Problemi di Meccanica - Dipartimento di Fisica

Temi di meccanica
Prova scritta del 12/04/1995
Il blocco m1 ha una massa di 3 Kg e il coefficiente di attrito
statico tra il blocco ed il piano è 0.2, mentre quello di attrito
dinamico è 0.1.
a) Calcolare il massimo valore che può avere la massa m2
affinché il sistema sia in equilibrio.
m2
Supponendo invece di prendere anche m2 = 3 Kg, determinare:
b) l'accelerazione del sistema;
h
c) il tempo impiegato dal blocco m2 ad "atterrare", se viene
lasciato libero di muoversi, con velocità iniziale nulla, da
un'altezza h = 20 m.
m1
Soluzione: m2 = 0.6 Kg; a = 4.4 m/s2; t = 3.0 s
Prova scritta del 5/07/1995
Un corpo di massa m = 300 g è lasciato cadere, con velocità iniziale nulla, da un'altezza
h = 80 metri. Calcolare:
a) il rapporto fra la sua energia potenziale e la sua energia cinetica quando ha
percorso 25 metri;
b) il tempo impiegato dal corpo ad arrivare al suolo.
c) Supponendo che la caduta del corpo alla fine del tratto h sia fermata da una molla di
costante elastica K = 105 N/m determinare:
d) la massima compressione della molla.
Soluzione: 2.20; t = 4.04 s; x = 7 cm
Prova scritta del 3/04/1996
A)
Un tronco di legno di massa m = 1 Kg e densità ρt = 0.8•103 Kg/m3 è completamente
immerso in acqua dolce, ancorato al fondo mediante una molla di costante elastica K = 250
N/m e volume e massa trascurabili.
a) Calcolare la spinta di Archimede che agisce sul tronco.
b) In questa situazione la molla è compressa o allungata? Motivare la risposta e
calcolare lo spostamento dalla posizione di riposo.
Successivamente la molla viene eliminata e il tronco è lasciato libero di muoversi:
c) calcolare l'accelerazione (modulo, direzione e verso) che agisce sul tronco.
Soluzione: F = 12.25 N; allungata di 1 cm; a = 2.45 m/s2 verso l’alto
B)
Una sfera di metallo di massa m = 1 Kg e densità ρS = 7.8•103 Kg/m3 è
completamente immersa in acqua dolce, ancorata al fondo mediante una molla di costante
elastica K = 250 N/m e volume e massa trascurabili.
a) Calcolare la spinta di Archimede che agisce sulla sfera.
M1
b) In questa situazione la molla è compressa o allungata? Motivare la risposta e calcolare
lo spostamento dalla posizione di riposo.
Successivamente la molla viene eliminata e la sfera è lasciata libera di muoversi:
c) calcolare l'accelerazione (modulo, direzione e verso) che agisce sulla sfera.
Soluzione: F = 1.25 N; compressa di 3.4 cm; a = 8.5 m/s2 verso il basso
Prova scritta del 4/07/1996
Un cane di massa 15 Kg si trova fermo su una slitta di M=30 Kg che si sta muovendo su
ghiaccio, con una velocità di 3 m/s verso destra. Ad un certo istante il cane salta via dalla
slitta verso sinistra, con una velocità orizzontale rispetto alla slitta di 5 m/s. Determinare:
a) la velocità acquistata dalla slitta;
b) il massimo tratto orizzontale percorso dalla slitta prima di fermarsi (si assuma il
coefficiente di attrito dinamico fra ghiaccio e slitta pari a 0.1);
c) l'energia cinetica iniziale e finale del sistema slitta + cane.
Soluzione: v = 5.5 m/s; d = 15.4 m; Ki = 202.5 J, Kf = 483.7 J
Prova scritta del 19/9/1996
Un corpo di massa m = 0.5 kg si sta muovendo lungo una circonferenza di raggio 0.5 m con
una velocità tangenziale di 3 m/s. Determinare:
a) la velocità angolare del corpo;
b) il tempo impiegato a fare un giro completo;
c) la forza centripeta che agisce sul corpo;
d) l'energia cinetica del corpo.
Soluzione: w = 6 rad/s; T = 1.05 s; Fc = 9 N; K = 2.25 J
Prova scritta parziale del 27/11/1996
1A) Dalla sommità di un edificio di altezza h = 20 m, una
palla di massa m = 100 g viene lanciata verso l'alto con una
velocità v0 = 20 m/sec e un'inclinazione θ = 30° con
l'orizzontale. Determinare:
a) per quanto tempo la palla rimane in volo;
b) la velocità v1 della palla (modulo, direzione e verso)
proprio all'istante prima di toccare il suolo;
c) il modulo v2 della velocità dopo l'urto con il suolo,
supponendo che l'urto sia anelastico e che la palla perda
una quantità di energia pari a E = 30 J.
Soluzione: t = 3.28 s; v1 = 28.1 m/s, θ1 = -52°; v2 = 13.8 m/s
M2
2A) In un recipiente contenente acqua, una sferetta di raggio R = 3 cm e densità
ρ = 0.7 g/cm3 è trattenuta da una fune, ancorata al fondo del recipiente, a una profondità
d = 50 cm sotto il livello dell'acqua.
a) Calcolare la tensione della fune.
