Le funzioni - Matematica e

Liceo Classico “Seneca”
La teoria della Relatività Ristretta
Prof. E. Modica
Alcune domande…
DOMANDE
Come misurereste la durata dell’oscillazione di un pendolo?
Cosa intendete per “intervallo di tempo”?
Cosa intendete per sistema di riferimento assoluto? Sapreste darne alcuni esempi?
Vi è stato riferito che il treno diretto per Roma parte alle ore 20 dalla stazione centrale
di Palermo. Come potete verificarlo? E come può verificare ciò un vostro compagno che
si trova a Roma?
Supponete che un treno oltrepassi un marciapiedi ad una certa velocità e che uno di voi
si trovi sul treno. Come si può misurare la lunghezza del marciapiede dal treno? Se un
altro vostro compagno misura tale lunghezza da terra, cosa vi aspettate in merito ai due
valori misurati?
Un capotreno accende una lampadina posta al centro di un vagone ferroviario. Come
percepisce l’arrivo della luce su due passeggeri seduti alle estremità opposte del
suddetto vagone? Se il treno sta passando da una stazione, cosa può dire il
capostazione?
Un aeroplano viaggia a una velocità di 800 km/h circa e invia verso la torre di controllo
un segnale luminoso. Con che velocità viaggia tale segnale?
Sul concetto di etere…
L’etere secondo Aristotele
Secondo il filosofo greco l'etere era
l'essenza del mondo celeste,
diversa dalle quattro essenze (o
elementi) di cui si riteneva composto il
mondo
terrestre:
terra,
aria, fuoco e acqua.
Aristotele credeva che l'etere fosse
eterno, immutabile, senza peso e
trasparente. Proprio per l'eternità e
l'immutabilità dell'etere, il cosmo era
un
luogo
immutabile,
in
contrapposizione alla Terra, luogo di
cambiamento.
L’etere secondo Giordano Bruno
Propone una nuova cosmologia
in cui l’Universo è ritenuto
infinito e scrive: “Oltre gli quai
quattro elementi che vegnono
in composizion di questi, è una
eterea regione, come abbiam
detto, immensa, nella qual si
muove, vive e vegeta il
tutto. Questo è l’etere che
contiene e penetra ogni
cosa”.
L’etere secondo Newton (1643-1727)
Mentre nei suoi Principia
(1687) dimostra rigorosamente
quanto afferma, nella sua opera
Opticks (1704) il fisico pone
delle domande (query) al lettore
su ipotesi non dimostrate,
alcune di esse riguardano
proprio l’etere.
L’etere secondo Newton - Opticks
Query
Contenuto
n.18
Il calore della stanza calda non è trasportato nel vuoto dalle vibrazioni di
un qualche mezzo più sottile dell’aria, il quale, dopo che l’aria è stata
pompata fuori, rimane vuoto? […] E questo mezzo non è
estremamente più raro e sottile dell’aria, ed è più elastico ed
attivo? E non penetra facilmente in tutti i corpi? E non è sparso
(a causa della sua forza elastica) in tutti i cieli?
n.19
La rifrazione della luce non procede dalla diversa densità di
questo mezzo etereo nei diversi luoghi, allontanandosi sempre
la luce dalle parti più dense del mezzo?
n.20
Col passare dall'acqua, dal vetro, dal cristallo e da altri corpi
compatti e densi nello spazio vuoto, non diventa, questo mezzo
etereo, gradualmente sempre più denso […]?
n.21
Questo mezzo, non è molto più raro dentro i corpi densi del sole,
delle stelle, dei pianeti e delle comete che nel vuoto spazio
celeste esistente tra essi? E nel passare da quelli a distanze
molto maggiori, non diventa continuamente sempre più denso,
e causa per ciò stesso la gravitazione di questi grandi corpi l'uno
verso l'altro e delle loro parti verso i corpi: ogni corpo
compiendo uno sforzo per andare dalle parti più dense del
mezzo verso quelle più rare?
