cifre multiplo di 8
(000,432,520…sono 125)
125: ultime tre cifre multiplo di 125
(000,125,250,375,500,625,750,875)
3:
9:
11:
somma delle cifre multiplo di 3 (357,84…)
somma delle cifre multiplo di 9 (927,801…)
la differenza
tra la somma delle cifre di posto pari
con la somma delle cifre di posto dispari,
multiplo di 11 (71533…)
Nota: 7 e 13 esiste ma non è utilizzata
ADDIZIONE
1.
2.
3.
4.
5.
Operazione interna
Commutativa
Associativa
Esiste 0 elemento neutro
Esiste il simmetrico di a: -a (opposto)
SOTTRAZIONE
1. Invariantiva: se si somma o si sottrae
uno stesso numero sia al minuendo che
al sottraendo, la differenza non cambia
MOLTIPLICAZIONE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Operazione interna
Commutativa
Associativa
Distributiva rispetto all’addizione e alla
sottrazione
Esiste 1 elemento neutro
Esiste il simmetrico di a (se a≠0): 1/a
(reciproco)
Esiste 0 elemento assorbente
Legge di annullamento del prodotto
DIVISIONE
1. Invariantiva: se si moltiplicano o si
dividono sia il dividendo che il divisore
per uno stesso numero diverso da zero, il
quoziente non cambia mentre il resto se
c’è viene moltiplicato o diviso per lo
stesso numero
2. Distributiva (solo da una parte)
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POTENZA
• Definizioni
• Proprietà
• Note
DEFINIZIONI
an
a base
n esponente
an potenza
n∈ℤ
• se n=0 e a≠0:
a0 = 1
• se n=1:
a1 = a
• se n≥2:
an = a∙a∙a∙ ∙ ∙a (n volte)
• se n<0 e a≠0:
an = (1/a)-n
• se n=0 e a=0:
00
indeterminata
n∈ℚ
• se n=p/q e q≠0:
an = q√ap
PROPRIETA’
1. Il prodotto di due o più potenze con
ugual base è una potenza che ha per
base la stessa base e per esponente la
somma degli esponenti
2. Il quoziente di due potenze con ugual
base è una potenza che ha per base la
stessa base e per esponente la differenza
degli esponenti
3. Il prodotto di due o più potenze con ugual
esponente è una potenza che ha per base il
prodotto delle basi e per esponente lo stesso
esponente
Oppure Proprietà distributiva della potenza rispetto
alla moltiplicazione: la potenza di un prodotto
è uguale al prodotto delle potenze dei singoli
fattori.
4. Il quoziente di due potenze con ugual
esponente è una potenza che ha per base il
quoziente delle basi e per esponente lo stesso
esponente
Oppure Proprietà distributiva della potenza rispetto
alla divisione: la potenza di un quoziente è
uguale al quoziente delle potenze del
dividendo e del divisore
5. La potenza di una potenza è una potenza
che ha per base la stessa base e per
esponente il prodotto degli esponenti
NOTE
1. In una espressione si applicano prima le
proprietà delle potenze o si calcolano con
la definizione, poi si eseguono le
moltiplicazioni e le divisioni, così come si
presentano, e infine le addizioni e le
sottrazioni
Se nelle espressioni ci sono delle
parentesi bisogna cominciare a risolvere
da quelle più interne
2. Le proprietà delle potenze sovvertono le
priorità delle operazioni. Bisogna dare
sempre la precedenza alle proprietà
piuttosto che alle definizioni
3. Se non c’è la parentesi l’esponente è
riferito solo al numero immediatamente
alla sua sinistra
4. Una potenza con esponente pari è
sempre positiva; una potenza con
esponente dispari conserva il segno della
base
RADICE
• Definizioni
• Proprietà
• Note
DEFINIZIONI
n√a
a radicando
n√a
n indice
n√a
radicale
= b se e solo se bn = a
• a,b∈ℝ n∈ℕ*
• a,b∈ℝa n∈ℕ*
radicali algebrici
radicali aritmetici
• se n=0:
• se n=1:
• se n=2:
• se n=3:
• se n>0:
0√a
1√a=
priva di significato
a
2√a=√a radice “quadrata”
3√a
radice “cubica”
n√0=0
PROPRIETA’
1. Proprietà invariantiva: il valore di un radicale
aritmetico non cambia se si moltiplicano o si
dividono l’indice della radice e l’esponente del
radicando per uno stesso numero naturale
