Simulazione di prova d`Esame di Stato

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Risorse per l’insegnante e per la classe
1
Simulazione di prova d’Esame di Stato
Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario
Nome …………………………………………
Cognome …………………………………………
Classe ………………
Data ………… / ………… / …………
Problema 1
Sia y = f (x) una funzione reale di variabile reale tale che la sua derivata seconda sia
uguale al logaritmo naturale di (−2x) e il cui grafico sia tangente nel punto A di coor
dinate − 12 ; − 12 alla circonferenza di centro C(2; −1).
a. Determinare l’espressione di f (x).
b. Individuare il numero di zeri della funzione f (x) e disegnare il grafico.
c. Considerare l’arco di curva piana di equazione y = f (x) compreso tra il punto di flesso della funzione e l’asse delle ordinate. Qual è la lunghezza di tale arco di curva?
Problema 2
In un riferimento cartesiano ortogonale è data la curva γ di equazione
2mx + 1
y=
,
mx − 2
essendo m una costante reale.
a. Ricercare per quale traslazione degli assi l’equazione assume la forma XY = k.
b. Trovare le coordinate dei punti A e B comuni alla curva e alla bisettrice del primo
quadrante e determinare la lunghezza del segmento AB.
c. Verificare che per qualsiasi valore del parametro m tutte le curve descritte dall’equazione hanno in comune un medesimo punto C. Determinare l’area del triangolo
ABC. Studiare l’andamento di tale area al variare del parametro m.
d. Fatta ruotare la curva γ di un angolo giro attorno alla retta di equazione y = 2, determinare il volume del solido limitato dalla superficie così ottenuta e dai piani perpendicolari all’asse x passanti per i punti x0 = xC , x1 > x0 , nel caso di m negativo.
Questionario
1
Determinare il valore del parametro k in modo che valga
√
√
x2 − 1
x2 + k − x = 2.
lim
x→+∞
2
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2
Precisare se esiste, e in caso affermativo determinare il valore, del parametro t
tale che sia ovunque continua la funzione:
sen(x + t) se x < 0
f (x) =
cos(x − t) se x ≥ 0
3
Perché non è applicabile il teorema di Rolle alla funzione f (x) = |x| considerata nell’intervallo [−a; a]?
4
Due barche inizialmente alle distanze a e b da un generico punto P , navigano
verso P secondo traiettorie rettilinee perpendicolari tra loro, alle velocità rispettivamente di h e k. Quando è minima la distanza tra le barche? A quanto è pari tale distanza minima?
5
Dare la definizione di funzione tra insiemi.
Quante funzioni differenti esistono tali che il dominio di f sia dato dall’insieme
D = {1; 2; . . . ; n} e l’insieme immagine sia I = {a; b}?
6
La successione an è definita dalla formula ricorsiva

 a1 = 10
1
 an+1 =
an
Scrivere il termine a93 . La successione è limitata? È convergente? Qual è l’espressione
della somma dei primi n termini?
L’equazione x1+log2 x = x2 log2 x ha:
■
a. una soluzione reale
c. infinite soluzioni reali
■
7
8
1
Calcolare il valore dell’integrale
0
b. due soluzioni reali
d. nessuna soluzione reale
■
■
x−1
√ dx.
(x + 2) x
9
Sia f (x) una funzione continua a valori reali definita su [a; b] tale che
f (a) < 0 < f (b). Per ciascuna delle seguenti affermazioni dire se sia vera o falsa e in tal
caso giustificare la risposta con un opportuno esempio:
a. esiste un solo punto x0 ∈ [a; b] tale che f (x0 ) = 0;
b. esiste almeno un punto x0 ∈ [a; b] tale che f (x0 ) = 0;
c. esiste un solo punto x0 ∈ (a; b) tale che f (x0 ) = 0 se la funzione è dispari e a = −b.
Dopo aver dimostrato che y = x + ex è invertibile, calcolare la derivata della
sua inversa x = g(y) nel punto y = 1.
10
3
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Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario
Nome …………………………………………
Cognome …………………………………………
Classe ………………
Data ………… / ………… / …………
Problema 1
Sui lati opposti AB e CD del rettangolo ABCD ed esternamente a esso si costruiscano due triangoli isosceli AP B e CQD aventi gli angoli alla base di ampiezza α.
a. Sapendo che il perimetro dell’esagono AP BCQD è 2p, determinare le lunghezze dei
lati del rettangolo in funzione di α e del lato AP in modo che l’area S dell’esagono
risulti massima.
b. Determinare per quale ampiezza dell’angolo α l’esagono di area massima è inscrivibile in una circonferenza. Commentare il risultato.
c. Disegnare il grafico della funzione S, considerando il valore di α trovato nel punto b.
Quale deve essere la lunghezza del perimetro dell’esagono in modo che l’area della parte di piano delimitata da S e dall’asse delle ascisse sia uguale all’area dell’esagono?
d. Nel caso in cui l’angolo α assuma il valore trovato nel punto b, calcolare il volume
del solido generato da una rotazione di 180◦ attorno alla retta P Q dell’esagono
AP BCQD e disegnare il grafico della funzione trovata nello stesso sistema di riferimento in cui si è rappresentata la funzione S del punto c.
Problema 2
Sia fm la funzione reale di variabile reale definita da
mx2 − (m + 2)x + 2
fm =
,
2x − 5
con m parametro reale, e sia γm il grafico di fm .
a. Precisare per quali valori di m la funzione fm non ammette né massimo né minimo.
Quali particolarità si hanno per m = 0 e per m = 45 ?
b. Provare che la funzione fm può essere scritta nella forma
c
ax + b +
,
2x − 5
determinando le costanti a, b, c. Quale relazione intercorre tra la funzione fm e la
retta y = ax + b?
c. Studiare la funzione f2 (x) e disegnare il relativo grafico γ2 . Provare che γ2 è simmetrica rispetto al punto di intersezione tra gli asintoti.
d. Calcolare il volume del solido generato dalla rotazione di γ2 attorno all’asse x delimitato dai piani perpendicolari a tale asse passanti per l’asse y e per il punto di
massimo di f2 .
4
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Questionario
Determinare le costanti a e b tali che sia derivabile, ∀x ∈ R, la funzione
x
se x ≥ 0
e + a cos x
f (x) =
2
b(x + 3x + 1) se x < 0
1
2
a.
b.
c.
d.
e.
Quale dei seguenti insiemi è vuoto? (È possibile più di una risposta corretta.)
■
Triangoli rettangoli le cui lunghezze dei lati sono numeri interi.
Triangoli rettangoli le cui lunghezze dei lati sono in rapporto di 5 : 12 : 13.
■
◦
Poligoni regolari con un angolo interno di 45 .
■
◦
Poligoni regolari con un angolo interno di 90 .
■
◦
Poligoni regolari con un angolo interno di 100 .
■
Dimostrare che se lim f (x) = k = 0, allora esiste un intorno di x = c nel quax→c
1
le f (x) ha lo stesso segno di k e |f (x)| > |k|.
2
4
Sia Pn la successione che ha per termini i perimetri di ciascuno dei quadrati
costruiti come segue: il lato del quadrato iniziale è a, il lato di ogni quadrato successivo è metà del lato del quadrato precedente. Qual è il termine generale della successione? Studiarne il comportamento.
3
5
La lunghezza del lato a di un rettangolo aumenta alla velocità di 2 m/s, mentre la lunghezza del lato b diminuisce alla velocità di 3 m/s. A un certo istante t0 i due
lati misurano rispettivamente 20 e 50 m. L’area del rettangolo all’istante t0 è crescente
o decrescente? Con quale velocità?
√
6
Determinare il dominio della funzione f (x) = arc sen(2x − x + 1).
ln 4
(5ex + 4)ex
dx.
