NEATEC_Seminario-10_03_2005 - Dipartimento di Matematica

Modellizzazione
Matematica/applicabilità
Può la matematica, e in che modo, influire
sullo sport, sull’ambiente, sulla medicina,
sulla vita di tutti i giorni?
Da qualche tempo le simulazioni al calcolatore basate su modelli
matematici consentono di rappresentare con accuratezza sempre
maggiore fenomeni di reale interesse in numerosi campi delle
scienze applicate e non solo nell’ingegneria.
Matematica/sport
Nello sport da competizione questo approccio può rivelarsi utile
per migliorare le prestazioni.
Simulazioni del :
-campo di flusso aerodinamico
-campo di flusso idrodinamico
-turbolenze che si creano al contatto della barca con
l’acqua
-spinta del vento
progettazione delle forme ottimali di
scafo, chiglia, bulbo e alette.
Vittoria della Coppa America per
l’imbarcazione svizzera Alinghi
Matematica/sport 2
Problema:
Miglioramento della forma degli alettoni posteriori di una macchina
di Formula UNO, in modo che presentino il minimo attrito all’aria.
Soluzione più naturale:
Progettare un alettone, costruirlo, montarlo e provarlo.
- Soluzione costosa
- Nessuna certezza di ottenere un miglioramento
Soluzione:
Scelta di un modello matematico per rappresentare la situazione dei
moti turbolenti dell’aria ad alate velocità incidente sull’alettone
Matematica/ambiente
Ma i modelli matematici hanno un ruolo anche nella
simulazione di eventi di interesse ambientale, allo scopo di
formulare stime di impatto o di indicare strategie di controllo
dell’inquinamento atmosferico o idrico.
modelli matematici per
-la crescita urbana
(http://www.ticinoricerca.ch/catprog/attachment/documentazioni/4_ACME.
pdf)
-il gioco del lotto
-la meteorologia
-lo studio del comportamento
(http://www.dm.unito.it/personalpages/cermelli/dispense-comp-v3.pdf)
Matematica/medicina
La matematica si applica con successo anche alla medicina: è di
nuovo un problema matematico simulare al computer il flusso di
sangue nel sistema cardiovascolare per capire, ad esempio, come
influisce l'impianto di uno stent in un’arteria affetta da aneurisma
o come migliorare la forma di un bypass coronarico
Conclusione
Modelli matematici + algortimi e calcolatori (informatica)
permettono
di estendere l’utilizzo della matematica a tutti i fenomeni
del mondo che ci circonda.
Lo studio del fenomeno con un modello matematico
(sistema di equazioni) fornisce l’informazione cercata
senza dover effettivamente riprodurre il fenomeno con
notevole risparmio di risorse economiche e temporali
Che cosa è un
modello
Un modello può quindi essere schematizzato come un
strumento matematico che riceve dei dati in input, li
elabora calcolando tutte le grandezze fisiche di interesse e
restituisce in output lo stato finale del sistema come
conseguenza degli “stimoli” introdotti.
Si parla di modello matematico di un sistema fisico quando si studia il
comportamento del sistema mediante un certo numero di assunzioni
che si traducono in un sistema di equazioni.
Caso studio
SIGEM - SIMMA
Cliente
Cliente:
Ministero dell’interno
Corpo Nazionale dei vigili del fuoco
Progetto:
SIGEM-SIMMA
Attività:
Analisi e realizzazione di un sistema che fornisce una
valutazione di massima dell’impatto fisico dovuto ad
esplosioni, incendi e rilasci di sostanze infiammabili e/o
tossiche.
Obiettivo
Obiettivo:
valutare le distanze di impatto entro le quali si
superano le soglie di danno e di letalità
Evento
pericoloso
Incendio
Fireball
Flash fire
UVCE
Soglia di
elevata letalità
12,5 kW/m2
Soglia lesioni
irreversibili
5 kW/m2
Soglia lesioni
reversibili
3 kW/m2
Raggio
200 kJ/m2
125 kJ/m2
LFL
½ LFL
-
0,6 bar
0,07 bar
0,03 bar
Nota: normativa relativa ai serbatoi di
stoccaggio di GPL (G.U. 9.7.1976)
Caso
GPL Casalguidi
Caso: descrizione
Esempio: GPL Casalguidi
–19.2.1985 Casalguidi (PT)
–2 morti, 4 feriti
–serbatoio 2 t
–descrizione
•autocisterna ferma su rampa per rifornire un
serbatoio fisso indietreggia andando a urtare
violentemente un fabbricato
•nell’urto si rompe una valvola e fuoriesce GPL
liquido che vaporizza nel fabbricato
•il GPL trova un innesco nel fabbricato ed esplode
schema
OUTPUT
INPUT
Portata uscita
Durata del rilascio
Sostanza
-Caratteristiche
-Quantitativo uscito
-Stato fisico
Condizioni
meteorologiche
Condizioni
Al contorno
Campi di radiazione
termica  ustioni
Modello
matematico
Campi di sovrappressione
 crolli, schegge
Campi di concentrazione
 intossicazione
Es.: Pool Fire
Modello di dispersione
dei gas
Rappresentazione grafica dell’intensità delle radiazioni in funzione della distanza
Asse y: intensità delle radiazioni
Asse x: distanza
Evoluzione dello Scenario
Fuoriuscita di liquido infiammabile e tossico
innesco immediato della perdita?