Ad un certo istante la fune viene tagliata e la sferetta, non più trattenuta, risale in superficie.
Trascurando ogni forma di attrito e di resistenza al moto, determinare:
b) la velocità con cui la sferetta raggiunge la superficie;
c) l'altezza massima raggiunta dalla sferetta sopra il livello dell'acqua.
Soluzione: T = 0.33 N; v = 2.05 m/s; h = 21.4 cm
3A) Dare la definizione del "periodo" in un moto circolare.
Calcolare la velocità angolare della terra durante la sua rotazione giornaliera
4A)
Principi della dinamica.
5A) Definire il numero di Reynolds per un fluido viscoso che scorre in un condotto
cilindrico. Spiegare perché in un vaso sanguigno si potrebbe avere una transizione da
moto laminare a moto turbolento in conseguenza di un aumento della temperatura
corporea (si ricordi che η varia inversamente con la temperatura).
2B) Due punti di un tubo orizzontale che
trasporta acqua hanno diverse sezioni, con raggio
di 1.2 cm e 0.5 cm, mentre la differenza di
pressione tra di loro è pari a un dislivello di
h = 5 cm d'acqua.
Calcolare:
a) le velocità dell'acqua v1 e v2
b) la portata di acqua attraverso il tubo.
h
S1
v1
p1
v2
p2
S2
Soluzione: v1 = 0.19 m/s, v2 = 1.1 m/s; Q = 85.5 cm3/s
3B) Dare la definizione del "periodo" in un moto circolare.
Calcolare la velocità angolare della terra durante la sua rotazione intorno al Sole.
Soluzione: ω = 1.99•10-7 rad/s
4B)
Forza centripeta. Discutere qualche esempio.
5B) Enunciare la legge di Poiseuille. Spiegare perché una diminuzione della
temperatura può provocare un congelamento degli arti (si ricordi che η varia
inversamente con la temperatura).
M3
1C) Un cannone di massa M = 1300 Kg, poggiato su di un piano orizzontale con attrito (si
assuma il coeff. di attrito statico uguale al coeff. di attrito dinamico = 0.24) spara un
proiettile di massa m = 11 Kg con una velocità di 207 m/sec, in una direzione formante un
angolo θ = 30° con l'orizzontale. Dopo lo sparo il cannone rincula e sotto l'azione della forza
di attrito col piano si ferma dopo aver percorso un certo tratto. Determinare:
a) la velocità di rinculo del cannone;
b) lo spazio percorso dal cannone prima di fermarsi;
c) la velocità del proiettile nel punto più alto della traiettoria.
Soluzione: vc = 1.5 m/s; s = 0.49 m; vp = 179.3 m/s
2C) Un cilindro di sezione S = 100 cm2, nel quale è
stato fatto il vuoto, è chiuso da un pistone libero di
muoversi. Una molla, di costante elastica k= 3•104 N/m e
lunghezza a riposo l0 = 30 cm è inserita tra il pistone e il
fondo del cilindro (v. figura). Tale sistema è immerso in
acqua e si osserva che rimane in equilibrio a una
profondità h = 20 m. Determinare:
a) la pressione idrostatica sul pistone;
b) di quanto viene compressa la molla;
c) la massa di tutto il sistema.
h
Soluzione: P = 3•105 Pa; x = 10 cm; m = 2 Kg
3C) Dare la definizione del "periodo" in un moto circolare.
Calcolare la velocità angolare della lancetta delle ore dell'orologio analogico.
Soluzione: ω = 1.45•10-4 rad/s
4C)
Conservazione della quantità di moto.
5C) Definire il numero di Reynolds per un fluido viscoso che scorre in un condotto
cilindrico. Spiegare perché in un vaso sanguigno si potrebbe avere una transizione da
moto laminare a moto turbolento in conseguenza di una riduzione della sezione del vaso.
1D) Un pallone di massa m = 1 Kg viene calciato da un giocatore imprimendogli una
velocità iniziale di 10 m/sec in una direzione che forma un angolo θ = 30° con l'orizzontale.
Il pallone, quando arriva a terra al termine della traiettoria parabolica, comprime una molla
di costante elastica k = 4•104 N/m. Sapendo che il piede del giocatore è rimasto in contatto
con la palla per 10 msec, determinare:
a) la forza media esercitata dal giocatore sulla palla;
b) di quanto viene compressa la molla;
c) l'altezza massima raggiunta dal pallone.
Soluzione: F = 103 N; x = 5 cm; h = 1.28 m
M4
2D) In un tubo orizzontale si ha una strozzatura passando da un tratto a sezione S1 = 36 cm2 a
S2 = 9 cm2. Un manometro a U, contenente mercurio (ρHg = 13.56 g/cm3) è collegato come in
figura. Si osserva che in 5 sec fluiscono nel tubo 27 litri di acqua e che nel manometro si
stabilisce una differenza di altezza fra il mercurio contenuto nel braccio destro e quello
contenuto nel sinistro. Calcolare:
a) la portata volumetrica lungo il tubo;
b) le velocità dell'acqua v1 e v2
c) la differenza di livello h.
Soluzione: 5.4•103 cm3/s; v1 = 1.5 m/s, v2 = 6 m/s; h = 13.7 cm
3D) Dare la definizione del "periodo" in un moto circolare.
Calcolare la velocità angolare della lancetta dei minuti di un orologio analogico.
