OTTICA

OTTICA
Lenti sottili
Visione
Polarizzazione
1
Onde elettromagnetiche


Onda elettromagnetica:
E
Eo

B
“vibrazione”
del campo elettrico
e del campo magnetico
in direzione
perpendicolare a entrambi

v

Bo
l


E

x
Una carica elettrica in moto
emette o assorbe
onde elettromagnetiche
quando soggetta ad accelerazione
Eo

B

Bo
T
t
Non serve materia: i campi
si propagano anche nel vuoto!
2
Velocita’ della luce
Le onde elettromagnetiche si propagano
anche nel vuoto
secondo la consueta legge:
l = v
La loro velocità nel vuoto è sempre
c = 3•108 m/s
(= 300000 km/s)
E’ la velocità della luce
ma anche di tutte le altre onde elettromagnetiche.
E’ la massima velocità raggiungibile in natura.
Nei mezzi materiali la velocità è c/n (<c).
3
Spettro elettromagnetico
(fermi)
l (m)
10–12
10–14
RAGGI
GAMMA
(Hz)
GeV
109
10–10
RAGGI
X

1022
1020
MeV
106
l = c
(mm)
(Å) (nm)
10–8
1016
keV
10–4
10–2
INFRA-ROSSO
MICRO
ONDE
1014
1012
VISIBILE
1010
ULTRA-VIOLETTO
1018
103
10–6
(mm) (cm)
E
colori
102
1
l(m)
ONDE
RADIO
108
106

(Hz)
3 108 Hz
(eV)
E = h
l
400
500
600
700(nm)
4
OTTICA
Natura della luce: Corpuscolare / ondulatoria
• Ottica geometrica
Si trascura il carattere
ondulatorio della luce e si
parla di raggi luminosi che
si propagano in linea retta.
Fenomeni della riflessione e
rifrazione: studio dei sistemi
ottici centrati.
• Ottica fisica
Si occupa della natura ondulatoria
della luce.
Fenomeni quali :
INTERFERENZA,DIFFRAZIONE
POLARIZZAZIONE.
Non possono essere spiegati
adeguatamente con l’ottica
geometrica,ma solo considerando la
natura ondulatoria della luce se ne
può dare una descrizione
soddisfacente.
5
Riflessione/diffusione
Trasmissione/assorbimento
Modifica della distribuzione spettrale della
luce incidente (per assorbimento o
interferenza)  contrasto di colore
Diffrazione
Riflessione/rifrazione
6
Ottica Geometrica
LEGGI DELLA RIFLESSIONE E RIFRAZIONE
Nella riflessione il raggio riflesso giace
nel piano formato dal raggio incidente e
dalla normale alla superficie riflettente.
L'angolo di riflessione è uguale all'angolo
di incidenza.
Rifrazione  passaggio della luce
da un mezzo ad un altro di indice
di rifrazione diverso.
n  indice di rifrazione
n
c velocità luce vuoto

v velocità luce mezzo
c  velocità luce vuoto  3  108 m s 1
c  v n 1
7
La rifrazione dipende della densità ottica
•L’acqua è otticamente più densa dell’aria.
•Per la legge di Snell:
1 sin 1 = 2 sin 2
8
Potere dispersivo dei mezzi
9
Potere dispersivo dei mezzi
10
RIFLESSIONE TOTALE
Per i > l tutta la luce viene riflessa
es : vetro
n  1.5 sen l 
1
 0.667l  42
1.5
Prismi totalmente riflettenti
Guide di luce (fibre ottiche)
11
Specchi piani
p: distanza oggetto
q: distanza immagine
L’immagine è virtuale
Immagine reale:
La luce passa effettivamente attraverso il
punto immagine e diverge da esso.
Immagine virtuale: La luce si comporta come se provenisse dal
punto immagine, sebbene non passi per tale
punto.
12
pq
Ingrandimento M 
altezza immagine h q
Per specchi piani M =1
 
altezza oggetto
h p
• La distanza dell’immagine è uguale alla distanza dall’oggetto
• L’immagine non è ingrandita nè rimpicciolita, è virtuale e non capovolta
13
Immagini formate per rifrazione
14
Diottro sferico
Insieme di due mezzi trasparenti omogenei di indice di
rifrazione diverso separati da una superficie sferica.
p q  asse ottico
S  calotta sferica
V  vertice diottro
R  raggio di S
R  0 se S convesso verso lo spazio oggetti
15
Approssimazioni di Gauss:
• l'ampiezza di S è piccola, rispetto a R (VT 0)
• I raggi provenienti da O formano angoli piccoli rispetto all'asse ottico
(  0  raggi parassiali)
n1 seni  n2 senr
n1 sen     n2 sen   
n1sencos   sencos    n2 sencos   sencos  
      0
cos   cos   cos   1 (appr. Gauss)
VT  0  sen 
n1
h
h
h
sen 
sen 
p
R
q
h
h
h
h
 n1
 n2
 n2
p
R
R
q
n1 n 2 n 2  n1