diverso da 0
2. Il prodotto di due o più radicali aventi lo stesso
indice è un radicale che ha per indice lo stesso
indice e per radicando il prodotto dei radicandi
Oppure Proprietà distributiva della radice rispetto
alla moltiplicazione: la radice di un prodotto è
uguale al prodotto dei singoli radicali
3. Il quoziente di due o più radicali aventi lo
stesso indice è un radicale che ha per indice lo
stesso indice e per radicando il quoziente dei
radicandi
Oppure Proprietà distributiva della radice rispetto
alla divisione: la radice di un quoziente è
uguale al quoziente dei singoli radicali
4. La potenza di un radicale è uguale a un
radicale che ha per indice lo stesso indice e per
radicando la potenza del radicando
5. La radice di una radice è una radice che ha per
indice il prodotto degli indici e per radicando lo
stesso radicando
NOTE
1. Sviluppare l’espressione “sotto” radice
Lavorare “con” il radicale
Operare “tra” i radicali
2. Non si lasciano radici al denominatore e
denominatori sotto radice
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2. POLINOMI
• Prodotti notevoli
• Divisioni
• Scomposizioni
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PRODOTTI NOTEVOLI
1. Prodotto somma per differenza
2.
3.
(A+B)(A-B)=A2-B2
Quadrato di binomio
(A+B)2=A2+2AB+B2
Quadrato di trinomio
(A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC
4. Cubo di binomio
(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3
5. Prodotto somma (differenza) per il suo falso
quadrato
(A+B)(A2-AB+B2)=A3+B3
(A-B)(A2+AB+B2)=A3-B3
6. Potenza di binomio
il polinomio consta di n+1 termini, ciascuno è il
prodotto del coefficiente (preso dal triangolo di
Tartaglia) per le potenze decrescenti del primo
termine (da n a 0) per le potenze crescenti del
secondo (da 0 a n)
DIVISIONI
• Divisione tra due polinomi
• Divisione con la regola di Ruffini
DIVISIONE TRA DUE POLINOMI
1. Il dividendo deve essere ordinato e completo
2. Il divisore ordinato
3. Il grado del quoziente è uguale alla differenza
4.
5.
6.
dei gradi del dividendo e del divisore
Il grado del resto è minore del grado del
divisore
La divisione termina quando il grado del resto
diventa minore del grado del divisore
Prova B.Q+R=A A dividendo
B divisore
Q quoziente
R resto
DIVISIONE CON RUFFINI
1. Il dividendo A(x) deve essere ordinato e completo
2. Il divisore (x-a) deve essere un binomio ordinato di
3.
4.
5.
6.
primo grado con il primo coefficiente uguale a 1
Il resto R è un termine di grado 0
Nella regola di Ruffini si utilizzano solo i coefficienti
Teorema del resto: R=A(a) (il resto è il valore che il
dividendo assume in a, cioè il valore che si ottiene
sostituendo “a” al posto di “x”)
Se il primo coefficiente non è 1 è possibile effettuare la
divisione con Ruffini dopo averla opportunamente
modificata applicando la proprietà invariantiva
SCOMPOSIZIONI
• Definizioni
• Uso
DEFINIZIONI
1. Raccoglimento a fattor comune
2.
AM+BM+CM=M(A+B+C)
Regola. Si individua il MCD; si mette in evidenza e si
moltiplica per il polinomio ottenuto divedendo ciascun
termine per il MCD. È l’inverso della proprietà
invariantiva.
Raccoglimenti successivi
AM+BM+AN+BN=M(A+B)+N(A+B)=(A+B)(M+N)
Regola. Si effettua quando non è possibile raccogliere
a fattor comune ma solo a 2 a 2 oppure a 3 a 3. Ci
deve essere un numero pari di termini o 9. Il secondo
passaggio è sempre il raccoglimento a fattor comune.
3. Differenza di due quadrati
4.
5.
6.
A2-B2 =(A+B)(A-B)
Regola. Si moltiplica la somma delle basi per la
loro differenza.
Trinomio quadrato di binomio
A2+2AB+B2=(A+B)2
Quadrinomio cubo di binomio
A3+3A2B+3AB2+B3=(A+B)3
Polinomio quadrato di trinomio
A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC=(A+B+C)2
7. Somma o differenza di due cubi
8.