7
Determinare il valore dell’integrale
x
2x + ex + 1)
ln 3 (e − 2)(e
Determinare il numero complesso z = x + iy tale che |z| = 4 e |z − i| = 1 e dare un’interpretazione grafica del risultato sul piano di Argand-Gauss.
8
Date le funzioni f (x) = |sen x| e g(x) = −x, disegnare il grafico di f (x), g(x),
π π +g f
f [g(x)], g[f (x)]. Calcolare inoltre f g
.
2
2
9
10
Specificare se la funzione f (x) =
x3
7
− sen xπ + 3 assume il valore
nell’in4
3
tervallo [−2; 2].
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Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario
Nome …………………………………………
Cognome …………………………………………
Classe ………………
Data ………… / ………… / …………
Problema 1
Sono dati il segmento AB = a e un punto C interno ad AB (AC = 2x). Sia O il punto
medio di AC. Descrivere una semicirconferenza di diametro AC; siano D il punto di
contatto della tangente alla semicirconferenza condotta dal punto B ed E il punto d’intersezione di BD con la tangente in A. Sia infine H la proiezione del punto D su AB.
a. Quale relazione esiste tra i triangoli BAE e BDO? Calcolare in funzione di a e di x
le misure dei segmenti BO, AE, BD, BE, OH, AH.
b. Ruotare la figura di 360◦ attorno ad AB. Calcolare le aree S1 e S2 generate in questa rotazione rispettivamente dal segmento BE e dall’arco AD. Determinare x tale
S1
= k (k > 0). Discutere il risultato e analizzare il caso particolare per
che sia
S2
S1
k = 2. Disegnare il grafico di S(x) =
.
S2
c. Determinare l’area del triangolo mistilineo AED.
Problema 2
Considerare un punto P nel piano, il cui moto, in funzione del tempo, è descritto dalle
equazioni:
x(t) = t
y(t) = e3 ln t−t
a. Determinare la traiettoria γ del punto P e disegnarla.
b. Determinare i vettori velocità v e accelerazione a. Determinare gli istanti in cui si ha:
a = 0;
v ortogonale ad a.
c. Si consideri la retta tangente a γ nel generico punto P e sia R il punto d’intersezione di tale retta con l’asse delle ascisse. Tracciare la perpendicolare alla retta tangente nel generico punto P , che interseca l’asse x in S. Determinare per quale valore di t il segmento SR risulta essere uguale a OS.
d. Determinare l’area della parte di piano delimitata dalla curva γ e dall’asse x, per
x ≥ xA , essendo A il punto trovato in c di ascissa maggiore.
6
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Questionario
1
Verificare che la funzione
2(x + 1)
f (x) = ln(2 + x) +
x+2
non ha altri zeri oltre a x0 = −1.
2
Dimostrare che la differenza tra le radici quadrate di due interi consecutivi
maggiori di 24 non supera 0,2.
3
Trovare tutti i punti equidistanti dall’asse x, dall’asse y e dal punto di coordinate (3; 6).
1
4 + = 2.
4
Verificare, mediante la definizione, che lim
n→+∞
n
5
Un punto si muove lontano dall’origine nel primo quadrante lungo la curva di
1 3
x . Quale coordinata cresce più velocemente?
equazione y =
48
√
6
Calcolare il numero 4 −2 e rappresentare graficamente il suo valore.
7
Calcolare il valore approssimato di arc tg 1,05 applicando il concetto di differenziale e lo sviluppo di Taylor.
m
m+1
m(m − 1)(2m − 1)
+
=
8
Verificare la relazione
.
6
3
3
9
Qual è una condizione necessaria per la derivabilità di una funzione in un punto? Dimostrare la risposta data.
10
Dato l’insieme
2n − 3
A = x ∈ R: 0 ≤ x < 1 ∨ x =
, n ∈ N {0; 1} ,
n−1
precisare se A è limitato superiormente e/o inferiormente, specificandone estremo superiore, estremo inferiore e, se esistono, massimo e minimo.
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Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario
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Classe ………………
Data ………… / ………… / …………
Problema 1
Si consideri una sfera di centro O e raggio R; sia SS un suo diametro. Un piano si muove mantenendosi perpendicolare a questo diametro. Nel cerchio, intersezione del piano
con la sfera, si inscriva un triangolo equilatero ABC e sia H il centro di questo cerchio.
Si indichi SH = x.
a. Calcolare in funzione di x e di R l’area A(x; R) del triangolo equilatero ABC e il
volume V(x; R) della piramide SABC.
b. Studiare le variazioni di S e di V in funzione di x e disegnare le curve rappresentatrici in uno stesso sistema di riferimento, senza tenere conto delle restrizioni legate
al problema geometrico. La posizione reciproca delle due curve dipende da R? Discutere i casi possibili.
c. Calcolare l’area della parte di piano delimitata dalle due curve, distinguendo i casi
trovati al punto b.
d. Determinare x in modo che l’area A sia mR2 . Nel caso particolare in cui l’area sia
√
2 3 2
R , dimostrare che, per il valore maggiore di x, SABC è regolare e il triedro
3
S ABC è trirettangolo.
Problema 2
|x|
Sia data la funzione f (x) = √
.
x2 − 2
a. Studiare il comportamento di f (x) e tracciarne il grafico γ.
b. Individuare il più grande intervallo contenuto nel dominio di f (x) in cui tale funzione ammette funzione inversa, motivando la scelta. Precisare dominio e codominio di f −1 . Determinare l’espressione di y = f −1 (x) e tracciarne il grafico γ1 .
c. Scrivere l’equazione delle tangenti a γ e γ1 nel punto {P } = γ ∩ γ1 e calcolare l’ampiezza dell’angolo acuto tra le due curve in P .
d. Calcolare l’area A(a) della
√
√ parte di piano limitata da γ e dalle rette di equazioni
y = 1, x = a, x = 2, con 2 < a < 2. Determinare il limite di A(a) per a → 2.
8
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Questionario
1
Dati due numeri reali positivi x e y:
√
a. dimostrare che la media geometrica g = xy è sempre minore o al più uguale alla
x+y
;
media aritmetica a =
2
b. usare il risultato del punto a per dimostrare che, tra tutti i rettangoli di perimetro
assegnato, il quadrato ha l’area maggiore.
2
Le lattine delle bibite sono approssimativamente dei cilindri la cui altezza è 3,6
volte il raggio. Si può affermare che le proporzioni tra le dimensioni sono scelte dai produttori per rendere minima la quantità di metallo necessario per fabbricarle?
3
Individuare il numero di punti stazionari della funzione
1
f (x) = x ln x − bx2 + 5
2
al variare del parametro b. Discutere la natura di tali punti.
4
Dimostrare che il prodotto di funzioni con la stessa parità è pari, con parità
differente è dispari. Fornire degli esempi.
Determinare e rappresentare graficamente l’insieme A = B ∩ C, dove
B = (x; y) ∈ R2 | y − x2 < 1 e C = (x; y) ∈ R2 | x2 + 14 y 2 ≥ 1 .
5
6
Scrivere l’espressione di F (x) = f [g(x)], essendo

2
x+2
x − 5x + 6
se x > 0
f (x) = x + 1
.
e g(x) =
 x−1
x−3
+ 2 se x ≤ 0
e
3x + tg x
7
Calcolare il valore del limite lim
.
x→0 sen x + tg2 x
√
e3
1 + ln x
√
dx.
8
Determinare il valore dell’integrale
x 1 + 1 + ln x
1
9
Trovare, se possibile, il valor medio della funzione
1 − x − 2x2 ∀x ≤ 0
f (x) =
e−x
∀x > 0
nell’intervallo [−1; 1]. In caso affermativo, determinare l’ascissa del punto che realizza
tale valore.
10
Nello sviluppo di (2a + 3b)n il quinto coefficiente è 5 volte il sesto. Determi-
nare n.