Soluzione: ω = 1.75•10-3 rad/s
4D) Urto elastico.
5D) Enunciare la legge di Poiseuille. Spiegare come varia la pressione lungo un
condotto in cui scorre un liquido viscoso.
1E) Una ranocchia, inizialmente ferma su una foglia di ninfea, decide di saltare sul bordo
dello stagno distante 2 m. La massa della rana è m1= 30 gr e quella della foglia è
m2 = 300 gr. Mentre l’acqua dello stagno non esercita nessun attrito sulla foglia, il terreno
bagnato del bordo dello stagno esercita sulla rana, che scivola dopo il salto, un attrito
dinamico con coeff. µ = 0.2. Se la rana salta con una velocità di 5 m/sec, in una direzione
formante un angolo θ = 45° con l’acqua si chiede di calcolare:
a) a quale distanza dal bordo dello stagno atterra la rana;
b) con che velocità vf la foglia si allontana da terra dopo il salto;
c) per quale lunghezza x la rana scivola sul terreno prima di fermarsi.
Soluzione: d = 0.55 m; vf = 0.35 m/s; x = 3.12 m
2E) In un tubo orizzontale di diametro d1 = 2 cm scorre anidride carbonica (ρ = 7.5
Kg/m3) alla pressione p1= 44 N/m2. Si osserva che in mezz'ora per la sezione trasversale del
tubo passano 0.51 Kg di gas. Calcolare:
a) la portata volumetrica lungo il tubo;
b) la velocità dell'anidride carbonica nel tubo.
Se il condotto scende con un dislivello di 10 m, mantenendo costante la sezione:
c) determinare la pressione alla nuova quota.
Soluzione: 3.8•10-5 m3/s; v = 0.12 m/s; P = 779 Pa
3E) Dare la definizione del "periodo" in un moto circolare.
Calcolare la velocità angolare della lancetta dei secondi di un orologio analogico.
Soluzione: ω = 0.1 rad/s
M5
4E)
Urto completamente anelastico.
5E) Definire il numero di Reynolds per un fluido viscoso che scorre in un condotto
cilindrico. Spiegare perché in un vaso sanguigno si potrebbe avere una transizione da
moto laminare a moto turbolento in conseguenza di un aumento della velocità di
scorrimento del sangue nel vaso.
1F)
Un blocco di massa m = 80 Kg viene lasciato cadere
verticalmente da una piattaforma alta h= 70 m legato ad un
elastico lungo l = 40 m. Si chiede di calcolare:
a) la velocità v del blocco immediatamente prima che l'elastico
cominci a tendersi (nella posizione illustrata in figura);
b) quale deve essere il valore della costante k dell'elastico
(supponendo valida la legge di Hooke) affinché il blocco si
fermi proprio un istante prima di toccare terra;
c) le forze che agiscono sul blocco nel punto più basso, cioè
quando l'elastico ha la massima estensione.
Soluzione: v = 28 m/s; k = 122 N/m; F = 2.9•103 N verso l’alto
2F)
In un'arteria di sezione S1 = 1.8 cm2 il sangue scorre con una velocità v1 = 0.4 m/s e
ha una pressione p1 = 90 Torr. Ad un certo punto l'arteria presenta una strozzatura passando
ad una sezione S2 = 0.6 cm2 e sale con una differenza di quota h2 - h1= 10 cm. Assumendo il
moto stazionario e il sangue come un fluido ideale di densità pari a 1.05 gr/cm3.
Determinare:
a) la portata volumetrica lungo l'arteria;
b) la velocità nella strozzatura;
c) la pressione nella strozzatura.
Soluzione: 0.72•10-4 m3/s; v = 1.2 m/s; P = 77.2 Torr
3F)
Dare la definizione del "periodo" in un moto circolare.
Calcolare la velocità angolare di un satellite artificiale che gira intorno alla Terra seguendo
un'orbita circolare con un periodo di rivoluzione di 88 min.
Soluzione: ω = 1.2•10-3 rad/s
4F)
Forze di attrito.
5F)
Enunciare la legge di Poiseuille. Spiegare perché una diminuzione della
temperatura può provocare un congelamento degli arti (si ricordi che η varia
inversamente con la temperatura).
M6
Prova scritta del 12/2/1997
A)
Una pallina di massa m = 20 g scorre con forza di attrito costante pari a 0.1 N, lungo
una guida verticale ABC, con AB = 4 m e BC = 3 m.
A
Se la pallina parte dal punto A con velocità nulla,
calcolare:
a) la velocità della pallina nel punto C;
60° B
b) la perdita di energia potenziale gravitazionale.
Soluzione: vc = 5.2 m/s; ∆U = 1 J
30°
C
Abis) Il teorema di Bernoulli.
B)
Una forza variabile F = -bx con b = 1 N/m diretta lungo l'asse x, viene applicata ad
un punto materiale di massa m = 10 g in moto lungo l'asse x. Si osserva che il punto si ferma
dopo aver percorso un tratto d = 10 m. Calcolare:
a) l'accelerazione a x = 5 m;
b) il lavoro fatto dalla forza dall'istante in cui è applicata a quando il punto si ferma.
Soluzione: a = -5.2•102 m/s2; L = -50 J
Bbis) Il principio di Archimede.