A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2)
A3-B3=(A-B)(A2+AB+B2)
Trinomio notevole
X2+(A+B)X+AB=(X+A)(X+B)
Regola. È un trinomio ordinato in cui il primo
termine ha grado doppio del secondo e il terzo
è noto. Il primo coefficiente è 1; il secondo è la
somma di due termini e il terzo è il prodotto
degli stessi.
9. Ruffini. Si applica in presenza di un polinomio
ordinato. E’ la prova di una divisione di cui si
conosce solo il dividendo A(x) (il polinomio da
scomporre); il divisore (x-a) si cerca per
tentativi; il quoziente Q(x) si trova con la
regola di Ruffini; il resto R deve essere zero.
prova: A(x)=Q(x)(x-a)+R, R=0
a: si cerca tra i divisori del termine noto o tra
le frazioni aventi al numeratore i divisori del
termine noto e al denominatore i divisori del
primo coefficiente in modo che R=0
USO
1. Due termini:
2.
- raccoglimento a fattor comune
- differenza di due quadrati
- somma o differenza di due cubi
- Ruffini
Tre termini:
- raccoglimento a fattor comune
- trinomio quadrato di binomio
- trinomio notevole
- Ruffini
NOTE
1. Se ci sono delle frazioni spesso conviene fare il
2.
3.
4.
denominatore comune e poi scomporre il
numeratore
Si raccoglie il primo segno che si incontra
Le parentesi quadre diventano tonde e le
tonde si eliminano facendo i calcoli
Per iniziare e per finire una scomposizione è
necessario scomporre i polinomi dentro le
parentesi
3. Quattro termini:
4.
- raccoglimento a fattor comune
- raccoglimenti successivi
- quadrinomio cubo di binomio
- misto
- Ruffini
Cinque o più termini:
- raccoglimento a fattor comune
- raccoglimenti successivi (solo con sei, otto,
nove termini …)
- polinomio quadrato di trinomio
- misto
- Ruffini
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3. FRAZIONI ALGEBRICHE
• Semplificazione
• Moltiplicazione e divisione
• Potenza
• Somma algebrica
• Sviluppo espressioni
• Espressioni frazionarie
• Espressioni con i radicali
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SEMPLIFICAZIONE
1. Scomporre il numeratore e il
denominatore
2. Individuare il dominio della frazione (cioè
escludere quei valori che annullano
ciascun fattore del denominatore: C.E.
condizioni di esistenza)
3. Semplificare i fattori
MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE
1. Scomporre tutti i numeratori e tutti i
denominatori
2. Individuare il dominio della frazione (…)
3. Semplificare un qualsiasi fattore al
numeratore con un qualsiasi fattore al
denominatore
POTENZA
1. Scomporre il numeratore e il
denominatore
2. Indicare il dominio della frazione (…)
3. Semplificare
4. Applicare la proprietà distributiva della
potenza rispetto alla moltiplicazione e
alla divisione
SOMMA ALGEBRICA
1. Scomporre i denominatori “sotto”
2. Indicare il dominio della frazione (…)
3. Scomporre i numeratori “sopra” solo se si vede
4.
5.
6.
7.
8.
la possibilità di semplificare la frazione
Individuare il m.c.m. dei denominatori
Fare il denominatore comune
Fare i calcoli al numeratore
Scomporre il numeratore
Semplificare la frazione
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SVILUPPO ESPRESSIONI
1. Eseguire prima le operazioni dentro
parentesi
2. Ordine delle operazioni:
- potenze
- moltiplicazioni e/o divisioni
- somme e/o sottrazioni
3. Proprietà delle potenze e/o prodotti
notevoli hanno la precedenza
ESPRESSIONI FRAZIONARIE
1. Sviluppare ogni espressione presente in
2.
