Paolo Freguglia, La nascita dell`algebra letterale

Algebra e Geometria
tra Cinquecento e Seicento
Paolo Freguglia
Dipartimento Ingegneria e Scienze
dell’Informazione e Matematica (DISIM)
Università di L’Aquila
• I principali algebristi nel XVI e XVII secolo:
-
Luca Pacioli, Summa de arithmetica, geometria […] (1494)
Scipione dal Ferro (1505 o 1515)
Anton Maria Fiore
Gerolamo Cardano, Ars Magna (1545)
Lodovico Ferrari (1544, 1545)
Niccolò Tartaglia, Quaesiti et inventioni diverse (1546)
Rafael Bombelli, L’Algebra (1572)
Simon Stevin, L’Arithmétique (1585)
François Viète, Isagoge in Artem analyticem, ecc. (1591, 1593)
Chr. Clavius, Algebra (1608)
Allievi di Viète (Vaulézard, Hume, Vasset, ecc. (1630))
René Descartes, La Géométrie (1637)
• La nascita dell’algebra, avvenuta sostanzialmente
nel Cinquecento, è caratterizzata da connessioni
di tecniche algoritmo-abacistiche con questioni
geometriche. La geometria con la quale ciò
accadde fu proprio quella sintetica classica
euclidea piana e solida delle superfici e dei volumi.
Nelle opere di Cardano (1545), Ferrari, Tartaglia
(1549), Bombelli (1572) e Stevin (1585) questi
aspetti geometrico algebrici furono ampiamente
sviluppati, anche se non mancarono riferimenti
alla teoria delle proporzioni, in particolare alle
proporzioni continue. Quest’ultima teoria, che
costituiva la parte più astratta della geometria,
fu a sua volta la chiave per la geometrizzazione
dell’algebra effettuata da Viète (1593).
• Linguaggio (oggetto) algebrico nel XVI e XVII
secolo:
• Ad esempio ciò che oggi scriviamo così: x3 + ax = bx2 + c
- con il linguaggio retorico si ha:
Capitolo di Cubo e tanti eguali a Potenze e numero
- con il linguaggio sincopato si ha:
1.cubus p. 12.pos. aeq. 6.quad. p. 12
- con il linguaggio simbolico numerico (logistica numerosa, ad es.
Bombelli e Stevin):
3
1
2
Agguaglia 1 12 a 6  12
- con il linguaggio simbolico letterale (logistica speciosa, Viète):
A cubus + B plano in A aequetur C latus in A quad + D cubus
Descartes (altro esempio):
y3 – byy – cy + bc – axy  0
• Come esempio di trattazione prendiamo i primi
tre libri de L'Algebra, opera di Rafael
Bombelli da Bologna, diuisa in tre libri con la
quale ciascuno da sé potrà venire in perfetta
cognitione della teoria dell'Aritmetica", 1572.
- Primo libro: si studiano i polinomi numerici
(es.: 3 - 25 + 32) e la relativa algebra.
- Secondo libro: tratta delle equazioni algebriche
- Terzo libro: tratta i problemi diofantei.
• CONCENTREREMO LE NOTRE
CONSIDERAZIONI SULLE
EQUAZIONI ALGEBRICHE
• LA SOLUZIONE DELLE EQUAZIONI
ALGEBRICHE DI TERZO GRADO
• La soluzione generale delle equazioni di terzo
grado riveste una funzione determinante anche
per la procedura risolutiva di quelle di quarto
grado. E' quanto risulta leggendo: l'Ars Magna
(1545) di Gerolamo Cardano e l'Algebra di
Rafael Bombelli del 1572 . Cardano nel
Capitolo XXXIX, alla Quaestio IV e Reg.II,
dell' Ars Magna, attribuendo il merito al suo
allievo Ludovico Ferrari, propone la soluzione e
poi la “dimostrazione geometrica” delle
equazioni di quarto grado. Quanto diremo di
seguito riguarda le sole radici reali positive.