C)
Uno sciatore scende a velocità costante lungo un pendio innevato con inclinazione
costante di 5 °. Determinare:
a) il coefficiente di attrito dinamico tra gli sci e la neve;
b) la velocità dello sciatore sapendo che giunto sul piano percorre ancora 30 m.
Soluzione: µ = 0.087; v = 7.2 m/s
Cbis) Fluidi viscosi e legge di Poiseuille.
Prova scritta del 27/3/1997
A)
Due blocchi di massa m = 1 Kg, collegati da una fune, come mostrato in figura, sono
in equilibrio su un piano inclinato di θ = 30°, sotto l'azione di una forza traente F parallela al
piano inclinato. Tra il blocco e il piano esiste attrito, coeff. di attrito statico µS = 0.3.
Calcolare:
a) il valore della tensione T della fune;
b) il valore massimo della forza F affinché il sistema
sia in equilibrio.
Ad un certo istante la fune che collega i due blocchi si
rompe. Determinare:
c) con che velocità arriva al suolo il blocco di destra,
se si trova ad un'altezza h = 2 m.
Soluzione: T = 9.8 N; F = 7.4 N; v = 6.3 m/s
M7
RECUPERO:
Abis) Dimostrare il teorema delle forze vive (teorema lavoro energia
cinetica).
B)
Due blocchi di massa m = 3 Kg, collegati da una fune, sono in equilibrio su un piano
inclinato di θ = 30°, sotto l'azione di una forza F parallela al piano inclinato, come mostrato
in figura. Tra il blocco e il piano esiste attrito con coeff. di attrito statico µS = 0.3 e dinamico
µd = 0.2. Calcolare:
a) il valore della tensione T della fune;
b) il valore massimo della forza F affinché il sistema
sia in equilibrio.
Ad un certo istante la fune che collega i due blocchi si
rompe. Determinare:
c) l'accelerazione del blocco che si trova sul piano
inclinato.
Soluzione: T = 29.4 N; F = 22.3 N; a = 10.6 m/s2
RECUPERO:
Bbis) forze conservative.
C)
Due blocchi di massa m = 10 Kg sono collegati da una fune come mostrato in figura
(angolo di inclinazione del piano θ = 30°). Si osserva che il sistema inizia a muoversi
quando la forza traente parallela al piano inclinato supera il valore F = 74 N . In condizioni
di equilibrio, calcolare:
a) il valore della tensione T della fune;
b) il valore del coeff. di attrito statico µS tra il blocco e
il piano.
Ad un certo istante la fune che collega i due blocchi si
rompe. Determinare:
c) il tempo impiegato dal blocco di destra per arrivare
al suolo, se si trova ad un'altezza h = 2 m.
Soluzione: T = 98 N; µs = 0.29; t = 0.64 s
RECUPERO:
Cbis) Il principio di Archimede.
Prova scritta del 4/6/1997
A)
Un blocco di massa M1 = 2 Kg è inizialmente appoggiato ad una molla di costante
elastica k = 200 N/m compressa di x = 30 cm dalla posizione di riposo. La molla viene
liberata ed il blocco scivola su un piano orizzontale senza attrito. Successivamente urta in
maniera completamente anelastica un secondo blocco di massa M2 = 1 Kg, fermo sul piano. I
due blocchi insieme salgono quindi lungo un piano inclinato che forma un angolo θ= 30° con
l’orizzontale scivolando senza attrito. Si calcoli:
M8
a) la velocità v1 del primo blocco al momento in cui si stacca dalla molla;
b) la velocità v2 dei due blocchi uniti immediatamente dopo l’urto;
c) la distanza L che i due blocchi uniti percorrono lungo il piano inclinato prima di
fermarsi.
Soluzione: v1 = 3 m/s; v2 = 2 m/s; L = 41 cm
DOMANDA DI TEORIA: Teorema di Bernoulli
B)
Un blocco di massa M1 = 2 Kg, partendo da fermo, scivola lungo un piano inclinato
senza attrito che forma un angolo θ = 30° con l’orizzontale, percorrendo un tratto di
lunghezza L = 1 m. In fondo al piano inclinato urta in maniera completamente anelastica un
secondo blocco di massa M2 = 1 Kg. I due blocchi uniti insieme scivolano su un piano
orizzontale senza attrito fino ad urtare una molla di costante elastica k = 200 N/m
inizialmente in condizione di riposo. Si calcoli:
a) la velocità v1 del primo blocco al momento in cui urta il secondo;
b) la velocità v2 dei due blocchi uniti immediatamente dopo l’urto;
c) la lunghezza x di cui viene compressa la molla rispetto alla posizione di riposo al
momento che i due blocchi si fermano.