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5
Simulazione di prova d’Esame di Stato
Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario
Nome …………………………………………
Cognome …………………………………………
Classe ………………
Data ………… / ………… / …………
Problema 1
1 2
x − x − k, individuare la parabola γ tangente alla
2
retta t di equazione y = 2x − 6 e calcolare le coordinate del punto P di tangenza.
a. Determinare l’equazione del fascio di circonferenze tangenti alla retta t nello stesso
punto P .
b. Tra le circonferenze del fascio suddetto determinare l’equazione della circonferenza
ϕ che ha il centro sull’asse y e verificare che essa incontra la parabola γ,
√ oltre che
nel punto doppio
√ di tangenza P , in altri due punti, A di ascissa −1 − 2 e B di
ascissa −1 + 2.
c. Scritta l’equazione della parabola β di vertice V di coordinate (0; 3) passante per il
punto P , inscrivere, nella regione individuata dalle due parabole γ e β, il triangolo
di area massima tra quelli con un vertice in P e la base DE, dove D ed E sono i
punti ottenuti intersecando le due parabole con una retta parallela all’asse y.
d. Determinare il rapporto tra la superficie del triangolo di area massima del punto precedente e la superficie delimitata dalle due parabole γ e β in cui questo è inscritto.
Tra le parabole di equazione y =
Problema 2
È data la funzione:

1−x


 x2 − 2x + 5 se x ≤ 0
y=


 1 e−kx
se x > 0
5
con k parametro reale strettamente positivo.
a. Studiarne e disegnarne il grafico in un sistema di assi cartesiani ortogonali.
b. Determinare l’equazione della retta tangente alla curva nel suo punto di flesso.
c. Dire se esiste finita l’area delimitata dalla curva e dall’asse x e, in caso affermativo, determinarla.
d. Determinare per quale valore del parametro k l’area sotto la curva, per x > 0, risulta uguale a 12 .
e. Determinare per quale valore del parametro k la funzione risulta ovunque derivabile, quindi, assumendo tale valore di k, determinare con un metodo approssimato a
tua scelta, l’ascissa del punto comune alla funzione e alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
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Questionario
1
Enunciare il teorema di Lagrange, quindi verificare se per la funzione

 3x − 3 se x < 0
x+3
f (x) =
 2
x − 1 se x ≥ 0
il teorema è applicabile nell’intervallo [−1; 4] e, in caso affermativo, determinare i valori di x per cui è verificato.
2
Mostrare che la funzione
y = e + x2 − x − 3
x
ammette due zeri reali, quindi calcolare, con un metodo numerico a scelta, il valore dello zero appartenente all’asse delle ascisse positive.
3
Determinare per quale valore di a, numero reale maggiore di 1, la funzione
y = ax e la retta bisettrice del primo e terzo quadrante risultano tangenti.
4
Dato il fascio di circonferenze di equazione
2x + 2y + 2kx + (k − 6)y + (k − 8) = 0,
2
2
spiegare di che tipo di fascio si tratta, individuarne i punti base, le circonferenze degenere e di raggio minimo, il luogo dei centri delle circonferenze.
1
1
dn
(−1)n
+
= n!
5
Verificare che
.
dxn x(1 − x)
xn+1
(1 − x)n+1
6
Costruita la funzione f (x) definita dal valore che assume il determinante della matrice A al variare del parametro reale x


3 x 2


f (x) = det A = det  x 0 x  ,
x 2 1
verificare che essa incontra l’asse delle ascisse in tre punti, quindi determinare la superficie delimitata dalla funzione e dall’asse delle ascisse. Cosa si può dire del rango
della matrice A per i tre valori di x in cui la funzione incontra l’asse delle ascisse?
7
In un contenitore sono raccolte alcune matite colorate così ripartite per colore:
12 matite blu, 9 matite marroni, 4 matite nere, 5 matite verdi. Scegliere a caso tre matite e calcolare:
a. la probabilità che tutte e tre siano dello stesso colore;
b. la probabilità che almeno due matite siano dello stesso colore;
c. la probabilità che le tre matite non siano di colore verde.
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8
Si ha a disposizione un foglio di cartone di forma rettangolare di dimensioni
a e 2a con il quale si vuole costruire una scatola a base rettangolare aperta al di sopra, tagliando via dai vertici del foglio quattro quadrati uguali. Determinare qual è il
lato dei quadrati eliminati che produce la scatola di volume massimo e calcolare tale
volume.
9
T1 :
Sono date le due trasformazioni:
X = 2x + 3y − 1
X = 3x − 1
e T2 :
Y =y+3
Y = x + 2y − 1
Riconoscerne la natura e trovarne i punti uniti. Determinare quindi la trasformazione
ottenuta dalla composizione T2 ◦ T1 , verificando la proprietà per cui «la trasformazione
composta ha come rapporto di affinità il prodotto dei rapporti di affinità delle trasformazioni componenti»; determinare quindi i punti e le rette che restano uniti per T2 ◦ T1 .
10
Calcolare l’integrale definito
1
(− ln x) dx,
1
2
dove ln indica il logaritmo naturale in base e, quindi fornire, con un metodo approssimato a scelta, una stima dell’area della superficie delimitata dalla funzione integranda,
l’asse delle ascisse e la retta x = 12 , il cui valore esatto è espresso dal risultato del calcolo dell’integrale.
12
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Data ………… / ………… / …………
Problema 1
In un sistema di assi cartesiani ortogonali, tra le circonferenze di equazione
x2 + y 2 + 6y + k = 0,
determinare la circonferenza γ di raggio 5 e calcolarne le coordinate del centro C e dei
punti A e B di intersezione con l’asse delle ascisse.
a. Scrivere l’equazione della circonferenza tangente nel punto B alla circonferenza γ e
avente il centro appartenente alla bisettrice del primo e terzo quadrante, quindi determinare l’equazione della retta r tangente comune in B alle due circonferenze.
b. Tra le parabole con asse parallelo all’asse delle ordinate determinare quella il cui
vertice coincide con il centro della circonferenza γ e passante per i punti A e B. Nella regione delimitata dalla parabola e dalla circonferenza γ, inscrivere un rettangolo con i lati paralleli agli assi cartesiani; l’asse delle ascisse taglia in due parti tale
rettangolo: calcolare il limite a cui tende il rapporto tra le aree di queste due parti
quando la dimensione verticale del rettangolo tende a zero.
c. Detto P il punto del primo quadrante comune alla retta r e a una generica retta
passante per l’origine, sia N la proiezione di P sull’asse delle ascisse. Costruita la
funzione che, al variare della retta per l’origine, esprime l’area del triangolo rettangolo OP N situato nel primo quadrante, studiarne e disegnarne il grafico, indipendentemente dalle limitazioni geometriche utilizzate per ricavarla.
d. Calcolare l’area della superficie delimitata dalla funzione, dalla retta tangente nel
suo punto di flesso e dall’asse delle ascisse.
Problema 2
x−1
.
ex
a. Studiarne e disegnarne il grafico in un sistema di assi cartesiani.
b. Mostrare, facendo il calcolo, che l’area del triangolo mistilineo delimitato dalla funzione e dagli assi cartesiani nel quarto quadrante è uguale all’area delimitata dalla
funzione e dall’asse delle ascisse nel primo quadrante.
c. Detto P un punto appartenente alla parte del grafico della funzione situato nel
quarto quadrante, costruire il rettangolo ottenuto proiettando P sugli assi cartesiani. Determinare la posizione di P per cui tale rettangolo ha superficie massima.
È data la funzione f (x) =
13
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d. Scrivere l’equazione di una generica retta r passante per il punto in cui la funzione
incontra l’asse delle ascisse e discutere la condizione per cui r risulta secante la funzione in un punto R del primo quadrante.
e. Detta α l’ascissa di R, determinarne un’approssimazione con un metodo numerico
a scelta, nel caso in cui la retta r divida in due parti uguali la superficie situata nel
primo quadrante delimitata dalla funzione e dall’asse delle ascisse.