3.
ciascun numeratore e in ciascun denominatore
Moltiplicare il numeratore per il reciproco del
denominatore
E’ possibile semplificare tra loro i numeratori o
i denominatori prima del punto 2. se,
scomposti, contengono fattori uguali
ESPRESSIONI CON I RADICALI
1. Sviluppare l’espressione “sotto” radice
2. Lavorare “con” il radicale
3. Operare “tra” i radicali
N.B. Non si lasciano radici al denominatore e
denominatori sotto radice
MENU
4. EQUAZIONI
•
•
•
•
•
•
•
•
Principi d’equivalenza
Equazioni lineari in una incognita
Equazioni fratte
Equazioni letterali
Equazioni di secondo grado
Equazioni parametriche
Equazioni di grado superiore al secondo
Equazioni irrazionali
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PRINCIPI D’EQUIVALENZA
1. 1° Principio dell’addizione: sommando o
sottraendo ad entrambi i membri di una
equazione lo stesso valore o espressione
si ottiene una equazione equivalente alla
data. Conseguenze:
a) principio del trasporto
b) legge di cancellazione
c) riduzione di un membro a zero P(x)=0
2. 2° Principio della moltiplicazione: moltiplicando
o dividendo entrambi i membri di una
equazione per lo stesso valore o espressione
diversi da zero si ottiene una equazione
equivalente alla data. Conseguenze:
a) cambiamento del segno
b) moltiplicazione per un multiplo
comune (eliminazione denominatori)
c) divisione per un divisore comune
(semplificazione termine a termine)
EQUAZIONI LINEARI IN UNA
INCOGNITA
1. Una equazione in una sola incognita è di
primo grado (o lineare) quando, in
Forma Normale, si riduce ad un binomio
di primo grado. In questo caso la F.N.
assume tale aspetto:
ax=b a≠0 a,b costanti x variabile
a si dice coefficiente dell’incognita
b si dice termine noto
2. a≠0:
ax=b eq. det. 1 sol. x=b/a
a=0, b=0: 0=0 eq. indet. ∀x
a=0, b≠0: 0=b eq. imp.
∄x
3. Per raggiungere la F.N. occorre utilizzare
le regole dello sviluppo delle espressioni
e i due principi di equivalenza o le loro
conseguenze
4. Raggiunta la forma normale la soluzione
è sempre data da: x= termine noto
diviso coefficiente dell’incognita
5. Si elimina un termine o un gruppo di
termini se hanno “stesso segno e parti
opposte” oppure “stessa parte e segno
opposto”
6. Fare la verifica di un’equazione consiste
nel sostituire la soluzione trovata al
posto dell’incognita nel testo e
controllare che soddisfi la definizione di
soluzione
EQUAZIONI FRATTE
E’ necessario mettere le condizioni perchè non solo bisogna
indicare il dominio di una frazione algebrica ma anche il
secondo principio permette di eliminare solo
denominatori diversi da zero.
Esse si mettono guardando i denominatori di un qualsiasi
passaggio (dal testo alla soluzione).
Si mettono solo sui fattori letterali non scomponibili (*) di
primo grado (**).
Trovata la soluzione bisogna fare il controllo
dell’accettabilità.
(*) Infatti se un polinomio di grado superiore al primo non
è scomponibile non si annulla in alcun numero razionale
(se esistesse tale numero sarebbe scomponibile con
Ruffini!).
(**) inoltre una potenza è zero solo se la sua base è zero.
EQUAZIONI LETTERALI
In queste equazioni oltre all’incognita
compare anche un’altra lettera (costante
o parametro) al cui variare varia anche la
natura dell’equazione (determinata,
indeterminata, impossibile) e della
soluzione (accettabile, non accettabile).
1. Raggiungere la F.N. mettendo le
condizioni su tutti i fattori letterali
presenti al denominatore (*)
2. Nella F.N. scomporre sia il coefficiente
della x che il termine noto
3. Mettere le condizioni sul coefficiente
della x (**)
4. Risolvere l’equazione x=b/a
5. Fare la discussione
(*) condizioni sui denominatori
a) solo sul parametro (C.E.):
eq. perde significato
b) sull’incognita (C.A.):
sol. non accettabile
(**) condizioni sul coefficiente dell’incognita
a) annulla anche il termine noto:
eq. indeterminata
b) non annulla il termine noto:
eq. impossibile
6. C.A. Bisogna confrontare la soluzione ottenuta con
7.