Newton – Tempo assoluto
“ […] Il tempo assoluto, vero, matematico, in sé e per
sua natura senza relazione ad alcunché di
esterno, scorre uniformemente, e con altro nome è
chiamato durata; quello relativo, apparente e
volgare, è una misura (esatta o inesatta) sensibile ed
esterna della durata per mezzo del moto, che
comunemente viene impiegata al posto del vero
tempo: tali sono l'ora, il giorno, il mese, l'anno […]
Tutti i movimenti possono essere accelerati o
ritardati, ma il flusso del tempo assoluto non può
essere mutato [...] “
Newton – Spazio assoluto
“ […] Lo spazio assoluto, per sua natura senza
relazione ad alcunché d'esterno, rimane
sempre uguale e immobile; lo spazio relativo è
una dimensione mobile o misura dello spazio
assoluto, che i nostri sensi definiscono in
relazione alla sua posizione rispetto ai corpi, ed è
comunemente preso al posto dello spazio
immobile [...] Così, invece dei luoghi e dei moti
assoluti usiamo i relativi [...] “
L’etere secondo Young e Fresnel
I due fisici si occuparono di ottica
nella prima metà del XIX secolo.
L'idea di Young a Fresnel fu
che l'etere si comportasse più
come un solido elastico che
permeava tutto l'universo ma
che, tuttavia, non opponeva
resistenza al moto dei corpi
celesti!
L’etere secondo Maxwell (1831-1879)
I lavori del fisico portano a
riconoscere la natura ondulatoria
della luce.
L'etere
luminifero,
considerato una necessità
nell'ambito
dell'ottica
ondulatoria, divenne anche il
mezzo
attraverso
cui
potevano
propagarsi
le
perturbazioni
elettromagnetiche.
L’etere diventa quindi un sistema
di riferimento assoluto.
Le
equazioni
di
Maxwell
contenevano l'informazione che la
velocità di propagazione delle onde
elettromagnetiche, e dunque anche
della luce, avesse un valore ben
definito e pari a c=300.000 km/s.
Ma c rispetto a che cosa?
Esperimento di Michelson e Morley
Poiché la Terra ruota intorno al
Sole, essa doveva essere in
moto rispetto all’etere e per
tale ragione doveva essere
soggetta alle trasformazioni di
Galileo.
Michelson e Morley, tra il
1881 e il 1887, vollero mettere
in evidenza questo fatto, ma
in realtà pervennero ad un
risultato differente.
L’interferometro
Una sorgente di luce S monocromatica
emette un raggio di luce nella
direzione SP.
P è uno specchio semitrasparente,
disposto ad un angolo di 45° rispetto
al raggio luminoso: di quest’ultimo
una parte r1 viene riflessa verso lo
specchio S1 e una parte r2 viene
trasmessa verso lo specchio S2.
Del primo raggio r1, riflesso da S1, una
parte attraversa P e viene raccolta
dal cannocchiale C e così pure del
secondo raggio r2, riflesso da S2, una
parte viene riflessa da P verso il
cannocchiale C che riceve così due
raggi luminosi fra di loro coerenti
(cioè hanno stessa intensità, stessa
ampiezza
e
stessa
lunghezza
d’onda).
L’interferometro
Secondo l’ipotesi dell’etere…ma…
Se supponiamo che valga l’ipotesi dell’etere e che questo sia fermo rispetto
al sistema solare, la velocità della luce sarebbe allora pari a c rispetto al
sistema solare ma non rispetto a un sistema di riferimento terrestre: la
Terra si muove infatti intorno al sole in un moto praticamente circolare
con velocità v.
Supponiamo che inizialmente l’apparato sperimentale sia orientato in
modo che il braccio SS1 sia parallelo alla velocità v della Terra. Rispetto
all’apparato, il raggio r1 si muove, nell’ipotesi dell’etere, con velocità c+v
mentre esso viaggia da S a S1; e con velocità c-v mentre esso viaggia da S1
a S.
Se ruotiamo l'interferometro di 90°, anziché al raggio orizzontale la velocità
orbitale della Terra si sommerà al raggio verticale, e dunque la differenza
di cammino ottico fra i due raggi varierà; si dovrà quindi avere uno
spostamento nelle frange di interferenza.
In realtà non venne osservato nessuno spostamento, sebbene gli strumenti
utilizzati fossero molto sensibili ed alla stessa conclusione giunsero tutti
coloro che, con tecniche più o meno perfezionate, ripeterono lo stesso
esperimento.