Questionario
1
Considerata una semicirconferenza di diametro AB, centro O e raggio unitario, tracciare la corda AC che sottende un angolo al centro x e la corda CD che sottende un angolo doppio 2x. Calcolare l’angolo x per cui la superficie del quadrilatero
ACDO è massima, al variare di C (e di D) sulla semicirconferenza.
2
Data la funzione
x−1
y=
,
ln |x|
dove ln indica il logaritmo naturale in base e, individuarne il dominio e studiarne la
continuità e la derivabilità.
3
Estrarre a caso cinque carte da un mazzo da quaranta. Qual è la probabilità
che tra le carte estratte ci siano solo due assi dello stesso colore? E quale la probabilità che ci siano almeno due assi?
4
Determinare le equazioni della trasformazione che porta i punti O(0; 0),
A(0; 3) e B(5; 0) rispettivamente nei punti O (0; −1), A (0; −7) e B (10; −1). Individuare di che tipo di trasformazione si tratta e in particolare come opera rispetto alla trasformazione della superficie di una figura piana, verificandone l’effetto sui triangoli
OAB e O A B . Individuare i punti e le rette che restano uniti nella trasformazione.
5
Sia f la funzione definita da
5
f (x) = x5 − x2 .
2
Studiare quanti punti il suo grafico ha in comune con la retta y = k, al variare di k reale. Calcolare, con un metodo di approssimazione numerica, l’ascissa del loro punto comune di valore negativo quando k = 1, con due cifre decimali esatte.
6
Enunciare il teorema di Rolle, quindi verificare se per la funzione
√
f (x) = x 1 − x2
il teorema è applicabile nell’intervallo [0; 1] e, in caso affermativo, determinare i valori
di x per cui è verificato.
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7
Sia data una piramide retta a base quadrata con lato di base L e altezza h. Se
si interseca la piramide con un piano parallelo alla base si ottiene un quadrato i cui vertici, proiettati sulla base della piramide, producono un parallelepipedo di cui si chiede
il volume massimo, al variare della posizione del piano intersecante.
8
Al variare del parametro reale k, discutere e risolvere, quando possibile, il sistema lineare

 2x − ky = 0
x − 2ky = 2

(k − 1)y = 2(1 + k)
9
Sia f la funzione definita da
x
1
f (x) = 1 +
.
x
Indicata con f (x) la sua derivata prima, calcolare i limiti lim f (x) e lim f (x).
x→+∞
10
x→0+
Disegnare il grafico della funzione
1
f (x) = sen x −
2
e della sua simmetrica rispetto all’asse delle ascisse nell’intervallo [0; π], quindi indicare una procedura per calcolare con un metodo approssimato l’area della superficie delimitata dalle due funzioni; effettuare il calcolo e verificarne il risultato con il valore
esatto ottenuto per integrazione.
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Simulazione di prova d’Esame di Stato
Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario
Nome …………………………………………
Cognome …………………………………………
Classe ………………
Data ………… / ………… / …………
Problema 1
Si consideri la famiglia di funzioni definite da
n
x (1 − ln |x|) se x = 0, n ∈ N0
fn (x) =
0
se x = 0
a. Mostrare che tutte le funzioni fn sono continue in x = 0 e discutere al variare di n
la derivabilità di fn in x = 0 interpretando graficamente i risultati.
b. Determinare al variare di n se le curve, grafici di fn , presentano simmetrie.
c. Studiare la generica funzione fn (x), limitandosi all’intervallo [0; +∞): in particolare determinare segno, eventuali zeri, eventuali punti stazionari e la loro natura, il
comportamento di fn quando tende a +∞. Tenendo conto dei risultati ottenuti al
punto precedente, tracciare i grafici corrispondenti a n = 1, 2, 3. Verificare che tutte
le curve, grafici di fn (x), passano per quattro punti fissi.
d. Si consideri f1 (x). Sia α un numero reale positivo e A(α) l’area della parte di piano
delimitata dall’asse delle ascisse, dalla curva grafico di f1 (x) e dalle rette di equazioni x = α e x = e. Calcolare A(α) e determinarne il limite quando α tende a 0.
e. Determinare il numero delle soluzioni dell’equazione f1 (x) = 12 e calcolare il valore
di una di esse con la precisione di 10−2 utilizzando uno dei metodi studiati.
Problema 2
In un triangolo ABC di base AB = a, si ha AC = 2BC e l’angolo opposto al lato AB
è di ampiezza x.
a. Esprimere i lati AC, BC e l’altezza CH relativa ad AB in funzione di a e di x.
b. Studiare e rappresentare graficamente la funzione
CH
f (x) =
2 AB
nell’intervallo [0; π]. In corrispondenza del massimo di f (x) calcolare il perimetro e
l’area del triangolo ABC.
c. Calcolare l’area della regione finita di piano compresa fra l’arco di curva e l’asse
delle ascisse.
d. Determinare la funzione V(x) che esprime il volume del solido ottenuto con una rotazione completa del triangolo ABC attorno alla retta AB e dimostrare che assume
il valore massimo in corrispondenza dello stesso valore di x che rende massima f (x).
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Questionario
L’insieme A contiene p elementi e l’insieme B contiene n elementi, con 1 ≤ p ≤ n.
Quante sono le applicazioni (funzioni) di A in B? Quante di queste sono iniettive?
√
√
x2 + 1 − x2 − 1.
2
Calcolare lim
x→+∞
√
√
√
√
x2 + 1 − x2 − 1 sen
x2 + 1 − x2 − 1 .
Dedurre successivamente lim
1
x→+∞
In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale considerare la curva C di
equazione 2ay = x2 , dove a è un numero reale positivo assegnato. Quale relazione devono verificare le ascisse x1 e x2 di due punti M1 e M2 di C affinché le tangenti a C in
questi due punti siano perpendicolari? Determinare il luogo descritto dal punto d’intersezione delle tangenti a C in M1 e M2 .
3
4
Dopo aver enunciato il teorema di Rolle, determinare se è applicabile alla funzio
ne f (x) = |log2 x| nell’intervallo 12 ; 2 .
√
5
Verificare che la funzione f (x) = 5x + ln x è invertibile. Detta g la funzione
inversa, calcolare g (5).
Dopo aver dimostrato che l’equazione x5 + 2x − 1 = 0 ha una sola radice reale, determinarla a meno di 10−3 utilizzando uno dei metodi studiati.
6
Tra tutti i prismi retti aventi per base un triangolo equilatero e di volume 2 m3 ,
determinare quello di superficie totale minima.
7
8
Calcolare, utilizzando il metodo dei trapezi, un valore approssimato dell’inte-
grale
12
ex
dx.
1+x
0
9
Per attirare la clientela in un grande magazzino, si decide che tutti i clienti che
effettueranno un acquisto avranno diritto a estrarre simultaneamente tre gettoni da
un’urna. Quest’urna contiene sei gettoni indistinguibili al tatto: tre sono contrassegnati col numero 0, due col numero 5 e uno col numero 10. Il cliente che ha estratto i tre
gettoni riceve in euro la somma dei numeri indicati sui tre gettoni. Sia X la variabile
aleatoria che assume i possibili valori della somma ricevuta dal cliente. Determinare
l’insieme dei valori assunti da X e la legge di probabilità di X.
10
Sia n un numero intero naturale superiore o uguale a 2. Si consideri una popolazione di pulcini che contiene n − 1 maschi e n + 1 femmine. Si scelgono a caso due
pulcini (ciascuna coppia di pulcini ha la stessa probabilità di essere scelta). Calcolare
la probabilità pn dell’intervallo E: «Si scelgano due pulcini di sesso diverso».
