+ …+ v - Ingegneria elettrica ed elettronica

COSA E' L'ELETTROTECNICA?
E' la tecnica dell'energia elettrica, cioè le possibili
applicazioni degli effetti prodotti dalle cariche, ferme o
in movimento.
COSA E' UN CAMPO?
E' una distribuzione spaziale di una quantità
che può essere o non essere funzione del tempo
L'ELETTROMAGNETISMO E' ALLA BASE DI UNA
GRANDE QUANTITA' DI FENOMENI FISICI
•
•
•
•
•
•
•
•
conversione elettromeccanica dell'energia
comunicazione in fibra ottica
dispositivi a micro-onde
ricezione televisiva
comunicazione via satellite
radar
oscilloscopi
etc…
IPOTESI SU CUI SI BASA LA TEORIA DEI CIRCUITI
Quando la sorgente è di frequenza tanto bassa che le
dimensioni della rete conduttrice sono molto più
piccole della lunghezza d'onda, si ha una situazione
"QUASI STATICA", semplifica il problema
elettromagnetico in un problema circuitale.
LA TEORIA DEI CIRCUITI RIGUARDA ISISTEMI
A PARAMETRI CONCENTRATI
•Grandezze fondamentali: Tensioni e Correnti
•Matematica: Equazioni Algebriche o Differenziale
Ordinarie
ESEMPI
1)
CIRCUITO AUDIO
•frequenza più alta ~25 kHz
•corrispondente λ = 12 km (c/f )
SUPERIORE DI GRAN LUNGA ALLE
DIMENSIONI DI UN CIRCUITO DEL GENERE
2)
CIRCUITO DI UN CALCOLATORE
• f può essere 500 MHz
• corrispondente λ = 0,6 m
IL MODELLO A PARAMETRI CONCENTRATI PUO'
NON ESSERE SUFFICIENTEMENTE ACCURATO
3)
CIRCUITO A MICRO ONDE
• λ varia tra 10 cm e 1 mm
LE LEGGI DI KIRCHHOFF NON VALGONO
COSTRUZIONE DI UNA TEORIA
•Definire le quantità base
•Specificare le regole di operazione (cioè la MATEMATICA)
•Postulare le relazioni fondamentali
TEORIA DEI CIRCUITI
• Modello basato su sorgenti ideali, resistenze, induttanze,
capacità, …, PURE.
• Quantità basilari: TENSIONI, CORRENTI, R, L, C, …
• Regole Operative: Algebra, Equazioni Differenziali Ordinarie,
Trasformate di Laplace
• Postulati Fondamentali: LEGGI DI KIRCHHOFF
TEORIA DEI CAMPI
• Quantità basilari: SORGENTI, CAMPI
(La sorgente di un campo elettromagnetico è invariabilmente
una carica elettrica, a riposo o in moto)
• Regole Operative: Calcolo Vettoriale
• Postulati Fondamentali: EQUAZIONI DI MAXWELL
CARICA ELETTRICA (q , Q)
•E' una proprietà fondamentale della materia
•Esiste solo sotto forma di multipli positivi e negativi dell'elettrone
e = 1,60 x 10-19 C
•PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA CARICA:
"Una carica non può essere creata né distrutta"
E' una legge della natura
•DENSITA' DI CARICA (dipendono dalle coordinate spaziali)
∆q  C 