• Schema risolutivo delle equazioni di terzo grado dato
da Tartaglia nel nono libro dei suoi Quesiti et
inventioni diverse, pubblicati nel 1546. Tramite i
famosi versi:
• Quando che'l cubo con le cose appresso [x3 + px ]
Se agguaglia à qualche numero discreto [= q ]
Trovan dui altri differenti in esso. [u – v = q ]
Da poi terrai questo per consueto
Che'llor produtto sempre sia eguale [uv = ]
Al terzo cubo delle cose neto, [(p/3)3 ]
El residuo poi suo generale
Delli lor lati cubi ben sottratti [3u - 3v ]
Varra la tua cosa principale. [x]
• L’equazione generale di terzo grado si può ridurre alla
x3 + px = q
Infatti:
se in ay 3  by 2  cy  d  0
b
pongo : y  x 
si ottiene :
3a
x3 + px = q
Tartaglia afferma che la soluzione dell'equazione si ottiene
cercando dapprima due numeri u e v tali che soddisfino il
sistema:
 u v = p3/27

 u-v=q
e quindi la soluzione sarà data dalla
x = 3 u - 3 v
• E quindi, facendo i conti:
x  3 u 3 v 
2

3
3
2
3
q  p q 3 q  p q
          
2  3  2
2  3  2
si ritrova la formula-precetto di Scipione dal
Ferro. Nel caso (proposto da Bombelli):
x3 + 6x = 20
Le soluzioni (nel campo complesso) sono:
x1 = 2 ; x2 = -1 + 3i ; x3 = -1 – 3i
• Nel precedente sistema risolutivo poniamo ora:
3 u = a e 3 v = b otteniamo il sistema:
 a3 - b3 = q

 a  b = p/3
e quindi:
x=a–b
scrittura che ci è più utile per quanto diremo di
seguito per la relativa interpretazione geometrica.
• EQUAZIONI ALGEBRICHE DI QUARTO
GRADO
L’equazione generale di quarto grado è:
y4 + ay3 + by2 + cy + d = 0
nella quale posto:
a
y  x
4
diventa:
x4 + ax2 + b = cx
• Nel testo di Cardano troviamo l'equazione del
tipo ora visto così scritta:
1.qd.quad.p.6.quad.p.36.aequalia 60.pos.
cioè:
x4 + 6x2 +36 = 60x
Bombelli avrebbe scritto:
4
2
1
1 p. 6 p. 36 aeq 60
• EQUAZIONI ALGEBRICHE DI QUARTO GRADO
• In sostanza il procedimento di Ferrari ha il seguente
svolgimento. Data l'equazione:
x4 + ax2 + b = cx ,
nel caso più generale in cui il primo membro non sia
un quadrato perfetto, si procede dapprima a
quadrarlo, aggiungendo a primo e secondo membro il
binomio
2b  x2 - ax2
Avremo dunque
x4 + ax2 + b + (2 b x2 - ax2) = cx + (2 b x2 - ax2)
x4 + 2b x2 + b = cx + (2b - a)x2
e cioè:
(x2 + b)2 = cx + (2 b - a)x2
• Ponendo nella (x2 + b)2 = cx + (2 b - a)x2
 b = q e 2 b - a = p
avremo:
(x2 + q)2 = cx + px2
il cui membro a destra non è un quadrato. Si
aggiunge allora a destra e a sinistra il trinomio:
2tx2 + t2 + 2tq
avremo allora:
x4 + 2qx2 + q2 + (2tx2 + t2 + 2tq) = cx + px2 +
+ (2tx2 + t2 +2tq)
che diventa:
(x2 + q + t)2 = ((p +2t))2 x2 + cx + ((t2 + 2tq))2
(x2 + q + t)2 = ((p +2t))2 x2 + cx + ((t2 + 2tq))2
Il membro a destra di questa è un quadrato se si ha
che
c = 2 (( p +2t)((t2 + 2tq))
cioè se
2t3 + (p+4q)t2 + 2pqt - c2/4 = 0
detta risolvente cubica di Ferrari (con t come
incognita). Una volta risolta la risolvente, si
sostituisce un valore di t nella
x2 + q + t = (p + 2t) x +  (t2 + 2tq)
che è di secondo grado.