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Simulazione di prova d’Esame di Stato
Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario
Nome …………………………………………
Cognome …………………………………………
Classe ………………
Data ………… / ………… / …………
Problema 1
Si consideri la famiglia di funzioni
x
fα (x) = |x − a| e2− a
con a parametro reale positivo.
a. Mostrare che tutti i punti stazionari delle funzioni fa (x) si trovano su una retta, della quale si chiede l’equazione.
b. Determinare le equazioni delle rette tangenti alle curve, grafico di fa (x), e mostrare che tali rette tangenti formano con l’asse delle ordinate un angolo acuto costante; calcolare poi il valore dell’angolo.
c. Posto a = 1, studiare la funzione ottenuta e disegnarne il grafico C in un riferimento cartesiano ortogonale. Scrivere l’equazione della retta tangente a C nel suo punto di flesso e dimostrare che tale tangente incontra la curva in un altro punto.
d. Calcolare l’area Ak della regione piana limitata dalla curva C, dall’asse delle ascisse e dalle rette di equazioni x = 1 e x = k, con k numero reale maggiore di 1. Determinare il limite di Ak quando k tende a +∞.
Problema 2
È assegnato un quadrato ABCD di lato unitario. Sul lato CB prendere un punto P e
indicare con Q l’intersezione della retta AP con la retta CD. La perpendicolare ad AP ,
passante per A, incontra la retta BC in R e la retta CD in S.
a. Dimostrare che i punti R, A, C, Q appartengono alla stessa circonferenza e che
SR · SA = SQ · SC .
b. Dimostrare che i triangoli ARQ e AP S sono rettangoli isosceli.
c. Posto BP = x, studiare la funzione f (x) = SR · SA individuandone in particolare il
minimo assoluto (eventualmente con un’approssimazione di 10−1 ).
d. Riferita la figura a un sistema di assi cartesiani ortogonali opportunamente scelto,
determinare le equazioni cartesiane dell’affinità che ha il punto A come punto fisso
e trasforma il punto R nel punto M , punto medio di QR, e il punto P nel punto N ,
punto medio di P S. Descrivere le caratteristiche principali di tale trasformazione.
e. Verificare che i punti M , B, N , D sono allineati.
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Questionario
1
In quanti modi diversi si possono sistemare cinque maglioni in tre cassetti?
2
Sia f (x) la funzione così definita

1

x ln x +
se x > 0
f (x) =
x

0
se x = 0
Studiare la continuità e la derivabilità di f (x) in x = 0.
Data la funzione f (x) = arc tg x − x applicare, se ne sussistono le condizioni,
il teorema di Lagrange nell’intervallo [−1; 1]. Determinare, se possibile, un intervallo in
cui f (x) verifica le ipotesi del teorema di Rolle.
3
4
Determinare le equazioni di tutte le rette tangenti alla curva di equazione
y = x4 che passano per il punto P (1; 0).
5
Calcolare l’area della parte di piano delimitata dalla curva, grafico della funzio√
ne f (x) = 3 x − 1, dalla retta tangente alla curva nel punto P (2; 1) e dalla retta tangente alla curva nel suo punto di flesso.
Si deve costruire un deposito cilindrico, aperto superiormente, di 3 m3 di capacità. Il materiale per costruire la base costa 30 euro al m2 e il materiale per la superficie laterale costa 10 euro al m2 . Calcolare le dimensioni del deposito in modo che
il costo della costruzione sia il minore possibile.
6
Un solido viene trasformato mediante un’omotetia di rapporto 32 e successivamente una traslazione di vettore v(3; 2). Come varia il suo volume? Come varia l’area
della sua superficie?
7
Sia data la funzione f (x) = (x + 1)e−x . Mostrare che l’equazione f (x) = 14 ha
due soluzioni reali α e β. Dimostrare che α appartiene all’intervallo −1; − 12 e determinare un valore di β approssimato a 10−2 utilizzando un metodo a piacere.
8
9
In un’urna ci sono n palline rosse e 2n palline bianche (n ≥ 1). Si estraggono
due palline a caso senza reimmissione. Qual è la probabilità pn di ottenere due palline
di colori diversi? Al crescere di n, pn cresce o diminuisce?
I tre coefficienti dell’equazione ax2 + bx + c = 0 sono determinati con tre lanci di un dado non truccato le cui facce sono numerate da 1 a 6. Calcolare la probabilità che l’equazione abbia due radici reali e distinte.
10
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Simulazione di prova d’Esame di Stato
Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario
Nome …………………………………………
Cognome …………………………………………
Classe ………………
Data ………… / ………… / …………
Problema 1
Sia f la funzione reale di equazione
y = (2x3 − x)e−x .
2
a. Studiare e tracciare il grafico di f .
b. Determinare fra le sue primitive la F (x) tale che F (0) = − 12 .
c. Studiare la funzione F trovata al punto precedente e tracciarne un grafico sovrapponendolo a quello relativo alla funzione f .
d. Determinare il punto d’intersezione fra le due funzioni con un metodo di approssimazione numerica studiato con la precisione di 10−1 .
e. Calcolare l’area della regione di piano delimitata dalle due curve e compresa fra il
punto d’intersezione calcolato precedentemente e l’asse delle ordinate, utilizzando
un metodo di calcolo numerico.
Problema 2
Fissato un sistema cartesiano Oxy si consideri la curva γ di equazione
x + 11
y=
.
x+2
a. Tracciare il grafico e determinare il suo centro di simmetria.
b. Traslare γ in modo da far coincidere il suo centro di simmetria con l’origine degli
assi e determinare l’equazione della curva ϕ così ottenuta tracciandone il grafico.
c. Detto A il punto del primo quadrante in cui ϕ si interseca con una retta generica r
di equazione y = mx (m > 0), condurre da esso la perpendicolare p a OA e chiamare B il punto in cui p interseca l’asse delle ordinate. Determinare l’equazione α
del luogo geometrico dei punti descritto dal baricentro del triangolo OAB al variare della retta r.
d. Studiare la funzione α e tracciarne il grafico.
e. Condotta la retta y = 6, calcolare l’area della superficie chiusa limitata dalla retta
e dalla curva α dopo aver determinato i punti d’intersezione con un metodo di approssimazione numerica.
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Questionario
1
Scrivere la funzione f (x) che rappresenta la distribuzione gaussiana standardizzata e rappresentarne il grafico. Calcolare la probabilità che la variabile casuale
standardizzata x assuma valori compresi fra −1 e 2, sapendo che la corrispondente funzione di ripartizione F (x) assume i valori F (1) = 0,84134 e F (2) = 0,97725.
2
Si consideri la funzione reale f definita da
4 − x2
f (x) =
.
8 + 2x
Calcolare gli asintoti e determinare il vettore di traslazione che applicato alla f trasforma la funzione in una funzione dispari e scriverne l’equazione.
3
Si consideri una piramide retta a base quadrata di vertice V e la si intersechi con
un piano parallelo alla base, ottenendo una piramide α e un tronco di piramide β. Determinare il rapporto fra le altezze dei due solidi (α e β) nel caso in cui il volume della piramide così ottenuta è 71 di quello del tronco di piramide.
4
Si consideri un’ellisse riferita al centro e agli assi di simmetria avente i fuochi
di coordinate (±1; 0) ed eccentricità 12 e un rettangolo, interno all’ellisse, con i lati
paralleli agli assi di simmetria e passante per i due fuochi. Determinare la probabilità
che un punto P , posto internamente all’ellissoide ottenuto dalla rotazione dell’ellisse attorno all’asse delle ascisse, sia esterno al cilindro ottenuto per rotazione del rettangolo
sempre attorno all’asse delle ascisse.