∆v→0 ∆v  m3 
ρ = lim
Volumica
∆q  C 


∆s→0 ∆s  m2 
ρ = lim
Superficiale
∆q  C 


∆l →0 ∆l  m3 
ρ = lim
Lineare
CORRENTE ELETTRICA
dq
I=
dt
C 
 ⋅ A
s

In elettromagnetismo si definisce la densità di corrente J che misura
la quantità di corrente che fluisce attraverso l'unità di superficie
normale alla direzione del flusso di corrente.
Esistono, inoltre, quattro quantità fondamentali, vettoriali, del tipo
"campi":
E: intensità di campo elettrico
D: densità di flusso elettrico
B: densità di flusso magnetico
H: intensità di campo magnetico
QUANTITA' BASILARI NELLO STUDIO DEI CAMPI
campo
ELETTRICO
MAGNETICO
quantità
simbolo
unità
intensità di campo elettrico
E
V/m
densità di flusso elettrico
D
C/m2
densità di flusso magnetico
B
T=V s/m2
intensità di campo magnetico
H
A/m
E: è l'unico vettore necesario per lo studio del campo stazionario
nel vuoto
D: è utile nello studio del campo elettrico in mezzi materiali
B: è l'unico vettore necessario per lo studio della magnetostatica
nel vuoto
H: è utile nello studio dei campi magnetici nei mezzi materiali
SE NON VI SONO VARIAZIONI TEMPORALI SI HA IL
CASO STATICO O STAZIONARIO
E, B, D, H sono quantità "puntuali"
Le proprietà del mezzo determinano le relazioni fra E
e D e fra B e H. Tali relazioni sono chiamate:
RELAZIONI COSTITUTIVE DEL MEZZO
εo è la costante di proporzionalità fra la densità di flusso elettrico D
e l'intensità di campo elettrico E nel vuoto:
D = ε0 ⋅ E
µ0 è la costante di proporzionalità fra la densità di flusso magnetico
B è l'intensità di campo magnetico H nel vuoto
1
H=
⋅B
µ0
COSTANTI UNIVERSALI
costanti universali
simbolo
valore
unità
velocità della luce nel
vuoto
c
3 × 108
m/s
permeabilità del vuoto
µ0
H/m
permettività del vuoto
ε0
4π × 10-7
1
×10 −9
36π
F/m
SISTEMA INTERNAZIONALE
Definizioni:
QUANTITA'
UNITA'
SIMBOLO
Lunghezza
metro
m
Massa
kilogrammo
kg
Tempo
secondo
s
Intensità di
Corrente
Ampére
A
Costanti Universali
c velocità delle onde elettromagnetiche nel
vuoto ≈ 3 × 108 m/s
µ0 permeabilità del vuoto 4π × 10-7 H/m
ε0 permettività del vuoto 8,854 × 10-12 F/m
metro: la definizione deriva da quella
del secondo e dalla velocità della luce
nel vuoto.
c = 299 792 450 m/s
secondo: 9 192 631 770 periodi della
radiaizone emessa da una particolare
transizione di un atomo di cesio
kilogrammo: massa di un provino di
platino-iridio conservato al International
Bereau of Weights and Measurements di
Sevres
Ampére: la corrente costante che, se
mantenuta in due conduttori rettilinei
paralleli di lunghezza infinita e di
sezione circolare trascurabile, messi ad 1
metro di distanza, nel vuoto, producono
fra i due conduttori una forza pari a
2 × 10-7 N/m
TUTTE LE GRANDEZZE ELETRICHE SONO ESPRIMIBILI IN
TERMINI DI GRANDEZZE FONDAMENTALI
Es:
• CARICA ELETTRICA
I=
dq
dt
→
q [C]
C = A ⋅s
• INTENSITA' DI CAMPO ELETTRICO
poiché
E=
F
q
→
da cui si ricava anche
E [V/m]
V
kg ⋅ m kg ⋅ m
=
= 2
m s ⋅ A ⋅ s A ⋅ s3
V=
kg ⋅ m
A ⋅ s2
• INDUZIONE MAGNETICA B [T]
poiché
Φ V ⋅ s kg ⋅ m 2 ⋅ s
kg
B= = 2 =
=
S m
A ⋅ s3 ⋅ m2 A ⋅ s2
(Φ = ∫ e ⋅ dt ⇒ [V ⋅ s])
GRANDEZZE ELETTRICHE
GRANDEZZA
SIMBOLO
UNITA' DI MISURA
SIMBOLO
AMMETTENZA
Y
Siemens
S
CAMPO ELETTRICO
E
Volt/metro
V/m
CAMPO MAGNETICO
H
Ampére/metro
A/m
CAPACITA' ELETTRICA
C
Farad
F
CONDUCIBILITA'
γ
Siemens/metro
S/m
Q,q
Coulomb
C
G
Siemens
S
I,i
Ampére
A
J
Ampére/metro quadro
A/m2
δ,ρ
Coulomb/metro cubo
C/m3
ENERGIA
W
Joule
J
FLUSSO MAGNTICO
Φ
Weber
Wb
FORZA
F
Newton
N
FORZA ELETTROMOTRICE
e,E
Volt
V
FORZA MAGNETOMOTRICE
Fmm
Ampére-spire
A , As
FREQUENZA
f
Hertz
Hz
IMPEDENZA
Z
Ohm
Ω
INDUTTANZA
L
Henry
H
INDUZIONE MAGNETICA
B
Tesla
T
MUTUA INDUTTANZA
M
Henry
H
PERMEABILITA' MAGNETICA
µ
Henry/metro
H/m
PERMEANZA
P
Weber/Ampére
Wb/A
PERMETTIVITA' ELETTRICA
ε
Farad/metro
F/m
CARICA
CONDUTTANZA
CORRENTE
DENSITA' DI CORRENTE
DENSITA' VOLUMICA DI CARICA
GRANDEZZA
SIMBOLO
UNITA' DI MISURA
SIMBOLO
POLARIZZAZIONE ELETTRICA
Pe
Coulomb/metro quadrato
C/m2
POLARIZZAZIONE MAGNETICA
Pm
Tesla
T
POTENZA ATTIVA
P
Watt
W
POTENZA REATTIVA
Q
VoltAmpére reattivi
VAR
POTENZA APPARENTE
S
Volt Ampére
VA
V,v
Volt
V
POTENZIALE VETTORE
A
Weber/metro
Wb/m
REATTANZA
X
Ohm
Ω
RESISTENZA
R
Ohm
Ω
RESISTIVITA'
σ
Ohm metro
Ωm
RD
Volt/metro
V/m
SPOSTAMENTO ELETTRICO
(DENSITA' DI FLUSSO ELETTRICO)
D
Coulomb/metro quadrato
C/m2
SUSCETTANZA
B
Siemens
S
TEMPO
t
secondo
s
V,v
Volt
V
POTENZIALE ELETTRICO
RIGIDITA' DIELETTRICA
TENSIONE
STORICAMENTE
RELAZIONI
CIRCUITALI
INQUADRABILI
NELLA TEORIA
DEI CIRCUITI
OSSERVAZIONI
MISURE
ELAB. MATEMATICHE
TEORIA
DEI
CAMPI
CONSEGUENTEMENTE: Le relazioni circuitali sono solo dei casi particolari delle
equazioni dei campi e possono essere dedotte da esse
IN PARTICOLARE: la teoria circuitale non è più applicabile per tensioni e correnti
con frequenza così elevata che la lunghezza d'onda associata risulti minore delle
dimensioni trasversali, non di quelle longitudinali, del circuito.
IN TALI CASI SI DEVE RICORRERE ALLA TEORIA DEI CAMPI
TEORIA DEI CAMPI
•Mezzi Continui, Omogenei, Isotropi, Lineari
•Caratterizzati dalle seguenti proprietà:
ε permettività (F/m)
γ conducibilità (S/m)
Valgono le Equazioni Costitutive:
D =ε ⋅E
B = µ⋅H
µ permeabilità (H/m)
Esistono anche relazioni miste tra
grandezze scalari e vettoriali. Es:
B
E ⋅dl
A
VAB = ∫
I = ∫ H ⋅d l
FORME DIFFERENZIALI ED INTEGRALI
Teorema di Stokes:
∫S (∇ × A )⋅ dS = ∫l A ⋅ dl
Teorema della divergenza: ∫V ∇ ⋅ A ⋅ dV = ∫S A ⋅ dS
Equazioni di Maxwell
Forma Differenziale
∇ × E = rot (E ) = −
∇× H = J +
∇⋅D = ρ
∇⋅B = 0
∂B
∂t
∂B
∂t
Forma Differenziale
∂B
dΦ
⋅ dS = −
∂t
dt
∂D
H
⋅
d
=
J
+
l
∫
∫S ∂t ⋅ dS
∫ E ⋅ dl = − ∫S
∫S D ⋅ dS = Q
Altra Formulazione
Legge di Faraday
Legge di Ampére
Legge di Gauss
Legge di Gauss
∫S B ⋅ dS = 0
Il contributo fondamentale di Maxwell è stato quello di considerare che anche le
correnti di spostamento elettrico producessero gli stessi effetti magnetici delle
correnti di conduzione e di convezione
TEORIA DEI CIRCUITI: Molti Autori adottano l'approccio assiomatico,
introducono come postulati le leggi fondamentali dei circuiti
CIRCUITO ELETTRICO
E' un insieme di elementi elettrici interconnessi in un certo modo
CIRCUITO ELETTRICO
La teoria circuitale ha avuto il suo effettivo inizio nel Marzo del 1800, quando
Alessandro Volta annunciò l'invenzione della pila elettrica.
da lui deriva il nome dell'unità di misura della forza elettromotrice, il Volt (V)
Un circuito è formato da due o più elementi, connessi per mezzo di
"conduttori perfetti".
I conduttori perfetti sono dei collegamenti che presentano nessuna resisteza e
permettono alla corrente di fluire liberamente senza accumulare né carica né
energia.
Quest'ultima si può considerare residente o "concentrata" in ciascun
componente circuitale. E' per questo che tali circuiti si dicono "a par<metri
concentrati"
COMPONENTE ⇒ {Superficie Limite, Terminale, Morsetto}
BIPOLI {Resistore, Induttore, Capacitore, Generatore ideale}
TRIPOLI {Transistor, Motore Trifase}
COLLEGAMENTO
CORRENTE
{Convenzione, Ampére-metro, Unità di misura}
i
TENSIONE
A
i
{Convenzione, Volt-metro, Unità di misura}
A
V
B
VAB
RISOLUZIONE DI PROBLEMI CIRCUITALI
•Equazioni dei Componenti
•Equaizoni Topologiche
COMPONENTE
terminale
BIPOLO
R
L
C
E
A
superficie limite
morsetto
MONOPOLO
M
TRIPOLO
Transistor
Motore
Trifase
Non vengono inclusi fra i
componenti nello studio
della Teoria dei Circuiti
COLLEGAMENTO
Due o più componenti si dicono collegati se
hanno uno o più morsetti in comune
CORRENTE
TENSIONE
v = v( t )
v = vAB = -v’ = -vBA
A
i
i = i( t )
i = -i’
i’
v’
v
B
UNITA’ DI MISURA:
Volt (V)
UNITA’ DI MISURA:
Ampére (A)
STRUMENTO DI MISURA: Ampéremetro STRUMENTO DI MISURA: Voltmetro
inserzione Vi
i A
i
Vi piccolissima → ideale ri = 0
inserzione
A
V
iv
B
VAB
iv piccolissima → ideale rv = ∞
Σi=0
i1
i2
I PRINCIPIO DI KIRCHHOFF
div J = 0
Sotto le ipotesi fatte, esprime la
solenoidaliltà della corrente
i3
i1 + i2 + i3 + i4 = 0
i4
a)
i
-i'
b)
∑ ar ⋅ ir = 0
r
i
ar = ± 1
i=0
∑ i = 0 ⇒ i = −i '
dq
c) i =
dt
dq
d
∑ i = 0 ⇒ ∑ = 0 ⇒ ∑ q = 0 ⇒ ∑ q = cost
dt
dt
PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA CARICA
d) Le superfici chiuse non devono tagliare né morsetti né superfici
limite dei componenti
II PRINCIPIO DI KIRCHHOFF
2
1
v21
v51
v32
v43
3
5
v21+ v32+ v43+ v54+ v15 = 0
Sotto le ipotesi fatte, stabilisce
l’irrotazionalità del Campo Elettrico
4
∫C E • dl = 0
∑ ar ⋅ vr = 0
r
a r = ±1
La somma delle tensioni lungo una linea chiusa è nulla
∫C E • dl = 0 ⇒ Irrotazionalità del Campo Elettrico
Questo principio è valido in assenza di campi magnetici o quando sono lentamente variabili.
Viceversa dovremmo servirci delle eq.ni di Maxwell. Questo conferma che: La Teoria dei
Circuiti è un’approssimazione valida solo quando si può fare l’ipotesi che le dimensioni fisiche
dei circuiti siano piccole rispetto alle lunghezze d’onda dei segnali
A
vBA
vAB
B
vAB + vBA = 0 ⇒ vAB = -vBA
Allora, per esempio:
v21-v23+v43-v45+v15 = 0
1 i1 2 i 3
2
in+1
n+1
1
in
va
n
2
vx
n+1
CONVENZIONI
i3
i1 + i2 + i3 + i4 + … + in + in+1 = 0
note n correnti la (n+1)-esima è determinata
i4 4
vb
va + vb + vc + … + vx = 0
3
vc
n
4
note n tensioni la (n+1)-esima è determinata
Le n tensioni devono essere indipendenti
fra loro
Ciascuna tensione deve potersi ottenere dalla
misura delle altre n
I requisiti per la scelta delle n tensioni e delle n correnti sono:
INDIPENDENZA e COMPLETEZZA
Esiste un metodo sistematico per ricavare i “cosiddetti”
SISTEMI FONDAMENTALI di tensioni e di correnti
CONVENZIONE DEGLI UTILIZZATORI
3
2
i2
v2
1
i3
{i1 , i2 , … , in } Indipendente
{v1 , v2 , … , vn } Completo
in
i1
v1
vn
n
VARIABILI DESCRITTIVE
0
3
2
v2
vx- v1 + v2 = 0 ⇒ vx = v1 - v2
A
vx
1
n
v1
v’
v
i
1
v1
i1 i2
2
1
v2
0
0
B
convenzione degli utilizzatori
i’ Le convenzioni sono arbitrarie
2
ESEMPI:
5A
a)
i
2A
v
c)
c
16 V
a
i = -6 A
-3 A
b
b)
5 + i - (-3) - 2 = 0
10 V
d
2V
4A
i2
4A
3A
-15 + v +10 + 2 = 0
i1
2A
8A
i
v=3V
trovare i
4 - 3 - i1 = 0 ⇒ i1 = 1 A
1 + 4 + 2 - i2 = 0 ⇒ i2 = 7 A
7 - 8 - i = 0 ⇒ i = -1 A
4 + 4 - 8 - i + 2 - 3 = 0 ⇒ i = -1 A
COMPONENTI ELEMENTARI
• RESISTORE
v=R•i
……………………………………………………
• CONDENSATORE i = C • dv /dt
• INDUTTORE
convenzione
v = L • di /dt
utilizzatori
( q = C • v) ………………………...
utilizzatori
( φ = L • i) ………………………………
utilizzatori
• GENERATORE IDEALE DI TENSIONE v = e …………………………
generatori
• GENERATORE IDEALE DI CORRENTE i = a …………………………
generatori
• CORTO CIRCUITO
v = 0 resistore degenere o gen. di tensione con e(t) = 0
• CIRCUITO APERTO i = 0 resistore degenere o gen. di corrente con i(t) = 0
• GENERATORI PILOTATI (o CONTROLLATI)
v1 = n ⋅ v2