p
q
R
Formula dei punti coniugati
16
Punti principali del diottro
1) centro di curvatura C  i raggi luminosi che
dall'oggetto vanno a C non vengono deviati
2) I fuochi
F1  primo fuoco  punto sull'asse ottico nello
spazio oggetto la cui immagine è un punto
all'infinito.
F2  secondo fuoco  punto sull'asse ottico
nello spazio immagine in cui convergono i raggi
paralleli all'asse ottico provenienti da un punto
all'infinito.
q 
(F1 )
p
(F2 )
1 1 n 2  n1 1
 
f1 p
n1 R
1 1 n 2  n1 1
 
f2 q
n2 R
17
Lenti sottili
Lente sottile sferica  due facce sferiche, o una faccia sferica e una piana.
Lo spessore è piccolo rispetto al raggio di curvatura delle facce.
Convergenti
Divergenti
F1: Punto focale dell’oggetto
F2: Punto focale dell’immagine
f = lunghezza focale
n = indice di rifrazione della lente rispetto all'aria.
18
Convenzione dei segni per lenti sottili
•
•
p è positivo se oggetto è davanti alla lente (oggetto reale).
p è negativo se oggetto è dietro alla lente (oggetto virtuale).
•
•
q è positivo se oggetto è dietro alla lente (immagine reale).
q è negativo se oggetto è davanti alla lente (immagine virtuale).
•
•
R1 e R2 sono positivi se centro di curvatura è dietro alla lente.
R1 e R2 sono negativi se centro di curvatura è davanti alla lente.
•
•
f è positivo se la lente è convergente.
f è negativo se la lente è divergente.
1/f ⇒ potere convergente
Se f è espresso in metri l’unità di
misura del potere di convergenza
è la diottria
19
Lenti sottili
L’immagine formata dalla prima
superficie è l’oggetto per la
seconda.
a)
b)
p2  q1  t  q1
b)

n 1 1  n 


q1 q2
R2
Sommando a) e b)
1 1 
1 1
  n  1  
p1 q2
 R1 R2 
1 1 
1 1
  n  1  
p q
 R1 R2 
Ponendo p=f e q= 
1 1 
1
 n  1  
f
 R1 R2 
1 n n  1
 
p1 q1
R1
dove q1 < 0
n
1 1  n 


p2 q2
R2
1 1 1
 
p q f
20
Ottica Geometrica
Lente stigmatica: fasci emergenti da un punto convergono tutti nello stesso punto
(considereremo solo lenti sottili e biconvesse)
immagine
oggetto
n
Nota bene: Le lenti reali sono stigmatiche sono per raggi che non si
allontanano troppo dall’asse ottico (raggi parassiali)
21
Fasci paralleli convergono nel piano focale (posteriore)
Fuoco
(BFP)
oggetto
immagine
n
22
I due fuochi (anteriore e posteriore) sono simmetrici e equivalenti
Fuoco
anteriore
Fuoco
posteriore
n
23
Costruzione di un’immagine
oggetto
immagine

fuoco

f
n
o
i
1 1 1
Equazione delle lenti
 
o i f
Nota bene: Valida per raggi parassiali = angoli piccoli  sin ~ 
24
Se avvicino “troppo” (=oltre il fuoco) …
… immagine virtuale
immagine
1 1 1
 
o i f
oggetto
immagine



fuoco
f
n
i
o
i
25
1 1 1
 
o i f
Se uso una lente meno convergente
(distanza focale maggiore) …
oggetto
immagine

fuoco

f
n
o
i
… immagine più piccola
26
Se uso una lente con maggior potere convergente
… immagine più grande
(lunghezza focale minore)
1 1 1
 
o i f
immagine
oggetto

fuoco

f
n
o
i
27
Lente di ingrandimento
28
Ingrandimento: rapporto immagine / oggetto
f
yo
o-f o
i-f
yo
i
yi f
yi
n
o
y
i
I