Conclusioni dedotte dall’esperimento
L'esperienza di Michelson e Morley voleva mettere in luce l’esistenza
di una sorta di « vento d'etere » ed il moto relativo rispetto della
Terra rispetto all’etere, assumento valide le trasformazioni di
Galileo.
Il fallimento di tale esperienza smentì gli assunti di partenza,
mostrando una volta per tutte che la luce ha sempre la stessa
velocità per tutti gli osservatori e che evidentemente le
trasformazioni di Galileo NON sono valide per tutti i sistemi di
riferimento in moto relativo l'uno rispetto all'altro.
Alcune delle possibili spiegazioni sono le seguenti:
 la terra è solidale all'etere;
 la terra trascina parzialmente l'etere, come trascina l'aria;
 le equazioni di Maxwell sono errate.
L’ultima possibilità, già alla fine del secolo scorso, era da ritenersi
inaccettabile, soprattutto per le verifiche sull'esistenza delle onde
elettromagnetiche.
I principi della Relatività Ristretta
Dati in possesso di Einstein (1905)
 La velocità della luce nel vuoto è sempre la stessa
indipendentemente dal moto della sorgente o
dell’osservatore.
 Le leggi della natura sono identiche in tutti i sistemi
di riferimento inerziali e tutti i moti sono relativi.
 Vale la trasformazione galileiana delle velocità.
Contraddizione
“Un aeroplano viaggia a una velocità di 800 km/h circa e invia
verso la torre di controllo un segnale luminoso. Con che velocità
viaggia tale segnale?”
Contraddizione tra:
 costanza della velocità della luce
 legge di addizione delle velocità.
Da un lato la velocità della luce deve essere costante e indipendente
dal sistema di riferimento, dall’altro, in base al principio di
relatività galileiana, il segnale luminoso dovrebbe viaggiare ad
una velocità superiore rispetto a quella della luce.
Infatti, sommando la velocità dell’aeroplano alla velocità del
segnale luminoso risulterebbe:
vsegnale  300 000, 2 km / s
cioè :
vsegnale > c.
Postulati della relatività ristretta
I dati sperimentali confermavano la costanza della velocità
della luce e non rimaneva che abbandonare le
trasformazioni galileiane e sottoporre a revisione i concetti
di spazio e di tempo.
Fu proprio quello che fece Einstein, basando la sua teoria sui
due postulati:
 non esiste alcun sistema di riferimento privilegiato e le leggi della
fisica sono le stesse in tutti i sistemi inerziali (invarianza delle leggi
della fisica);
 la velocità della luce nel vuoto ha lo stesso valore in tutti i sistemi di
riferimento inerziali (costanza della velocità della luce).
Cosa s’intende col termine evento?
Dal momento che per descrivere un qualsiasi
fenomeno fisico è necessario considerare il
fatto che esso sia avvenuto:
 ad un certo istante,
 in un dato punto dello spazio,
è
necessario
aggiungere
un’ulteriore
informazione al sistema di coordinate (x, y, z),
ovvero
la
coordinata
temporale,
pervenendo alla quaterna (x, y, z, t) che
prende il nome di evento.
Concetto di simultaneità
“Vi è stato riferito che il treno diretto per Roma parte alle ore 20 dalla
stazione centrale di Palermo. Come potete verificarlo? E come può
verificare ciò un vostro compagno che si trova a Roma?”
Per accertare l’effettiva partenza del treno alle 20, occorre che il nostro
orologio segni le ore 20 nell’istante in cui il treno si mette in
movimento. Tuttavia per l’amico che si trova a Roma non è affatto
semplice decidere se i due eventi “partenza del treno” e
“puntamento delle lancette dell’orologio alle 20” sono
simultanei.
Fu proprio questo il problema sul quale si soffermò Einstein: come
possiamo essere sicuri della simultaneità di due eventi che accadono
in punti dello stesso sistema di riferimento posti a notevole distanza
fra loro o che si muovono a velocità vicine a quelle della luce?
Definizione di simultaneità
Considerando come fenomeni due corpi che emettono luce:
“due fenomeni F1 e F2, che avvengono nei punti P1 e P2, sono
simultanei se la luce che essi emettono giunge nello stesso istante
in un punto P equidistante da P1 e P2 ”.