i valori che la rendono non accettabile. Si tratta di
risolvere piccole equazioni in cui l’incognita è il
parametro
a) Se l’eq. sul parametro è di grado superiore al
primo, si scrive nella forma P(a)=0, si scompone e
si applica la legge di annullamento del prodotto
b) Se l’eq. sul parametro è impossibile: soluzione
sempre accettabile
c) Se l’eq. sul parametro è indeterminata:
soluzione mai accettabile
Doppioni:
perde significato:
“vince sempre”
eq. indet. / sol. non acc. : “tutte e due”
eq. imp. / sol. non acc. : “impossibile”
EQUAZIONI DI SECONDO
GRADO
Una equazione in una sola incognita è di
secondo grado quando ridotta a Forma
Normale assume tale aspetto:
ax2+bx+c=0 a≠0
a,b,c costanti x variabile
1. b≠0, c≠0 ax2+bx+c=0 eq. completa
discriminante: =b2-4ac
>0 due soluzioni reali e distinte
=0 due soluzioni reali e coincidenti
<0 nessuna soluzione reale
2. b≠0, c=0
ax2+bx=0 eq. incompleta spuria
due soluzioni reali di cui una uguale a zero
• b=0, c≠0
ax2+c=0 eq. incompleta pura
a, c discordi: due soluzioni reali opposte
a, c concordi: nessuna soluzione reale
• b=0, c=0
ax2 =0
eq. monomia
due soluzioni reali uguali a zero
5. x1, x2 soluzioni reali
s = x1+x2 = -b/a
p= x1∙x2 = c/a
F.N. x2-sx+p=0
• x1, x2 soluzioni reali
ax2+bx+c = a(x-x1)∙(x-x2)
EQUAZIONI PARAMETRICHE
Si chiamano “parametri” le lettere contenute in
almeno un coefficiente di una equazione
letterale ed “equazioni parametriche” quelle in
cui i coefficienti dipendono da uno o più
parametri. Nelle equazioni parametriche si cerca
di risolvere il problema di determinare , se
possibile, quei particolari valori da attribuire al
parametro affinché le soluzioni dell’equazione
verifichino determinate condizioni. Generalmente
ciò si risolve ricorrendo alle relazioni tra
coefficienti e soluzioni, mai risolvendo
l’equazione.
EQUAZIONI DI GRADO
SUPERIORE AL SECONDO
Sono equazioni aventi una Forma Normale del tipo
P(x)=0 dove P(x) è un polinomio di grado
superiore al secondo. La loro soluzione si
riconduce a quella di equazioni di primo o di
secondo grado.
1. Eq. abbassabili di grado: F.N. P(x)=0. Si
scompone P(x) in fattori di primo o di secondo
grado, si risolve applicando la legge di
annullamento del prodotto
2. Eq. binomie: F.N. axn+b=0.
n pari
a,b concordi: nessuna soluzione reale
a,b discordi: due soluzioni reali opposte
n dispari
una soluzione reale
3. Eq. trinomie: F.N. ax2n+bxn+c=0. Si
risolvono con un cambio di variabile
y=xn.
Casi particolari
eq. biquadratiche: ax4+bx2+c=0
eq. del tipo: a(…)2n+b(…)n+c=0
EQUAZIONI IRRAZIONALI
Si dice irrazionale un’equazione in cui l’incognita
compare sotto radice.
I radicali con indice pari sono da considerarsi
aritmetici, quelli con indice dispari algebrici.
Teorema: elevando ad uno stesso esponente i due
membri di un’equazione se ne ottiene un’altra il
cui insieme soluzione contiene quello
dell’equazione di partenza.
Primo caso: un radicale
1. Isolare il radicale con il segno positivo
2. Elevare a potenza entrambi i membri
3. Risolvere l’equazione ottenuta
4. Verificare l’accettabilità della soluzione
sostituendo il valore trovato nel testo.
Secondo caso: due radicali
1. Isolare un radicale con il segno positivo
2. Elevare a potenza entrambi i membri
3. Proseguire come nel primo caso
Terzo caso: tre o quattro radicali
1. Isolare due radicali
2. Elevare a potenza entrambi i membri
3. Proseguire come nel secondo caso
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5. SISTEMI
• Sistemi lineari
• Metodo di sostituzione
• Metodo di confronto
• Metodo di addizione
• Metodo di Cramer
• Metodo grafico
• Sistemi letterali
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SISTEMI LINEARI
1. Raggiungere la Forma Normale
2. Applicare un metodo di soluzione: tre metodi
3.
