Cerchi di Mohr - approfondimenti

Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
Stato di tensione e di deformazione
Cerchi di Mohr - approfondimenti
L’algebra dei cerchi di Mohr
Proprietà di estremo dei cerchi di Mohr
Costruzione inversa dei cerchi di Mohr
Le tensioni su piani non principali
2
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1
Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
Cerchi di Mohr - approfondimenti
Componenti della tensione (1/3)
In qualsiasi terna di assi, le componenti σn e τn
del vettore della tensione tn si calcolano:
σ n = n ⋅ t n ≡ { n}
T
{tn }
τ n2 + σ n2 = t n 2 ≡ { t n }
1 = n ⋅ n ≡ { n}
T
T
{tn }
{n }
e sono ovviamente
indipendenti dagli assi
n
tn
σn
τn
4
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2
Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
Componenti della tensione (2/3)
In assi principali:
σ n = n ⋅ t n ≡ { n}
T
τ n2 + σ n2 = t n 2 ≡ { t n }
1 = n ⋅ n ≡ { n}
T
T
{tn }
T
{ t n } {t}= [σ]{n}
⇒
{ n}
σ n = { n} ⎣⎡ σ⎤⎦ { n}
T
T
τ n2 + σ n2 = { n} ⎡⎣σ⎤⎦ ⎡⎣ σ⎤⎦ { n}
1 = n ⋅ n ≡ { n}
T
⎡ σ1
⎢
⎡ σ⎤ = ⎢ 0
⎣ ⎦ ⎢
⎢0
⎣
0
{n }
con, in assi principali:
⎡ t n1 ⎤
⎢ ⎥
⎡ t ⎤ = ⎢ t n2 ⎥
⎣ ⎦ ⎢ ⎥
⎢ t n3 ⎥
⎣ ⎦
⎡ n1 ⎤
⎢ ⎥
⎡ n ⎤ = ⎢n 2 ⎥
⎣ ⎦ ⎢ ⎥
⎢n 3 ⎥
⎣ ⎦
σ2
0
0⎤
⎥
0⎥
⎥
σ 3 ⎥⎦
5
Componenti della tensione (3/3)
T
= { n} ⎡⎣ σ⎤⎦ { n}
= σ1 n12 + σ 2 n 22 + σ 3 n 23
T
T
τ n2 + σ n2 = { n} ⎡⎣σ⎤⎦ ⎡⎣σ⎤⎦ { n} = σ12 n12 + σ 22 n 22 + σ 23 n 23
σn
1
= { n}
T
{n }
= n12 + n 22 + n 23
che è un sistema lineare nelle incognite:
n12 ,n 22 ,n 32
6
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3
Comportamento meccanico dei materiali
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Direzioni su piani principali (1/11)
Risolvendo rispetto a quadrati dei coseni direttori:
(σn −σi )(σn −σk ) +τn2
n=
(σn −σj )(σi −σk )
2
i
con indici da permutare ciclicamente:
i, j, k ⇒ 1, 2, 3
⇒ 3, 1, 2
⇒ 2, 3, 1
7
Direzioni su piani principali (2/11)
Tutte le direzioni con normale giacente sul piano
principale (2,3), ovvero con normale sull’asse 1:
n
2
1
(σ n − σ 2 )(σ n − σ 3 ) + τ n2
=
(σ1 − σ 2 )(σ1 − σ 3 )
=0
che implica:
(σ n − σ 2 )(σ n − σ 3 ) + τ n2 = 0
equazione di un cerchio (di Mohr) nelle
variabili σ n e τ n
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4
Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
Direzioni su piani principali (3/11)
Direzione su 2-3:
n1 = 0
3
n
2
1
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Direzioni su piani principali (4/11)
Direzioni su 2-3:
n1 = 0
3
n
2
1
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5
Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
Direzioni su piani principali (5/11)
Fascio di piani
di asse 1:
n1 = 0
3
n
α
2
1
11
Direzioni su piani principali (6/11)
Cerchio di Mohr relativo alle direzioni n1 = 0 :
τn
τn (α)
α
σ3
σn (α) σ2 σn
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Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
Direzioni su piani principali (7/11)
Fascio di piani di asse 2
3
n
2
1
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Direzioni su piani principali (8/11)
Fascio di piani di asse 3
3
n
1
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7
Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
Direzioni su piani principali (9/11)
I cerchi per le direzioni sui piani dei tre assi
principali:
τn
σ3
σ2
σ1
σn
15
Direzioni su piani principali (10/11)
L’approccio algebrico ci fa ritrovare i cerchi di
Mohr già visti, e ce ne garantisce l’esistenza.