si
no
jet fire
si forma una pozza
innesco immediato dei vapori?
si
no
pool fire
si forma una nube di vapori
innesco della nube?
si
flash fire
no
UVCE
dispersione nube tossica
Evoluzione dello Scenario
Incendio che avvolge un contenitore
di gas liquefatto infiammabile
riscaldamento uniforme?
si
no
sfiato dalla valvola di sicurezza
BLEVE
innesco?
grossa nube di vapori
si
no
jet fire
si forma una nube di vapori
innesco immediato?
innesco?
si
flash fire
no
si
fireball
no
UVCE
frammenti
dispersione sicura
Scenario Incidentale
L’evoluzione temporale dello scenario
dipende da vari fattori
– caratteristiche della sostanza
• infiammabile, tossica, più leggera o più pesante
dell’aria, ecc.
– stato fisico durante il trasporto
• gas, liquido, gas liquefatto in pressione, ecc.
– quantitativo fuoriuscito
– condizioni meteorologiche
• temperatura, velocità del vento, umidità, ecc.
– condizioni al contorno
• perdita su terreno, asfalto o acqua, fonti di innesco,
morfologia del terreno, presenza di fabbricati, ecc.
Conseguenze
Le conseguenze della fuoriuscita di un
prodotto pericoloso si estrinsecano in
– campi di radiazione termica
ustioni
• jet fire, pool fire, flash fire, fireball
– campi di sovrapressione
crolli e schegge
• UVCE, esplosione fisica, BLEVE
– campi di concentrazione
• nubi tossiche
intossicazione
Valutazioni
Il software valuta
– portata fuoriuscita e durata del rilascio
– dimensioni della pozza, tasso di vaporizzazione
– campi di concentrazione per la dispersione del
prodotto in aria in funzione del tempo e dello
spazio (tridimensionali) per infiammabili e tossici
– campi di radiazione termica in funzione dello
spazio in caso di jet fire, pool fire e fireball
– campi di sovrapressione in funzione dello spazio
in caso di esplosione
Descrizioni scenari
- Rilascio
di liquido nell’ambiente con formazione di pozze
- Dispersione di gas, vapori o nebbie in atmosfera
- Incendio di pozze, serbatoi o bacini di liquidi
infiammabili (pool fires e tank fires)
- Formazione di getti infuocati (jet fires)
- Esplosione di miscele infiammabili sia confinate che non
confinate (flash fires, UVCE, CVE)
- Formazione di sfere infiammabili (BLEVE, Fireballs)
Caso studio
MLG – Magazzino Lamiere Grezze
Cliente
Cliente:
ALENIA
Attività:
progetta e sviluppa prodotti per l'aeronautica civile e militare.
La sede di NOLA si occupa della produzione di parti lavorate
di macchina, fabbricazione di lamiere metalliche e
assemblaggio di pannelli con elevato livello di integrazione e
automazione industriale.
Problematica
Stoccaggio di lamiere grezze destinate all’area di Assemblaggio e
Fabbricazione
Le lamiere sono disposte in casse
Ogni cassa è posizionata in un contenitore
I contenitori sono disposti in pile per un max di 9 contenitori
Principali Attività
•Stoccaggio
Attività di immagazzinamento lamiere
•Approntamento:
Attività del magazzino per portare a galla il contenitore con il
materiale di interesse. Tale attività è eseguita di notte
•Prelievo
Attività, eseguita dall’operatore, per il prelievo della lamiera
•Deposito
Attività, eseguita dall’operatore, per il deposito di una cassa. Il
deposito avviene solo in un contenitore vuoto.
Stoccaggio
Si assume:
1. Ogni cassa contiene lamiere con medesimo
codice
2. Il
contenitore
scelto
per
l’immagazzinamento sia vuoto
3. Ogni contenitore contiene al più una cassa
4. Disposizione della cassa
La cassa è centrata rispetto al baricentro del
contenitore in modo da garantire, quando il
contenitore è inserito in una pila, che:
il peso complessivo della pila sia
coincidente con il baricentro stesso del
contenitore/cassa
il peso sia ben distribuito rispetto ai
punti di aggancio dei contenitori.