y
o
i
o
yi i  f

yo
f
i
y
f

y
of
i
o
29
f
I
o f
per o>f
2f
I>1
f
f > o-f
2f > o
o < 2f
f
Quindi, per ingrandire conviene mettersi poco prima del fuoco
30
Lente d’ingrandimento: Ingrandimento angolare (o visuale)
tg yo / f d
I


tg
yo / d
f


yo


d  25 cm

31
Microscopio
l’immagine della prima lente (obiettivo) è l’oggetto della seconda (oculare) posto nel fuoco
Oculare
Obiettivo
Lunghezza di camera
D = i - fob
yo
fob
foc
yi  yo'
fob

foc
∞
i  f ob d
tg yo' / f oc yi d
Dd
I




 I ob I oc
tg
yo / d
yo f oc
f ob f oc f ob f oc
Cioè: l’ingrandimento di un microscopio è
il prodotto di quello dell’obiettivo e dell’oculare
(d  25 cm)
32
Microscopio ottico composto
33
La distanza focale f dell’obiettivo è molto più piccola della distanza focale f’
dell’oculare.
Sia f che f’ sono molto più piccole della distanza tra l’obiettivo e l’oculare.
L’oggetto AB è posto ad una distanza dall’obiettivo un poco più grande di f.
L’obiettivo forma un’immagine reale a’b’, che si comporta come un oggetto per
l’oculare. L’immagine a’b’ deve essere ad una distanza dall’oculare un poco
minore di f’. L’immagine finale, ab, è virtuale, capovolta e molto più grande
dell’oggetto.
34
L’oggetto AB è posto in modo che ab sia ad una distanza dall’oculare uguale
alla distanza minima della visione distinta,  (circa 0.25 m). Questa
condizione si ottiene con l’operazione detta di messa a fuoco, che consiste
nello spostare l’intero microscopio rispetto all’oggetto. L’ingrandimento
dell’obiettivo è:
a' b' L

AB f
e quello dell ' oculare è :
ab 
ME 

a' b' f '
Perciò l' ingran dim ento totale vale :
ab L
M  M 0 ME 

A B f f'
M0 
Nei microscopi usuali L è
praticamente la distanza tra
l’obiettivo e l’oculare
35
Piani coniugati nella visione
attraverso un microscopio ottico
36
IL MICROSCOPIO OTTICO
• Il microscopio
composto consiste di
due lenti convergenti
principali (ciascuna di
piccola distanza focale)
obiettivo  forma
un’immagine reale
ingrandita dell’oggetto con
ingrandimento
oculare  forma
un’immagine virtuale
ulteriormente ingrandita
 lente del condensatore
 focalizza la
luce incidente sul campione
 diaframma  regola l’intensità luminosa
37
38
’ > 
f minore

’
maggiore ingrandimento
&
angoli maggiori
maggiore
risoluzione
Problema….
aberrazioni
minore
risoluzione
Qui stiamo uscendo
dall’ottica geometrica
diaframma
diffrazione
minore
risoluzione
39
Ottica Fisica
Quando lungo il percorso della luce vi sono fenditure e ostacoli con dimensioni
dello stesso ordine di grandezza della lunghezza d'onda incidente gli effetti non
sono spiegabili con l'ottica geometrica (raggi rettilinei) ma con l'ottica ondulatoria
(di cui l'ottica geometrica è un caso particolare).
INTERFERENZA
Tomas Young (1801) dimostrò sperimentalmente per primo la validità della teoria
ondulatoria della luce e ne misurò la lunghezza d'onda.
In generale si ha interferenza quando due o più onde dello stesso tipo e
stessa frequenza, con una differenza di fase costante tra di loro,
attraversano la stessa regione dello spazio nello stesso istante.
Esperimento: interferenza da due fenditure.
40
Principio di Huyghens
Fronti d'onda: superfici in ogni punto delle quali le onde sono in fase.
Se lo spazio in cui la luce si propaga, partendo da una sorgente puntiforme, è
omogeneo e isotropo, le superfici d'onda sono sferiche.
Principio di Huyghens: Ogni punto di una
superficie può essere considerato come
sorgente di onde sferiche secondarie.
Il fronte d'onda ad un istante
successivo è dato dalla superficie
tangente a tutti gli infiniti fronti
d'onda delle onde secondarie,
cioè dall'inviluppo delle loro
superfici.
41
42
Esperimento di Young:
luce
monocromatica
Le due sorgenti S1 e S2 sono in fase
 SS1 = SS2 (il fronte d'onda che
parte
da
S
raggiunge
contemporaneamente
le
due
aperture).
In alcune direzioni le onde si
rinforzano e in altre si elidono per
effetto dell'interferenza.
Sullo schermo  massimi di
intensità intervallati da un minimo di
intensità
Differenza di cammino: r = r2 – r1
se r = nl (n = 0, ± 1, ± 2, ...) le onde si
sovrappongono in fase massimo.
λ
1
se Δr  2n  1   n  λ
2