τn
σ3
σ1
σ2
σn
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Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
Direzioni su piani principali (11/11)
τn
σ3
σ1
σ2
σn
Poiché τn vi compare al quadrato si perdono i
versi delle τik
Per tenere conto di questo aspetto conviene
quindi riferirsi alla deduzione geometrica
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Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
Direzioni qualsiasi in assi principali
Cosa succede di τn e σn su superfici non
appartenenti a nessuno dei tre fasci di asse 1, 2, 3?
Una dimensione n che non ha n1 = 0 oppure n2 = 0
oppure n3 = 0 non ha (σn , τn ) sui uno dei cerchi di
Mohr
3
n σn
τn
tn
2
1
19
Cerchi per direzioni sui piani principali
Ad esempio, nel caso σ1 > σ2 > σ3 :
τn
3
2
1
σ3
σ2
σ1
σn
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Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
Direzione non ortogonale all’asse 1
n12 ≥ 0 →
τn
(σn − σ2 )⋅ (σn − σ3 ) + τn2
(σ1 − σ2 )⋅ (σ1 − σ3 )
↓
≥0
1
σ2
σ3
↓
≥0
σn
σ1
→ (σn − σ2 ) ⋅ (σn − σ3 ) + τn2 ≥ 0
21
Direzione non ortogonale all’asse 2
n22 ≥ 0 →
τn
(σn − σ1 )⋅ (σn − σ3 ) + τn2
(σ2 − σ1 ) ⋅ (σ2 − σ3 )
↓
≤0
↓
≥0
3
σ3
σ2
σ1
σn
→ (σn − σ1 ) ⋅ (σn − σ3 ) + τn2 ≤ 0
22
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Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
Direzione non ortogonale all’asse 3
n23 ≥ 0 →
τn
(σn − σ1 )⋅ (σn − σ2 ) + τn2
(σ3 − σ1 )⋅ (σ3 − σ2 )
↓
≤0
2
σ2
σ3
σ1
↓
≤0
σn
→ (σn − σ1 ) ⋅ (σn − σ2 ) + τn2 ≥ 0
23
Zona delle tensioni per direzioni qualsiasi
Perciò le tre disequazioni disegnate insieme:
τn
3
1
σ3
2
σ2
σ1
σn
indicano che (σn , τn ) per un qualsiasi n cadono
entro la zona (lunella) tratteggiata
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12
Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
σ
Estremo per le ( )
Conseguenza 1: la tensione normale massima è
la più grande delle tensioni principali:
τn
σmax
σn
σmin
25
τ
Estremo per le ( )
Conseguenza 2: la tensione tangenziale massima
è il raggio del cerchio di Mohr più grande:
τn
σmax
σn
σmin
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13
Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
τ
Superficie di massima ( ) – (1/2)
Conseguenza 3: la τn,max agisce sulla superficie
a 45° dalla superfici principali con σmax e σmin :
τn,max
τn
σmax
45°
σn
σmin
σmax +σmin
2
27
τ
Superficie di massima ( ) – (2/2)
σmax +σmin
2
τn max
σmax
σmin
τ n max =
45°
σ max − σ min
2
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Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
Cerchi di Mohr - approfondimenti
Costruzione diretta
Nella costruzione diretta occorre prima possedere
i valori delle tensioni principali, σ1 , σ2 , σ3 e poi
costruire cerchi
τn
σ3
σ1
σ2
σn
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Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
Trovare il cerchio (1/5)
La costruzione inversa è possibile quando si
conosce già una direzione principale, qui indicata
con 3:
σ
yy
τ yx
τ xy
σ xx
σ3
31
Trovare il cerchio (2/5)
Si sa che tutti i piani del fascio di asse 3 hanno
(σn , τn ) su un cerchio di Mohr; questo ha il centro
sull’asse σn , e inoltre se ne conoscono due punti di
passaggio σxx , τxy , σyy , τxy :
(
)(
)
τn
τ xy
σ2 σ yy
σ xx σ1
σn
σ xx + σ yy
Si trova il centro come
, e gli estremi
2
del diametro sono σ1 e σ2 .
