Presentazione di PowerPoint

Convergenza uniforme
f n (x)  n1/ 3 x(1 x 2 ) n ,
0  x 1
n
n
n
n
n
n

=1
=2
=4
= 10
= 100
= 1000
f (x)  0

Convergenza uniforme
f n (x)  (x 2  x) n ,
0  x 1

n
n
n
n
=1
=2
=3
=4
f (x)  0
Convergenza uniforme
 x n
1 
 n 
f n (x)  
 0



0 xn
xn
n
n
n
n
n
=1
=2
=3
=8
= 100
f (x)  ex

Convergenza non uniforme
f n (x)  nx(1 x 2 ) n ,
0  x 1
n
n
n
n

=1
=2
=3
=8
n = 100
f (x)  0

Funzioni composte
Grafico della funzione
f (x, y)  sin x
z


x

y

Linee di livello della funzione
f (x, y)  sin x
y


x

f (x, y)  x 2  y 2
Grafico della funzione
z


x
y
f (x, y)  x 2  y 2
Grafico della funzione
z
e linee di livello


x
y
Linee di livello della funzione

f (x, y)  x 2  y 2
Grafico della funzione

f (x, y)  sin x 2  y 2 
Grafico della funzione

f (x, y)  x  y
2
2
x 2 y 2
e
Grafico della funzione

x 2 y 2 
  
 2 5 
f (x, y)  e
Grafico della funzione
x 2 y 2 
  
 2 5 
f (x, y)  e
e linee di livello

Grafico della
funzione 2
 x y
f (x, y)  x 2  y 2

 0
(x, y)  (0,0)
(x, y)  (0,0)
funzione continua nel piano,
derivabile in (0,0) lungo tutte le direzioni,
non differenziabile in (0,0)
Grafico della
funzione
 2 xy 2
f (x, y)  x  y

 0
(x, y)  (0,0)
(x, y)  (0,0)
funzione non continua in (0,0)
dotata di derivate parziali (nulle) in (0,0)
Linee di livello della funzione
 xy
 2
f (x, y)  x  y 2

 0
Le linee di livello sono
coppie di rette incidenti
Oss.: La funzione è
0-omogenea!
(x, y)  (0,0)
(x, y)  (0,0)
Grafico della funzione

f
non è derivabile in (0,0)

f (x, y)  x 2  y 2
Grafico della funzione

f  C1
 2
y cos 1
f (x, y)  
y

 0
y 0
y 0
Grafico della funzione 0-omogenea
  x 2 
sin  2
(x, y)  (0,0)
f (x, y)   x  y 2 


0
(x, y)  (0,0)

Linee di livello della funzione 0-omogenea
  x 2 
sin  2
(x, y)  (0,0)
f (x, y)   x  y 2 


0
(x, y)  (0,0)

Le linee di livello sono coppie di rette incidenti
Grafico della funzione 1-omogenea
 x 2 y 3

f (x, y)  x 4  y 4

 0
(x, y)  (0,0)
(x, y)  (0,0)

Linee di livello della funzione 1-omogenea
 x 2 y 3

f (x, y)  x 4  y 4

 0
(x, y)  (0,0)
(x, y)  (0,0)
Grafico della funzione
f (x, y)  xy

(0,0) punto sella

Grafico della funzione

(0,0) punto sella
f (x, y)  xy
Linee di livello della funzione

f (x, y)  xy
Grafico della funzione
f (x, y)  sin x sin y

k ,k ,



  k ,  k , k  Z
2

2
kZ
punti di estremo locale
punti sella

Grafico della funzione
f (x, y)  sin x sin y

k ,k ,
punti sella
kZ



  k ,  k , k  Z
2

2
punti di estremo locale
Linee di livello della funzione

f (x, y)  sin x sin y
Grafico della funzione

(0,0)
punto sella
f (x, y)  x  3xy
3
2
Grafico della funzione

(0,0)
punto sella
f (x, y)  x  y  2(x  y)  2
4
4
2
Grafico della funzione

f (x, y)  x  y  2(x  y)  2
4
4
2
Linee di livello della funzione

f (x, y)  x  y  2(x  y)  2
4
4
2
Grafico della funzione

z 2
Piano tangente al grafico della
funzione nel punto (0,0,2)
f (x, y)  x  y  2(x  y)  2
4
4
2
Grafico della funzione
f (x, y)  y(x  y)

