Intervalli di Confidenza - Dipartimento di Economia, Statistica e
by user
Comments
Transcript
Intervalli di Confidenza - Dipartimento di Economia, Statistica e
Intervalli di Confidenza Corso di Teoria dell’Inferenza Statistica 2 a.a. 2003/2004 Quarto Periodo Prof. Filippo DOMMA Corso di Laurea in Statistica – Facoltà di Economia - UniCal I metodi di stima puntuali anche se corredati di tutte le proprietà giudicate desiderabili e ottimali, difficilmente potranno fornire delle stime che coincidono con il parametro incognito, poiché ci si dovrà sempre attendere un certo errore di campionamento. Nasce, quindi, l’esigenza di associare allo stimatore una misure dell’errore di stima commesso, in modo tale da valutare quanto la stima sia da considerarsi “vicina” al parametro incognito. Tali valutazioni possono essere fatte facendo riferimento alla dispersione della distribuzione campionaria dello stimatore T(X). In relazione alla stima t(x), ottenuta tramite il campione osservato, e alla precisione dello stimatore, ci saranno dei valori di q che sulla base del campione debbono essere considerati più plausibili di altri. Definito, quindi, il grado di plausibilità si potrà dividere lo spazio parametrico in due sottoinsiemi: Intervalli di Confidenza F. Domma 2 uno di valori probabili per q secondo il grado di plausibilità fissato ed un altro di valori poco probabili per q. Così, invece di stimare un unico valore per q, si stimerà un insieme di valori possibili a cui verrà associato il grado di plausibilità scelto il quale deve essere interpretato come livello di confidenza per l’insieme. Intervalli di Confidenza F. Domma 3 Sia X un c.c. estratto da f(x;q) appartenente alla famiglia di distribuzioni P. Diamo la seguente Definizione. La famiglia di intervalli S(X) di Q, funzione di X ma non di q, è chiamato intervallo casuale. S(X) è del tipo __ ( X ), q ( X ) q __ dove q (X) e q ( X) sono, rispettivamente, il limite inferiore e superiore dell’intervallo casuale. Intervalli di Confidenza F. Domma 4 Definizione. Per un dato valore di a (usualmente piccolo), 0< a <1, un intervallo di confidenza al 100(1-a)% per q è la realizzazione di un intervallo casuale tale che q Q Pr q (X) q q(X) 1 a La quantità inf Pr q (X) q q(X) qQ in genere è uguale ad 1-a, è chiamato coefficiente fiduciario dell’intervallo casuale. Intervalli di Confidenza F. Domma 5 Un metodo generale per la costruzione di intervalli di confidenza è costituito dalla ricerca di una funzione del campione e del parametro incognito da stimare che abbia una distribuzione indipendente da parametro stesso. Intervalli di Confidenza F. Domma 6 Metodo della Quantità Pivot Definizione. Quantità Pivot. Sia X1,…,Xn un c.c. estratto da una fd (o fp) f(x;q) appartenente a P. Sia Q=q(X1,…,Xn;q) una funzione del c.c. e del parametro incognito q. Se la v.c. Q ha distribuzione indipendente da q, allora Q è detta quantità pivot. Se Q=q(X;q) è una quantità pivot, allora per ogni a fissato, 0<a<1, esisteranno due valori q1 e q2 dipendenti da a, tali che Pr q1 Q q 2 1 a Per ogni c.o. x1,…,xn, si ha: q1 q(x1 ,..., x n ; q) q 2 Ora, se da questa doppia diseguaglianza, riusciamo a calcolare la seguente: Intervalli di Confidenza F. Domma 7 t1 (x1,..., x n ) q t 2 (x1,..., x n ) Per funzioni t1 e t2 indipendenti da q, allora (t1,t2) è un intervallo fiduciario (di confidenza) al 100(1-a)% per q. In tal modo costruiamo un I.C. per q in due fasi: 1a - individuare