(sostituzione, addizione, confronto) hanno
come scopo quello di ottenere un’equazione
con una sola incognita; quello di Cramer è un
metodo “meccanico”; quello grafico consiste
nel rappresentare nel piano cartesiano le
equazioni e la soluzione del sistema.
a/a1≠b/b1
sistema determinato
a/a1=b/b1≠c/c1
sistema impossibile
a/a1=b/b1= c/c1 sistema indeterminato
METODO DI SOSTITUZIONE
1. Raggiungere la F.N.
2. Ricavare un’incognita in una delle due
equazioni (a piacere) e sostituirla
nell’altra
3. Risolvere l’equazione in una sola
incognita così ottenuta al punto 2.
4. Ricavare l’altra incognita sfruttando l’altra
equazione ottenuta al punto 2.
METODO DI CONFRONTO
1. Raggiungere la F.N.
2. Ricavare la stessa incognita in entrambe le
3.
4.
5.
equazioni
Costruire un sistema avente come prima
equazione quella ottenuta dal confronto delle
espressioni ottenute al punto 2., come seconda
una delle due equazioni del punto 2.
Risolvere l’equazione in una sola incognita così
ottenuta al punto 3.
Ricavare l’altra incognita utilizzando l’altra
equazione del punto 3.
METODO DI ADDIZIONE
1. Raggiungere la F.N.
2. Applicando il principio della moltiplicazione fare
3.
4.
5.
in modo che la stessa incognita abbia
coefficiente opposto nelle due equazioni
(m.c.m. dei coefficienti)
Sommare termine a termine le due equazioni
Risolvere l’equazione in una sola incognita così
ottenuta al punto 3.
Ricavare l’altra incognita utilizzando una delle
due equazioni della F.N.
METODO DI CRAMER
1. Raggiungere la F.N.
2. Calcolare D il determinante della matrice dei
3.
4.
5.
coefficienti
Calcolare Dx il determinante della matrice
ottenuta sostituendo la colonna dei termini noti
alla colonna dei coefficienti della x
Calcolare Dy il determinante della matrice
ottenuta sostituendo la colonna dei termini noti
alla colonna dei coefficienti della y
Risolvere:
x= Dx / D
y= Dy / D
METODO GRAFICO
Si dimostra che una equazione di primo grado ha
come rappresentazione grafica, nel piano
cartesiano, una retta.
1. Raggiungere la F.N.
2. Disegnare le rette nel piano cartesiano
3. Individuare, se esiste, il punto di intersezione
4. rette incidenti:
sistema determinato
rette coincidenti: sistema indeterminato
rette parallele:
sistema impossibile
SISTEMI LETTERALI
1. Raggiungere la F.N. mettendo le
condizioni su tutti i fattori letterali
presenti al denominatore (*)
2. Risolvere il sistema con il metodo di
Cramer mettendo le condizioni sul
determinante della matrice dei
coefficienti (**)
3. Fare la discussione
(*) condizioni sui denominatori
a) solo sul parametro (C.E.):
sistema perde significato
b) sull’incognita (C.A.):
sol. non accettabile
(**) condizioni sul determinante della matrice dei
coefficienti: sostituire nelle F.N.
a) a/a1=b/b1= c/c1 o un’eq. indeterminata:
sistema indeterminato
b) a/a1=b/b1≠c/c1 o un’eq. impossibile:
sistema impossibile
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6. DISEQUAZIONI
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Studio del segno di primo grado
Studio del segno di secondo grado
Principi d’equivalenza
Disequazioni di primo grado
Disequazioni di secondo grado
Disequazioni fratte
Sistemi di disequazioni
Disequazioni di grado superiore al secondo
Disequazioni con valore assoluto
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STUDIO DEL SEGNO DI PRIMO
GRADO
Si dimostra che una equazione di primo grado
y=ax+b ha come rappresentazione grafica, nel
piano cartesiano, una retta.
1. Risolvere l’equazione associata per trovare il
punto di intersezione tra la retta e l’asse
delle x (y=0)
2. Disegnare la retta:
a>0 retta crescente
a=0 retta parallela all’asse delle x
a<0 retta decrescente
STUDIO DEL SEGNO DI
SECONDO GRADO
Si dimostra che una equazione di secondo grado
y=ax2+bx+c ha come rappresentazione
grafica, nel piano cartesiano, una parabola.