5
Sia f la funzione reale definita da
ln(x + 1)
f (x) = x −
.
x+1
Dopo aver dimostrato che la funzione ha un solo punto estremante, ricavarne le coordinate e stabilire se si tratta di un massimo o di un minimo.
6
Sono dati due punti A e O tali che AO = a; dal punto O, preso come centro,
descrivere una circonferenza di raggio variabile x, e dal punto A condurre le due tangenti a questa circonferenza. Trovare, fra i triangoli isosceli formati dalle due tangenti
e dalla corda che congiunge i punti di contatto, quello di area massima.
7
Sapendo che la funzione
f (x) = 2x − x3 + ln(x + 1) + 3
è invertibile nell’intervallo − 12 ; 12 , allora, indicando con g la funzione inversa, calcolare la g (3).
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8
Si consideri un pentagono ABCDE regolare inscritto in una circonferenza di
raggio unitario. Condotta da A la diagonale AC e da B la diagonale BE, dimostrare
che BE è tagliata da AC in due parti che stanno fra loro secondo la relazione aurea.
9
Si consideri l’equazione sen x = 0. Utilizzando un metodo di calcolo numerico
delle radici, ricavare un valore approssimato di π alla seconda cifra decimale.
Preso un sistema cartesiano Oxy si consideri la parabola di equazione y = x2 .
Si ponga sull’asse delle ordinate un filo metallico in cui scorra una corrente di intensità di
1 A. Ricordando che il campo magnetico prodotto da un filo rettilineo in un punto a distanza x è dato dalla legge di Biot-Savart
i
B=
2πx
ed è perpendicolare al piano xy, si calcoli il flusso del campo magnetico che attraversa
la superficie chiusa limitata dalla parabola, dall’asse delle ascisse e dalle rette di equazioni x = 1 e x = 2. (Nella soluzione si lascino indicate le costanti µ0 e π senza sostituirne i valori.)
10
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Simulazione di prova d’Esame di Stato
Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario
Nome …………………………………………
Cognome …………………………………………
Classe ………………
Data ………… / ………… / …………
Problema 1
In un sistema cartesiano Oxy l’equazione in due incognite
(x2 − y 2 )2 − 2(x + y)2 − 2(x − y)2 + 16 = 0
rappresenta una curva γ avente come asse di simmetria la bisettrice del primo e terzo
quadrante.
a. Ruotare γ in modo che l’asse di simmetria coincida con l’asse delle ordinate e ricavare l’equazione della funzione ruotata f posta nel semipiano positivo delle y.
b. Studiare la funzione f e tracciarne il grafico.
c. Calcolare il volume del solido di rotazione ottenuto ruotando la curva f attorno all’asse delle ascisse nella regione di piano limitata dalle rette di equazioni x = x0 e
x = 10, dove x0 è il punto di ascissa positiva in cui la curva interseca l’asse delle
ascisse.
d. Verificare infine che il volume calcolato nel punto c è equivalente a quello del solido
di rotazione ottenuto ruotando la stessa curva del punto c attorno all’asse delle ordinate nella regione di piano limitata dagli asintoti verticali e dalla retta di equazione y = 10.
Problema 2
Si consideri una circonferenza di raggio unitario di centro O, una sua corda AB e si in
dichi con x l’angolo al centro AOB.
a. Determinare l’area del segmento circolare non contenente il centro O e avente come
base la corda AB in funzione dell’angolo x. (Si ricorda che il segmento circolare a
una base è ciascuna delle due parti in cui un cerchio viene diviso da una sua corda.)
b. Studiare e tracciare il grafico di tale funzione.
c. Detta h la differenza fra il raggio e la misura della distanza della corda dal centro
O, trovare una relazione che esprima h in funzione di x.
d. Ruotare la circonferenza attorno al diametro perpendicolare alla corda AB. Dimostrare che il volume del segmento sferico corrispondente al segmento circolare precedentemente calcolato vale
πh2
(3 − h).
V=
3
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e. Fissato un opportuno sistema di coordinate, il cui centro coincida con quello della sfera e formato da due angoli, α e β, corrispondenti rispettivamente alla longitudine e alla latitudine, determinare un’espressione che permetta di calcolare la distanza fra due
punti P e Q posti sulla sfera alla stessa latitudine α e aventi rispettivamente longitudine β1 e β2 . Applicare quanto calcolato nel punto precedente per ricavare la distanza sulla Terra (supposta sferica di raggio RT = 6400 km) fra due località di coordinate geografiche latitudine 50◦ e longitudine rispettivamente 30◦ e 70◦ .
Questionario
1
Sono date le funzioni
x
1
f (x) =
e g(x) = log3 x.
3
Determinare dominio, grafico e codominio di y = f [g(x)] e di y = g[f (x)].
2
Dimostrare che un qualunque triangolo viene diviso dalle sue mediane in sei
triangoli tra loro equivalenti.
3
Si consideri una piramide retta a base quadrata di vertice V e che ha i suoi spigoli laterali della stessa lunghezza a del lato di base. Determinare gli angoli, espressi in
gradi e primi sessagesimali, formati dallo spigolo e dal lato di base, quello fra l’apotema e il diametro della circonferenza inscritta nel quadrato di base e infine quello fra lo
spigolo e la diagonale del quadrato di base.
4
Determinare il numero di soluzioni dell’equazione mx + ln x = 0 al variare di
m numero reale.
5
Trovare due numeri reali positivi la cui somma è k e per i quali il prodotto del
quadrato dell’uno per la radice quadrata dell’altro è massimo.
6
Data la funzione
sen x
se x < 0
ln(1 + x) se x ≥ 0
calcolare il dominio, verificare se è continua e derivabile in ogni punto del dominio e
tracciarne il grafico.
√
7
Enunciare il teorema di Lagrange e applicarlo alla funzione y = 2x + 1 determinando l’estremo superiore dell’intervallo nell’ipotesi che l’estremo inferiore valga 0
e che il valore dell’ascissa interno all’intervallo indicato nel teorema sia 32 .
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8
Si consideri una semicirconferenza di raggio unitario e un triangolo rettangolo
isoscele a essa inscritto. Costruire sui cateti due semicirconferenze di diametro pari a
ciascun cateto dalla parte esterna al triangolo. Si vengono così a formare fra la semicirconferenza maggiore e le altre due, due superfici, dette lunule. Dimostrare che la
somma delle aree delle lunule è pari all’area del triangolo rettangolo.
9
Sia f una funzione simmetrica rispetto al punto A di coordinate (0; 3), il cui
dominio sia tutto R. Dimostrare che, per tutti i reali x, si ha f (x) + f (−x) = 6.
10
Illustrare il metodo di integrazione per parti e applicarlo per ricavare le primitive della funzione f (x) = xe−x .
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Problema 1
In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale xOy è assegnata la seguente famiglia
di funzioni reali di variabile reale:
e−nx
y = fn (x) =
,
1 + e−x
essendo n un generico numero naturale, n ≥ 0. Sia poi Cn il grafico corrispondente alla funzione y = fn (x).
a. Posto n = 0, studiare la funzione y = f0 (x), rappresentarne il grafico nel riferimento cartesiano ortogonale xOy e ricavare l’equazione della retta tangente a tale grafico nel punto d’incontro con l’asse delle ordinate.
b. Posto quindi n = 1, determinare il numero reale a tale che, ∀x ∈ R, si abbia
f1 (x) − f0 (−x) = a. Servendosi della precedente uguaglianza dedurre una trasformazione geometrica mediante la quale la curva C1 può essere ricavata a partire dalla curva C0 . Disegnare quindi il grafico della funzione y = f1 (x) nel medesimo sistema di riferimento cartesiano ortogonale xOy.
c. Si consideri adesso la successione reale (un )n∈N il cui termine generale è
1
un =
fn (x) dx.