1
• TRASFORMATORE IDEALE 
=
⋅ i2
i
1

n

• NULLORE
……………………ingresso: utilizzatori
……………………uscita:
generatori
• MUTUA INDUTTANZA
• GIRATORE
*
dv
dt
di
v = L⋅
dt
i =C⋅
dq
dt
dφ
ma : v =
dt
ma : i =
⇒
q = C ⋅v
(equazione caratteristica)
⇒
φ = L ⋅i
(equazione caratteristica)
RESISTORE
i
1
i = ⋅v = G ⋅v
R
v = R ⋅i
v
per un conduttore di lunghezza l e sezione A:
oro
alluminio
tungsteno
silicio
1,72 × 10−8
2,44 × 10−8
2,83 × 10−8
6,52 × 10−8
2 300
0
1
101
2
102
3
103
GIALLO
4
104
VERDE
5
105
6
106
7
107
GRIGIO
8
108
BIANCO
9
-
NERO
MARRON
ROSSO
ARANCIO
BLU
VIOLA
TOLL.ZA
rame
1,63 × 10−8
MULTIPLO
argento
ρ (Ω × m)
CIFRA
COLORE
MATERIALE
100
ORO
10-1
±5%
ARGENTO
10-2
±10%
NERO o null
-
±20%
l 1 l
R= ρ⋅ = ⋅
A γ A
prefisso
simbolo
significato
atto
a
10-18
femto
f
10-15
pico
p
10-12
nano
n
10-9
micro
µ
10-6
milli
m
10-3
centi
c
10-2
deci
d
10-1
deca
da
101
etto
h
102
kilo
k
103
mega
M
106
giga
G
109
tera
T
1012
exa
E
1015
peta
P
1018
CAPACITORE - INDUTTORE q = C ⋅ v
i+
d
εr
MATERIALE
+
+
+ + + ++
v
+ + ++
+
- - i
- -
dq
dv
=C⋅
dt
dt
dq
=i
dt
A
c=ε⋅
d
dv
i =C⋅
dt
ε = ε0 ⋅εr
INDUTTORE
i
i
φ = L⋅i
v=
dφ
dt
v = L⋅
di
dt
neoprene
6,46
silicone
3,20
mica
5,40 - 9,0
carta
2,99
acqua distillata
78,20
aria
1
GENERATORI IDEALI
Generatore ideale di tensione
v(t)
i(t)
e(t)
v(t) = e(t)
Corto Circuito
Generatore ideale di corrente
v(t)
i(t) = a(t)
Circuito Aperto
i(t)
v(t)
i(t)
a(t)
i(t)
v(t) = 0
Caso degenere del generaore di
tensione o del resistore di
resistenza nulla
v(t)
i(t) = 0
Caso degenere del generatore
di corrente o del resistore di
resistenza infinita o
conduttanza nulla
GENERATORI PILOTATI
v1
v=β v1
β : parametro di controllo a-dimensionale
i1
v=R i1
R : parametro di controllo
dimensionalmente è una resistenza
v1
i=g v1
g : parametro di controllo
dimensionalmente è una conduttanza
i1
i=α i1
α : parametro di controllo a-dimensionale
esempio:
ag
R2
i1
R1
0,5 i1
I generatori dipendenti o pilotati sono
componenti essenziali nei circuiti
amplificatori, in cui l'ampiezza
dell'uscita è maggiore di quella
dell'ingresso.
Inoltre servono ad isolare una
porzione di circuito o a fornire una
resistenza negativa
BASE DI DEFINIZIONE
UN COMPONENTE SI DICE DEFINITO SU BASE TENSIONE SE, IMPONENDO
LE TENSIONI, LE CORRENTI SONO NOTE UNIVOCAMENTE ATTRAVERSO
LE CARATTERISTICHE O LE EQUAZIONI DEL COMPONENTE.
VICEVERSA, E' DEFINITO SU BASE CORRENTE SE, IMPONENDO LE
CORRENTI, SI TROVANO UNIVOCAMENTE LE TENSIONI.
Esempi:
i
e R
i
e
e
i=
R
base corrente
i
i
v=0
base corrente
i
a
a R
i
i
v
v
v = R ⋅i = R ⋅ a
base tensione
i
v
v
assurdi fisici
DIODO
entrambe le basi
DIODO TUNNEL
base tensione
i1 1
2 i2
v1
 i1 = 0


v2 = 0
v2
0
i1
1
2
R1 R2
v1
i2
R2 ≠ 0 ; ∞
e1
a) base corrente
a1
BASE TENSIONE, CORRENTE E MISTA
i1
i2
R1
v1
R2
fissati:
trovati:
a2 fissati:
 i1 = a1


i2 = a2
 v1 = R1 ⋅ i1 = R1 ⋅ a1

trovati:
v2 = R2 ⋅ i2 = R2 ⋅ a2
i2
v1
R2
v2
v1 e1

=
i
 1 R = R
1
1

v
e
i2 = 2 = 2

R2 R2
 v1 = e1


v2 = e2
e2
v2
i1
R1
BASE MISTA
R1 ≠ 0 ; ∞
v2
0
a) base tensione
[v1 ,i2 ]
PROPRIETA' GENERALI
• Linearità: un componente si dice lineare se l'effetto dovuto ad una
qualsiasi causa è proporzionale alla stessa
• Tempo invarianza o Permanenza: un componente si dice tempoinvariante se l'effetto non dipende dall'istante di applicazione della
causa
• Reciprocità
• Passività: un componente si dice passivo se:
∫ p(τ ) ⋅ dτ ≥ 0
t
−∞
∀t
• Causalità: un componente si dice causale se, in un qualunque
istante t0, l'effetto dipende solo dalla causa per t ≤ t0
PROPRIETA' ENERGETICHE
• Potenza Assorbita da un Bipolo: p(t) = v(t) · i(t) (convenzione
normale) è la potenza che entra nella superficie limite del bipolo.
Con la convenzione normale si parla di potenza assorbita.
Unità di misura Watt [W]
• Potenza Elettrica assorbita in un intervallo δt: δω = v(t) · i(t) · δ
a) δω > 0
∀δ t ⇒ elemento puramente dissipativo
b) 0 ≤ δω ≤ 0 ⇒
L ⋅ i2
energia accumulata in bipoli di tipo L e C: E =
2
C ⋅ v2
E=
2
•in tali casi è possibile definire un livello zero, cioè gli elementi possono essere
SCARICHI (STATO ZERO)
c) 0 < δω > 0 ⇒ elementi di capacità infinita, come i generatori ideali, che
possono assorbire o cedere una quantità infinita di energia senza che mutino le
sue caratteristiche. NON E' DEFINIBILE UN LIVELLO ZERO.
Si tratta di energia scambiata all'interno della superficie limite, con accumulatori
di capacità infinita (scambiatori).
I COMPONENTI ELEMENTARI SONO TALI PERCHE' INVESTONO IN UN
SOLO TIPO DI ENERGIA
GENERATORI IDEALI
di TENSIONE v(t) = e(t)
di CORRENTE i(t) = a(t)
E
A
ES: e(t) = E ≡ cost ; i(t) = A ≡ cost
∆ω = ∫t p(t ) ⋅ dt = E ⋅ A ⋅ (t − t0 )
nel generatore di tensione
∆ω ' = ∫t p(t ) ⋅ dt = − E ⋅ A ⋅ (t − t0 )
nel generatore di corrente
t
0
t
0
La potenza assorbita dall'uno non è altro che quella generata dall'altro, e non si
riesce a stabilire un LIVELLO ZERO di energia, cioè non esiste lo STATO ZERO
CORTO CIRCUITO
CIRCUITO APERTO
CASI LIMITE
BIPOLI PASSIVI
RESISTORE
v(t) = R · i(t)
p(t) = v · i = R · i2(t)
R · i2(t) > 0 sempre
∆ω = ∫t p(τ ) ⋅ dτ = ∫t R ⋅ i 2 ⋅ dτ > 0
t
t
0
0
CONDENSATORE
p(t ) =
d 1 2
 Cv 
dt  2

i (t ) = C ⋅
sempre
dv
dt
[
]
1
t
∆ω = ∫t p(τ ) ⋅ dτ = C ⋅ v 2 (tb ) − v 2 (t a ) >=< 0 variabile di stato: TENSIONE
2
b
a
INDUTTORE
p(t ) =
d 1 2
 Li 
dt  2

∆ω = ∫t p(τ ) ⋅ dτ =
tb
a
v(t ) = L ⋅
[
di
dt
]
1
L ⋅ i 2 (tb ) − i 2 (t a ) >=< 0
2
variabile di stato: CORRENTE
MULTIPOLI
2
Hp: base di definizione [ v1 ; v2 ; i3 ]
v2
i2
i3
i1
1
3
v1
v3
e2=v2
e1=v1
a3=i3
0
Principio di Conservazione dell'Energia
δω a + δω b + δω c + δω = 0
p(t ) = v1 ⋅ i1 + v2 ⋅ i2 + v3 ⋅ i3
δω a = v1 ⋅ (− i1 ) ⋅ δt
δω = v ⋅ (− i ) ⋅ δt
 b
2
2

δω c = v3 ⋅ (− i3 ) ⋅ δt
δω = p ⋅ δt
LA POTENZA ASSORBITA DA UN COMPONENTE E' LA SOMMA DEI
PRODOTTI TENSIONE-CORRENTE DELLE SUE VARIABILI
DESCRITTIVE (CONVENZIONE NORMALE)
GENERATORI PILOTATI
A
v1 i1
i2
k·i1 v2 R
v1 = 0
i = A
1
v2 = k ⋅ i1 = k ⋅ A

v2
k⋅A
i2 = − = −
R
R

i1 = A

v2 = k ⋅ i1
p(t ) = v1i1 + v2i2
2
(
)
k⋅A
 k ⋅ A
=−
p(t ) = k ⋅ A ⋅ −



R 
R
La condizione di passività ∫t p(t ) ⋅ dt ≥ 0 non vale poiché l'integrando è negativo
t
0
COMPONENTE ATTIVO
I generatori pilotati sono componenti attivi
TRASFORMATORE IDEALE
i1
v1
n
i2
v2
v1 = n ⋅ v2


1
i1 = − n ⋅ i2
base di definizione mista:
[ v1 ; i2] o [v2 ; i1]
v1
p(t ) = v1i1 + v2i2 = v1i1 + (− n ⋅ i1 ) = 0
n
Il trasformatore ideale è trasparente alle potenze
E' un componente PASSIVO non dissipativo
Non è dotato di stato
VERIFICA DELLA PASSIVITA'
t n −1
vi ii
−∞
i =1
∫ p(τ ) ⋅ dτ = ∫ ∑
t
−∞
RESISTORE
i
v R
E
p = v ⋅ i = R ⋅i2
E
E2
i= ⇒ p=
R
R
⋅ dτ ≥ 0
∀t
La funzione integranda è sempre ≥ 0
∫ p(τ ) ⋅ dτ = ∫
t
−∞
t
−∞
E2
⋅ dτ ≥ 0
R
CONDENSATORE
v
i
dv
dt
d 1

