Misura di Bell - Liceo Locarno

Dalla delocalizzazione al
teletrasporto passando
Per la non località
Nicola Ghiringhelli
Indice
1. Concetti fondamentali (elenco)
2. Interferometro di Mach-Zehnder
 Superposizione
3. Interferometro di Franson
 Intrecciamento
4. Correlazioni e non località
5. Teletrasporto
6. Conclusione
CONCETTI DI BASE
 Sistema
 Osservabile
 Stato
 Equazione agli autovalori
 Evoluzione temporale
 Probabilità oggettiva
 Misura e PMI
Separatore del fascio (BS)
a) La particella viene trasmessa:
BS
Sorgente
b) ... oppure la particella viene riflessa:
BS
Sorgente
L’interferometro di Mach-Zehnder
BS1
50 %
50 %
Specchio

Si constata che:

x
1) VERIFICA
La previsione
50%
in
D1
e
50%
SPERIMENTALE
in D2 si rivela falsa.

y
2) Una modifica
su un cammino
25%
Specchio
BS2
influenza entrambi i cammini.
+ 25%
50
50 %
%
50 %D2
100 %
0 % D1 25 %
+ 25%
100 %
0%
L’interferometro di Mach-Zehnder
BS1
SP


x
Sistema
È il “protagonista” dell’esperienza

SP
Due categorie:
y
BS2
 Sistemi semplici: 1 particella alla voltaD2
 Sistemi composti: > 1 particella
D1
L’interferometro di Mach-Zehnder
BS1

Osservabili
SP
Osservabile  Apparecchio
di misura

x
Esempio:

• Sistema: punto materiale
SP
y
BS2
• Osservabili: posizione (X) e quantità di moto (P)
D2
A ogni rilevatore associamo 0 oppure 1
Si rappresentano con le matrici (autoaggiunte):
D1
1 0

D2  X  
 0 0
 0 0

D1  Y  
0 1
L’interferometro di Mach-Zehnder
BS1
SP

Stato
Stato  Informazione sul sistema
x
Tipi di stati:
 Stato misto: conoscenza parziale,  A  0

SP densità y̂, ossia BS2
ˆ  ˆ * e Tr ( ˆ )  1
 matrice
 Stato puro: conoscenza massimale,  A D2
0
 vettore   H  C 2
D1
 Stato di conoscenza assoluta per una osservabile
 vettore   H  C
2
A  0
L’interferometro di Mach-Zehnder
BS1 agli autovalori SP
Equazione
Equazione all’autovalore di un’osservabile A :
A  x
Autovalore
dell’osservabile
(valore che si può
osservare)
Matrice
autoaggiunta
che rappresenta

l’osservabile
y
BS2
SP
Autovettore dell’osservabile (stato di
conoscenza assoluta per questo osservabile)
D2
 Quando si misura un’osservabile si possono
osservare
solo gli autovalori associati
alla sua
Esempio:
D1
x
x
matrice.
  autovettore di A   è uno stato di
conoscenza assoluta per l’osservabile A.
X   1
L’interferometro di Mach-Zehnder
BS1
Stato

SP
 
 ' 
Stati puri: vettori  x    e  y   
   '
  x
1 di X:
 Eq. all’autovalore 0
11 00'  ' 
 11  
X  xy  10xy 


00 00'  ' 


y
BS2
SP
 Eq. all’autovalore 0
1 di Y:
00 00'    '
  1 
Y  yx  10
yx 
 
 D2
00 11'    '
1
 0
0
1







e


Quindi
x si trova
y stato

 1   xy D1
 
Risolvendo
lo
0
 
 
01 

Gli stati
sono ortogonali e formano
 e 
una base ortonormata di C2.
L’interferometro di Mach-Zehnder
BS1

SP

Evoluzione temporale
x
Evoluzione temporale: processo deterministico
 da delle matrici
 l’evoluzione è descritta
t
:


y
BS2
*t :
SP
0
x
unitarie U t , deve valere U t  U ty1
D2 di U
Matrice inversa
t
Matrice aggiunta di U t
 deve essere mantenuta l’ortogonalità fra gli stati
D1
Stato iniziale  Evoluzione  Stato finale
0
Ut
 t  Ut  0
L’interferometro di Mach-Zehnder
BS1
SP

Evoluzione temporale
Separatore del fascio:
 t
U BS (t )  
i r
 SP

Specchio
(t = 0 e r = 1):
x
0 i 
i r


U BS (0)  

i 0
t y

BS2
i
e
0

Allungamento  : U ( )  
 0 1  D2


Quindi lo stato finale è:
 out  U in con U  U  U BS 0U  U BS  12 


i / 2
i / 2
  out  e cos2   x  e sin 2   y
1
BS 2
D1
L’interferometro di Mach-Zehnder
BS1
SP


x
STATO DI SUPERPOSIZIONE
Uno stato di superposizione è della forma:

2
2
con |  |  |  |  1
    x y   y BS2
SP
 out  e
i / 2
cos
 

2
x e
i / 2
sin
 

2
y
D2
Ciò significa che il sistema è nello stato
D1 di superposizione di  x e  y , ossia è potenzialmente in
entrambi gli stati (“esplora” entrambi i cammini).
L’interferometro di Mach-Zehnder
BS1
 out  e
SP


Probabilità oggettiva
x
i / 2
 
cos

2
x
e
i / 2
sin
 

2
y out  12BS2
Prob out  XSP 1  P x 
(1  cos  )
y
2
Prob out Y  1  P y  out  12 (1  cos D2
)
2
dove
P  
( , ) 

2
D1 associato
con  autovettore
all’autovalore  A  

( , )  1 1  2 2

L’interferometro di Mach-Zehnder
BS1
SP


Misura e pmi
x
Misura: processo non deterministico
Postulato della misura 
ideale (PMI):
y t : ? BS2U
SP
t
:


0 dà xcome risultato il valore 
t  il sistema
La misura
è nello stato (di conoscenza
assoluta)
associato
D2
Probabilità
oggettive
all’autovalore 
 Se D1 dà 1 (D2 dà 0): X  x  1
 x 
D1
x
 Se D1 dà 0 (D2 dà 1):
X  y  0 y   y
L’interferometro di Franson
SP
Si constata che:
+1

x

y
SP

Y1
1. Vi sono
delle Sorgente
correlazioni (antiBS
BS
- 1 X1correlazioni)

X2
+1
Y2
-1
2. Una modifica su un solo cammino di
SP
SP
Risultati
una
sola
particella
influisce
anche
-1
-1
+sull’altra.
1
+1
-1
++ 11
-1
+1
+1
+- 11
-1
+1
L’interferometro di Franson
SP
SP

Y1
2
Sorgente
1
BS
X1

x

y
BS
Y2

SP
SP
Sistema
Una coppia di particelle (sistema composto)
Particella 1:
X2
Particella 2:
L’interferometro di Franson
SP
SP

1
Y1
Sorgente
BS
X1
Osservabili
X2
BS
Y2
2

SP

x

y
SP
Come nell’interferometro di Mach-Zehnder:
A ogni rilevatore associamo 0 oppure 1
Si rappresentano con le matrici (autoaggiunte):
0 0
1 0

 Y1  
X 1  
0 1
 0 0
1 0
0 0
 Y2  

X 2  
 0 0
0 1
L’interferometro di Franson
SP
SP

1
Y1
Sorgente
BS
X1

x

y
BS
Y2
2

Stato
SP
Stati:   H1  C
1
SP
  H2  C
2
2
2
Stato del sistema:   H1  H 2
1
2



Esempio: y
y
Stato iniziale: in 
1
2

1
x
X2
 x2  1y  y2

L’interferometro di Franson
SP
SP

Evoluzione temporale (1)
Y1
Sorgente
2
1
2
in    x  y  y 
X1
Parte  1x  x2   :
BS
1
2
1
x
AllungamentiSP e :

x

y
X2
BS
Y2
U ( )  U (  )SP
 ei  0 
Specchi : U BS (0e)i  U0BS (0)



U ( )  
U
(

)




1
1
Beam splitter (BS)
 00 : U
  2   U BS  2   00 i1
i1BS
 1 queste
i
i
U BS (0in
) ordine
U
1 ottiene:
BS (0)  
Applicando
evoluzioni
si





i
0
i
0
2
2
2
2
  U  1   
 
1 1    1
U
BSBS20 
U  U BSBS 2 2 UBS i 2 U1 BS0  U
U i  1U 
2
2
2
2


Quindi: 1out  U 
L’interferometro di Franson
SP
SP
Evoluzione temporale (2)


in  12  1x  x2  1y  y2
1 BS 2
Parte  y  y   : Sorgente
Y1
X1
Specchi : U BS (0) 
 U BS (0)


x

y
X2
BS
Y2
i BS  12   U BS  12SP  0 i 
U
U BS (0)   1 i
U BS (0)   1 i


Applicando in ordine
queste
evoluzioni
si
ottiene:


i
0
i
0




2
2
2
2
1
1




U

1
BS 0
2  
i 0 1 
2   1 i  U 1 




UU BS
 U
U
U BS
BS 2
BS 2
BS
2
 2
2
 2
Quindi: 2 out  U  
Lo stato finale è : out  1out  2 out
1
2
1
2
1
2
1
2
out  a( x  x )  a( y  y )  b( x  y )  b( y  x )
0 :
Beam splitterSP(BS)
L’interferometro di Franson
SP
SP