la q.p.; 2a - invertire la doppia diseguaglianza in termini di q. Intervalli di Confidenza F. Domma 8 Campionamento da popolazioni Normali Sia X un c.c. iid estratto da P N(.,.) : (, ) \ 0 2 Costruire un I.C. per con il metodo della quantità pivot. Esistono due casi distinti: a) varianza nota; b) varianza sconosciuta. Intervalli di Confidenza F. Domma 9 A) Varianza nota P N(.,.) : (, ) \ 0 2 0 1) Individuazione della Quantità Pivot. Per individuare la q.p. dobbiamo costruire una funzione del c.c. X e del parametro incognito () con fd (o fp) indipendente dal parametro incognito. Sia X un c.c. iid estratto da N(.;.). Sappiamo che, in tale contesto, la media campionaria ha la seguente distribuzione 02 1 n X Xi ~ N , n i 1 n E’ evidente che la media campionaria non è una quantità pivot. Intervalli di Confidenza F. Domma 10 Consideriamo la standardizzazione della media campionaria, cioè: X Z ~ N(0,1) 0 / n Z è una quantità pivot per ; infatti, si ha: 1) è funzione del c.c. X e del parametro incognito , cioè Z q( X; ) 2) Z ha distribuzione indipendente dal parametro incognito . Fissato a, con 0< a <1, possiamo trovare due valori, q1 e q2, tali che Pr q1 Z q 2 1 a Intervalli di Confidenza F. Domma 11 2) Inversione della doppia diseguaglianza in termini di ; 1 a Pr q1 Z q 2 Pr q1 q(X; ) q 2 X Pr q1 q2 0 / n P X q / n X q / n P X q / n X q / n P X q / n X q / n Pr q10 / n X q 20 / n r 1 0 2 0 r 1 0 2 0 r 2 0 1 0 Intervalli di Confidenza F. Domma 12 La determinazione di q1 e q2 dipende da a e dalla fd (o fp) della q.p. Generalmente, a viene fissato ad un valore molto basso 0.01, 0.05. Ripartiamo in parti uguali, sulle code della normale standardizzata, a in modo tale che a Pr q1 Z 2 q1 z a 2 a Pr Z q 2 2 q2 z a 2 Intervalli di Confidenza F. Domma 13 Sostituendo si ha: 0 0 Pr X z a X za 1 a 2 2 n n Gli estremi dell’intervallo casuale (T1,T2), sono: 0 T1 X z a 2 n 0 T2 X z a 2 n Osservato il c.c. x=(x1,…,xn), l’Intervallo di confidenza al 100(1-a)% per è: 0 0 , x za x z a2 2 n n Intervalli di Confidenza F. Domma 14 Il termine fiduciario nasce dalla seguente osservazione: se estraessimo dalla popolazione ripetutamente campioni di dimensione n e se calcolassimo per ognuno di questi l’intervallo (t1,t2), la frequenza relativa di intervalli che contengono q tenderebbe al 100(1-a)%. Abbiamo, quindi, una considerevole fiducia che l’intervallo osservato contenga q. La misura della nostra fiducia è 100(1-a)%. Esempio. Sia X1 ,.... X 9 un c.c. estratto da una popolazione statistica che è ben adattata da una v.c. Normale con media incognita e varianza pari a 25. Utilizzando le realizzazioni finite delle variabili casuali componenti il campione, abbiamo calcolato il valore della media campionaria, pari a 27. Determinare l’intervallo di confidenza per la media della popolazione al livello di confidenza pari al 97%. Intervalli di Confidenza F. Domma 15 B) Varianza sconosciuta P N(.,.) : (, ) \ 0 2 1) Individuazione della Quantità Pivot. Per individuare la q.p. dobbiamo costruire una funzione del c.c. X e del parametro incognito () con fd (o fp) indipendente dal parametro incognito. Dire perché la quantità Z X ~ N (0,1) / n non è utile per costruire un I.C. per , con sconosciuta. Intervalli di Confidenza F. Domma 16 Osservazione: X Z ~ N (0,1) / n Si dimostra, inoltre, che: Sappiamo che: (n 1)S2 2 V ~ (n 1) 2 Z T ~ t (n 1) V ( n 1) In definitiva, la v.c. T ha distribuzione indipendente da parametri