• “Teoria” geometrico sintetica delle equazioni
algebriche (“Dimostrationi”)
• Costruzione di un modello geometrico euclideo
dell’uguagianza che alla base dell’equazione
medesima (possibile dal 1° al 4° grado)
• Interpretazione geometrica della procedura
risolutiva (possibile dal 1° al 3° grado)
• Determinazione con riga e compasso delle
soluzioni (possibile solo per il 1° e 2° grado) se
vale il principio di omogeneità dimensionale,
altrimenti anche per il 3° grado (vedi
succesivamente)
• R.Bombelli (L’Algebra, 1572), Libro II
Dimostratione del Capitolo di Tanti eguale a numero
« E benchè questa scientia sia Aritmetica (come la chiamano
Diofante Autore Greco e li Indiani) però non resta che il tutto non
si possi provare per figure Geometriche (come fa Euclide
[applicazione delle aree] nel secondo, sesto, decimo). Però volendo
che il Lettore resti in tutto soddisfatto mi sono risoluto porre tutte
le dimostrazioni dello agguagliare, cioè Capitolo per Capitolo, tanto
in linea senza numero quanto in linea composto di numero e questa
parte non è men bella che dilettevole: però senza altra circolutione
di parole verrò alla dimostratione di questo primo Capitolo di tanti
uguale a numero.
Questa dimostratione può essere in due modi, o in linea overo in
superficie, e prima sia in superficie.»
• R.Bombelli (1572) : Dimostratione del Capitolo di Tanti eguale a
numero: modello geometrico dell’uguaglianza alla base
dell’equazione
ax = b caso: 3x = 24
Th.: Rect (pfbe) = Rect (ehgd)
Cioè: pf  fe = ed  eh
Interpretazioni:
x  fi = eh
1 fp = eb
24  fe = ih
3  ed = hg
Il teorema interpreta
la seguente espressione: 3x = 124
• R.Bombelli 1572: Interpretazione della procedura
risolutiva ax = b, caso: 3x = 24
Th.: Triang(eda) è
simile al Triang(efi)
cioè: fi : ad = fe : ed
Interpretando:
x : 1 = 24 : 3
cioè:
x=8
•
R.Bombelli (1572): Determinazione con riga e compasso
della soluzione dell’equazione: ax = b (case: 3x = 24)
1. Tracciamo fe = 24
2. Prolunghiamo fe con ed = 3
3. Tracciamo eb = fp = ad = 1
perpendicolari a fed
4. Prolunghiamo ae e fp
5. Determiniamo il punto i
6. Affermiamo che fi = x
• R. Bombelli (1572): Dimonstratione di capitolo di Potenze e
Tanti uguale a numero
x2 + bx = c (caso: x2 + 6x = 16)
• Th: Gnomon (DCLHGF) +
+ Quad(LEGH) = Quad(FQRS) +
+ Quad (ETUQ)
Interpretazioni:
x2 + bx  Gnom (DCLHGF)
b2/4  Quad (LEGH) =
Quad (ETUQ)
c  Quad (FQRS)
Il teorema interpreta
la seguente:
x2 + bx + b2/4 = c + b2/4
• G.Cardano (1545), R.Bombelli (1572)
• Th.: Cubo(r,k) + 3Parall.(m,i) =
= Cubo(c,k) – Cubo (b,s) =
= Gnomonide (r, k)
Caso: x3 + 6x = 20 (x3 + px = q)
uv = p/3 e u3 – v3 = q
Interpretazioni: x  ab
 x3  ab3 = Cubo (r,k)
 6x = 32x = 3uvx  3acbcab=
= 3 Parall(m, i)
 20 = u3 – v3 = q  ac3 – bc3 =
= Gnom(r, k)
• R.Bombelli (1572) [applicazione del cd. 1° teor. di Euclide]
Caso: x3 + 6x = 20
• Th.: hi2 = mhhe =
= bc(hc + ce)
Interpretazioni:
mh = hn = bc
hi2  20
hc = nb  6
dc  1
bc  x (graficamente
determinabile) = 2
Geometricamente
cd : bc = bc : ce  1 : x = x : ce  ce  x2
R. Bombelli (1572): Quarto grado
caso generale:
x4 = ax + b
x4 + (2yx2 + y2) =
= ax + b + (2yx2 + y2)
Risolvente di Ferrari:
2y3 + 2yb = a2/4
Soluzioni:
x2 +y0 = x(2y0 ) + (b + y20)
Costruzione: Quad.(ID) = Quad.(GS) ; ID = IC + CD = GS =
= GR + RS = NO + OP
Interpretazioni: x2  IC = IB; y0  CD ; (b + y20)  OP
x(2y0 )  NO
• Se ci soffermiamo sulle interpretazioni delle
equazioni di primo, di secondo e di terzo grado (caso
solido) si osserva che esse avvengono in conformità con
un principio che associa ad ogni monomio dell'equazione
una superficie, nel caso del primo e del secondo grado,
un volume, nel caso del terzo grado. Per cui, come
tradizionalmente si dice, questa interpretazione
soddisfa al principio di omogeneità (dimensionale).