Se le distanze P1P e P2P sono eguali, i raggi di luce (che hanno la stessa
velocità a prescindere dal tipo di moto del sistema al quale
appartengono i punti suddetti) impiegano intervalli di tempo uguali
per percorrerle, di conseguenza se i due segnali luminosi arrivano in
P nello stesso istante, devono essere partiti simultaneamente.
Procedure di sincronizzazione
Primo procedimento:
due ragazzi, muniti di
orologi si trovano in due
punti A e B dello stesso
sistema di riferimento.
Quando il ragazzo in A
vede l’orologio del ragazzo
in B, sincronizza il suo alla
stessa ora.
Secondo procedimento:
due ragazzi si incontrano
nello stesso luogo per
sincronizzare
i
loro
orologi
e,
successivamente,
ritornano nei punti A e B.
COMMENTO
Primo caso: l’inesattezza è dovuta al fatto
che l’orologio di B è in anticipo rispetto a
quello di A del tempo impiegato dal segnale
luminoso per andare da B ad A
Secondo caso: Durante il moto i due orologi
potrebbero non marciare con lo stesso ritmo.
Procedure di sincronizzazione
Metodo proposto
Misurata la distanza AB = d , il
ragazzo in A, all’istante t = 0,
invia un segnale luminoso e,
quando B riceve il segnale, pone
il suo orologio al tempo t = d/c .
Questo metodo tiene conto del
tempo impiegato dal segnale
luminoso a percorrere il tratto
AB.
Analogamente si potrebbe collocare
un terzo osservatore nel punto
medio di AB il quale comunica
contemporaneamente ad A e B in
quale istante debba avvenire la
sincronizzazione.
Simultaneità degli eventi
“Un
capotreno
accende
una
lampadina posta al centro di un
vagone
ferroviario.
Come
percepisce l’arrivo della luce su
due
passeggeri
seduti
alle
estremità opposte del suddetto
vagone? Se il treno sta passando
da una stazione, cosa può dire il
capostazione?”
Evento = “arrivo del segnale luminoso a
ciascun passeggero”
E invece non è così!
Punto di vista 1: capotreno
Punto di vista 2: capostazione
Punto di vista 1: la luce giunge
contemporaneamente
sui
due
passeggeri;
Punto di vista 2: la luce illumina
prima il passeggero che sta alla coda
del treno, se quest’ultimo viaggia da
sinistra verso destra.
Seguendo il senso comune i due
osservatori devono essere senz’altro
d’accordo nel giudicare gli eventi
simultanei.
“I due eventi sono stati simultanei o no?”
Non è possibile dare una risposta assoluta!!
 Nonostante i due osservatori si siano attenuti alla definizione operativa
di simultaneità, le risposte sono diverse. Il giudizio di simultaneità è
relativo!
 Quindi il tempo assoluto non ha significato fisico, lo avrebbe soltanto se
la luce si propagasse a velocità infinita: soltanto in quel caso il giudizio di
simultaneità sarebbe assoluto!
«Se, in un sistema inerziale, due eventi avvengono
contemporaneamente in due posti diversi, rispetto a un altro
sistema inerziale, in moto relativo rispetto al primo, essi
sono giudicati accadere in tempi diversi ».
Einstein - Zur Elektrodynamik Bewegter Körper
“[…] Non vi è infatti dubbio che, se si potesse trasmettere
istantaneamente in tutti i punti dello spazio l’informazione
dell’avvenuta esplosione di due stelle lontanissime l’una dall’altra,
sarebbe chiaro a tutti i possibili sperimentatori, qualunque sia lo stato
di moto del loro sistema di riferimento, che cosa si intende con la frase
“le due stelle sono esplose nello stesso istante”; avrebbe cioè un
eguale senso per tutti il concetto di simultaneità di due eventi che
accadono in punti lontani dello spazio. Ma, se esistesse la simultaneità
assoluta, sarebbe possibile sincronizzare tutti gli orologi dell’universo,
per quanto in moto relativo e lontani l’uno dall’altro, e quindi
esisterebbe un tempo assoluto che “scorrerebbe” uguale per tutti gli
osservatori, sia fermi che in moto. Poiché la possibilità di trasmettere
segnali con velocità infinita non esiste, capovolgendo il ragionamento,
si rende plausibile il fatto che il tempo non “scorre” ugualmente in
sistemi di riferimento in moto l’uno rispetto all’altro [...]”