2
(n = 0, ± 1, ± 2, ...) si ha un
minimo.
se d<<L S1b  perpendicolare a r1 e r2 .
(r1 r2  paralleli ). Angoli   uguali.
r  d sen
43
Interferenza costruttiva (massima intensità di luce):
I  4 A 
2
d sen   n l
(n  0,  1,  2, .....)
sen   n
l
d
Interferenza distruttiva (Intensità = 0):
1

d sen    n  l
2

1 l

sen    n  
2 d

(l  0)
44
Effetti interferenziali
per riflessioni multiple
45
Effetti diffrattivi in luce
LASER
46
Diffrazione da una fenditura
(piccola cioè non sia d>>λ )
d sinθ
Sorgente
puntiforme
all’infinito
d
θ
θ
Immagine
della
sorgente
BFP
se qui d sinθ=λ
qui è λ/2
Interferenza distruttiva
Primo minimo a sin θ1 = λ/d
47
Diffrazione di Fraunhofer
Quando i raggi che arrivano su un punto sono approssimativamente paralleli.
(sperimentalmente ciò si ottiene ponendo lo schermo lontano dalla fenditura oppure
usando una lente convergente per focalizzare i raggi sullo schermo), si osserva una
frangia chiara sull’asse a  = 0, con frange chiare e scure che si alternano su entrambi
i lati della frangia centrale.
48
Diffrazione da singola fenditura
Diffrazione prodotta da da una fenditura sottile di larghezza
a.
Ogni porzione della fenditura si comporta come una
sorgente puntiforme di onde.
Tutte le onde prodotte dalla fenditura sono in fase tra loro.
L’intensità risultante sullo schermo verrà a dipendere da .
La differenza di cammino tra il primo e terzo raggio è:
a
sen 
2
Se
a
l
sen    a sen   l
2
2
le onde provenienti dalla metà superiore
interferiscono distruttivamente con le onde
della metà inferiore.
Condizione generale per interferenza distruttiva:
sen   m
l
( m   1,  2 ,....)
a
Le posizioni dei punti di interferenza costruttiva
sono circa a metà strada tra le frange scure
49
Se la fenditura è circolare
2θ1 rappresenta il
diametro angolare dell’immagine
di un punto luminoso all’infinito data da
un sistema ottico (esente da
aberrazioni) con diametro di apertura d
sin 1  1.22
l
d
2θ1
Il risultato è indipendente dalla posizione della lente.
Non cambia neanche se il diaframma si trova dopo la lente.
Comunque sia prodotta la limitazione del fascio, se alla formazione
dell’immagine reale concorre un fascio che ha larghezza finita in
corrispondenza dell’obiettivo, l’immagine di un punto è una figura di
diffrazione di questo tipo.
•
Una lente di dimensione finita si comporta come un diaframma (non fa
passare luce per angoli maggiori della sua dimensione)
50
Airy disk
51
Criterio di Rayleigh
Le immagini sono risolte quando il massimo centrale dell’una coincide col
primo minimo dell’altra.
Per aperture rettangolari, posto m=1
nell’equazione:
sen   m
l
a
il primo minimo si trova a:
  sen   ± l / a
che è quindi l’angolo minimo con cui
possiamo dire di osservare separati
due oggetti.
Per aperture circolari, il primo minimo
si trova a:
  1.22 l /a
Si può aumentare la “risoluzione”
delle
immagini
diminuendo
la
lunghezza d’onda; questa è la
ragione per cui si sono inventati il
microscopio a raggi X, il microscopio
elettronico ecc.
52
Potere risolutivo R
Il primo minimo della
curva blu è esattamente
sul massimo della curva
rossa
criterio di Rayleigh
la minima distanza tra i centri
dei dischi di diffrazione di due
punti affinchè questi siano
distinguibili è uguale al loro
raggio
Il potere risolutivo (o
separatore) R è l’inverso
dell’angolo minimo sotto il quale
due punti immagine devono
apparire all’obiettivo affinché
essi siano distinguibili
R ~ d/(1.22 λ)
53
Vogliamo passare dal piano immagine a quello oggetto.
Se P’Q’ è la distanza minima tra i due punti immagine,
quanto sono distanti P e Q?
Qual è cioè la distanza minima risolvibile ε.
Differenza di
cammino
1.22λ
B
ε
Q