Soluzione: v1 = 3.1 m/s; v2 = 2.1 m/s; x = 26 cm
C)
Un blocco di massa M1 = 2 Kg è inizialmente appoggiato ad una molla di costante
elastica k = 200 N/m compressa di x = 40 cm dalla posizione di riposo. La molla viene
liberata ed il blocco sale su un piano inclinato senza attrito lungo l = 0.5 m che forma un
angolo θ = 30° con l’orizzontale. Dopo avere percorso tutto il piano urta in maniera
completamente anelastica un secondo blocco di massa M2 = 1 Kg inizialmente fermo sul
piano orizzontale. Si calcoli:
M9
a) la velocità v1 del primo blocco al momento in cui si stacca dalla molla;
b) la velocità v2 del primo blocco al momento in cui urta il secondo;
c) la velocità v3 dei due blocchi uniti immediatamente dopo l’urto;
Soluzione: v1 = 4 m/s; v2 = 3.3 m/s; v3 = 2.2 m/s
Prova scritta del 19/9/1997
1) Un secchio di massa M1 = 1 Kg, attaccato a una fune di massa trascurabile, che non
esercita alcun attrito, viene utilizzato da un contadino per sollevare una quantità d’acqua
pari a M2 = 9 Kg da un pozzo profondo h = 20 m.
a) Se il secchio vuoto viene lasciato cadere liberamente con che velocità v arriva in
fondo al pozzo?
b) Se il secchio pieno d’acqua viene portato alla superficie con accelerazione
costante a = 0.2 m/s2, qual è la tensione T della fune?
c) Se il secchio pieno d’acqua viene portato alla superficie in un tempo t = 5 min. a
velocità costante, quale potenza W ha dovuto sviluppare il contadino?
Soluzione: v = 19.8 m/s; T = 100 N; W = 6.5 W
Prova scritta parziale del 28/11/1997
1A) Una guida circolare di raggio R=0.5 m è posta verticalmente su un tavolo. Un corpo
puntiforme percorre la circonferenza con una velocità angolare costante di 6 rad/sec
Calcolare:
a) il tempo impiegato a fare un giro completo.
Ad un certo istante , quando il corpo si trova nella posizione
indicata in figura, il corpo abbandona la circonferenza.
Calcolare:
b) il tempo impiegato per arrivare sul tavolo;
c) la distanza d tra il punto in cui il corpo colpisce il tavolo e la
base della guida.
Soluzione: t = 1.05 s; t = 0.45 s; d = 1.36 m
2A) Uno sciatore di massa m = 80 Kg gareggia su una pista di discesa libera di dislivello
H=800 m.
Calcolare:
a) l’energia potenziale dello sciatore prima di iniziare la discesa;
b) se la stessa pista fosse senza attrito, a che folle velocità
giungerebbe al traguardo lo sciatore;
c) il lavoro compiuto dalla forza di attrito dinamico Fa fra la neve e
gli sci, sapendo che lo sciatore taglia il traguardo alla velocità
v=144Km/h.
d) la lunghezza L della pista, sapendo che | Fa |= 192 N.
Soluzione: E = 627.2 KJ; v = 451 Km/h; L = -563.2 KJ; L = 2933 m
M10
3A) Un'arteria di raggio 2 mm è percorsa dal sangue con una velocità media di 10 cm/sec
(densità 1.05 g/cm3 e viscosità 2.08 •10-2 poise). Calcolare:
a) la portata volumetrica;
b) la perdita di carico nell'arteria, assumendo il moto stazionario e il regime laminare.
Supponiamo ora che il raggio dell'arteria, per una causa qualsiasi, si riduca a 0.15mm.
Assumendo che la portata rimanga costante:
c) calcolare la nuova velocità media;
d) utilizzando il numero di Reynolds, verificare che, contrariamente a prima, il moto non è
più laminare, ma è diventato turbolento.
Soluzione: 1.3 cm3/s; 41.6 dyne/cm3; v = 17.8 m/s; Re1 = 1346
4A)
Urti elastici e anelastici: illustrare e fare qualche esempio
1B) Una guida circolare di raggio R = 0.5 m è posta verticalmente su un tavolo. Un corpo
puntiforme percorre la circonferenza con un periodo di 1.05 sec. Ad un certo istante, quando
si trova nella posizione indicata in figura, il corpo abbandona la circonferenza.
Calcolare:
a) la velocità con cui il corpo abbandona la circonferenza;
b) l'altezza massima raggiunta;
c) il tempo impiegato per ricadere sul tavolo.
Soluzione: v = 3 m/s; h = 0.46 m ; t = 0.44 s
2B) Uno sciatore, gareggiando su una pista di discesa libera di dislivello H = 800 m,
taglia il traguardo alla velocità di 144 Km/h. Calcolare:
a) quale dovrebbe essere il dislivello H’ della pista, se lo sciatore
gareggiasse su una pista senza attrito, per giungere al traguardo con
la stessa velocità v;
b) la massa dello sciatore, se il lavoro compiuto dalla forza di attrito
dinamico Fa fra la neve e gli sci è –648 KJ;
c) il modulo di Fa, sapendo che la lunghezza della pista è 3000 m;
d) l’energia potenziale dello sciatore prima di iniziare la discesa.
Soluzione: H’ = 81.6 m; M = 92 Kg; Fa = 216 N; U = 721.6 KJ
3B) In una arteriola del diametro di 0.1 mm e lunghezza 5 mm, la differenza di pressione
del sangue fra gli estremi dell'arteriola è 35 Torr. Assumendo che il moto del sangue sia
stazionario e il regime laminare (per il sangue: densità 1.06 g/cm3, viscosità 4.7510⋅10-2
poise);
a) calcolare la portata volumetrica del condotto e la velocità media del sangue;
b) verificare che il moto è effettivamente laminare, utilizzando il numero di Reynolds.