La dilatazione dei tempi
Esperimento
La posizione degli eventi “influenza” l’intervallo di tempo
Evento 1
accensione del
lampeggiatore
arrivo
alla
sorgente della
luce di ritorno
dopo
una
Evento 2
riflessione
su
uno
specchio
ancorato
al
soffitto
Osservatore 1
Alfredo (Treno)
Osservatore 2
Marika (Terra)
Alfredo
 Per
Alfredo i due eventi
avvengono nello stesso luogo e
quindi può misurare l’intervallo
di tempo con il medesimo
orologio collocato sul posto.
 Se D è l’altezza del vagone,
allora
Alfredo
misurerà
l’intervallo di tempo tra i due
eventi secondo la relazione:
t0 
2D
c
Marika
Marika vede il raggio di luce come
in figura, poiché l’apparato
sperimentale si muove col treno
durante l’intervallo di tempo
tra i suddetti eventi.
Per lei i due eventi accadono in luoghi diversi nel suo sistema di riferimento,
.
quindi deve utilizzare due orologi sincronizzati,
uno per ciascun evento.
Poiché il raggio luminoso percorre una distanza 2L , calcola che l’intervallo di
tempo è:
2L
t 
dove:
c
2
1

L   vt   D 2
2

da cui, essendo D = c∆t0/2, si ha:
t 
t 0
1 v
2
c2
Conclusioni
L’intervallo di tempo misurato da Marika è maggiore di
quello misurato da Alfredo
“Cos’è il tempo proprio?”
E’ l’intervallo di tempo misurato nel sistema di riferimento in
cui due eventi accadono nello stesso luogo.
L’intervallo di tempo misurato in qualsiasi altro sistema
inerziale è sempre maggiore del tempo proprio.
L’aumento dell’intervallo temporale tra due eventi per un
osservatore che non misuri il tempo proprio è detto
dilatazione del tempo.
Paradosso dei gemelli
È un esperimento mentale pensato per mettere in
luce una contraddizione nella teoria della
relatività ristretta.
In realtà tale contraddizione non esiste!
“Ci sono due gemelli A e B. A rimane fermo
sulla Terra, mentre B si dirige verso una
stella lontana viaggiando su una
navicella che si muove alla velocità della
luce. Supponiamo che B torni sulla Terra
dopo 5 anni. Data la legge della
dilatazione dei tempi, A è invecchiato,
invece B no”.
Dove sta il paradosso?
Uno dei postulati della Relatività Ristretta di Einstein ci dice che non esiste un sistema di
riferimento privilegiato. Dunque un osservatore solidale con della Terra vedrà
chiaramente quest’ultima ferma e la navicella muoversi alla velocità della luce. (Questo è
quello che vede il gemello A)
Se scegliamo un sistema di riferimento diverso, ad esempio solidale con la navicella, in
questo caso la navicella sarebbe ferma e sarebbe la Terra a muoversi alla velocità della
Luce rispetto all’ osservatore. (Questo è quello che vede il gemello B)
Tra i due sistemi di riferimento nessuno è privilegiato!
Il paradosso è dunque il seguente: il gemello B potrebbe ragionare come A e arrivare alle
stesse conclusioni del Fratello. B si aspetterebbe di trovare, nel momento dell’incontro, il
fratello A più giovane di lui ed invece ciò non accade .
C’è dunque una asimmetria qualcosa che non quadra. A fa i calcoli e quando incontra B
questi si dimostrano corretti, mentre quelli di B sono sbagliati: eccolo il Paradosso!
Il paradosso è dunque questa asimmetria!
Il paradosso si spiega considerando che in realtà l’asimmetria degli avvenimenti si
concretizza perché il gemello sulla navicella deve far effettuare all’astronave manovre di
accelerazione e decelerare per rincontrare il fratello, mentre quello sulla Terra è
fermo (o comunque viaggia ad una velocità costante).
