Tesi di Laurea in ingegneria meccanica

24/09/2010
Genova
Tesi di Laurea in Ingegneria
Meccanica
Sviluppo e validazione di un codice
numerico per la risoluzione delle
equazioni di Navier-Stokes
Relatore: Professor Alessandro Bottaro
Candidato: Daniele Parodi
Introduzione
• Ambito della tesi: sperimentazione numerica.
• Obiettivo: sviluppo di un semplice codice
numerico che risolva le equazioni di
Navier-Stokes nel caso 2D ed
incomprimibile.
• Tempo occorso: circa 6 mesi da marzo 2010 ai
primi di agosto ’10.
Candidato: Daniele Parodi
Cronologia
• Primo passo: studio delle basi del calcolo
numerico.
• Secondo passo: studio dell’equazione di
Burgers.
• Terzo passo: sviluppo del codice vero e proprio
e relativa validazione.
Candidato: Daniele Parodi
Risultati ottenuti per Burgers
• Forma dell’equazione di Burgers:
- linearizzata:
- non viscosa:
- viscosa:
Candidato: Daniele Parodi
Burgers linearizzata
Metodo di Lax-Wendroff con CFL=0.8 dx=0.001 dt=0.0008 a=1
1
u0
ulw
ue
0.9
0.8
0.7
0.6
t=2
u
t=0
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-4
-3
-2
-1
0
x
1
Candidato: Daniele Parodi
2
3
4
Burgers non viscosa
Equazione di Burgers non viscosa con metodo di Lax-Wendroff dx=0.001 e dt=0.0008
1.4
u0
t=0.5
t=0.7
t=1
t=1.6
t=2
t=2.4
1.2
1
u
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-3
-2
-1
0
x
1
Candidato: Daniele Parodi
2
3
Burgers non viscosa
Equazione di Burgers non viscosa con metodo di Lax-Wendroff e dx=0.001 dt=0.0008
1.5
u0=sin(2x)
t=0.1
t=0.5
t=1
1
u
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x
2
2.5
Candidato: Daniele Parodi
3
3.5
4
Burgers viscosa
Burgers non viscoso
Burgers viscoso
1
1
u0
t=1
t=2
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
u
u
u0
t=1
t=2
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
0
-3
-2
-1
Candidato: Daniele Parodi
0
x
1
2
3
Andamento errori metodo di Lax-Wendroff
0
10
Andamento errori metodo UPWIND
0
10
cfl=0.5
cfl=0.8
-1
10
-2
10
-1
10
log(err2)
log(err2)
Burgers
-3
10
-4
-2
10
10
-5
10
-3
-6
10
10
-2
10
-1
10
log(dx)
0
10
-2
-1
10
10
log(dx)
Candidato: Daniele Parodi
Risultati ottenuti per Navier-Stokes
• Sistema di equazioni da risolvere:
Candidato: Daniele Parodi
Navier-Stokes
• Comprimibilità artificiale
• Marker and Cell
• Staggered Grid
Candidato: Daniele Parodi
Navier-Stokes
Candidato: Daniele Parodi
Navier-Stokes
• Driven cavity:
Fluido
Candidato: Daniele Parodi
Navier-Stokes
DRIVEN CAVITY n=5000, Re=600
-3
10
-4
10
-5
10
-6
log(e)
10
-7
10
-8
10
-9
10
-10
10
0
500
1000
1500
2000
2500
n
3000
3500
Candidato: Daniele Parodi
4000
4500
5000
Navier-Stokes
DRIVEN CAVITY t=6
t=6
DRIVEN CAVITY t=10
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
t=10
0.5
Y
Y
0.6
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
X
0.6
0.7
0.8
0.9
0
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
X
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.7
0.8
0.9
1
DRIVEN CAVITY t=25
1
DRIVEN CAVITY (80X80)
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
t=25
0.5
Y
0.6
Y
t=25
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
X
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0
Candidato: Daniele Parodi
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
X
0.6
Navier-Stokes
Paragone con articolo di
Charles-Henri Bruneau, Mazen Saad The 2D lid-driven cavity problem revisited Computers & Fluids 35 (2006) 326-348
PRESSIONE
LINEE DI CORRENTE
VORTICITA'
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
Y
1
Y
1
Y
1
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
0
0
0
0.2
0.4
0.6
X
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X
Candidato: Daniele Parodi
0
0
0.2
0.4
0.6
X
0.8
1
Navier-Stokes
Schema
Griglia
ymax
w
x
y
Present
128x128
0,11786
2,0508
0,46875
0,5625
Upwind
128x128
0,11796
2,0549
0,46875
0,5625
Kawamura
128x128
0,11790
2,0557
0,46875
0,5625
Quicktest
128x128
0,11503
1,9910
0,46875
0,5625
Schema
Griglia
ymax
w
x
y
Compr. Art.
80x80
0,1091
2,1187
0,46875
0,5625
Candidato: Daniele Parodi
Navier-Stokes
Schema
Griglia
ymin
Present
128x128
-1.7003x10-3 -1,1304
0,14603
0,10938
Upwind
128x128
-1.7322x10-3 -1,1204
0,14603
0,10938
Kawamura
128x128
-1.7281x10-3 -1,1138
0,14603
0,10938
Quicktest
128x128
-1.7689x10-3 -1,0771
0,14603
0,10938
Schema
Griglia
ymin
Compr. Art.
80x80
-0,0065
w
w
-0,9895
Candidato: Daniele Parodi
x
x
0,14603
y
y
0,10938
Conclusioni, ovvero cosa ho imparato
• Alcuni metodi alle differenze finite utili per la
risoluzione delle equazioni differenziali.
• Ad usare maggiormente le grandi potenzialità
di MatLab.
• I rudimenti del calcolo scientifico.
Candidato: Daniele Parodi