Più precisamente, si tratta di interpretazioni che
associano a x un lato, a x2 un quadrato, a x3 un cubo, ad
un numero o una linea (segmento), o una figura piana,
o una figura solida a seconda dei casi di omogeneità di
cui si è detto poc’anzi.
• François Viète
Isagoge in Artem Analyticem [Introduzione all’Arte Analitica] (1591)
Capitolo I
Sulla definizione e ripartizione dell’Analisi e delle parti della Zetetica
Esiste una via per cercare la verità nelle matematiche, di cui si dice che Platone sia stato il
primo inventore, chiamata da Teone “Analisi” e che quest’ultimo definì così: “Metodo
mediante il quale si prende come concesso ciò che si domanda, fino ad arrivare di
conseguenza in conseguenza [demonstratio quia] ad una verità incontestabile” . Nella
Sintesi [demonstratio propter quid] al contrario, si prende ciò che è premesso [come
ipotesi] per arrivare all’obiettivo [cioè alla tesi], e alla comprensione di ciò che si chiede.
Mentre gli Antichi avevano stabilito due sole specie [ossia fasi] dell’Analisi, la
“Zetetica” e la “Poristica”, alle quali si riferisce in particolare la definizione di Teone, è
tuttavia conveniente stabilire una terza fase, che chiamerò “Retica Esegetica”. Così con
il metodo della Zetetica si trova un’uguaglianza o una proporzione fra le grandezze
cercate e quelle date; con il metodo della Poristica si esamina [si stabilisce], per mezzo
della uguaglianza o della proporzione [stabilite nella fase della Zetetica] la verità di un
teorema enunciato. Mediante il metodo dell’Esegetica, si ricava [preceptum] la
grandezza cercata dall’eguaglianza o dalla proporzione che la contiene.
Conseguentemente l’Arte Analitica, che nel suo insieme abbraccia questi tre metodi,
potrà essere definita a giusto titolo “La scienza del ben trovare nelle matematiche”.
• […] Tutto ciò che riguarda la Zetetica viene stabilito dalla scienza
logica per mezzo di sillogismi ed entimemi, mediante i quali si
stabiliscono le uguaglianze e le proporzioni e che possono essere
dedotte sia da semplici nozioni del senso comune, sia da teoremi
dimostrati mediante l’analisi medesima. Ma la forma sotto la
quale si deve affrontare la Zetesi esige le risorse di un’arte
speciale, che esercita il relativo ragionamento non su numeri,
seguendo così l’errore degli antichi analisti, ma per mezzo di una
Logistica nuova, molto più opportuna della Logistica numerosa,
e che è più utile di questa a confrontare le grandezze tra loro,
proponendo in primo luogo la legge delle grandezze omogenee e
stabilendo successivamente, come si fa, la ben nota serie o scala
delle grandezze che aumentano o diminuiscono da un genere
all’altro proporzionalmente in base alla loro potenza, per mezzo
della quale sono designati e distinti nel confrontarli i loro gradi e
i loro generi.