θ1 1.22λ/d
P
P’
Q’
A
54
Distanza minima risolvibile rmin
B
Se prevediamo che il mezzo in cui
viaggiano i raggi non sia l’aria
(lenti ottiche a immersione)
al posto di λ dobbiamo mettere λ/n
n indice di rifrazione del mezzo tra
l’oggetto e la lente
Q
 
rmin  0.61

l
n sin 
P
Apertura Numerica (NA)
AQ – BQ = 1.22 λ
2 PQ sin = 1.22 λ
rmin = PQ =1.22 λ/2sin
A
Attenzione: spesso, soprattutto in
microscopia elettronica, si parla
genericamente di risoluzione o
anche di potere risolutore per indicare
la minima distanza risolvibile
55
Ingrandimento totale del microscopio ottico
Raggiunge facilmente il fattore 1000, ma è inutile oltre 400 - 600.
Se si trascurano effetti di diffrazione, qual è la minima distanza che può essere risolta usando un
microscopio con M=400 o M=1000?
Occhio nudo d=0.1mm, col microscopio 0.1 mm/400 = 250 nm o 0.1mm/1000 = 100 nm
Quando la distanza d tra due punti di un campione diventa confrontabile con la lunghezza d’onda l
della luce che lo illumina, subentrano effetti di diffrazione  potere separatore dato da:
d
l
2 sen
dove  = angolo che un raggio marginale fa con l’asse del microscopio.
Se l’angolo sotteso dall’obiettivo è 90o, la minima separazione risolvibile tra oggetti posti in aria e
illuminati con luce verde (l=500nm) è di 250nm
Ingrandimenti maggiori di 400X – 600 X non possono permettere di distinguere un numero maggiore di
particolari.
Obiettivi immersi nell’olio
Per aumentare la risoluzione conviene usare una minor lunghezza d’onda. E’ pratica comune
riempire lo spazio tra lastra – oggetto e l’obiettivo con un olio avente un’alto indice di
rifrazione n. Se l è la lunghezza d’onda in aria, quella nell’olio sarà l/n.
La risoluzione diventa perciò:
d
l
2 n sen
che può arrivare a un fattore due volte più piccolo.
56
L’occhio umano
Lente
composta
Diaframma
Rivelatore
57
L’OCCHIO UMANO
Caratteristiche
– campo visivo 180o
– cambio di messa a fuoco rapido
– risoluzione prossima a quella
limite imposta dalla diffrazione:
0.1 mm a 25 cm
Funzionamento
– un sistema di lenti forma un’immagine reale e capovolta su una superficie sensibile alla luce
– bulbo oculare  quasi sferico, diametro  2.3 cm
– coroide  membrana scura che assorbe la luce dispersa
– retina e macchia lutea  l’occhio tende a ruotare in modo che l’immagine si formi in
corrispondenza della parte centrale della macula (fovea centralis)
– cornea  ricopre una protuberanza trasparente posta sulla superficie del bulbo oculare, devia
gran parte della luce
– iride  varia di dimensioni e determina la quantità di luce che entra nell’occhio attraverso la
pupilla (come il diaframma di una macchina fotografica)
– cristallino  lente con lunghezza focale variabile regolata dai muscoli ciliari, n=1.437
• raggio di curvatura grande  messa a fuoco di oggetti lontani
•
la lunghezza focale diminuisce per mettere a fuoco oggetti più vicini
ACCOMODAMENTO = potere del cristallino di adattare la sua lunghezza focale
Potere diottrico P (diottrie) = inverso della distanza focale
58
L’immagine retinica è invertita
59
Il ruolo del cristallino: sorgente
all’infinito (visione lontana)
16 D
1/f=1/p+1/q
44 D
60
Il ruolo del cristallino: accommodazione
alla visione vicina
muscolo ciliare
28 D
• P = (1-2)/rc.
• Il raggio varia da 6-10 mm
(da 16 a 28 D).
1
1
1 
 n  1  
f
 R1 R2 
n
=
 2/  1
61
Occhio sano
Ipermetropia
Miopia
62
63