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32
16
Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
Trovare il cerchio (3/5)
Centro
σ xx + σ yy
Raggio
2
⎛ σ xx − σ yy
⎜⎜
⎜⎝
2
2
⎞⎟
⎟ + τ 2xy
⎠⎟
τ xy
σ 2 σ yy
σ1
σ2
=
σ xx − σ yy
2
σ xx σ 1
⎛ σ − σ yy
± ⎜⎜ xx
⎜⎝
2
2
⎞
⎟⎟ + τ 2
xy
⎠⎟
33
Trovare il cerchio (4/5)
Per via algebrica un tale problema si risolve con:
⎡ σ xx − λ
0 ⎤
τ xy
⎢
⎥
det ⎢ τ xy
0 ⎥ =0
σ yy − λ
⎢
⎥
⎢ 0
⎥
0
−
σ
λ
3
⎣
⎦
(σ 3 − λ)⋅(λ 2 − λ (σ xx + σ yy ) + σ xx σ yy − τ 2xy )= 0
34
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Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
Trovare il cerchio (5/5)
Le cui radici:
λ 3 = σ3
λ1
λ2
=
σ xx − σ yy
2
⎛ σ − σ yy
± ⎜⎜ xx
⎜⎝
2
2
⎞
⎟⎟ + τ 2
xy
⎠⎟
cioè i medesimi valori λ1 = σ1 , λ 2 = σ2
35
Trovare
τ e assi principali (1/13)
La costruzione appena vista utilizza il valore
assoluto τn , e quindi perde il segno della tensione
tangenziale. È figlia dell’approccio algebrico che
definisce il cerchio di Mohr con:
(σn − σi )⋅ (σn − σk ) + τn2 = 0
36
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18
Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
Trovare
τ e assi principali (2/13)
Ricordando la costruzione geometrica:
σ2
σ2
σ1
τn
σ2
=
τn
σ1
+
σ1 − σ2
τn
σn
σ2
o
σn
σ2
+
σn
σ1 − σ2
37
Trovare
τ e assi principali (3/13)
Sezionando con due piani cartesiani ortogonali
alla coppia di assi (x,y):
y
σ2
y
σ2
σ1
α
n≡x
90 − α
σ1
n≡x
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19
Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
Trovare
τ e assi principali (4/13)
Le corrispondenti costruzioni dirette sui cerchi
di Mohr, dati σ1 , σ2:
n≡x
y
τn
y
σ2
α
τn
+ τ xy
σ xx
90 − α
σ1 σn
σ2 σ yy
σ1 σn
− τ xy
n≡x
39
Trovare
τ e assi principali (5/13)
Dati, inversamente (σ xx , σ yy , τ xy ≡ τ yx ) :
τn
+ τ xy
− τ xy
A
B
σ yy
σ xx
C
D
σn
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20
Comportamento meccanico dei materiali
Trovare
Cerchi di Mohr - approfondimenti
τ e assi principali (6/13)
Per i quattro punti A,B,C,D
τn
+ τ xy
− τ xy
A
B
σ yy
σ xx
C
D
σn
(bastano in realtà o la coppia A,B o la coppia C,D)
41
passa un cerchio con centro sulle ascisse
Trovare
τ e assi principali (7/13)
Dette sempre σ1: la tensione principale maggiore
σ2 : la tensione principale minore
il cerchio di Mohr ha le seguenti caratteristiche
indipendenti dal valore assoluto della σn
42
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21
Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
Trovare
τ e assi principali (8/13)
Per σ xx > σ yy :
σ xx − σ2
A
σ yy − σ2
σ2
B
σ yy
σ xx
σ1
σn
D
C
σ1 − σ2
Trovare
43
τ e assi principali (9/13)
Oppure σ yy > σ xx :
σ yy − σ2
A
σ2
σ xx − σ2
B
σ xx
σn
D
C
σ1 − σ2
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σ1
σ yy
44
22
Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
τ e assi principali (10/13)
Trovare
Nell’uno e nell’altro caso se τ xy è positivo allora il
triangolo delle forze deve chiudersi su (σ1 − σ2 ) in