Quando nella relatività einsteiniana si ha a che fare con decelerazioni la Relatività Ristretta
(che i gemelli userebbero per effettuare i calcoli ) non è sufficiente, si ha bisogno della
Relatività Generale un modello in cui sono inclusi i fenomeni di accelerazione e gravità.
La contrazione delle lunghezze
Contrazione delle lunghezze
“Supponete che un treno oltrepassi un marciapiedi ad una certa velocità
e che uno di voi si trovi sul treno. Come si può misurare la lunghezza
del marciapiede dal treno? Se un altro vostro compagno misura tale
lunghezza da terra, cosa vi aspettate in merito ai due valori
misurati?”
Per effettuare la misura della lunghezza del marciapiede dal treno, si
incontra la difficoltà di dover annotare le posizioni delle sue estremità
simultaneamente.
Relatività della simultaneità ⇒ la lunghezza è pure una quantità
relativa.
Esperimento
Misura della lunghezza di un marciapiede
 Marika misura la lunghezza del marciapiede con un metro a nastro
e trova L0 che rappresenta la lunghezza propria perché è ferma
rispetto al marciapiede.
 Un segno di riferimento sul treno percorre questa lunghezza in un
tempo ∆t=L0/v , se v è la velocità del treno:
Lo  v  t
“Ma ∆t è un tempo proprio?”
 No, perché i due eventi che lo delimitano (il segno passa in
corrispondenza dell’inizio del marciapiede; il segno passa in
corrispondenza della fine del marciapiede) avvengono in due luoghi
diversi.
Esperimento
Misura della lunghezza di un marciapiede
 Per Alfredo il marciapiede è in movimento, per cui i due eventi
misurati da Marika accadono nello stesso luogo nel suo – di
Alfredo – sistema di riferimento.
 Lunghezza misurata da Alfredo:
L = v∆t0
con ∆t0 tempo proprio.
“La lunghezza misurata da Alfredo è la stessa di quella
misurata da Marika?”
 Dividendo membro a membro le espressioni di L ed Lo si ha:
L
L0

Conclusioni
 Essendo γ>1, la lunghezza del marciapiede per
l’osservatore in moto risulta sempre
inferiore alla lunghezza del marciapiede per
l’osservatore fermo.
 Il moto relativo, pertanto, provoca una
contrazione della lunghezza ed prende il
nome di lunghezza contratta.
 Poiché γ aumenta con la velocità v, la
contrazione della lunghezza si accentua con
l’aumentare della velocità relativa.
“Ma l’oggetto si contrae davvero?”
La realtà si basa sulle osservazioni e sulle
misurazioni; se i risultati sono sempre coerenti e
se non si riscontra nessun errore, ciò che si
osserva e si misura è reale. In tal senso la
contrazione dell’oggetto è reale. Tuttavia si è più
precisi affermando che la misurazione della
contrazione dell’oggetto è reale: il
movimento influenza tale misurazione e,
pertanto, la realtà.
Composizione delle velocità
Un treno è in moto rispetto al suolo con velocità v e su
di esso un passeggero si muove con velocità v’
rispetto al treno.
“Qual è la velocità vs del passeggero rispetto al suolo?”
Composizione delle velocità
Si dimostra che:
vs 
v  v'
v  v'
1 2
c
La precedente relazione:
• contiene la legge classica di composizione delle velocità come caso
limite quando le velocità v e v’ sono sufficientemente piccole rispetto
alla velocità della luce;
• nell’ipotesi che v e v’ siano uguali alla velocità della luce, conduce a:
vs 
cc
c
cc
1 2
c
in accordo con il postulato che la velocità della luce sia una
velocità limite e che abbia lo stesso valore in tutti i sistemi di
riferimento.
Relatività Ristretta
si basa su
Costanza della
velocità di
propagazione
della luce
Invarianza delle
leggi della fisica
nei sistemi
inerziali
permette
sincronizzazione
degli orologi
tramite la quale si
def iniscono
Trasformazioni
di Einstein Lorentz
modif icano il concetto
di
da cui deriv ano
eventi
simultanei
contrazione
delle
lunghezze
nuova legge di
composizione
delle velocità
dilatazione
dei tempi