1. Risolvere l’equazione associata per trovare il
punto di intersezione tra la parabola e l’asse
delle x (y=0)
2. Disegnare la parabola:
>0 due punti di intersezione
=0 un punto di intersezione
<0 nessun punto di intersezione
a>0 concavità verso l’alto
a<0 concavità verso il basso
PRINCIPI D’EQUIVALENZA
1. Principio dell’addizione: sommando o
sottraendo ad entrambi i membri di una
disequazione lo stesso valore o
espressione si ottiene una disequazione
equivalente alla data.
Conseguenze: principio del trasporto
legge di cancellazione
secondo membro=0
2. Principio della moltiplicazione:
moltiplicando o dividendo entrambi i
membri di una disequazione per lo
stesso valore o espressione maggiore di
zero si ottiene una disequazione
equivalente alla data.
Conseguenze:
cambiare i segni solo cambiando verso
eliminare i denominatori senza variabile
dividere tutti i termini per valori positivi
DISEQUAZIONI DI PRIMO
GRADO
1. Per risolvere occorre utilizzare le regole dello
2.
sviluppo delle espressioni e i due principi di
equivalenza o le loro conseguenze
Casi particolari. Se giunti a F.N. non compare
più la x, è sufficiente chiedersi se la relazione è
vera o falsa:
V
∀x
F
∄x
DISEQUAZIONI DI SECONDO
GRADO
1.
2.
3.
4.
Raggiungere la F.N.
Risolvere l’equazione associata
Disegnare la parabola
Decidere la soluzione confrontando il
disegno con il verso della disequazione
DISEQUAZIONI FRATTE
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Raggiungere la F.N. (secondo membro=0)
Fare lo studio del segno del numeratore
Fare lo studio del segno del denominatore
Riportare i segni in uno stesso grafico
Fare il prodotto dei segni
Decidere la soluzione confrontando i segni del
punto 5. con il verso della F.N. del punto 1.
SISTEMI DI DISEQUAZIONI
1. Raggiungere la F.N. di ciascuna disequazione
2. Preparare il sistema per le soluzioni
3. Risolvere direttamente le disequazioni di primo
4.
5.
6.
7.
8.
grado
Risolvere separatamente le disequazioni di
secondo grado o fratte
Riportare le soluzioni nel sistema del punto 2.
Riportare le soluzioni nello stesso grafico
Fare l’intersezione delle soluzioni
Scrivere la soluzione
DISEQUAZIONI DI GRADO
SUPERIORE AL SECONDO
1. Raggiungere la F.N. (primo membro polinomio
2.
3.
4.
5.
o frazione)
Fare lo studio del segno di ciascun fattore
Riportare i segni in uno stesso grafico
Fare il prodotto dei segni
Decidere la soluzione confrontando i segni del
punto 4. con il verso della F.N. del punto 1.
DISEQUAZIONI CON VALORI
ASSOLUTI
1. Tenendo conto della definizione di valore
assoluto
a, a>0
|a| =[
2.
3.
-a, a<0
trasformare la disequazione in due o quattro
sistemi di disequazioni
Risolvere separatamente i sistemi
Fare l’unione delle soluzioni
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7. GEOMETRIA
• Definire e dimostrare
• Principali teoremi
• Algebra applicata alla geometria
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DEFINIRE E DIMOSTRARE
no
si
DEFINIRE
DIMOSTRARE
PAROLE
(“si dice…”)
PROPOSIZIONI IMPLICAZIONI
(“scende…”)
CONCETTI PRIMITIVI
punto-retta-piano
movimento rigido
insieme-appartenenza
POSTULATI O ASSIOMI
(scendono dall’intuizione)
DEFINIZIONI
TEOREMI-LEMMI-COROLLARI
(scendono da definizioni,
postulati, teoremi, ecc.)
PRINCIPALI TEOREMI DELLA
GEOMETRIA
Principali teoremi della geometria
(documento word)
ALGEBRA APPLICATA ALLA
GEOMETRIA
1. Fare disegno, hp, th
2. Attribuire la x ad un elemento della
figura
3. Mettere le condizioni geometriche
4. Individuare l’equazione che risolve
l’esercizio
5. Sostituire in funzione di x o dei dati delle
hp le misure degli elementi
dell’equazione
6. Risolvere l’equazione mettendo anche
eventuali condizioni algebriche
7. Verificare l’accettabilità delle soluzioni
confrontandole sia con le condizioni
geometriche sia con le condizioni
algebriche
8. Continuare l’esercizio
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