v = e(t ) ⇒ p =  Cv 2 
dt  2

p = v ⋅i = v ⋅C
C
t
−∞
∫
t 1

p(τ ) ⋅ dτ = ∫−∞  Cv 2 dτ ≥ 0

2
per t = -∞ il condensatore è scarico
analogamente per l'INDUTTORE
t2
p
t1
Sono componenti che hanno lo STATO ZERO ∆W = ∫
[t
1
, t2 ]
(τ )dτ ≤≥ 0
MULTIPOLI
n - polo
n -1
n-2
 i1 
i =  
in −1 
0
 v1 
v =  
vn −1 
p = v1i1 + + vn −1in−1 = vT ⋅ i
ω (t ) = ∫−∞ vT ⋅ i ⋅ dτ
t
Se ω (t ) ≥ 0 ∀ t il multipolo si dice PASSIVO
Equazione Costituitiva: [A]⋅ v + [B ]⋅ i + C = 0 (lineari, tempo invarianti)
MULTI-PORTA
Un multiporta è un particolare multipolo con un numero pari di morsetti organizzati in
coppie, in modo tale che, per ogni coppia, la corrente entrante in un morsetto è uguale
a quella uscente dal secondo morsetto della coppia. Ogni coppia è detta PORTA.
vn
v1
n
n'
1
1'
in
in
i1
i1
l
 i1 
i =  l 
in 
 v1 
v =  l 
vn 
[A]⋅ v + [B ]⋅ i + C = 0
p = v1i1 + h + vnin = vT ⋅ i
ω (t ) = ∫−∞ vT ⋅ i ⋅ dτ
t
(lineari, tempo invarianti)
AMPLIFICATORE OPERAZIONALE
L’Amplificatore Operazionale (Operational Amplifier - OP) è un
dipositivo elettronico che si comporta come un generatore di
tensione controllsto in tensione
CONFIGURAZIONE DEI PIN
SIMBOLO CIRCUITALE
7
BILANCIAMENTO
ING. INVERTENTE
ING. NON INVERT.
V-
1
2
3
4
8
7
6
5
2
SCOLLEGATO
ING.
INVERTENTE
V+
3
USCITA
BILANCIAMENTO ING. NON INVERT.
V+
_
6
+
4 -1
V
5
AZZERAMENTO
OFFSET
LE ALIMENTAZIONI VENGONO SPESSO OMESSE NEGLI SCHEMI
CIRCUITALI, MA L’OP DEVE SEMPRE ESSERE ALIMENTATO
USCITA
MODELLO CIRCUITALE
v1
vd
v2
Ri
A·vd
Ro
Generatore di tensione
controllato in tensione
vo
vd = v2 −v1
vo = A ⋅ vd = A ⋅ (v2 −v1 )
A: guadagno di tensione ad anello aperto
valori tipici
A
105÷108
Ri
106÷1013 Ω
Ro
10÷100 Ω
5 ÷24 V tensione di
Vcc
alimentazione
vo
Vcc
saturazione positiva
vd
saturazione negativa
-Vcc
AMPLIFICATORE OPERAZIONALE IDEALE
i1 = 0
v1 i2 = 0
_
i1 = 0
vd
+
vo
v2 = v1
A=∞
i2 = 0

 Ri = ∞ ⇒
vd = v2 − v1 = 0
R = 0
 o
v2 = v1
NELLA MAGGIOR PARTE DELLE APPLICAZIONI SI CONSIDERANO OP
IDEALI NELLA REGIONE LINEARE DI FUNZIONAMENTO
NULLORE
i∞
i0
v0
0
∞
v∞
v0 = 0


 i0 = 0
v∞ qualsiasi


 i∞ qualsiasi
INSEGUITORE DI TENSIONE
Un generatore di tensione è collegato al morsetto
non invertente dell'operazionale, mentre il
morsetto invertente è collegato direttamente
all'uscita. Determinare la tensione in uscita vo
vo
vs
Ri ed Ro sono in serie. Quindi la corrente i vale:
i
vd
vs
Ri
A·vd
i=
Ro
vs − A ⋅ vd vs − A ⋅ Ri ⋅ i
=
Ri + Ro
Ri + Ro
per l'equilibrio delle tensioni alla maglia 1:
1
vo
vo = Ro ⋅ i + A ⋅ vd = Ro ⋅ i + A ⋅ Ri ⋅ i = (Ro + A ⋅ Ri ) ⋅ i
da cui, sostituendo:
vo
vs
A ⋅ Ri
vo
=
−
⋅
⇒
Ro + A ⋅ Ri Ri + Ro Ri + Ro Ro + A ⋅ Ri
vo
Ri + Ro + A ⋅ Ri
vs
⋅
=
⇒
Ro + A ⋅ Ri
Ri + Ro
Ri + Ro
vo =
Ro + A ⋅ Ri
⋅ vs ≈ vs
Ri + Ro + A ⋅ Ri
INSEGUITORE CON CARICO
i- = 0
vs
in
io
iL
vo
RL
Determinare il valore della corrente iL che attraversa
il carico RL
I due morsetti in ingresso all'operazionale hanno lo stesso potenziale. Il corto circuito
riporta lo stesso potenziale al morsetto di uscita, quindi vo = vs .
LA TENSIONE IN USCITA NON DIPENDE DAL CARICO
Per il calcolo della corrente:
vo
vs
iL =
=
RL RL
AMPLIFICATORE INVERTENTE
i1 R1
R2 i2
1
vs
Determinare il valore della tensione vo
2
in
io
vo
i1 = −i2
RL
ma, per l'idealità dell'operazionale:
da cui:
vs
v
=− o
R1
R2
e infine:
vo = −
equilibrio al nodo 1
i1 =
v s − v−
R1
equazione del componente R1
i2 =
vo − v−
R2
equazione del componente R2
v1 = v− = v+ = 0
R2
⋅ vs
R1
Questa configurazione di operazionale
amplifica l'ingresso in ragione del
rapporto R1/R2 e ne inverte il segno.
vs
t
vo
AMPLIFICATORE NON INVERTENTE
i1
R1
R2 i2
vs in
io
Determinare il valore della tensione vo
vo
RL
i1 = −i2
equilibrio al nodo 1
v−
i1 = −
R1
equazione del componente R1
i2 =
ma, per l'idealità dell'operazionale:
da cui:
−
vs
v −v
=− o s
R1
R2
e infine:
vo − v−
R2
equazione del componente R2
v− = v+ = v s
 R 
vo = 1 + 2  ⋅ vs
 R1 
t
Questa configurazione di operazionale
amplifica l'ingresso della quantità
1+R2/R1 e non inverte il segno.
vs
vo
AMPLIFICATORE SOMMATORE
i3 R3
i2 R2
v3
i1 R1
v2
v1
Determinare il valore della tensione vo
Ro i
in
io
vo
RL
i + i1 + i2 + i3 = 0
v
v
v
v
− o − 1 − 2 − 3 =0
Ro R1 R2 R3
da cui, riordinando
 v1 v2 v3 
vo = − Ro  +
+ 
 R1 R2 R3 
L'uscita è proporzionale alla somma pesata delle tensioni. Se R1 = R2 = R3 = R :
vo = −
Ro
(v1 + v2 + v3 )
R
Cioè l'uscita è proporzionale alla somma delle tensioni
AMPLIFICATORE DIFFERENZIALE
Determinare il valore della tensione vo
1 R2
R1
R1
v2
v 1 R2
v+ = v1 ⋅
vo
RL
R2
= v− partitore di tensione
R1 + R2
v2 − v− vo − v− v2 vo R1 + R2
+
= +
−
⋅ v− = 0 equilibrio al nodo 1
R1
R2
R1 R2 R1 ⋅ R2
sostituendo:
R2
v2 vo R1 + R2
R2
+
−
⋅ v1 ⋅
= 0 ⇒ vo =
⋅ (v1 − v2 )
R1
R1 R2 R1 ⋅ R2
R1 + R2
Cioè l'uscita è proporzionale alla differenza tra le tensioni
AMPLIFICATORI ADINAMICI -TABELLA RIASSUNTIVA
inseguitore
di tensione
vo = vs
amplificatore
invertente
R2
vo = − ⋅ vs
R1
R2
amplificatore
non invertente
R2
R1
vs
vs
RL
vo
amplificatore
sommatore
R3
v3
vo
 v1 v2 v3 
vo = − Ro  +
+ 
 R1 R2 R3 
R2
RL
R1
v1
vo
RL
v2
vo
vo =
RL
R2
⋅ (v1 − v2 )
R1
R2
R1
R1
v2
vs
amplificatore
differenziale
Ro
 R 
vo = 1 + 2  ⋅ vs
 R1 
R1
v 1 R2
vo
RL
TEORIA DEI GRAFI
•nodi
•lati
•ordine del nodo
•percorso
•grafo connesso
•maglia
•albero
•co-albero
GRAFO DEL COMPONENTE
GRAFO DEL CIRCUITO
•co-cicli fondamentali
•maglie fondamentali
TEOREMA DI TELLEGEN
per ogni lato di una rete è p(t) = v ·i. Per il principio di conservazione
dell’energia :
∑ (vk ⋅ ik ) ⋅ δ t = 0
k
∑ v k ⋅ ik = 0
k
per qualsiasi insieme di i compatibile con la I legge di Kirchhof
per qualsiasi insieme di v compatibile con la II legge di Kirchhof
v e i sono ORTOGONALI
TEOREMA DI TELLEGEN
b
2
1
a
u1
u2
0
f
u4
c
d
3
e
4
u3
v a
vb
v
c
v
 d
v 4
v f
= u1
= u1 − u 2
= u2 − u4
= u 2 − u3
= u 4 − u3
= −u 4
Esistono infiniti {ui} purché
compatibili col grafo cioè purché
indipendenti.
Consideriamo:
 va 
 vb 
v 
 c
 vd 
 ve 
 v f 
;
 ia 
 ib 
i 
 c
 id 
 ie 
i f 
eseguiamo il prodotto vT · i = va · ia + …+ vf · if =
= u1·ia + (u1-u2 )·ib + (u2-u4 )·ic + (u2-u3 )·id + (u4-u3 )·ie- u4·if =
= u1·(ia + ib ) + u2 ·(-ib+ ic + id ) + u3 ·(-id - ie ) + u4 ·(-ic+ ie - if )
Se l’insieme delle correnti è compatibile con il grafo le quantità tra parentesi sono nulle
vT · i = 0
Il Principio di Conservazione dell’Energia è un caso particolare del
Teorema di Tellegen
ESEMPI
2
a
a)
1
b
3
d
e
4
Scrivere le equazioni topologiche
c
h
f
5
g
R1
b)
c)
u(t) C
a(t)
R1
R2
R2
L
Scrivere le equazioni topologiche
e dei componenti
Scrivere le equazioni topologiche
e dei componenti
Reti in Regime Stazionario
COMPONENTI ELEMENTARI IN REGIME STAZIONARIO
Per circuiti assolutamente stabili, in presenza di eccitazioni costanti
nel tempo:
•Generatore indipendente di tensione
I
V
E
v = R ⋅i ⇒
V = R⋅I
V
v
•Condensatore
i
I
L
V=0
di
=0⇒
dt
V = 0 (cto − cto)
v = L⋅
I = A ≡ cost
A
•Induttore
i
R
I
V = E ≡ cost
•Resistore
v
•Generatore indipendente di corrente
I=0
i
v
C
V
dv
=0⇒
dt
I = 0 (circuito aperto)
i =C⋅
Vedremo in seguito i casi di circuiti con generatori pilotati, nullori e giratori
•Mutua Induttanza
i1
v1 L1
M
i2
L2 v2
di1
di2

v
L
M
=
⋅
+
⋅
=0
1
 1
V1 = 0
dt
dt
⇒

v = M ⋅ di1 + L ⋅ di2 = 0 V2 = 0
2
 2
dt
dt
I1
V1=0
I2
V2=0
RETI DI SOLI GENERATORI E RESISTORI
Esempio:
B
A
C
N=4 L=6
B
A
C
N-1 eq KI → 3
R2
R1
L-N+1 eq KV → 3
D
A E2
E1 R3
L = 6 eq. componenti
D
Eq. topologiche
Tutti i condensatori si comportano come circuiti aperti,
Tutti gli induttori si comportano come corto-circuiti
RESISTORI IN SERIE
V1
V2
A
I
R1 I1 I2 R2 I2
Vn
Vi
VAB
Ri
In-1 In
Rn
B A
I
VAB
B
Req
I1 = I 2 = = I i = = I n = I
VAB = V1 + V2 + + Vi + + Vn = R1 I1 + R2 I 2 + + Rn I n = (R1 + + Rn ) ⋅ I = Req ⋅ I ⇒ Req = ∑ Ri
i
PARALLELO DI RESISTORI
Vi
=
=
= GiVi
V
R
I
I
i
i i
i
A
Ri
A
A I A
A
V1 = V2 = = Vi = Vn = V
I1
R1
B
V1
I2
R2
V2
Ii
Vi
Ri
B
B
B
In
Rn
B
Vn
1 
V1
Vn  1