modo che il vettore della forza dovuta a τ xy sia
ruotata di 90° in senso antiorario rispetto all’asse x
Cioè il verso di y
y
y
σ2
n≡x
σ2
90 − α
σ1
α
σ1
n≡x
45
τ e assi principali (11/13)
Trovare
…se τ xy è positivo:
σ xx − σ 2
σ yy − σ2
y
y
σ2
σ yy
σ xx
α
σ1
σ2
σ xx
σ yy
σ1
α
x
x
σyy − σ2
σ1 − σ2
σxx − σ2
σ1 − σ2
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23
Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
τ e assi principali (12/13)
Trovare
…invece se τ xy è negativo:
σ xx − σ2
y
x
x
y
σ yy − σ2
α
σ2
σ yy
α
σ1
σ xx
σ2
σ xx
σ1 − σ2
σ1
σ yy
σ1 − σ2
σ yy − σ2
σ xx − σ2
47
τ e assi principali (13/13)
Trovare
Caratteristica comune a queste costruzioni è che
i punti A,B,C,D si scelgono con ordinata negativa
y
x
x
A
2
y
A
B
1
B
y
σ yy
C
σ xx
σ xx
D
x
σ yy
y
C
D
x
quando la τ xy è positiva, e viceversa con ordinata
positiva quando la τ xy è negativa
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24
Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
Cerchi di Mohr - approfondimenti
Tensioni su direzioni fuori dai piani principali
Direzione n qualsiasi, pensata
come una delle generatrici di
un cono di semi-apertura γ ,
angolo tra n e l’asse 3
3
γ n
2
1
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25
Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
Sul piano 2-3…
Le direzioni n sul piano 2-3 …
3
n'
γ
90 − γ
2
O
51
…sul piano 1-3…
…e n '' sul piano 1-3
3
n' '
γ
90 − γ
O
1
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26
Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
…le rispettive tensioni
…hanno la corrispondente tensione (σn , τn )
(rappresentata rispettivamente dai punti
A,B sul piano di Mohr)
(intersezione della retta
inclinata di 90-γ rispetto
agli assi 1 e 2 e quindi,
perno in σ3 , rispetto
all’asse orizzontale nel
piano di Mohr)
B
A
90 − γ
σ3
σ2
σ1
N.B.: il valore di 90 - γ è stato modificato
per facilitare la grafica
53
A e B stanno sul cerchio di centro C12
Si dimostra ora che i punti A,B stanno su un cerchio
avente come centro C12, centro del cerchio passante
per σ1 e σ2 :
A
B
90 − γ
σ3
σ2
σ1
C12
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27
Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
Dimostrazione (1/4)
MAN e MBL sono triangoli rettangoli;
siccome AMN è comune, sono simili,
perciò AN parallelo a BL
a
A
M
P
N
B
Q
L
a
55
Dimostrazione (2/4)
Individuato il punto P, medio tra A e B,
tracciamo l’asse aa. Questo interseca NL
in Q. Il triangolo AQB è isoscele
a
A
M
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P
N
B
Q
L
a
56
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Cerchi di Mohr - approfondimenti
Dimostrazione (3/4)
Le congiungenti Q con A e Q con B hanno
uguale lunghezza ( AQ = BQ )
Perciò A e B stanno su un cerchio di centro Q
a
A
M
P
B
Q
N
L
a
57
Dimostrazione (4/4)
Il triangolo MPQ è simile ai MAN e MBL, perciò PQ
è parallelo a AN e BL
AP
NQ
=
Per il Teorema di Talete,
Ma AP = PB ,
PB
QL
quindi NQ = QL
Perciò Q è punto medio di NL, ovvero Q ≡ C12
C.V.D.