(0,0)
punto sella,
punto di minimo relativo lungo tutte le rette
2
Linee di livello della funzione

f (x, y)  y(x  y)
2
Grafico della funzione

x 2 y 2

2
f (x, y)  xye
Grafico della funzione

x 2 y 2

2
f (x, y)  xye
Grafico della funzione

x 2 y 2

2
f (x, y)  xye
Linee di livello della funzione

x 2 y 2

2
f (x, y)  xye
CICLOIDE
x  r(t  sin t)

y  r(1 cos t)

t  [0,4  ]
Curva tautocrona
Quattro punti si muovono lungo una cicloide partendo da posizioni diverse, ma arrivano alla
base nello stesso istante. Le frecce azzurre mostrano l’accelerazione dei punti. In alto il
diagramma spazio-tempo
ASTEROIDE
x  4 cos 3 t

3
y  4 sin t
t  [0,2 ]
Asteroide come inviluppo di una famiglia
di ellissi
Asteroide come inviluppo di una
famiglia di segmenti
Particolare dell’Asteroide come
inviluppo di una famiglia di
segmenti
Ipocicloidi
a,b=raggi delle circonferenze
Ipocicloidi
a,b=raggi delle circonferenze
Ipocicloidi
a,b=raggi delle circonferenze
CARDIOIDE
(t)  2a(1 cos t), t  [ ,  ]

a,b=raggi delle circonferenze
a=b
CARDIOIDE
(t)  a(1 cos t), t  [ ,  ]

P
PM=a
NEFROIDE
x(t)  a(3cos t  cos(3t))
, t  [0,2 ]

3
y(t)  4asin t


a=b/2
Epicicloide
La curva rossa è un'epicicloide tracciata facendo
ruotare il cerchio nero, di raggio r = 1, attorno ed
esternamente al cerchio blu, di raggio R = 3
Epicloidi
k=3
k = 3.8 = 19/5
k=4
k = 5.5 = 11/2
k = 2.1 = 21/10
k = 7.2 = 36/5
,
Spirale logaritmica
  ab oppure

t  log b  
a
x(t)  ab t cos t

t
y(t)  ab sin t
t  [0,[
t
Con a, b numeri reali

Osserviamo che, partendo da un
qualsiasi punto della spirale e compiendo
dei giri completi, il raggio vettore varia
secondo una progressione geometrica
di ragione:
b 2
Spirali logaritmiche
Spirale logaritmica e Numeri di Fibonacci
Sezione della
conchiglia
di un NAUTILO
Spirale logaritmica
Ogni semiretta passante per il polo forma con la
retta tangente alla spirale logaritmica in un punto lo
stesso angolo α.
Spirale Archimedea
 a  bt
con a, b numeri reali. Se a = 0 le
equazioni parametriche della curva
sono:

x(t)  bt cos t
t  [0,[

y(t)  bt sin t

Spirali Archimedee
CATENARIA
La catenaria in architettura
Cattedrale di S. Paul a Londra
Sagrada Familia a Barcellona
La catenaria in architettura
Ponte di Santa Trinità a Firenze
ELICA CILINDRICA
x  r cos t

y  r sin t
z 
ht

r  0, h  0

tR
ELICA CILINDRICA
CATENOIDE
La superficie di rotazione generata da una catenaria che ruota intorno ad un’asse è
la superficie minima tra due circonferenze della stessa grandezza. Questo si puo’
vedere immergendo due circonferenze uguali in una vasca con acqua e sapone. La
bolla di sapone che si formerà avrà la minima misura della supeficie ed avrà la
forma di una catenoide.
ELICOIDE
x  v cos u

y  v sin u
 z  hu

r  0, h  0
(u,v)  R  [0,r]
Nastro di Moebius
Biblioteca nazionale di Astana,
capitale del Kazakhstan
(studio danese BIG)