Approntamento
L’approntamento è l’attività che “porta a galla” il contenitore
interessato secondo la teoria della torre di Hanoi con il minore numero
di mosse possibili. La scelta del contenitore viene fatta in base:
- alle casse con il minor numero di lamiere
- alla data di immagazzinamento delle lamiere
L’attività di approntamento è eseguita di notte in modo che l’operatore al
mattino si trova i contenitori contenenti il materiale da prelevare in cima alle
pile per permettere il prelievo
Vista Layout Magazzino
Vista layout magazzino
navetta
pila
Prelievo
La fase di prelievo della lamiera inizia con
l’avvicinare la cassa all’estremità della navetta
mediante i cingoli di cui la stessa navetta è
provvista.
cassa
Navetta (in giallo)
Cingolo della navetta
Contenitore (in blue)
L’operatore/i aggancia la
lamiera alla barra (a sua volta
legata al carroponte manuale)
fissandone le estremità ai
morsetti di cui la barra è
provvista.
Nota: Può capitare, per la posizione della cassa, che l’operatore salga sulla navetta per prelevare
la lamiera sollevandola a mano per cui il peso deve essere sostenibile per garantire la
dell’operatore e l’integrità della lamiera
Limiti Attuale Magazzino
I vincoli
• Ogni contenitore contiene al più una cassa (ovvero un materiale)
• La cassa è posizionata al centro del contenitore
• Si esegue il deposito solo se il contenitore sia vuoto
causa
Perdita di spazio
- Presenza di contenitori contenenti casse di piccole dimensioni
- Materiale a terra in attesa di essere stoccato.
Nuovo magazzino
La richiesta è
Ottimizzazione della capacità di immagazzinamento
Consentire lo stoccaggio di codici materiali anche diversi sullo
stesso contenitore tenendo presente
- la dimensione delle casse contenenti il materiale
- la stabilità della pila
Elementi di Analisi
Prendendo in esame
• le dimensioni del contenitore
• le dimensioni delle singole casse
• il codice materiale
Considerando
-
la stabilità del contenitore quando disposto in pile
la modalità di prelievo del materiale
Si è operato
• nel suddividere il contenitore in aree
• nello stoccare più codici materiali su di uno
stesso contenitore
Soluzione finale
Possibili disposizioni delle casse in un contenitore
Cod1
Cod1
Cod1
Cod2
Cod2
Cod1
Cod2
Cod1
Cod2
Cod1
Cod1
Cod1
Cod1 e Cod2 sono i codici materiali
…..
Torre di Hanoi
Torre di HANOI
La Torre di Hanoi è un rompicapo matematico composto da tre
paletti e un certo numero di dischi di grandezza decrescente, che
possono essere infilati in uno qualsiasi dei paletti.
Il gioco inizia con tutti i dischi incolonnati su un paletto in ordine decrescente, in
modo da formare un cono. Lo scopo del gioco è portare tutti dischi sull'ultimo
paletto, con un numero mnimo di mosse, potendo spostare solo un disco alla volta
e potendo mettere un disco solo su un altro disco più grande, mai su uno più
piccolo.
http://it.wikipedia.org/wiki/Torre_di_Hanoi
Soluzione
SOLUZIONE
La proprietà matematica base è che il numero minimo di mosse necessarie per
completare il gioco è 2n - 1, dove n è il numero di dischi. Ad esempio avendo 3
dischi, il numero di mosse minime è 7.
Algoritmo
Algoritmo
ricorsivo
•Si etichettano i paletti con le lettere A, B e C
•Dato n il numero dei dischi
•Si numerano i dischi da 1 (il più piccolo, in alto) a n (il più grande, in
basso)
Per spostare i dischi dal paletto A al paletto B:
1.Sposta i primi n-1 dischi da A a C. Questo lascia il disco n da solo sul
paletto A
2.Sposta il disco n da A a B
3.Sposta n-1 dischi da C a B
Questo è un algoritmo ricorsivo, di complessità esponenziale, quindi per
risolvere il gioco con un numero n di dischi, bisogna applicare l'algoritmo
prima a n-1 dischi. Dato che la procedura ha un numero finito di passi, in
un qualche punto dell'algoritmo n sarà uguale a 1. Quando n è uguale a 1,
la soluzione è banale: basta spostare il disco da A a B.
Terminologia
• Contenitore
Supporto fisico (colore Bleu) atto a contenere le lamiere (L=12.2 m
W=3.2 m H=0.4 m )
•Cassa
Insieme delle lamiere da posizionare su di un contenitore
• Approntamento
Attività del magazzino per portare a galla il contenitore con il
materiale di interesse. Tale attività è eseguita di notte
• Galleggiamento
Operazione con la quale il magazzino provvede a portare in superficie
ossia in cima ad una pila uno o più contenitori
Resto della divisione
Calcolare il resto di una divisione nell’ipotesi in cui non si conosca
l’operazione di divisione
Soluzione:
Sottrarre dal dividendo il divisore fino ad ottenere un numero minore del
divisore.
Esempio:
Il resto della divisone 15/4 è 3. Infatti, con sole tre sottrazioni si ottiene il
resto:
15-4=11-4=7-4=3