0
Verificare che u0 + u1 = 1 e calcolare il valore di u1 . Provare poi che, essendo n un
generico numero naturale positivo, si ha
1 − e−n
un+1 + un =
.
n
d. Mostrare che, ∀n ∈ N, si ha un > 0 e che fn+1 (x) − fn (x) ≤ 0, ∀n ∈ N e ∀x ∈ [0; 1].
Spiegare quindi per quale motivo la successione (un )n∈N converge verso un limite
1 − e−n
, ricavare il valore di L.
n→+∞
n
numerico L se n → +∞ e, dopo aver valutato lim
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Problema 2
Si consideri un tetraedro regolare (ovvero una piramide regolare le cui quattro facce sono altrettanti triangoli equilateri, tutti uguali tra loro) di spigolo L.
a. Ricavare, in funzione di L, le misure dell’altezza H, della superficie totale St e del
volume V del tetraedro assegnato. Determinare quindi la misura del raggio RC della sfera circoscritta al tetraedro, dopo aver individuato la posizione del centro di tale sfera lungo il segmento che rappresenta l’altezza del tetraedro.
b. A una distanza x dal vertice superiore del tetraedro condurre un piano parallelo al
piano di base e collegare i vertici del triangolo equilatero sezione così ottenuto, con
il centro del triangolo equilatero di base del tetraedro, generando in tal modo una
piramide P . Esprimere allora il volume VP della piramide P in funzione dello spigolo L e della distanza variabile x.
√
c. Posto L = 3 6 cm, studiare la funzione y = VP (x) con x ∈ R, rappresentarne il grafico in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale xOy ed evidenziare la parte di
tale grafico che rispetta la limitazione per x imposta dal problema geometrico considerato. In particolare, stabilire per quale valore xM il volume VP della piramide P è
massimo e calcolare il valore di tale volume massimo. Nel caso in cui sia x = xM , determinare il rapporto tra l’area delle figure sezione che il piano parallelo alla base del
tetraedro forma rispettivamente con il tetraedro stesso e con la sfera.
d. Determinare infine il volume del solido ottenuto facendo ruotare di 360◦ intorno all’asse delle ascisse la regione piana delimitata dal grafico della funzione y = VP (x)
e dall’asse delle ascisse stesso.
Questionario
1
È data la funzione
y = ex + arc tg x,
con x ∈ R. Studiarne i limiti all’infinito, dimostrare che è invertibile e descrivere l’insieme dei valori che essa assume. Calcolare quindi x (1), essendo x = x(y) la funzione
inversa della funzione assegnata.
2
Calcolare l’area della regione di piano del primo quadrante
delimitata dal gra√
3, indicando, in percenfico di y = arc tg x, dall’asse x e dalla retta di equazione x = √
tuale, quale parte è dell’area del √
rettangolo i cui lati misurano 3 e π2 . E se si considera la retta x = k al posto di x = 3 e il rettangolo di dimensioni k e π2 , a quanto tende
il rapporto tra tali aree quando k → +∞?
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3
In un riferimento cartesiano ortogonale xOy si considerano l’iperbole equilatera
di equazione x2 − y 2 = a2 e la retta di equazione x = a + h, con a > 0 e h > 0. La regione piana compresa tra il ramo dell’iperbole contenuto nel primo e nel quarto quadrante e
la retta assegnata ruota di 180◦ attorno all’asse x, generando un solido, detto iperboloide di rotazione. Ricavare il volume di tale solido in funzione dei parametri a e h.
4
Determinare dominio, grafico e codominio delle seguenti funzioni:
y = sen(arc sen x); y = arc cos(cos x); y = arc sen x + arc cos x.
Data l’equazione goniometrica 7 sen x − sen x cos2 x − 5 sen2 x = 0, stabilire
quante sono le sue soluzioni comprese nell’intervallo chiuso [0; 100π].
5
6
Calcolare il valore del seguente limite:
1
lim x 2 ln x+1 ,
x→0+
dopo aver stabilito a quale tipo di forma indeterminata corrisponde.
7
È dato un triangolo equilatero ABC di lato L. Scegliere un punto P su AC e
siano M il punto d’incontro tra la parallela ad AB passante per P e il lato BC, H il
piede della perpendicolare condotta da P ad AB e K il piede della perpendicolare condotta da M ad AB. Determinare allora la posizione di P affinché l’area del rettangolo
P HKM sia la massima possibile. Quale frazione dell’area del triangolo ABC rappresenta l’area del rettangolo P HKM così individuato?
8
È possibile che una funzione definita in un intervallo chiuso [a; b] e non continua in tutti i punti di tale intervallo sia comunque integrabile in [a; b]? Se la risposta è
negativa spiegare il perché; se la risposta è affermativa, fare un esempio.
9
Descrivere che tipo di figure geometriche poligonali si possono ottenere sezionando un cubo con un piano. (Per rispondere ci si può aiutare con opportune rappresentazioni grafiche.)
10
Nell’intervallo chiuso [0; π] sono assegnate le seguenti funzioni:
y = cos x, y = |cos x|, y = − sen x, y = tg x.
Stabilire, motivando la risposta, se a ciascuna di esse è applicabile il teorema di Rolle
nell’intervallo assegnato. Se la risposta è affermativa, determinare le ascisse dei punti
la cui esistenza è garantita dal suddetto teorema.
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Simulazione di prova d’Esame di Stato
Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario
Nome …………………………………………
Cognome …………………………………………
Classe ………………
Data ………… / ………… / …………
Problema 1
È assegnata la funzione y = f (x) = (x + 2)e− 2 + 1, essendo x una variabile reale.
a. Studiare la funzione assegnata, descrivendo in particolare il suo comportamento all’infinito e mostrando che essa ammette una retta r come asintoto. Rappresentare quindi
il grafico di tale funzione in un sistema di riferimento cartesiano ortogonale xOy.
b. Mostrare che l’equazione f (x) = 0 possiede una soluzione reale, indicata con α, e ricavare un valore approssimato di α, a meno di 0,01, utilizzando un metodo di approssimazione numerica a piacere.
c. Dopo aver verificato che la retta tangente al grafico della funzione assegnata nel suo
punto di ascissa 2 ha equazione
x 4
x 4
y = − + + 1, porre h(x) = f (x) − − + + 1
e
e
e
e
e calcolare le due derivate h (x) e h (x). Studiare il segno di h (x), quindi dedurre
la variazione e il segno di h (x) e infine ricavare la variazione e il segno di h(x). Interpretare graficamente quest’ultimo risultato.
d. Determinare infine la misura dell’area della regione piana delimitata dal grafico della funzione y = f (x) e dalle rette di equazioni y = 1, x = 0, x = 2, fornendo una valutazione decimale approssimata della suddetta area.
x
Problema 2
a. Disegnare un quadrilatero con due soli angoli retti, sia nel caso siano essi consecutivi sia nel caso siano opposti. Descrivere i quadrilateri così ottenuti motivandone le
relative proprietà. Discutere inoltre la loro inscrittibilità e la loro circoscrittibilità rispetto a una circonferenza.
b. Nel caso di un quadrilatero ABCD in cui gli angoli retti siano opposti, sono assegnate la misura della diagonale AC = 10 cm, che ha
√ per estremi i vertici degli angoli non retti, e la misura della corda AB = 5 3 cm. Determinare l’angolo
= x per il quale il quadrilatero ABCD ha perimetro massimo.
DAC
c. Tracciare per il vertice A la perpendicolare r al piano del quadrilatero e fissare su
di essa un punto V . Calcolare l’area della superficie laterale della piramide che ha
come vertice V e come base il quadrilatero ABCD di perimetro massimo individuato nel punto precedente, sapendo che l’altezza V A è uguale alla diagonale AC.