=  + +  ⋅ V
I = I1 + + I n = + +
R1
Rn  R1
Rn 
1
1
Geq = ∑ Gi = ∑ =
Req
i
i Ri
Nel caso di due soli resistori:
Req =
R1 R2
R1 + R2
Geq = G1 + G2
PARTITORI
Partitore di Tensione
Ri
R2
I R1
Vi
V
Vi = V ⋅
V
V = (R1 + + Rn ) I ⇒ I = V
Vi = Ri I
Ri
∑ Ri
I
Rn
∑R
V1
V2
i
i
R1
R1

=
⋅
V
V
 1
R1 + R2


V = V ⋅ R2
R2  2
R1 + R2
Nel caso di due soli resistori:
i
I
V
Partitore di Corrente
I1
I2
I3
In
R1
R2
Ri
Rn
Ii =
V
= V ⋅ Gi
Ri
I = I1 + I 2 + + I n = V ⋅ (G1 + G2 + + Gn ) ⇒ V =
I
∑G
i
i
Ii = I ⋅
Gi
I
∑G
i
i
Nel caso di due soli resistori:
R1
I1 R2
R2

I
I
=
⋅
1
R1 + R2

I2 
 I = I ⋅ R1
 2
R1 + R2
TRASFORMAZIONE STELLA-TRIANGOLO
A
A
RA
RC
C

RAB RCA
=
R
 A
R0

RBC RAB

 RB =
R0

RCA RBC

=
R
 C
R0

0
RCA
RAB
RB
B
R0 = RAB + RBC + RCA
C
 RAB = R A ⋅ RB ⋅ G0

 RBC = RB ⋅ RC ⋅ G0
R = R ⋅ R ⋅ G
0
C
A
 CA
Nel caso di tre resistenze uguali sarà:
B
RBC
G0 =
R∆
RY =
3
1
1
1
+
+
R A RB RC
PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI
In una rete lineare, comunque complessa, contenente bipoli lineari,
le tensioni e le correnti in ciascun lato possono essere determinate
sommando i contributi dovuti ai singoli generatori presenti, agenti
uno alla volta.
(Passivazione dei generatori)
∑V I
TEOREMA DI TELLEGEN
h h
=0
h
PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLE POTENZE
•TEOREMA DI THEVENIN
•TEOREMA DI NORTON
A I
V
A I
Req
Eeq
V
B
V = Eeq + Req I
A I
Aeq Geq
V
B
I = Aeq + GeqV
TEOREMA DI THEVENIN
SE IL CIRCUIRO CONTIENE:
• RESISTORI E GENERATORI INDIPENDENTI E PILOTATI (LA
GRANDEZZA PILOTANTE INTERNA ALLA RETE):
•ETH: tensione a vuoto fra A e B
•Icc: corrente di corto-circuito fra A e B
•RTH = ETH/ Icc
• RESISTORI E GENERATORI PILOTATI (NESSUN GENERATORE
INDIPENDENTE)
•ETH = 0
COLLEGARE UN GENERATORE DI CORRENTE DA 1 A FRA A E B
CALCOLARE VAB
RTH = VAB/1
ANALOGAMENTE PER IL CIRCUITO EQUIVALENTE DI NORTON
METODO DELLE CORRENTI DI MAGLIA
E2
R
R
E1
1
J1
I1 E4
R4
I4
2
I5
R5
I1 = J 1
J2
R6 I6
I2 = J2
I2 I 3 = J 3
I 4 = J1 − J 3
I 5 = J1 − J 2
J3
I6 = J 2 − J3
I3
R3
E3
 E1 − E4 = R1 J1 + R5 (J1 − J 2 ) + R4 ( J1 − J 3 )

− E2 = R2 J 2 + R6 (J 2 − J 3 ) − R5 ( J1 − J 2 )
E + E = R J − R (J − J ) − R (J − J )
4
3 3
4
1
3
6
2
3
 3
 R11
 
 RM 1
R12
RM 2
R1M   J1   E1 
  =  
   
RMM   J M   EM 
Le equazioni ai nodi
sono identità
 E1 − E4 = R1 I1 + R5 I 5 + R4 I 4

− E2 = R2 I 2 + R6 I 6 − R5 I 5
E + E = R I − R I − R I
4
3 3
4 4
6 6
 3
 E1 − E4 = (R1 + R5 + R4 )J1 − R5 J 2 − R4 J 3

− E2 = − R5 J1 + (R2 + R5 + R6 )J 2 − R6 J 3
 E + E = − R J − R J + (R + R + R )J
4
4 1
6 2
3
4
6
3
 3
Rii : auto-resistenza
della maglia i
Rij : mutua resistenza
tra la maglia i-esima e
la maglia j-esima
 E1   EV 1   E I 1 
  = + 
  
 

 EM   EVM   EIM 
ESEMPIO
4Ω
2Ω
J3
3Ω
1Ω
6V J
1
J1 =
Trovare la potenza fornita dal
generatore da 6 V
6 −1 − 2
12 6 − 3
0 −3 9
∆
P = V ⋅ I = 30 W
2Ω
J2
12 V
[Z ]⋅ J = E
 3 − 1 − 2   J1   6 
 − 1 6 − 3 ⋅  J 2  = 12
− 2 − 3 9   J 3   0 
6(54 − 9 ) − 12(− 9 − 6 )
=
=5A
3(54 − 9 ) + (− 9 − 6 ) − 2(3 + 12)
METODO DEI POTENZIALI NODALI
G11
 l

Gn1
G12
Gn 2
h G1n  V1   A1  n = N -1
 l  =  l 
     Gii : conduttanza propria del
nodo i
h Gnn  Vn   An 
Gij : conduttanza mutua tra i
nodi i e j
 A1   AI 1   AV 1 
 = + 
     
 An   AIn   AVn 
Noti i potenziali si può risalire a tutte le incognite
TEOREMA DI MILLMANN
A
Caso limite di rete con due soli nodi
R1
E1
R2
E2
Ri
R3
E3
Rn
Ei
B
En
∑G E
=
∑G
i
V AB
i
i
i
E1G1
G1
EnGn
Gn
A
i
∑G
i
i
B
∑E G
i
i
i
ESEMPIO
R1
1
R2
E1
R5
E1
E3 = −50 V; E4 = 150 V
R6
2
R4
R7
E1 = 100 V; E2 = 50 V
R8
E4
1
1
1
+
+

 R1 R2 R5

1
−

R5


1
−

R1

3
R1 = R2 = 10 Ω
R3
R5 = 2 Ω
E3
0
1
−
R5
1
1
1
1
1
+
+
+
+
R4 R5 R6 R7 R8
−
1
R6
R3 = R4 = 5 Ω
R6 = R7 = 4 Ω
R8 = 1 Ω

 E1 E 2 
+
 U 1  −

R
R
2 
   1
  

E4
1
−
 U 2  = 

R6
R
4
  

 
1
1
1     E1 E 3 
+
+  U 3  
+

R1 R3 R6 
 R1 R3 
1
−
R1
− 0,5
− 0,1  U 1  − 5
 0,7

   

   
− 0,5
− 0,25 U 2  =  30 
2,2

   

   
 − 0,1 − 0,25 0,55  U 3   0 
U 1 = 3,61 V
U 2 = 13,68 V
U 3 = 6,87 V
CASO IN CUI SONO PRESENTI GENERATORI PILOTATI
• La matrice dei coefficienti nel metodo delle maglie non è
più simmetrica
• Il metodo si destruttura
Esempio:
R3
J3
R2
R4
IR2
E1
J1
2IR2
J2
3V3
 R2 J1 − R2 J 3 = E1 − 2(J1 − J 3 )

 R4 J 2 − R4 J 3 = 2(J1 − J 3 ) + 3(− R3 J 3 )
(R + R + R )J − R J − R J = 0
5
4 3
2 1
4 2
 2
TEOREMA DEL MASSIMO TRASFERIMENTO DI POTENZA
a
THEVENIN
RTH
ETH
RL
b
i
RL
p
b
 ETH
p = R L i 2 = R L ⋅ 
 RTH + RL
a
pmax



2
RTH
RL
SI HA LA MASSIMA POTENZA TRASFERITA AL CARICO QUANDO LA
RESISTENZA DEL CARICO E’ UGUALE ALLA RESISTENZA DI
THEVENIN VISTA DAL CARICO:
RL = RTH
Dimostrazione:
 (RTH + RL )2 − 2 RL (RTH + RL ) 
dp
2
= ETH 
=0
4
dRL
(RTH + RL )


⇒
RTH + RL − 2 RL = 0 ⇒
⇒
p max
2
ETH
=
4 RTH
RL = RTH
1
Rendimento in potenza:
Pcarico
η=
Pgeneratore
p
p max
Se RL = RTH allora:
R L RTH
1
Pcarico = p max
2
ETH
=
4 RTH
Pgeneratore = ETH ⋅ i = ETH
 ETH
⋅ 
 RTH + RL
2
 ETH
 =
 2 RTH