Soluzione: 4.8•10-4 cm3/s, v = 6.14 cm/s; Re = 0.685
M11
4B) Moto di un proiettile: ricavare l’equazione della traiettoria e l’espressione delle
grandezze più significative (gittata, tempo di “volo”, altezza massima)
1C) Una guida circolare di raggio R = 0.5 m è posta verticalmente sul bordo di un tavolo
di altezza h = 80 cm. Un corpo puntiforme percorre la circonferenza con una velocità
angolare costante di 6 rad/sec. Ad un certo istante, quando si trova nella posizione indicata
in figura, il corpo abbandona la circonferenza.
Determinare:
a) il periodo del moto circolare uniforme, prima di
abbandonare la circonferenza;
b) la velocità del corpo un attimo prima di urtare il
pavimento;
c) il tempo impiegato per arrivare sul pavimento.
Soluzione: T = 1.05 s; v = 5.9 m/s; t = 0.29 s
2C) Uno sciatore di massa m = 80 Kg taglia il traguardo di una gara di discesa libera alla
velocità v = 144 Km/h. Calcolare:
a) l’energia cinetica dello sciatore quando taglia il traguardo;
b) quanto vale il dislivello H della pista, sapendo che il lavoro
compiuto dalla forza di attrito dinamico Fa fra la neve e gli sci
e’ –648 KJ;
c) la lunghezza L della pista e l’angolo α che la pista forma con
l’orizzontale, sapendo che |F a|=150 N;
d) con che velocità taglierebbe il traguardo lo sciatore se
gareggiasse su una pista senza attrito di dislivello H’ = 100 m.
Soluzione: K = 64 KJ; H = 908 m; L = 4320, α ≈ 12°, 44.3 m/sec
3C) In una arteria di raggio r = 4 mm, il sangue (viscosità 4.7510•10-2 poise, densità 1.06
g/cm3) scorre con una velocità media di 5 cm/sec. Assumendo il moto stazionario e il regime
laminare, calcolare:
a) la portata volumetrica dell'arteria in litri/minuto;
b) la differenza di pressione che deve essere applicata agli estremi dell'arteria, lunga
10 cm.
c) Verificare che il moto è effettivamente laminare, utilizzando il numero di Reynolds.
Soluzione: 0.15 l/min; ∆P = 0.089 Torr; Re = 44.6
4C) Teorema di Bernoulli: illustrare, fare almeno un esempio di applicazione e
dimostrare
M12
1D) Una guida circolare di raggio R = 0.5 m è posta verticalmente sul bordo di un tavolo
di altezza h = 80 cm. Un corpo puntiforme percorre la circonferenza con un periodo di 1.05
s. Ad un certo istante, quando si trova nella posizione indicata in figura, il corpo abbandona
la circonferenza.
v
h
d
Calcolare:
a) La velocità con cui il corpo abbandona la circonferenza;
b) Il tempo impiegato per arrivare sul pavimento;
c) La distanza d fra il bordo del tavolo e il punto in cui il
corpo tocca terra.
Soluzione: v = 3 m/s; t = 0.4 s; d = 1.2 m
2D) Uno sciatore di massa m = 90 Kg gareggia su una pista di discesa libera che presenta
un dislivello H = 1000 m. Calcolare:
a) l’energia potenziale dello sciatore prima di iniziare la discesa;
b) con che velocità taglia il traguardo lo sciatore, se il lavoro
compiuto dalla forza di attrito dinamico Fa fra la neve e gli sci
e’ –795 KJ;
c) la lunghezza L della pista e l’angolo α che la pista forma con
l’orizzontale, sapendo che |Fa| = 272 N;
d) il coefficiente di attrito dinamico µ fra la neve e gli sci.
Soluzione: U = 882 KJ; v = 44 m/s; L = 2923 m, α ≈ 20°; µ = 0.3
3D) Un liquido avente viscosità di 0.04 poise e densità 1.06 g/cm3 scorre in un condotto
di sezione circolare con raggio r = 1.2 mm e lunghezza 25 cm. Sapendo che la differenza di
pressione agli estremi del condotto è 0.1 atm:
a) calcolare la portata volumetrica del condotto e la velocità media del liquido
assumendo un moto stazionario ed il regime laminare;
b) utilizzando il numero di Reynolds, verificare che il moto è effettivamente laminare.
Soluzione: Q = 8.25 cm3/s; v = 1.8 m/s; Re ≈ 580
4D) Teorema lavoro-energia cinetica: illustrare, fare almeno un esempio di
applicazione e dimostrare
Prova scritta 18/2/1998
Un corpo di massa m = 200 g, posto su un piano orizzontale senza attrito, è attaccato a una
molla, di massa trascurabile e costante elastica k = 2.5⋅104 dyne/cm, che ha l’altro estremo
fissato in un punto O. Il corpo viene messo in rotazione e si osserva che si muove di moto
circolare uniforme percorrendo una circonferenza di raggio R = 20 cm intorno al punto O.
Sapendo che la lunghezza a riposo della molla è L = 16 cm, calcolare:
M13
a) la velocità del corpo;
b) il tempo impiegato a fare un giro completo;
c) l’energia meccanica totale del sistema.