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d. Inscrivere nella piramide di cui al punto precedente il prisma retto che ha la base sul
piano di base della piramide e il volume massimo. Esprimere il volume in funzione della distanza della base superiore del prisma dal vertice V della piramide e motivare il
fatto che nel dominio di tale funzione relativamente al problema geometrico cui ci si
riferisce, esiste sicuramente almeno un punto c interno al dominio in cui la f (c) = 0.
Questionario
Si sa che l’uguaglianza ax2 + bx + 1 = 2x + 1 è valida ∀x ∈ R. Ricavare allora
i valori dei coefficienti a e b, spiegando il proprio ragionamento.
1
2
L’usuale formato A4 di un foglio di carta è un rettangolo in cui il rapporto
lato maggiore
v=
lato minore
possiede la particolare proprietà che, se si taglia il rettangolo in due tracciando il segmento che unisce i punti medi dei due lati maggiori, ciascuno dei due rettangoli così ottenuti
presenta ancora lo stesso rapporto v tra il lato maggiore e il lato minore. Tale rapporto v
verifica una sola delle seguenti relazioni: v = 4, v 2 = 4, v 3 = 4, v 4 = 4. Individuare allora
la relazione soddisfatta dal valore numerico v, spiegando il proprio ragionamento.
3
Una successione (un )n∈N è definita mediante le seguenti uguaglianze:
un = un−1 + un−2
u0 = 0
∀n ∈ N , n ≥ 2
Sapendo che u10 = 10, determinare il valore di u1 .
4
In riferimento alla figura a fianco riportata, si sa
che ABCD è un quadrato di lato 1, che I è il punto medio di AD e che L è il punto medio di DC. Ricavare il valore dell’area del quadrilatero IJKD.
A
J
I
K
D
5
B
L
C
Per ciascuna delle seguenti funzioni,
√
1
y = x + 3, y = , y = x, y = sen x + 2,
x
stabilire se esistono punti P = (a; b), appartenenti al relativo grafico C, tali che la retta
tangente al grafico C in P abbia una pendenza uguale al valore b dell’ordinata del punto P . Se la risposta è affermativa, trovare i valori delle coordinate dei suddetti punti P .
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Spiegare quale dei seguenti grafici può rappresentare la funzione y = x5 − x3
relativamente all’intervallo [−1; 1] dei valori della variabile indipendente x.
a.
b.
6
y
y
1
–1
–1
O
x
O
1 x
c.
d.
y
–1
O
y
1
–1
x
O
1
x
7
È data la funzione y = 6 + x cos x definita in [π; 2π]. Determinare l’altezza h
del rettangolo di base π ed equivalente al trapezoide individuato dal grafico di tale funzione. Motivare l’esistenza di un punto c dell’intervallo [π; 2π] in cui la funzione assume
il valore h.
8
Il capitello qui rappresentato ha come base un
esagono regolare di lato 1 dm e la sua altezza misura
2 dm. Ricavare il valore del seno dell’angolo al vertice α
di ciascuna delle facce laterali.
S
α
Data la funzione y = 2x − x3 + sen x, stabilire se si tratta di una funzione pari, dispari, oppure né pari né dispari. Determinare quindi quanti punti stazionari presenta la funzione assegnata.
9
10
Sono date le funzioni
2
x
ln 2
y = ln , y = x, y = x ln 3 , y = 3x2 .
3
3
Stabilire per quali di queste funzioni vale la relazione f (3x) = 2f (x), qualunque sia il
valore x appartenente al relativo dominio.
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Simulazione di prova d’Esame di Stato
Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario
Nome …………………………………………
Cognome …………………………………………
Classe ………………
Data ………… / ………… / …………
Problema 1
È data funzione esponenziale
4ex
y =2− x
.
e +1
a. Dopo aver verificato che si tratta di una funzione dispari, disegnarne il grafico .
b. Dimostrare che è invertibile, determinare la sua funzione inversa e disegnarne il grafico G.
c. Calcolare l’area della regione del secondo quadrante delimitata da , dall’asse y,
dall’asintoto di equazione y = 2 e dalla retta di equazione x = k. Determinare k in
modo che tale area sia 2. Calcolare poi l’integrale improprio con k → −∞.
d. Individuare il rettangolo ABCD di area massima che ha il vertice A sull’arco di che si trova nel quarto quadrante, il lato BC sull’asintoto di equazione y = −2 e il
lato DC sull’asse y. Determinare l’ascissa del punto A con un errore inferiore a 0,01.
Problema 2
= 60◦ .
In una circonferenza di diametro AB = 8 cm è data la corda AC, tale che C AB
Nella semicirconferenza opposta rispetto a quella dove si trova la corda AC, si consideri la corda P Q = 4 cm, indicando con P il punto della circonferenza più vicino ad A,
ovvero in modo tale che AP QC sia un quadrilatero convesso.
a. Dimostrare che, al variare della corda P Q nel maggiore dei due archi individuati
dalla corda AC, il quadrilatero AP QC è un trapezio isoscele.
= x e sia
b. Esprimere il perimetro di tale trapezio in funzione dell’angolo C AQ
y = f (x) tale funzione. Individuare il trapezio di perimetro massimo al variare della posizione della corda P Q nell’arco considerato.
c. Determinare gli eventuali trapezi AP QC che siano base di una piramide retta di
vertice V . Calcolare l’area della superficie laterale di tali piramidi, sapendo che l’altezza V H è uguale alla somma delle basi di tali trapezi.
d. Riferita la figura a un opportuno riferimento cartesiano ortogonale, si scriva l’equazione della data circonferenza e si calcoli il volume del solido ottenuto da una rotazione completa intorno al diametro AB della regione piana compresa tra la corda
CB e il minore degli archi da essa individuato.
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Questionario
Sono date le funzioni y = 2xlogx 2 e y = (x − 3)2 . Disegnare i loro grafici e i loro eventuali punti d’intersezione.
1
2
Dimostrare che in un pentagono regolare le diagonali sono tutte uguali e che il
lato è la sezione aurea della diagonale. Calcolare inoltre il rapporto tra lato e diagonale.
3
In un tetraedro regolare, calcolare l’ampiezza di ogni diedro e quella dell’angolo che uno spigolo forma con il piano di una delle facce cui non appartiene.
4
Determinare dominio, grafico e codominio delle seguenti funzioni:
1
y = tg(arc tg x); y = arc tg(tg x); y = arc tg x + arc tg .
x
5
Calcolare l’area della regione illimitata di piano del quarto quadrante individuata dal grafico di y = ln x e dagli assi x e y. Considerare inoltre la regione del primo
quadrante delimitata dal grafico della funzione data, dall’asse x e dalla retta di equazione x = k e determinare il valore di k per il quale l’area di tale regione è uguale a 1.
6
È data la funzione
x −1
y=
.
x+5
Determinare il centro di simmetria del suo grafico.
2
È data la funzione y = xex definita in [0; 2]. Determinare l’altezza h del rettangolo di base 2 ed equivalente al trapezoide individuato dal grafico di tale funzione.
Motivare l’esistenza di un punto c dell’intervallo [0; 2] in cui la funzione assume il valore h.
7
8
Dopo aver dimostrato che la funzione
π
π
y = arc sen x + x −
3
6
π
è invertibile, calcolare la derivata della sua inversa x = g(y) nel punto y = .
6
9
In un’urna ci sono 20 palline, 15 rosse e 5 verdi. Qual è la probabilità che
estraendo tre palline due siano rosse? Se si ripete la prova 10 volte, qual è la probabilità che l’evento si verifichi 6 volte? Stabilire infine se la probabilità che si verifichi l’evento almeno tre volte è superiore al 90%.
√
10
È data la funzione y = 3 x − 2 definita in [1; 10]. Verificare che, nonostante in
tal caso non sia applicabile il teorema di Lagrange, esiste un punto c interno all’intervallo di definizione che verifica la tesi di tale teorema.
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