incogniti (dipende solo dai gradi di libertà n-1). Intervalli di Confidenza F. Domma 17 Si osservi, ora, che T Z V (n 1) In definitiva, abbiamo X X X / n 2 ( n 1) S S / n S/ n 2 ( n 1) X T ~ t (n 1) S/ n Quest’ultima quantità è una q.p.; infatti, T è funzione di X e di , con f.d. indipendente da parametri incogniti. Individuata la q.p., fissato a, possiamo trovare q1 e q2 tali che Pr q1 T q 2 1 a Intervalli di Confidenza F. Domma 18 2) Inversione della doppia diseguaglianza in termini di ; 1 a Pr q1 T q 2 Pr q1 q(X; ) q 2 X Pr q1 q2 S/ n P X q S / n X q S / n P X q S / n X q S / n P X q S / n X q S / n Pr q1S / n X q 2S / n r 1 2 r 1 2 r 2 1 Intervalli di Confidenza F. Domma 19 La determinazione di q1 e q2 dipende da a e dalla fd (o fp) della q.p. Ripartiamo in parti uguali, sulle code della t di Student, a in modo tale che a Pr q1 T 2 q1 t a (n - 1) 2 a Pr T q 2 2 q 2 t a (n - 1) 2 Intervalli di Confidenza F. Domma 20 Sostituendo si ha: S S Pr X t a ( n 1) X t a ( n 1) 1 a 2 2 n n Gli estremi dell’intervallo casuale (T1,T2), sono: S T1 X t a ( n 1) n 2 S T2 X t a ( n 1) n 2 Osservato il c.c. x=(x1,…,xn), l’Intervallo di confidenza al 100(1-a)% per è: s s t a ( n 1) , x t a ( n 1) x n 2 n 2 Intervalli di Confidenza F. Domma 21 Esempio. In un grande comune rurale, da un’indagine campionaria su 900 famiglie, è risultato un reddito medio di 2.3 milioni ed una deviazione standard di 0.8 milioni. Si determini l’intervallo di confidenza per il reddito medio annuo di tutte le famiglie, sotto l’ipotesi che lo stesso segua una v.c. Normale, al livello di confidenza del 95%. Intervalli di Confidenza F. Domma 22 Osservazione - 1 Dato l’intervallo 0 0 , x za x z a2 2 n n La lunghezza ( L ) dell’intervallo di confidenza è definita come differenza tra gli estremi dell’intervallo stesso, cioè 0 0 0 L x za x za 2z a 2 2 2 n n n Si definisce errore la lunghezza dell’intervallo diviso 2, cioè 0 L za 2 2 n Intervalli di Confidenza F. Domma 23 - a parità di a: - L diminuisce al diminuire di ; - L diminuisce all’aumentare di n. - a parità di n e : - L diminuisce all’aumentare di a [in tal caso diminuisce il grado di fiducia (1-a) ] Situazione ottima: L piccolo - (1-a) elevato Intervalli di Confidenza F. Domma 24 Osservazione - 2 Fissato a, a parità di e s e della dimensione campionaria n, gli intervalli di confidenza per la media della popolazione costruiti con T sono più ampi. Intervalli di Confidenza F. Domma 25 Osservazione - 3 In alcuni casi, è necessario calcolare la dimensione campionaria minima affinché l’I.C. abbia una lunghezza prefissata. Così,ad esempio, nel caso di I.C. per con noto, si ha: n: L 0 2z a 2 n 0 2z a n 2 0 n 2z a 2 Intervalli di Confidenza F. Domma 2 26 Esempio Le uova prodotte in una azienda agricola hanno un peso che si distribuisce secondo una normale con media incognita e varianza paria a 49. Determinare la dimensione del campione che consente di stimare , mediante la media campionaria, con un errore non superiore a 4 con una probabilità di 0.95. Intervalli di Confidenza F. Domma 27 Campionamento da popolazioni Normali Sia X un c.c. iid estratto da P N(.,.) : (, ) \ 0 2 Costruire un I.C. per 2 con il metodo della quantità pivot. Esistono due casi distinti: a) sconosciuta; b) nota. Intervalli di Confidenza F. Domma 28 A) Media sconosciuta 1) Individuazione della Quantità Pivot. Per individuare la q.p. dobbiamo costruire una funzione del c.c. X e del parametro incognito (2) con fd (o fp) indipendente dal parametro incognito. Si è visto in precedenza che la quantità X X n (n 1)S V 2 2 i 1 2 i ~ (n 1) 2 2 E’ evidente che V è una funzione del c.c. X e del parametro incognito 2 ; inoltre, si distribuisce secondo una chi-quadrato con (n-1) gradi di libertà ovvero la distribuzione non dipende da parametri incogniti. Da ciò si può concludere che V è una quantità pivot per 2. Intervalli di Confidenza F. Domma 29 2) Inversione della doppia diseguaglianza in termini di 2; Fissato a, possiamo determinare q1 e q2 tali che 1 a Pr q1 V q 2 Pr q1 q(X; ) q 2 2 2 2 (n 1)S 1 1 Pr q1 q 2 Pr 2 2 q2 q1 (n 1)S 2 (n 1)S2 ( n 1 ) S 2 Pr q2 q1 2 (n 1)S2 (n 1)S 2 Pr q1 q2 Intervalli di Confidenza F. Domma 30 La determinazione di q1 e q2 dipende da a e dalla fd (o fp) della q.p. Ripartiamo in parti uguali, sulle code della Chi-quadrato, a in modo tale che a Pr q1 V 2 q1 2a (n - 1) 2 a Pr q 2 V 2 q2 2 (n - 1) 1 a2 Intervalli di Confidenza F. Domma 31 2 (n 1)S2 ( n 1 ) S 2 Pr 2 2 1 a a ( n 1) 1 a2 ( n 1) 2 Sostituendo si ha: Gli estremi dell’intervallo casuale (T1,T2), sono: (n 1)S T1 2 1 a ( n 1) 2 (n 1)S T2 2 a ( n 1) 2 2 2 Osservato il c.c. x=(x1,…,xn), l’Intervallo di confidenza al 100(1-a)% per 2 è: (n 1)s 2 (n 1)s 2 , 2 2 1 a2 ( n 1) a2 ( n 1) Intervalli di Confidenza F. Domma 32 B) Media nota 1) Individuazione della Quantità Pivot. Per individuare la q.p. dobbiamo costruire una funzione del c.c. X e del parametro incognito (2) con fd (o fp) indipendente dal parametro incognito. n ˆ n V 2 2 X i 1 2 i ~ (n ) 2 2 E’ evidente che V è una funzione del c.c. X e del parametro incognito 2 ; inoltre, si distribuisce secondo una chi-quadrato con (n) gradi di libertà ovvero la distribuzione non dipende da parametri incogniti. Da ciò si può concludere che V è una quantità pivot per 2. Intervalli di Confidenza F. Domma 33 Utilizzando lo stesso procedimento del caso (A), si ottiene l’I.C. per 2, cioè 2 nˆ 2 ˆ n 2 Pr 2 2 1 a a (n ) 1 a2 ( n ) 2 Gli estremi dell’intervallo casuale (T1,T2), sono: nˆ T1 2 1 a ( n ) 2 2 2 ˆ n T2 2 a (n ) 2 Osservato il c.c. x=(x1,…,xn), l’Intervallo di confidenza al 100(1-a)% per 2 è: 2 nˆ 2 ˆ n , 2 2 1 a2 ( n ) a2 ( n ) Intervalli di Confidenza F. Domma 34 Esempio. Il diametro delle sfere di acciaio, prodotte da una determinata industria, è adattato statisticamente da una v.c. X che si distribuisce come una Normale. Si effettua un campionamento casuale di numerosità 9 e si misura il diametro delle sfere costituenti il campione. I risultati, realizzazioni delle v.c. componenti il campione, sono i seguenti : 20.1 , 19.9 , 20 , 19.8 , 19.7 , 20.2 , 20.1 , 23.1 , 22.8 Determinare l’intervallo di confidenza al livello del 90% per il valor medio della popolazione ed un altro intervallo allo stesso livello di confidenza per la varianza della popolazione. Intervalli di Confidenza F. Domma 35 Intervallo di Confidenza per la differenza tra le medie di due popolazioni Normali. Siano X ed Y due v.c. indipendenti e normalmente distribuite, cioè X ~ N x , 2x Y ~ N y , X ( m1) 2 y Y( n1) X ~ N x , m 2 x Intervalli di Confidenza 2 y Y ~ N y , n F. Domma 36 Vogliamo costruire un I.C. per la differenza tra le medie x e y. Primo Caso: 2x e 2y Note D XY Stimatore naturale della differenza tra le medie E’ semplice verificare che ED x y VD m n 2 x 2 y 2 2 y x D ~ N x y , m n Intervalli di Confidenza F. Domma 37 La v.c. Z D x y 2x m 2y ~ N 0 , 1 n E’ una quantità