1

 ⇒ η=
2



IN CONDIZIONI DI MASSIMO TRASFERIMENTO DI POTENZA
SI HA UN RENDIMENTO PARI AL 50%
ESEMPIO
6Ω
12 V
2Ω
3Ω
12 Ω
a
2A
b
Risposta:
RL = RTH = 9 Ω
VTH = 22 V
p max
2
VTH
=
= 13,44 W
4 RL
Determinare RL affinché si
abbia il massimo
trasferimento di potenza al
RL carico. Determinare la
potenza massima
Reti in Regime Sinusoidale
INGRESSO CISOIDALE
yp (t) dipende dall'ingresso u(t)
INGRESSO CISOIDALE:
a)
b)
c)
d)
σ = 0; ω = 0
σ = 0;
σ < 0; ω = 0
σ < 0; ω ≠ 0
⇒
⇒
⇒
⇒
u(t) = U eσt cos(ω t + ϕ)⋅ δ-1(t)
U>0
u(t) = U cosϕ⋅ δ-1(t)
GRADINO
u(t) = U cos (ω t + ϕ)⋅ δ-1(t)
SINUSOIDE
u(t) = U eσt cosϕ⋅ δ-1(t) ESPONENZIALE DECRESCENTE
u(t) = U eσt cos(ω t + ϕ)⋅ δ-1(t) OSCILLATORIO SMORZATO
DALL'INGRESSO CISOIDALE SI POSSONO RICAVARE COME
SOTTOCASI ALCUNI TIPI DI INGRESSI COMUNEMENTE
UTILIZZATI.
Una rappresentazione compatta di u(t) è la seguente:
{
u (t ) = ℜe U ⋅ e st
{
}
y p (t ) = ℜe A ⋅ e st
s = σ + jω
}
U = U ⋅ e jϕ
bm s m + + b0
A=
⋅U
n
an s + + a0
FUNZIONE DI
TRASFERIMENTO
bm s m + h + b0
A=
a n s n + h + a0
DIPENDE DALLE CARATTERISTICHE DELLA RETE E NON
DALL'INGRESSO
RIASSUMENDO:
REL. I/O
dny
d nu
an n + h + a0 y = bm n + h + b0u
dt
dt

+
 y0

CONDIZIONI

 l
INIZIALI
 n −1
NOTE
d y
 dt n −1
0

λi FREQ. LIBERE DELLA RETE
(soluzioni dell'eq.
caratteristica)
( )
+
{
u (t ) = ℜe U ⋅ e st
}
n
∑ Ai eλi t
i =1
Rappresenta il modo
di evolvere della rete,
indipendentemente
dall'ingresso
⇒INGR. CISOIDALE
n
{
y (t ) t >0 = ∑ Ai eλ t + ℜe H (s ) ⋅ U (s ) ⋅ e st
i
i =1
RISP.LIBERA
}
RISP.FORZATA
La risposta forzata evolve,
nel tempo, come l'ingresso
FREQUENZE LIBERE
ℑm(λ)
ℜe(λ)
se ℜe{λi } < 0 ∀i
se ∃i ∋ ℜe{λi } = 0
se ∃i ∋ ℜe{λi } < 0
se
la risposta libera
ℜe{λi } < 0 ∀i
converge a zero dopo un certo tempo. Per
t→∞ RIMANE LA SOLA RISPOSTA
FORZATA
RETE ASSOLUTAMENTE STABILE
RETE SEMPLICEMENTE STABILE
RETE INSTABILE
REGIME SINUSOIDALE
se s = j ω (ingresso sinusoidale), dopo un certo tempo si instaura
il regime sinusoidale
A = H ( jω ) ⋅ U
Per tempi molto grandi, possiamo prescindere dall'origine dei tempi e
pensare di lavorare direttamente nel campo complesso.
La riconversione al dominio del tempo è immediata:
{
y (t ) = ℜe A ⋅ e
jωt
}
se
{
u (t ) = ℜe U ⋅ e
jω t
}
SI UTILIZZA IL METODO SIMBOLICO
ESEMPIO
u (t ) = a (t )
t=0
iR
vu
a(t)
vR
R
L diL
u(t ) =
+ iL
R dt
iL
L
vL
 u (t ) = iR + iL

eq. top.
vu = vR = vL
 v R = R ⋅ iR

diL

eq. comp.vL = L ⋅
dt

 a(t ) = u (t )

RELAZIONE I/O
KLI
KLV
Se
(
)
u (t ) = I 0 ⋅ eσt cos ωt ⋅ δ −1 (t ) I 0 > 0 →
{
u (t ) = ℜe I 0 ⋅ e st
}
I 0 = I 0 ⋅ e j0 = I 0
Hp: stato nullo : iL(0-) = 0
{
}
{
i Lp = ℜe B ⋅ e st = ℜe H (s ) ⋅ U ⋅ e st
I0
}

 R


st
 I 0  − L ⋅t
 I 0 ⋅ e 
1
H (s ) =
i L = −ℜe
e
e
⋅
+
ℜ

 L 
L
L
 s + 1
 s + 1
s +1


 R 
R
 R 
t
ℑm(λ)
I0
a) σ = 0; ω = 0 ingresso a gradino
b) σ = 0; ω ≠ 0 ingresso sinusoidale
ℜe(λ)
PER t →∞ LA RISPOSTA TENDE ALLA
SOLA RISPOSTA FORZATA!
CASI PARTICOLARI
a) σ = 0;; ω = 0
λ valore negativo → Rete assolutamente stabile
u(t)
I0
gradino
iL = − I 0
I0
R
− t
⋅e L
t
R

− t
+ I 0 = I 0 ⋅ 1 − e L 




iL(t)
t
u(t) = I0 cos ω t
b) σ = 0;; ω ≠ 0
sinusoidale


I0
I0
A = −ℜe
=−
(ω L R )2 + 1
 jω L R + 1 
 I 0 ⋅ e jωt (1 − j ωL R ) 
 I 0 ⋅ e jωt 
iLp = ℜe
 = ℜe 
=
2
 jω L R + 1 

(ω L R ) + 1 
I0
ωL


t
t
cos
ω
sin
ω
=
⋅
+


2
R

(ω L R ) + 1 
I0
t
−
I0
2
 ωL 

 +1
 R 
risposta libera
2
 ωL 

 +1
 R 
t
risposta forzata
t
risposta completa
IN UNA RETE ASSOLUTAMENTE STABILE, IL REGIME
SINUSOIDALE VIENE CONSEGUITO DA TUTTE LE VARIABILI
DELLA RETE
METODO SIMBOLICO
U , A sono due fasori
verso positivo
per le fasi
(convenzionalmente)
A
ℑm
ψ
ϕ
U
ℜe
U = U ⋅ e jϕ
H = H ⋅ e jψ
A = H ⋅ U ⋅ e j (ϕ +ψ )
Le grandezze sono iso-frequenziali, quindi, dopo un certo
tempo, l'istante iniziale perda significato ed è superfluo
indicare il riferimento degli assi. L'importante è che le
diverse grandezze fasoriali stiano in un determinato
rapporto di fase tra loro
A
ℑm
Nella figura, A è in anticipo rispetto a V
ψ
ϕ
U
ℜe
ANTICIPO → ANGOLO POSITIVO
RITARDO → ANGOLO NEGATIVO
CASI PARTICOLARI:
a) ψ = π / 2 i fasori sono in quadratura
b) ψ = π
i fasori sono in opposizione di fase
c) ψ = 0
i fasori sono in fase
PRINCIPI DI KIRCHHOFF
Dominio del Tempo
∑v = 0
∑i = 0



Dominio della Frequenza
∑V = 0
∑I = 0



EQUAZIONE DEI COMPONENTI
V ( jϖ ) = H ( jω ) ⋅ I ( jω )
I(jω)
A(jω)
V(jω)
H(jω) prende il nome di IMPEDENZA Z ( jϖ )
Z ( jω ) = Z
V = Z ⋅ I
Se esiste l'inversa della funzione di trasferimento:
AMMETTENZA
Y ( jω ) =
1
= Y
Z ( jω )
VALORE EFFICACE.
EFFICACE In elettrotecnica si utilizzano
spesso i valori efficaci delle grandezze sinusoidali,
soprattutto quando si parla degli aspetti energetici.
Il valore efficace è definibile per tutte le grandezze
periodiche:
VALORE EFFICACE =
1 T 2
f (t )dt
∫
0
T
Nel caso sinusoidale:
Veff
1
=V =
T
∫
T
0
VM2
sin (ωt ) ⋅ dt =
2
VM
2
Se
f(t) = AM cos (ϖt + ϕ)
1
A=
T
ma :
VALORE EFFICACE =
∫
∫
T
0
2
AM
1 2
AM
cos (ϖt + ϕ)dt =
T
2
∫
T
0
cos 2 (ϖt + ϕ)dt
∫
cos 2 (x)dx = cos x ⋅ cos xdx = (integrando per parti)
∫
∫
sin x cos x + ∫ (1 − cos x)dx = sin x cos x + ∫ dx + ∫ − cos xdx ⇒
sin x cos x + x
2∫ cos xdx = sin x cos x + ∫ dx ⇒ ∫ cos xdx =
2
sin x cos x + sin x ⋅ sin xdx = sin x cos x + sin 2 xdx =
2
2
2
2
allora
1 1
[sin ϖT cosϖT + ϖT − sin 0 cos 0] =
cos (ϖt + ϕ)dt =
0
2ϖ
T
1 T  2π
2π
2π  1 T 2π
=
T cos
T+
T =
T=
sin