Soluzione: v = 1 m/s; t = 1.3 s; E = 1.2•106 erg
a) Forza gravitazionale: illustrare, ricavare l’energia potenziale e la velocità di fuga di
un proiettile dalla terra
b) Principio di Archimede: illustrare e fare qualche esempio
Prova scritta 10/6/1998
Una persona di massa m = 60 Kg, che corre orizzontalmente alla velocità di 3.8 m/s, salta su
una slitta di massa M = 12 Kg che è inizialmente in quiete. Considerando l’urto
completamente anelastico e sapendo che la slitta e la persona percorrono 30 m sulla neve
prima di fermarsi, calcolare:
a) la velocità della slitta e della persona, subito dopo l’urto;
b) il coefficiente di attrito dinamico fra la slitta e la neve;
c) l’energia meccanica persa nell’urto.
Soluzione: v = 3.2 m/s; µ = 0.017; ∆K = 71.4 J
Prova scritta 10/7/1998
Un corpo di massa m = 10 g ha una velocità iniziale di 60 cm/s. Una forza costante di
60 dine viene applicata al corpo per ∆t = 12 sec nella stessa direzione della velocità.
Calcolare:
a) l’accelerazione che agisce sul corpo;
b) l’energia cinetica finale del corpo;
c) lo spazio percorso nell’intervallo di tempo in cui agisce la forza;
d) il lavoro fatto dalla forza;
e) la potenza media sviluppata.
Soluzione: a = 6 cm/s2; Kf = 8.7 mJ; x = 11.5 m; L = 6.9 mJ; P = 0.57 mW
Prova scritta parziale del 20/11/1998
1A) Un automobilista si immette nel traffico di un’autostrada subito dopo il passaggio di
una colonna di camion che procede alla velocità costante di 72 Km/h. Se l’automobilista
imprime all’auto un’accelerazione a = 2.5 m/sec2, calcolare:
a) quanto tempo impiegherà l’auto a raggiungere e sorpassare la colonna dei camion;
b) che velocità avrà l’auto in quell’istante e quanta strada avrà percorso.
c) Rappresentare la situazione graficamente, tracciando x(t) e v(t) per l’auto e per i
camion.
Soluzione: t = 16 s; v = 144 Km/h; x = 320 m
M14
2A) Un blocco di legno di massa m = 20 Kg, posto su un piano inclinato che forma un angolo
α = 30° con l’orizzontale, è tenuto fermo dall’alto da una molla di costante elastica k =100N/m.
Se il coefficiente di attrito statico fra piano e blocco è µs = 0.3, determinare:
a) quanto vale l’allungamento della molla dalla posizione di equilibrio.
Ad un certo istante, il blocco viene troncato con un colpo d’ascia, e la parte inferiore del
blocco scivola giù per il piano con un coefficiente di attrito dinamico µd = 0.2, calcolare:
b) la distanza L deve percorrere per raggiungere la velocità v = 3.6 m/s
Soluzione: x = 47 cm; L ≈ 2 m
3A) Una piattaforma di legno di dimensioni 5 m x 6 m e profondità h = 30 cm (densità
relativa del legno = 0.6) galleggia in acqua. Calcolare:
a) quanta parte è immersa;
b) il valore massimo del peso di un’automobile che può essere sostenuto dalla
piattaforma, senza che l’auto si bagni.
Soluzione: himm = 18 cm; Pauto = 3600 Kg
Domande:
4A) Definizione di potenza. Dimostrare che P=F•v
5A) Legge di Stokes: illustrare e ricavare la velocità di sedimentazione per una sferetta di
raggio R in un fluido viscoso.
1B) Quando il semaforo diventa verde, una macchina parte con accelerazione
a = 4 m/sec2, mentre un motorino che arriva in quel momento continua la sua corsa con
velocità costante v = 36 Km/h. Calcolare:
a) quanto tempo impiega l’automobile a raggiungere e superare il motorino;
b) la velocità dell’automobile in quell’istante;
c) la distanza percorsa.
d) Rappresentare la situazione graficamente, tracciando x(t) e v(t) per l’auto e per il
motorino.
Soluzione: t = 5 s; v = 20 m/s; x = 50 m
2B) Un blocco di legno di massa m = 20 Kg, posto su un piano inclinato che forma un
angolo α=30° con l’orizzontale, è tenuto fermo dall’alto da una molla allungata di x = 47 cm
dalla posizione di equilibrio. Se il coefficiente di attrito statico fra piano e blocco è µs =0.3
a) determinare quanto vale la costante elastica K della molla.
Ad un certo istante, il blocco viene troncato con un colpo d’ascia, e la parte inferiore del
blocco scivola sul piano inclinato con un coefficiente di attrito dinamico µd = 0.2, calcolare:
b) la velocità v che raggiunge dopo avere percorso L = 2 m.
Soluzione: K = 100 N/m; v = 3.6 m/s
M15
3B) Una zattera a forma di parallelepipedo, la cui superficie di base è S = 6 m2, e lo
spessore è 20 cm, galleggia sull'acqua restando immersa per un tratto h1 = 12 cm.
a) Calcolare la densità della zattera.
Sulla zattera viene successivamente posto un carico di massa M = 360 Kg, calcolare:
b) l'abbassamento determinato dal carico.
Soluzione: ρ = 0.6 g/cm3; ∆h = 6 cm
Domande:
4B) Teorema delle forze vive
5B) Legge di Stevino. Spiegare perché la pressione sanguigna per una giraffa deve essere
molto più grande di quella umana.