pivot perché è funzione del c.c. (X,Y) e del parametro incognito (x-y) ed ha distribuzione indipendente da parametri incogniti. Fissato a, possiamo determinare q1 e q2 tali che 1 a Pr q1 Z q 2 Intervalli di Confidenza F. Domma 38 D x y Pr q1 q2 2 2 x y m n 2 2 2 2 x x y y Pr q1 D x y q2 m n m n 2 2 2 2 x x y y Pr D q1 ( x y ) D q 2 m n m n Intervalli di Confidenza F. Domma 39 2 2 2 2 x x y y Pr D q1 x y D q2 m n m n 2 2 2 2 x y x y Pr D q 2 x y D q1 m n m n Ricordando che a Pr Z q1 Pr Z q 2 q1 z a 2 2 Intervalli di Confidenza F. Domma q2 z a 2 40 Si ottiene: 2 2 2 2 x y x y Pr D z a x x D z a 1 a 2 2 m n m n Gli estremi dell’intervallo casuale (T1,T2), per la differenza tra le medie nel caso di varianze note, sono: T1 D z a 2 Intervalli di Confidenza m n 2 x 2 y T2 D z a 2 F. Domma m n 2 x 2 y 41 Osservati x=(x1,…,xm) e y=(y1,…,yn), l’I.C. per la differenza tra le medie (x-y), nel caso di varianze note, al 100(1-a)% è: 2 2 2 2 x x y y , d za d z a2 2 m n m n dove con dxy 1 m x xi m i 1 Intervalli di Confidenza e F. Domma 1 n y yi n i 1 42 Se le varianza sono sconosciute, Z non è una quantità pivot per (x-y). Secondo Caso: varianze uguali ma sconosciute Stimatore naturale della differenza tra le medie 2 x 2 y 2 D XY Da quanto detto in precedenza, si evince che Z D x y 2 x m Intervalli di Confidenza 2 y n D x y 1 1 m n F. Domma ~ N 0 , 1 43 Si osserva, inoltre, che X m (m 1)S V1 2 2 x i 1 X 2 i 2 Y Y n V2 (n 1)S 2 2 y ~ 2 (m 1) i 1 2 i 2 ~ (n 1) 2 Poiché V1 e V2 sono indipendenti, dalla proprietà riproduttiva della v.c. chi-quadrato, si ha: n 1 m 2 2 2 V1 V1 2 X i X Yi Y ~ (n m 2) i 1 i 1 Intervalli di Confidenza F. Domma 44 Dato che le v.c. Z e V1+V2 sono indipendenti, possiamo costruire la v.c. t-student, cioè T Z ~ t ( n m 2) V1 V2 (m n 2) Tale rapporto si può scrive nel seguente modo: D x y T 1 1 m n (m 1)S 2 x (n 1)S2y (m n 2) 2 Intervalli di Confidenza F. Domma D x y 1 1 Sp m n 45 dove S 2 p (m 1)S (n 1)S 2 x 2 y (m n 2) È lo stimatore non-distorto della varianza comune 2; infatti, si ha: ES 2 p (m 1)E S (n 1)E S 2 x (m n 2) 2 y (m 1) (n 1) 2 (m n 2) 2 Intervalli di Confidenza 2 F. Domma 46 In definitiva, la v.c. T D x y ~ t(m n 2) 1 1 Sp m n È una quantità pivot perché funzione del c.c. (X,Y) e del parametro da stimare (x-y) con distribuzione che non dipende da parametri incogniti. Fissato a, possiamo determinare q1 e q2 tali che 1 a Pr q1 T q 2 Intervalli di Confidenza F. Domma 47 D x y Pr q1 q2 1 1 Sp m n 1 1 Pr q1S p D x y q 2S p m n 1 1 Pr D q1Sp x y D q 2S p m n 1 1 m n 1 1 m n 1 1 1 1 Pr D q1Sp x y D q 2S p m n m n Intervalli di Confidenza F. Domma 48 1 1 1 1 Pr D q 2Sp x y D q1Sp m n m n Ricordando che a Pr T q1 Pr T q 2 2 Intervalli di Confidenza q1 t a2 ( m n 2) q 2 t a2 ( m n 2) F. Domma 49 Sostituendo, si ottiene: Pr D t a (m n 2) Sp 2 1 m 1 n x y D t a (m n 2) Sp 2 1 m 1 1 a n Gli estremi dell’intervallo casuale (T1,T2), per la differenza tra le medie nel caso di varianze incognite ma uguali, sono: T1 D t a ( m n 2 ) Sp 2 Intervalli di Confidenza 1 m 1 n T2 D t a ( m n 2 ) Sp 2 F. Domma 1 m 1 n 50 Osservati x=(x1,…,xm) e y=(y1,…,yn), l’I.C. per la differenza tra le medie (x-y), nel caso di varianze incognite ma uguali, al 100(1-a)% è: d t a2 ( m n 2 ) s p dove dxy con m 1 m e 1 , d t a ( m n 2) s p 2 n s 2 p 1 x xi m i 1 m 1 2 2 x i x sx m 1 i 1 Intervalli di Confidenza s 2 ( m 1) x 1 m 1 n 2 ( n 1) y s ( m n 2) n 1 y yi n i 1 n 1 2 2 y i y sy n 1 i 1 F. Domma 