T
T
T  2 2π T
2
2 2π 
∫
T
A=
2
A
1 2 T
AM
= M
T
2
2
1 T 2
f (t )dt
∫
0
T
RESISTORE
v = R ⋅i ⇒ V = R ⋅ I
1
y = = G
R
z = R
2
p (t ) = v ⋅ i = R ⋅ I max
cos 2 ωt
1 + cos 2ωt
⇒
2
= 2 ⋅ I eff = 2 ⋅ I
cos 2 ωt =
I max
2
p(t ) = R ⋅ I max
1 + cos 2ωt
2
p (t ) = R ⋅ I 2 (1 + cos 2ωt ) = V ⋅ I + V ⋅ I ⋅ cos 2ωt
z
I
V
p(t)
R⋅I2
pulsazione 2ω
NOTA: La potenza assorbita dal resistore è sempre positiva o, al
più, nulla, è pulsante di pulsazione doppia rispetto a quella della
tensione o della corrente
IL VALORE V·I E' IL VALORE MEDIO DI p(t) NEL PERIODO E
VIENE CHIAMATO POTENZA ATTIVA
2
P = R⋅I =V ⋅I
t
CAPACITORE
i
dv
i=C
⇒ I = jω C ⋅ V ( jω )
dt
V
1
1
C
= Z ( jω ) =
=−j
YC = jω C
jω C
ωC
I
v'
V0
i
C
v
C
v
I
π
2
V
( )
v' 0− = 0
i(t ) = C
dv'
dt
t>0
NOTA:
SI PUO' PARLARE DI IMPEDENZA DI UN
COMPONENTE SOLO SE TALE COMPONENTE E'
NELLO STATO ZERO
2
I max
sin ωt ⋅ cos ωt = 2VI sin ωt ⋅ cos ωt = VI sin 2ωt
p(t ) = v ⋅ i =
ωC
V ⋅I
p(t)
t
pulsazione 2ω
La potenza assorbita è sinusoidale di
pulsazione doppia rispetto a tensione e
corrente ed ha valore medio nullo. LA
POTENZA ATTIVA E' NULLA
La quantità Q = V·I pari all'ampiezza massima dell'oscillazione
della potenza istantanea è detta POTENZA REATTIVA.
La potenza reattiva si misura in VAR
Se ω=0 → jωC = 0 (regime permanente) Il condensatore si
comporta da circuito aperto
•PARALLELO DI CAPACITORI
•SERIE DI CAPACITORI
INDUTTORE
L
i
v
di
v=L
⇒ V = j ω L ⋅ I ( jω )
dt
V
1
>
>
Y=
= Z ( jω ) = j ω L
jω L
I
RAPPRESENTAZIONE FASORIALE
V
π
2
V è in anticipo di π /2 rispetto a I
I
Se lo stato iniziale non è nullo si può ricorrere al circuito equivalente:
v
i
di '
v=L
⇒ V = jω L ⋅ I ' ( jω )
dt
i'
i(0-)
p (t ) = v ⋅ i = − 2 I cos ωt ⋅ 2ωL sin ωt =
= −ωLI 2 2 cos ωt sin ωt =
= −ωLI 2 sin 2ωt = −VI sin 2ωt
V ⋅I
p(t)
t
pulsazione 2ω
La potenza istantanea è una
sinusoide di pulsazione doppia
rispetto a tensione e corrente.
LA POTENZA ATTIVA E' NULLA
Q = V·I POTENZA REATTIVA
•SERIE DI INDUTTORI
•PARALLELO DI INDUTTORI
MEMORIZZAZIONE DELLO STATO INIZIALE
SE NON SI E' NELLO STATO ZERO NON SI PUO' PARLARE DI
IMPEDENZA DI UN COMPONENTE
1
q (t )
v(t ) = ∫ i (τ ) dτ + cost
v(t ) =
C
C
1 t
1
v(t ) = ∫0 i dτ + V0 = ⋅ q t ≥ 0 − + V0
C
C
C
i
t
0
v
(
−
vc'
V0·δ-1(t)
i
( )
−
C
vc
vc ' 0 = 0
)
dv'
i (t ) = C
dt
Lo stato del capacitore può essere "memorizzato" mediante un
generatore di tensione
L
i
v
1
ϕ (t )
v(τ ) dτ + cost
i (t ) =
L
L
1 t
1
i (t ) = ∫0 v dτ + I 0 = ⋅ ϕ t ≥ 0 − + I 0
L
L
i (t ) = ∫0
t
(
−
)
v
iL
i L'
I0 ·δ-1(t)
( )
−
iL ' 0 = 0
diL '
v(t ) = L
dt
Lo stato dell'induttore può essere "memorizzato" mediante un
generatore di corrente
MUTUA INDUTTANZA -1
i1
M
L1
v1
i2
L2
di1
di2

v
=
L
+
M
1
12
 1
dt
dt

v2 = L2 di2 + M 21 di1

dt
dt
v2
M
k=
i1
v1
M
i1
L1 L2
v2
v1
a) M > 0
I regime sinusoidale:
 V1 = jωL1I1 + jωM 12 I 2


V2 = jωL2 I 2 + jωM 21I1
Hp:
M 12 = M 21 = M
L1L2 − M 2 ≥ 0
passivo
COEFFICIENTE DI ACCOPPIAMENTO ( k ≤ 1)
L1L2
i2
non dissipativo
M
i1
i2
L1 L2
b) M > 0
v2
v1
M
i1
i2
L1 L2
c) M < 0
v2
v1
M
i2
L1 L2
v2
d) M < 0
Se inizialmente si è nello stato zero, jωL1 , jωL2 e jωM
sono delle impedenze (Ω).
LA MUTUA A 4 TERMINALI HA LE STESSE
EQUAZIONI DI QUELLA A 3 TERMINALI
MUTUA INDUTTANZA -2
Hp:
PASSIVO
NON DISSIPATIVO
i2
A
l1
B
Lungo le l1 e l2
t
−∞
ω=∫
p(t )dt ≥ 0
d 1 2 1 2
di

 L1i1 + L2i2 + M 12i1i2  + g ⋅ i2 1
dt  2
2
dt

∆ω1 + ∆ω 2 = 0 ⇒ ∫ p(t ) ⋅ dt = 0
l2
∫ g ⋅ i2 di1 = 0
p (t ) = v1i1 + v2i2 =
Per la condizione di NON DISSIPATIVITA':
i1
Infatti:
M 12 ≠ M 21 ⇒ M 21 = M 12 + g
∆ω1 e ∆ω2 devono dipendere solo dagli estremi →
p(t) deve essere un differenziale esatto →
g = 0 → M12 = M21 = M
AREA A TRATTEGGIO SEMPLICE
∫ g ⋅ i2 di1 assume valori differenti . Per la condizione di passività:
∀t
1
1
1
⇒ L1i12 + Mi1i2 + L2i22 ≥ 0 ∀t ⇒ [i1
2
2
2
 L1
i2 ]

M
M   i1 
  ≥ 0
 
L2  i2 
FORMA QUADRATICA SEMIDEFINITA POSITIVA → MINORI ≥ 0 →
L1 ≥ 0
L2 ≥ 0
L1 L2 -M2 ≥ 0
TRASFORMATORE IDEALE
Se k = 1 (accoppiamento stretto)
M = L1L2
di1
di2

=
+
v
L
L
L
1
1 2
 1
dt
dt

v2 = L1L2 di1 + L2 di2

dt
dt
di2
di1

=
+
L
L
v
L
1
1 2
 1
dt
dt
⇒ 
L
di
di
 1 v2 = L1 1 + L1L2 2
dt
dt
 L2
⇒ v1 =
L1
⋅ v2 = n ⋅ v2
L2
Nel dominio della frequenza:
 V1 = jωL1I1 + jω L1L2 I 2

 L1
⋅ V2 = jωL1I1 + jω L1L2 I 2

L
 2
⇒ V1 = n ⋅V2
Per L1 , L2 → ∞ si può trascurare il termine
 V1 = nV2


1
=
−
I
I2
1
n

I1
L
1 V1
=
− 2
I 2 jωL1 I 2
L1
1 V1
jωL1 I 2
mentre
I1
TRASFORMATORE IDEALE
L2 1
=
da cui:
L1 n
I2
n:1
V1
V2
ESEMPIO
1
I1
E
V1 j
j
I2
Calcolare I1 e
2j V2
1
I 2 a regime
e(t ) = 2 ⋅ 30 cos ωt
 30 = 1 ⋅ I1 + j ⋅ I1 + j ⋅ I 2
30 = (1 + j ) ⋅ I1 + j ⋅ I 2


⇒

0 = j ⋅ I1 + 2 j ⋅ I 2 + 1 ⋅ I 2
0 = j ⋅ I1 + (1 + j 2) ⋅ I 2
−j
− j ⋅ (1 − j 2 )
−2− j
⋅ I1 =
⋅ I1 =
⋅ I1
I2 =
1+ j2
5
5
I2
1− 2 j 
3

6
30 = 1 + j −
 ⋅ I1 =  + j  ⋅ I1
5 
5

5
30 ⋅ 5
30 ⋅ 5
10 ⋅ 5 ⋅ (2 − j )
=
=
= 10 ⋅ (2 − j ) A = 22,4∠ − 26,6° A
I1 =
6 + j 3 3 ⋅ (2 + j )
5
I 2 = −2 ⋅ (2 − j ) ⋅ (2 + j ) = −2 ⋅ (4 + 1) = −10 A
E
I1
ESEMPIO
2Ω
I1
I2
jω
j2ω
jω
V1
v1 = 100 cos10t
V2
3Ω
trovare la tensione V2 e v2(t)
 V1 = (2 + jω ) ⋅ I1 − jω ⋅ I 2


0 = − jω ⋅ I1 + (3 + j 2ω ) ⋅ I 2
2 + jω
I2 =
− jω
2 + jω
− jω
V1
0
− jω
=
jω ⋅ V1
jω ⋅ V1
=
=
2
2
2
(2 + jω )(3 + j 2ω ) + ω 6 + j 4ω + j3ω − 2ω + ω
3 + j 2ω
jω ⋅ V
j103
j103
=
=
=
= 8,53∠126,7° A
6 − ω 2 + j 7ω − 94 + j 70 117,2∠ − 36,674°
(
)
V2 = − R ⋅ I 2 = −3 ⋅ 8,53∠126,7° = −25,6∠126,7° V
v2 (t ) = −25,6 cos(10t + 2,21) V
TEOREMI DI THEVENIN E NORTON
I
RETE
ATTIVA
Rete attiva costituita da componenti
lineari tempo-invarianti
V
I
zeq
THEVENIN
Eeq
V
EQUIVALENTE
CIRCUITALE
V = Z eq I + Eeq
EQUIVALENTE
CIRCUITALE
I = Yeq ⋅ V + Aeq
Il duale è il teorema di Norton
I
NORTON
Aeq
y eq
V
ESEMPIO
C
500 Ω
10∠0°
A
-j250 Ω
D
THEVENIN
Eeq = 10 ⋅
Trovare gli equivalenti di Thevenin e Norton
500 Ω
500
= 5∠0° V
500 + 500
B
zeq = − j 250 +
NORTON
y eq =
1
1
=
∠45° Ω = 2,828 ⋅10 −3 ∠45°
zeq 250 ⋅ 2
500 ⋅ 500
= 250 − j 250 = 250 ⋅ 2 ∠ − 45° Ω
500 + 500
C
500 Ω
10∠0°
A
-j250 Ω
500 Ω
500(− j 250 )
B
VCB
5
−j
500 − j 250
I cc =
VCB = 10∠0° ⋅
= 10∠0° ⋅
=
∠ − 45°
500(− j 250 )
− j 250
2
2
−
j
2
500 +
500 − j 250
5∠ − 45°
1
=
∠45° = 0,01414∠45° = Aeq
I cc =
2 ⋅ 250∠ − 90°
2 ⋅ 50
5
∠45° = 0,01414∠45° = Aeq c.v.d.
Eeq ⋅ y eq =
250 ⋅ 2
Icc
B
PARTITORI
PARTITORE DI TENSIONE:
z1
zi
z2
PARTITORE DI CORRENTE:
zn
Vi
I
y1
V
E
y n
A
n=2
n=2
I
z1
U
U2
y n−1
 I i = y i ⋅ V
y i