1C) Un’auto procede a velocità costante in autostrada. Subito dopo aver superato una
piazzola, una seconda auto, inizialmente ferma, si immette nel traffico. Sapendo che
l’accelerazione della seconda auto è a = 4 m/sec2 e che questa raggiunge e sorpassa la prima
auto in 5.5 sec, calcolare:
a) lo spazio percorso dalle due auto prima del sorpasso;
b) la velocità costante con cui procede la prima auto;
c) quanto tempo impiega la seconda auto a raggiungere la velocità costante della
prima.
d) Rappresentare la situazione graficamente, tracciando x(t) e v(t) per le due auto.
Soluzione: x = 60.5; v = 39.6 Km/h; t = 2.75 s
2C) Un blocco di legno, posto su un piano inclinato che forma un angolo α=30° con
l’orizzontale, è tenuto fermo dall’alto da una molla di costante elastica k = 100 N/m allungata
di x = 0.47 m dalla posizione di equilibrio. Se il coefficiente di attrito statico fra piano e
blocco è µs =0.3
a) calcolare la massa m del blocco.
Ad un certo istante, il blocco viene troncato con un colpo d’ ascia. Se la parte inferiore del
blocco scivola sul piano inclinato raggiungendo la velocità v = 3.6 m/s dopo avere percorso
la lunghezza L = 2 m, determinare:
b) il valore del coefficiente di attrito dinamico µd fra piano e blocco.
Soluzione: m ≈ 20 Kg; µ = 0.2
3C) Una lastra di ghiaccio a forma di parallelepipedo, di sezione S = 2.5 m2 e spessore
20 cm, galleggia in acqua (densità relativa del ghiaccio = 0.92).
Calcolare:
a) l’altezza della parte immersa;
b) quale dovrebbe essere lo spessore minimo del blocco di ghiaccio per sostenere
una persona di massa 75 Kg, senza che questa si bagni.
Soluzione: him = 18.4 cm; smin = 37.5 cm
M16
Domande:
4C) Principi della Dinamica
5C) Teorema di Bernoulli
Prova scritta 16/6/1999
Con riferimento alla figura accanto, si consideri
M = 80 Kg e θ = 30°:
a) assumendo m = 60 Kg calcolare quanto deve valere
il coefficiente di attrito statico minimo fra m e il
piano affinché il sistema stia in equilibrio;
b) assumendo invece m = 30 Kg e il valore del
coefficiente di attrito dinamico uguale a 0.8,
determinare l'accelerazione con cui si muove il
sistema e il tempo che impiega il blocco M a
percorrere l'altezza h = 4 m, supponendo che venga
lasciato andare con velocità iniziale nulla.
m
θ
M
h=4m
Soluzione: µs = 0.93; a = 3.7 m/s2, t = 1.46 s
Prova scritta del 19/2/1999
Due masse m2 = 5 Kg e m1 = 3 Kg sono collegate da una fune,
di massa trascurabile, che scorre su una carrucola, priva di
attrito, come indicato in figura. Inizialmente il sistema é in
quiete. Ad un certo istante la massa m2 viene lasciata libera di
cadere. Calcolare:
a) l’accelerazione del sistema e la tensione della fune,
m2
nell’istante in cui m2 viene lasciata andare;
b) l’energia cinetica del sistema m1 + m2 nell’istante in cui m2
tocca il suolo.
m1
h=4m
Considerando che quando la massa m2 si ferma a terra, la corda
non é più in tensione e la massa m1 é in movimento verso l’alto
e può salire ancora, determinare:
c) la massima altezza a cui salirà m1.
Soluzione: a = 2.45 m/s2, T = 36.7 N; K = 78.4 J; hmax = 5 m
A)
Forze di attrito
B)
Principio di Archimede
M17
Prova scritta 12/7/1999
Un blocco di massa M = 1 Kg, inizialmente in
quiete nel punto A, viene spinto da una forza
costante F = 20 N su per un piano inclinato di
C
inclinazione θ = 30° e lunghezza AC = 10 m. Fra il
blocco e il piano vi è attrito di coefficiente
dinamico µd = 0.3. Una volta giunto in C la forza F
θ
viene eliminata. Calcolare:
a) l'accelerazione a cui è sottoposto il blocco
D
B
durante la salita lungo il piano inclinato;
b) la velocità con cui il blocco esce dal punto C
c) l'energia cinetica che possiede il blocco nell'istante in cui tocca terra nel punto D.
F
A
Soluzione: a = 12.6 m/s2; vc = 15.8 m/s; K = 298.6 J
Prova scritta 20/9/1999
Un corpo di massa M1 = 2 Kg scivola su un piano alla velocità v1 = 2 m/s. Ad un certo istante
urta in modo completamente anelastico un secondo corpo fermo di massa M2 = 1 Kg. Dopo
l'urto il blocco costituito dai due corpi scivola sul piano senza attrito e va a comprimere una
molla a riposo di costante elastica K = 300 N/m e di massa trascurabile. Calcolare:
a) la velocità vf dei due corpi dopo l'urto;
b) la lunghezza x di compressione della molla;
c) l'energia cinetica persa nell'urto.
Soluzione: vf = 1.33 m/s; x ≈ 13 cm; ∆K = 1.33 J
M18