Capitolo II
Sui simboli di uguaglianza e di proporzione
Il metodo analitico ammette come dimostrati i simboli [cioè le leggi] ben conosciute delle
uguaglianze e delle proporzioni che si trovano negli elementi [Elementi euclidei] come i
seguenti:
1. Il tutto è uguale alla somma delle sue parti [“Totum suis partibus aequati”]
2. “Quae eidem aequantur, inter se esse aequalia” (Se A = B e A = C allora B = C)
3. “Si aequalia aequalibus addantur, tota esse aequalia” (Se A = B e C = D allora A +
C = B + D)
4. “Si aequalia aequalibus auferantur, residua esse aequalia” (Se A = B e C = D allora
A–C=B–C)
5. “Si aequalia per aequalia multiplicentur, facta esse aequalia” (Se A = B e C = D allora
AC=BC)
6. “Si aequalia per aequalia dividantur, orta esse aequalia” (Se A = B e C = D allora
A/C = B/C)
[…]
16. “Si fuerint tres quatuorve magnitudines, & sit ut prima ad secundam, ita secunda illa,
vel tertia quaepiam ad aliam, erit quod fit sub extremis terminis aequale ei quod sit sub
mediis” (Se A : B = C : D allora A  D = B  C)
Si può dunque chiamare una proporzione “istituzione di un’eguaglianza” e un’uguaglianza
“risoluzione di una proporzione”.
Capitolo III
Sulla legge delle grandezze omogenee dei gradi e dei generi delle grandezze confrontate
La legge fondamentale e immutabile delle uguaglianze o delle proporzioni, chiamata
“Legge degli omogenei”, perché ella deriva dalla natura stessa delle grandezze omogenee, è
la seguente:
- Gli omogenei devono essere comparati a omogenei [ «Homogenea homogeneis
comparare» [Ciò sta a significare che possiamo stabilire un’eguaglianza se e solo i monomi
dei due membri dell’eguaglianza hanno tutti la stessa dimensione geometrica. In virtù di
questa legge ogni uguaglianza algebrica viene considerata come una uguaglianza
geometrica]
- “Si magnitudo magnitudini additur, haec illi homogenea est” e “Si magnitudo
magnitudini subducitur, haec illi homogenea est” (La somma o la differenza di due
grandezze può essere effettuata se sono tra loro omogenee)
- “Si magnitudo in magnitudinem ducitur, quae fit, huic & illi heterogenea est” (Se si fa il
prodotto tra due grandezze la grandezza risultato sarà eterogenea con ciascuna delle
precedenti)
- “Si magnitudo magnitudini adplicatur, haec illi heterogenea est”
Ed è per aver trascurato questi principi che gli analisti antichi sono andati ciecamente o
nell’oscurità.
Le grandezze che si elevano o si abbassano proporzionalmente mediante la loro
propria potenza da un genere ad un altro sono chiamate “Scalari”. Delle
grandezze scalari la prima è:
1. lato (“latus” or “radix”)
2. quadrato (“quadratum”)
3. cubo (cubus)
4. quadrato-quadrato (“Quadratum-quadratum”)
5. quadrato-cubo (“Quadrato-cubus”)
6. cubo-cubo (“cubo-cubus”)
7. quadrato-quadrato-cubo (“Quadrato-quadrato-cubus”)
8. quadrato-cubo-cubo (“Qudrato-cubo-cubus”)
9. cubo-cubo-cubo (“Cubo-cubo-cubus”)
ecc.
[…].
I generi delle grandezze confrontate nell’ordine con il quale si enunciano
le scalari, sono:
1. lunghezza (“Longitudo latitudove”)
2. piano (“Planum”)
3. solido (“Solidum”)
4. piano-piano (“Plano-planum”)
5. piano-solido (“Plano-solidum”)
6. solido-solido (“Solido-solidum”)
7. piano-piano-solido (“Plano-plano-solidum”)
8. piano-solido-solido (“Solido-solido-solidum”)
9. solido-solido-solido (“Solido-solido-solidum”)
ecc.