a
B
P
A
M
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N
Q
C12
L
a
58
29
Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
Significato del cerchio di centro C12 (1/4)
Dimostriamo che le tensioni dell’arco AB sono
quelle delle direzioni del cono di semi-apertura γ
Dall’equazione generale:
n32
= cos
2
(
σn − σ1 )(σn − σ2 ) + τn2
γ=
(σ3 − σ1 )(σ3 − σ2 )
3
γ n
B
A
2
M
N
C12
L
1
59
Significato del cerchio di centro C12 (2/4)
Segue:
σ2n + τ2n − σn (σ1 + σ2 ) + σ1σ2 = (σ3 − σ1 )(σ3 − σ2 ) cos 2 γ
Da cui come è noto, per γ = 90°, cos γ = 0 ,
(cioè per direzioni sul piano 1,2):
σn2 + τn2 − σn (σ1 + σ2 ) + σ1σ2 = 0
Che è il cerchio di centro:
B
A
σ + σ2
C12 = 1
2
E di raggio r =
σ1 − σ2
2
M
σ2
C12
σ1
60
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Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
Significato del cerchio di centro C12 (3/4)
Nel caso γ < 90° :
σ2n + τ2n − σn (σ1 + σ2 ) + σ1σ2 − (σ3 − σ1 )(σ3 − σ2 ) cos 2 γ = 0
Equazione di un cerchio di centro
e raggio:
r=
≡
σ1 + σ2
2
(σ3 − σ1 )(σ3 − σ2 ) cos 2 γ − σ1σ2 + ⎛⎜ σ1 + σ2 ⎞⎟
2
⎝
(σ3 − σ1 )(σ3 − σ2 ) cos 2 γ + ⎛⎜ σ1 − σ2 ⎞⎟
2
⎝
2
⎠
≡
2
⎠
Cioè un raggio crescente con γ decrescente
61
Significato del cerchio di centro C12 (4/4)
Quando γ = 0 , ovvero n32 = cos 2 γ = 1 :
⎛ σ − σ2
r = ⎜⎜ 1
⎝⎜
2
⎡⎛ σ + σ 2
≡ ⎢⎜⎜ 1
⎢⎣⎜⎝
2
2
⎞
⎟⎟ + (σ 3 − σ1 )(σ 3 − σ 2 ) ≡
⎠⎟
⎤
⎞
⎟⎟ − (σ 3 )⎥
⎥⎦
⎠⎟
2
Cioè il segmento C12 M
Quindi per γ=0 il cerchio
passa per M, in cui
vengono a coincidere A e B
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B
A
σ3
σ2
C12
σ1
M
62
31
Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
Trovare la tensione (1/9)
Per trovare, ora, a quale punto sull’arco AB si
trovi il punto corrispondente alla direzione n
occorre un secondo angolo; per esempio l’angolo
α che n forma con l’asse 1
3
3 γ
n
2
1
Il versore n fa
parte sia del
cono di asse 3
sia di un cono
di asse 1 e semiapertura α
n
2
α
1
63
Trovare la tensione (2/9)
Si evidenziano i coni di assi 1 e 3, con n in comune:
3 γ
n
n'
3
n
2
2
1
α
1
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64
32
Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
Trovare la tensione (3/9)
Ovvero, evidenziando n ' sul piano 1-3:
n'
3
n'
3
n
α
2
1
α
1
65
Trovare la tensione (4/9)
La tensione corrispondente alla direzione n ' sul
piano principale 1-3 è data dal punto R di Mohr:
n'
α
1
3
R
σ3
α
σ2
σ1
66
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33
Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
Trovare la tensione (5/9)
Le direzioni del cono di asse 3 hanno tensioni su
un arco del cerchio di centro C23 passante per R
3
n
n'
R
α
2
n' '
α
S
σ3
C23
σ2
σ1
1
67
Trovare la tensione (6/9)
L’analoga costruzione per il cono di asse 3:
3
γ
90 − γ
n' ' '
B
90 − γ
A
R
2
1
σ3
α
S
C23
σ2
C12
σ1
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34
Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
Trovare la tensione (7/9)
L’intersezione tra i due archi fornisce il punto Z,
che rappresenta la tensione della direzione n
3
B
n
A
R
Z
S
2
1
σ3
C23
σ2
C12
σ1
69
Trovare la tensione (8/9)
Notiamo che affinché
l’intersezione Z esista,
occorre che R stia
a sinistra di B,
cioè α>90°-γ
B
Al limite:
A
α=90°-γ →
→ α+γ = 90°;
R
Z
α
che si realizza
quando n
σ3
sta sul piano 1-3
C23
90 − γ
S
σ2
C12
σ1
70
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Comportamento meccanico dei materiali
Cerchi di Mohr - approfondimenti
Trovare la tensione (9/9)
Le intersezioni di
archi RS e AB non
possono che avere
luogo all’interno della
“lunella”; quindi,
come già visto per
Z
via algebrica,
mostrano che le
tensioni relative a
tutte le direzioni
nello spazio stanno σ3
entro questa “lunella”
C23
σ2
C12
σ1
71
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