0.002mm
tg 
2
16mm
1


  0.01 4   1' 
 0.017 
60


=2mm=0.002mm

x
0.004mm

Distanza visione distinta ~ 25 cm
x

 250 mm tg
2
2
R~16mm
x  0.06mm  60 mm
Quindi l’occhio
rimpicciolisce un
oggetto di 60mm a uno
di 4mm (15 volte)64
Sensibilità spettrale visiva

Spettro di assorbimento per i
tre tipi di coni L, M, S

Funzioni di efficienza luminosa
per visione fotopica e scotopica
65
Assorbimento spettrale
normalizzato per i coni RGB e i
bastoncelli
66
Visione tricromatica e
complementarietà dei colori
67
POLARIZZAZIONE DELLA LUCE
Schema di un’onda elettromagnetica
piana. Il campo elettrico E e
magnetico B sono perpendicolari fra
loro e sono entrambi perpendicolari
alla direzione di propagazione;
c è la velocità di propagazione.
La polarizzazione di un'onda elettromagnetica si riferisce alla modalità con cui il campo
elettrico oscilla. Ad esempio, l'onda in figura è polarizzata linearmente, in quanto il campo
elettrico oscilla sempre nella stessa direzione mantenendosi nello stesso piano.
Se abbiamo due onde elettromagnetiche, la loro sovrapposizione può produrre stati di
polarizzazione più complesse come la polarizzazione circolare o ellittica.
In genere non si fa riferimento esplicito al campo magnetico associato, in quanto la sua
intensità è sempre determinabile mediante la relazione:
B=E/c
Differenza tra un'onda trasversale
e una longitudinale.
Nel caso della luce a oscillare è il campo
elettrico e il campo magnetico.
68
Polarizzazione
69
POLARIZZAZIONE PER RIFLESSIONE
polarizzazione
perpendicolare
al piano di
incidenza
La luce può essere polarizzata per
riflessione.
Per un particolare valore dell’angolo di
incidenza
p
(detto
angolo
di
polarizzazione) il coefficiente di riflessione
della componente nel piano di incidenza è
zero
- la luce riflessa è totalmente polarizzata
perpendicolarmente al piano di incidenza
polarizzazione
nel piano di
incidenza
-la luce rifratta ha entrambe le
componenti, ma è meno ricca della
componente perpendicolare.
Si trova sperimentalmente che:
 p + r = 90o
e tan 
p
=n2/n1
(legge di Brewster)
70
BIRIFRANGENZA
Alcuni solidi cristallini possono essere otticamente anisotropi in cui l’indice di rifrazione
dipende dalla direzione di propagazione.
In un cristallo birifrangente viaggiano due raggi:
- il raggio ordinario che segue la legge di Snell ed è sempre polarizzato nella direzione
perpendicolare al piano che contiene il raggio incidente e l’asse ottico (l’onda “o” viaggia
alla stessa velocità v0 in tutte le direzioni e il cristallo ha un unico indice di rifrazione n0)
- il raggio straordinario che non segue la legge di Snell, è polarizzato in direzione
perpendicolare al raggio ordinario ed ha indice di rifrazione ns variabile a seconda della
direzione; le variazioni di ns vanno dal valore dell’indice no del raggio ordinario a un valore
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estremo ne
lamina a “quarto d’onda”: è una lamina di
spessore tale che un raggio ordinario e
straordinario che si propagano nella lamina
abbiano all’uscita uno sfasamento pari a 1/4 di
lunghezza d’onda, cioè quando un’onda è
massima, l’altra è nulla.
d
ordinario
straordinario
Es. per la calcite:
l = 589 nm (nell’aria)
lo = 589/1658=355 nm (raggio ordinario)
le = 589/1486=396 nm (raggio straordinario)
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Birifrangenza (dicroismo)
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Un fascio di luce incide su una prima lastra polarizzatrice chiamata
POLARIZZATORE La luce che attraversa questa lastra è polarizzata. Una
seconda lastra polarizzatrice, chiamata ANALIZZATORE, intercetta il fascio
con il suo asse di trasmissione che forma un angolo  con l’asse di
trasmissione del polarizzatore. La componente di E0 che è perpendicolare
all’asse dell’analizzatore viene completamente assorbita, e la componente
parallela all’asse è E0 cos.
L’intensità luminosa I (energia per unità di tempo e di superficie) è data dalla
legge di Malus:
I() = I0 cos2
dove I0 è l’intensità massima e  è l’angolo tra il piano di vibrazione della luce
e l’asse ottico della lamina.
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