1
Y1
Sorgente
BS
X1

x

y
X2
BS
Y2
2

SP
SP
STATO INTRECCIATO
Uno stato intrecciato è della forma:

 
        
1
x
2
x
2
1
y
2
y

con |  |2  |  |2  1
Gli stati in H  C  C 2che non si possono scrivere
nella forma    si chiamano stati intrecciati.
L’interferometro di Franson
SP
SP

1
Y1
Sorgente
BS
X1

x

y
X2
BS
Y2
2

Probabilità
oggettiva
out  a(  )  a(  )  b(  )  b(  )
1
x
2
SP
x
1
y
2
y
1
x
SP 2
y
1
y
2
x
Prob out X 1  1; X 2  1  a  14 (1  cos(   ))
2
Prob out  Y1  1; Y2  1   a  14 (1  cos(   ))
2
Prob out X 1  1; Y2  1   b  14 (1  cos(   ))
2
Prob out  Y1  1; X 2  1  b  14 (1  cos(   ))
2
L’interferometro di Franson
SP
SP

Y1
1
Sorgente
BS
X1
X2
2
Y2

SP
BS

x

y
Misura
SP
Correlazioni:
Risultato di una particella  Risultato dell’altra
out  a(  )  a(  )  b(  )  b(  )
1
x
2
x
1
y
2
y
1
x
2
y
1
y
2
x
X 1  1 : X 1   1   
1
2
  x  x

 Correlazione:   

 Se
1
x
1
x
1
x
2
x
1
x
CORRELAZIONI
Come fanno due particelle
separate fisicamente ad avere
un comportamento così simile,
ossia ad essere
 correlate ?
SP
x

y
SP
X2
Y1
Sorgente
BS
BS
X1
Y2
SP
SP
CORRELAZIONI
Le correlazioni potrebbero essere
spiegate con 4 tesi:
Teorie classiche
1.Avviene uno scambio di informazioni fra
le due particelle.
2.Le correlazioni sono già stabilite alla
sorgente.
Teorie non locali
3.Le correlazioni sono stabilite al
momento della misura.
4.Le due particelle vanno considerate
come un’unica entità
CORRELAZIONI (1)
1. Avviene uno scambio di informazioni fra
le due particelle ?
SP
SP
X2
Y1
info
X1
Sorgente
BS
BS
Y2
SP
SP
Questa tesi è respinta dagli esperimenti in
accordo con la teoria della relatività.
CORRELAZIONI (2)
2. Le correlazioni sono già
 stabilite alla sorgente ?
x

y
SP
+1
Y1
1
 ' Sorgente
2

BS
-1
X1
 1
r1 ( )  
 1
SP
2 SPr2 ( ), r2 ( ' )

'
1  r1 ( ), r1 ( ' )
X2
+1
Y2
-1
BS
SP


2  r2 ( )  1, r2 ( ' )  1
Criterio per verificare la validità delle teorie locali
Variabile nascosta :   1 , 2 

Le due :liste sono indipendenti (principio delle
Esempio

 r1 ( )  1, r1 ( ' )  1
1
cause locali)
Teorema di Bell
Esiste una grandezza S, calcolabile a partire dalle
variabili nascoste, tale che: Disuguaglianza di Bell
i. Correlazioni stabilite alla sorgente  a  S  b
ii. S  [a, b]  la teoria non può essere locale,
ossia le correlazioni non sono stabilite alla
sorgente.
La disuguaglianza di Bell da verificare è :
 2  S ( )  2
S ( )  E ( ,  )  E ( ' ,  )  E ( ,  ' )  E ( ' ,  ' )
con E ( ,  )  Probr1  r2  Probr1  r2 
 Finora nessuna supposizione quantistica
Teorema di Bell
Previsione della fisica quantistica:
E( ,  )  2  Prob X1  1;Y2  1 2  Prob X1  1; X 2  1
S ( )  cos(   )  cos( ' )  cos(   ' )  cos( ' ' )
S ( )  2 2  S ( )  2
La disuguaglianza di Bell è violata dalla teoria
quantistica, quindi F.Q. è una teoria non locale.
La disuguaglianza di Bell da verificare è :
 2  S ( )  2
S ( )  E ( ,  )  E ( ' ,  )  E ( ,  ' )  E ( ' ,  ' )
con E ( ,  )  Probr1  r2  Probr1  r2 
Teorema di Bell
Verifica sperimentale:
S MQ  2.70  0.05
 Risultato sperimentale: S espe  2.697  0.015
 Predizione teorica
I risultati sono in perfetto accordo con la MQ.
La disuguaglianza di Bell è violata dall’esperimento.
La disuguaglianza di Bell da verificare è :
 2 sono
S (stabilite
)  2 alla sorgente.
 Le correlazioni non
( )  E (teoria
 ,  ) classica
 E ( ' , (locale)
)  E (può
,  ' )essere
 E ( 'usata
,  ')
SNessuna
per spiegare
correlazioni
con E (le, 
)  Prob r1 osservate.
 r2  Prob r1  r2