[…]
• François Viète (1540 – 1603)
Isagoge ad artem analyticem (1593)
• Esplicitazione come legge (Assioma
algebrico, nell’ambito della logistica
speciosa) del principio di omogeneità
• “Homogenea ad homogeneis comparari”
Es.: A cubus + B plano in A, aequetur C solido
TEORIA DELLE EQUAZIONI ALGEBRCHE IN VIÈTE
Viète studia le equazioni algebriche nei seguenti lavori:
Effectionum Geometricarum Canonica Recensio (1593) (interpretazioni geometriche)
De numrosa Potestatum ad Exegesin Resolutione (1600) (esempi di soluzioni di
equazioni numeriche)
De aequationum Emendatione (1615) (trasformazioni di polinomi che riguardano
equazioni)
De aequationum Recognitione (1615): Teoria delle equazioni algebriche secondo i loro
rapporti con le proporzioni continue. Questa teoria è così suddivisa:
- DE ZETETI, è quella parte della teoria in cui ad una equazione fino al terzo grado
viene associato uno zetetico (problema), che a sua volta riguarda una proporzione
continua.
- DE PLASMATE , dove è dato un metodo che consente di risolvere un’equazione
trasformandola in un’altra equazione di grado più basso o uguale e più semplice.
- DE SYNCRISI, Questa parte di teoria consiste nel considerare coppie di equazioni
trinomie tra loro collegate con lo scopo di rappresentare adeguatamente le radici
positive.
Consideriamo la Syncrisis . Essa è divisa in tre parti con
l’obiettivo di accoppiare equazioni nelle quali simmetricamente
vengono scelte radici reali POSITIVE. Vediamo le prime due.
- "Aequationum ancipitum constitutiva". In questa (vedi sotto) si
tratta solo di un cambio letterale del nome dell’incognita e quindi
di avere sostanzialmente due equazioni identiche, così per
esempio, se A1 è una radice positiva di (), allora A1 = E1 è
anche radice positiva di () (visto che a Viète interessano le radici
positive).
() BA - A3 = Z
() BE - E3 = Z
- "Aequalitatum
contradicentium constitutiva". Consideriamo, per esempio, i
seguenti due tipi di equazioni trinomie (in cui è importante osservare la
forma):
() A4 + BA = Z
() E4 - BE = Z
se A1 è una radice negativa di () allora - A1 = E1 è radice positiva di ().
Esempio numerico:
() A4 + 5A = 6
() E4 - 5E = 6
Le soluzioni reali di () sono 1 e -2 e quelle di () rispettivamente -1 e 2.
Ciò vuol dire che ad (), della quale si sceglie la radice 1 va associata la ()
della quale si sceglie la soluzione 2. Quindi, secondo questa impostazione,
va considerata la coppia ((),())
- "Aequalitatum inversarum constitutiva". Pure in
questo caso va osservata l’espressione delle equazioni
accoppiate. Ecco l’esempio:
() BA - A5 = Z
() E5 - BE = Z
Se A1 è radice negativa di () allora - A1 = E1 è radice
positiva di ().
• Descartes nella Géométrie (1637) sembra
avere come obiettivo, nel momento in cui
associa ad un luogo geometrico un’equazione,
quello di algebrizzare la geometria. In questo
contesto si ha il concetto di variabile.
• Tuttavia nella Géométrie vengono trattate
anche le equzioni algebriche.
• Descartes non considera più in modo
preminente il principio di omogeneità
dimensionale.
• Riguardo alle radici delle equazioni, Descartes
ha mentalità analoga a quella di Viète. Anche
se considera le soluzioni negative, tuttavia le
ritiene pur sempre “fausses”
• In qualche modo Descartes formula quello che
verrà chiamato teorema fondamentale
dell’algebra.
Descartes in Géométrie libro III afferma
sostanzialmente che un’ equazione a seconda del suo
grado ha altrettante soluzioni, comprese quelle “false”
[fausses], cioè negative (non considerando in questo
contesto il campo complesso). Così ad es. dice
Descartes che:
x3 – 9xx – 26x – 24  0
ha tre soluzioni reali positive: 2, 3 e 4. Mentre:
x4 - 4x3 – 19xx + 106x – 120  0
ha quattro soluzioni: tre positive, 2, 3 e 4 e una
negativa [fausse], cioè - 5
• QUALCHE CONCLUSIONE
- Nell’arco di tempo considerato si
assiste ad un cambiamento evolutivo del
linguaggio oggetto, cioè del modo di
scrivere l’algebra. La posizione di Viète
in questo contesto è storicamente
cruciale
- Il legame con la geometria euclidea
diventa sempre meno essenziale. Il
punto di vista cartesiano rivoluziona
appunto questo rapporto.