51 Esempio Per provare l’efficacia di due nuovi semi per la produzione di grani sotto condizioni climatiche normali, un’industria di semi seleziona casualmente otto aziende agricole in una regione italiana e prova entrambi i semi su una determinata superficie coltivabile. Le produzioni per le otto aziende, secondo il seme utilizzato, sono le seguenti: A : 86, 87, 56, 93, 84, 93, 75, 79 B : 80, 79, 58, 91, 77, 82, 74, 66 Supponendo che le due produzione siano, in ogni azienda, distribuite normalmente e che le varianze delle due popolazioni siano uguali, determinare l’intervallo di confidenza per la differenza delle produzioni medie, ad un livello di confidenza del 95%. Intervalli di Confidenza F. Domma 52 Intervallo di Confidenza sulla probabilità di successo Sia X una v.c. di Bernoulli con probabilità di successo pari a q. Si ricorda che E(X)=q e V(X)= q(1- q). Dato un c.c. X1,…,Xn estratto da B(q,1), si vuole costruire un intervallo di Confidenza per q al 100(1-a)%. Consideriamo la proporzione di successi in n-prove indipendenti 1 X n n X i 1 i Sappiamo che EX q q(1 q) VX n Intervalli di Confidenza F. Domma 53 Dal teorema di De Moivre-Laplace, sappiamo che Z X EX VX X q d N(0,1) q(1 q) n n Si evidenzia che la v.c. Z pur essendo una q.p. (perché è funzione del c.c. e del parametro incognito ed ha distribuzione indipendente da parametri incogniti) NON può essere utilizzata per costruire un intervallo di confidenza asintotico per la probabilità di successo. Infatti, la varianza della popolazione è sconosciuta. E’ necessario quindi stimare la varianza della popolazione. Intervalli di Confidenza F. Domma 54 Consideriamo lo stimatore naturale della varianza della popolazione n 1 n 1 S X i2 X 2 X i X 2 X 1 X n i 1 n i 1 2' n Perché n X X i 1 2 i i 1 i essendo Xi=0 oppure Xi=1. Consideriamo, ora, la varianza campionaria non-distorta n nX1 X 2' S S n 1 n 1 2 Intervalli di Confidenza F. Domma 55 Sostituiamo a V(X) lo stimatore non-distorto S2 Z X EX VX X q S2 n Xq nX 1 X n (n 1) X q X 1 X (n 1) Si dimostra che Z Xq X 1 X ( n 1) d N (0,1) n Quest’ultima è una quantità pivot per la probabilità di successo q. Intervalli di Confidenza F. Domma 56 Fissato a, possiamo determinare q1 e q2 tali che 1 a Pr q1 Z q 2 Pr q1 X q q2 X 1 X n 1 X 1 X Pr q1 X q q2 n 1 Intervalli di Confidenza F. Domma X 1 X n 1 57 X 1 X X 1 X Pr X q1 q X q 2 n 1 n 1 X 1 X X 1 X Pr X q 2 q X q1 n 1 n 1 Analogamente, a quanto visto in precedenza possiamo dire che q1 z a 2 Intervalli di Confidenza q2 z a 2 F. Domma 58 Sostituendo abbiamo X 1 X X 1 X Pr X z a q X za 1 a 2 2 n 1 n 1 Gli estremi dell’intervallo casuale (T1,T2), per la probabilità di successo, sono: T1 X z a 2 Intervalli di Confidenza X 1 X n 1 T2 X z a 2 F. Domma X 1 X n 1 59 Osservato x=(x1,…,xm) , l’I.C. asintotico per la probabilità di successo q, al 100(1-a)% è: x (1 x ) x (1 x ) , x za x z a2 2 n 1 n 1 dove n 1 x xi n i 1 Intervalli di Confidenza F. Domma 60 Esempio. Dal deposito di una industria che produce lampade, si estrae un c.c. di 350 unità e si osserva che il 25% sono difettose. Si determini un intervallo di confidenza per la proporzione di lampade difettose prodotte dall’industria in esame, al livello di confidenza del 95%. Intervalli di Confidenza F. Domma 61 Intervalli di Confidenza F. Domma 62 Intervalli di Confidenza F. Domma 63 Intervalli di Confidenza F. Domma 64 Intervalli di Confidenza F. Domma 65 Intervalli di Confidenza F. Domma 66