CORRELAZIONI (3)
3. Le correlazioni sono stabilite al
momento della misura ?
Questa tesi è di tipo non locale, quindi le
due particelle sono dipendenti (scambio
di informazione).
Essa è però respinta dalla teoria della
relatività (come per la tesi n° 1).
CORRELAZIONI (4)
4. Le due particelle vanno considerate
come un’unica entità ?
Questa è l’unica tesi che è in accordo con i
risultati sperimentali e con la teoria della
relatività:
Le due particelle devono perciò essere
considerate come un’unica entità
(grazie agli stati intrecciati)
CORRELAZIONI
Le correlazioni sono una delle
caratteristiche fondamentali della
meccanica quantistica, che la distaccano
dalla meccanica classica.
Esse sono la manifestazione sperimentale
degli stati intrecciati:

 
        
1
x
2
x
1
y
2
y

CORRELAZIONI
Due particelle
correlate
Andrai su o giù?
Io devo andare all’opposto.
Aspetta! Non andare
troppo lontano – non
possiamo comunicare
più velocemente della
luce!
Nessuna idea finché
qualcuno mi misura!
Nessun
problema! Bohr
dice che siamo
parte dello
stesso sistema…
Teletrasporto
X
Y
Teletrasporto
STATI
Stati iniziali:
Stazione
di
invio (Alice)

AB


H H

ricezione (Bob)
    
A

B

A

B
Stazione
di
A

B
 HC
      
B
Interazione fra A e C:  C   AB

H

H

H


C
A  B

B
CA
CA
B
CA
1
CAB  12  CA

(



)



(








 )
2
CA
B
B
CA
B
B
1
1
 2   (     )  2   (     )
C
Particella da
teletrasportare
C
C

Particelle
correlate
B AEPR
Sorgente
C

MISURA
DI BELL (Alice)
Teletrasporto
Stato di CA Stato di B
Misura su A e C:
Stazione di
(PMI)
Stazione di
ricezione
B
B (Bob) B
CA
invio (Alice)
    


1

 2
- Autovalori: 
Misura di Bell: 
3

•1
•2
 4
•3
•4
C
A

CA

CA

CA




Particelle B
correlate
Particella da
teletrasportare
A BEPR
Sorgente

B

B

B

 B    
 B    
 B    

B

B

B

CORREZIONE
DI BOB
Teletrasporto
Correzione
Stato di B
Stazione
di
B

    
invio (Alice)
Stazione di
ricezione
(Bob)
Stato da
teletrasportare:
 U1  I
1 0 
B
     
        U 2  


Misura di Bell:
 0  1
•1
•2
Correzione:
0
1


B

• 4  U 3  
 B  • 3  
Ui   
1 0
 0 1
B
        UParticelle
4 
  1 0 


correlate
Particella da
teletrasportare
Sorgente EPR
Teletrasporto
Stazione di
invio (Alice)
Stazione di
ricezione (Bob)
• 2
MESSAGGIO CLASSICO
Operazione U:
Misura di Bell:
Misura
Correzione
• 1 • 2Bits
•1
•di
2 Alice
B
B
B





U1• 3 • 400
1 
•3
•4 

B
B
B
C 01
2        
U2
B
B
B
3       
U3
10

Particelle
B
B
B
11
U 4 Particella
4       
correlate

teletrasportata
Particella
da“01”  Bob applica correzione
Es: 2 
U2 :
U 2         
teletrasportare
B
Sorgente EPR
Teletrasporto
Stazione di
invio (Alice)
Stazione di
ricezione (Bob)
• 2
Misura di Bell:
•1
•2
•3
•4
C
Particella da
teletrasportare
Operazione U:
•1 •2
•3 •4
C
Particelle
correlate
B AEPR
Sorgente
Particella
teletrasportata
Teletrasporto
“Definizione: maniera ipotetica di trasporto
istantaneo; la materia è smaterializzata in un
luogo e ricreata in un altro.”
FOTONI CORRELATI
     
1
x
2
y
1
y
2
x
Teletrasporto
Stato
iniziale
Misura di Bell
Messaggio
classico
Correzione
Sorgente EPR
Conclusione
FISICA
QUANTISTICA