⇒
=
⋅
I
A



i
=
⋅
A
y
V


∑ yi
∑
i

i
 i 

Vi = zi ⋅ I
zi

⇒
=
⋅
V
E



i
=
⋅
E
z
I


∑ zi
∑
i

i
 i 

U1
y 2
z2
z1
U1 = U ⋅
z1 + z2
z2
U2 = U ⋅
z1 + z2
I2
I1
y1
Y1
Z 2
I1 = I ⋅
=I⋅
y1 + y 2
Z1 + Z 2
y 2
Z1
Y2
I2 = I ⋅
=I⋅
Y1 + Y2
Z1 + Z 2
POTENZE IN REGIME SINUSOIDALE
{
}
i(t ) = 2 ⋅ I ⋅ cos ωt = ℜe 2 ⋅ I ⋅ e
⇒ I = I ⋅e
V
z = z ⋅ e jϕ
V = z ⋅ I = z ⋅ e jϕ ⋅ I ⋅ e j 0 = z ⋅ I ⋅ e jϕ
v(t ) = ℜe 2 ⋅ zI ⋅ e jϕ e jωt = 2V cos(ωt + ϕ )
p(t ) = v ⋅ i = 2V cos(ωt + ϕ ) ⋅ 2 I cos ωt = 2VI cos(ωt + ϕ ) cos ωt
ma : 2 cos(ωt + ϕ ) cos ωt = cos ϕ (1 + cos 2ωt ) − sin ϕ sin 2ωt
p(t ) = VI ⋅ cos ϕ (1 + cos 2ωt ) − VI ⋅ sin ϕ sin 2ωt
S
I
j0
zl
}
VI·sinϕ
{
jωt
ϕ
Potenza Attiva istantanea Potenza Reattiva istantanea
valore medio
valore massimo
VI cos ϕ
P = VI cos ϕ
Q = VI sin ϕ
TRIANGOLO
Potenza Attiva [ W ]
Potenza Rettiva [VAR ]
DELLE POTENZE
S = P + jQ Potenza Complessa
(
)
S = P 2 + Q 2 = V 2 I 2 cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = VI Potenza Apparente [VA]
Si dimostra facilmente che:
I
Infatti:
V
Perciò:
z>
S> = V ⋅ I *
z> = R + jX = z> ⋅ e jϕ
se I = I ⋅ e jψ allora :
V = z> ⋅ I = zI ⋅ e jϕ ⋅ e jψ = V ⋅ e jϕ ⋅ e jψ
V ⋅ I * = Ve jϕ e jψ ⋅ I ⋅ e − jψ = VI ⋅ e jϕ =
= VI ⋅ cos ϕ + jVI ⋅ sin ϕ = P + jQ = S
P rappresenta la potenza dissipata
Q rappresenta la potenza scambiata con altri accumulatori di energia
cos ϕ : fattore di potenza del carico
CASI PARTICOLARI
RESISTORE ϕ = 0
I
V
RI 2
p (t ) = VI (1 + cos 2ωt ) = RI 2 (1 + cos 2ωt )
valore medio: P = VI
p(t)
Q=0
t
I
p (t ) = −VI sin 2ωt
CAPACITORE ϕ = π/2 anticipo
p(t)
I
I
VI
V
t
p(t)
VI
V
π
2
V
P=0
Q = -VI
p(t ) = VI sin 2ωt
INDUTTORE ϕ = π/2 ritardo
I
V
t
I
π
2
V
P=0
Q = VI
TEOREMA DI BOUCHEROT
'
''
Dal teorema di Tellegen: ∑ vh ⋅ ih = 0
h
In regime sinusoidale:
{Vh } ; {I h* }
{ }
Applichiamo Tellegen agli insiemi delle {Vh } e I h*
*
V
⋅
I
∑ h h = ∑ (Ph + jQh ) = 0
h
h
Affinché sia verificata deve essere:
∑ Ph = 0
h
∑ Qh = 0
h
RIFASAMENTO
2
2
E
E
IL
cos ϕ ; Q =
sin ϕ
P=
jϕ
zC
zC
zC = zC ⋅ e
IL
E
I L'
j ωC E
E
IL
zC
E
j ωC E
IL =
zC
Per Boucherot:
Qg + Qc + Qz = 0
I L'
E
ϕ
E
sin ϕ
zC
IL
RIFASARE SIGNIFICA IMPORRE: Qg = 0 CIOE': Qc + Qz = 0
E2
E2
 π
sin ϕ ; Qc =
sin  −  = −ωCE 2 ⇒
Qz =
1 ωC  2 
z
sin ϕ
C=
z ω
LA CAPACITÀ DIPENDE SOLO DAL CARICO E DALLA PULSAZIONE

1

= E jωC +
jϕ

z
e
⋅

IN FASE CON E
I L'


 E cos ϕ
cos
ϕ
−
sin
ϕ
j
 = E  jω C +
=



z
z



(GENERALMENTE cos ϕ' ≅ 0,9 )
Ic
Pg + Pz = 0
ϕ
Qg + Qc + Qz = 0
I L' cos ϕ ' = I L cos ϕ
⇒ I L' = I L
cos ϕ
cos ϕ '
IL
V
'
IL
ϕ'
Ic
I c = I L sin ϕ − I L' sin ϕ ' = I L sin ϕ − I L cos ϕ ⋅ tan ϕ '
 sin ϕ cos ϕ tan ϕ '  V
 = I L cos ϕ ⋅ (tan ϕ − tan ϕ ')
−
I c = I L cos ϕ ⋅ 
cos ϕ  V
 cos ϕ
P ⋅ (tan ϕ − tan ϕ ')
I c = ωCV =
S
V
Qc
P ⋅ (tan ϕ − tan ϕ ')
⇒
C=
'
2
S
ϕ
ωV
ϕ ' Q'
P
Q
TRA I CARICHI CHE OCCORRE RIFASARE:
MOTORI ASINCRONI
LAMPADE A SCARICA CON REATTORE DI STABILIZZAZIONE
FORNI AD INDUZIONE
etc
Es:
Lampada fluorescente da 20 W → C ≅ 5 µF
Lampata fluorescente da 100 W → C ≅ 18 µF
MASSIMO TORNACONTO PER L'ENTE cos ϕ = 0,95 ÷ 0,97
Norme: Per P ≥ 15 kW
cos ϕ ≥ 0,9
Nessuna Penale
0,7 ≥ cos ϕ ≥ 0,9
Penale: f (∫ Qdt ∫ Pdt ) nel periodo di fatturazione
cos ϕ ≤ 0,7
Obbligo di Rifasamento
ESEMPIO: impedenza equivalente
X1
R
R = 10 Ω
X1 = 2 Ω
X2 = 5 Ω
X3 = 6 Ω
X2
X3
zeq
(
R + jX 2 )(− jX 3 )
=
− jX
R + jX 2 − jX 3
1
(
10 + j 5)(− j 6)
− j2 =
=
10 − j
− j 60 + 30 − j 20 − j 2 28 − j80
=
=
= 8,43∠ − 64,9°
10 − j
10 − j
2Ω
ESEMPIO
1F
e(t)
2Ω
1F
1∠ − 45°
1Ω
I2
2
I
1Ω
v2(t) = ?
e(t) = cos(t-π/4)
v2(t)
1Ω
1Ω
-j 0,5
j2
2F
2H
E
I = E zeq
j 1,5
1
1-j
I
E
zeq
I2 = I
1− j
(1 − j ) + (1 + j 25)
V2 = 1⋅ I 2
zeq =
I=
(1 + j1,5)(1 − j ) + 2 = 1 − j + j1,5 + 1,5 + 4 + j = 6,5 + j1,5 = 6,67∠13° = 3,24∠ − 1°
1 + j1,5 + 1 − j
2 − j 0,5
2 − j 0,5
2,06∠14°
1∠ − 45°
= 0,31∠ − 44°
3,24∠ − 1°
I 2 = 0,31∠ − 44° ⋅
V2 = 0,21∠ − 103°
1− j
0,31∠ − 44° ⋅ 2∠ − 45°
= 0,21∠ − 103°
=
2 + j 0,5
2,06∠14°
v2 (t ) = 0,21 ⋅ cos(t − 103°)
ESEMPIO
1Ω
e(t)
2H
i(t)
C
e(t ) = 10 cos(t − 0,322 )
e(t) = 3 cos t - sin t
i(t) = 2 cos t + sin t
C=?
10
E=
∠ − 0,322
2
i (t ) = 5 cos(t + 0,464)
zeq = 1 + j 2 − jxc
zeq =
5
i (t ) =
∠0,464
2
E
= 2∠ − π 4 = 1 − j
I
1 − j = 1 + j 2 − jxc ⇒ xc = 1 ⇒ C = 1 F
ESEMPIO (Teorema di Boucherot)
I
j
1
IX
E = 20
La potenza complessa erogata
dal generatore è:
1
V10
IR
SC = 100 ⋅ (1 − j )
jX R
Calcolare i valori di R ed X
0
SC = E ⋅ I *
I * = SC E = 100 ⋅ (1 − j ) 20 = 5 − j 5
⇒
I = 5 + j 5 = 50∠45°
V10 = E − (1 + j )I = 20 − (1 + j )(5 + j 5) = 20 − 5(1 + 2 j − 1) = 20 − j10
IX
V10 20 − j10 10 + j 20
500
=
=
=
⇒ IX =
jX
jX
X
X
IR =
V10 20 − j10
=
R
R
⇒
IR =
500
R
{}
Q = ℑm{SC } = −100 = 1 ⋅ I 2 + X ⋅ I X2 = 50 + 500 X
P = ℜe SC = 100 = 1⋅ I 2 + R ⋅ I R2 = 50 + 500 R
Essendo:
100 R − 50 R = 600
 R = 10 Ω


⇒
⇒
− 100 X − 50 X = 500  X = −10 3
Reattanza Capacitiva
ESEMPIO (Teorema di Boucherot)
I1 = 20 A ; I 2 = 20 A ; I = 24 A
I
I1 R1 R2 I 2
P
P = 2,4 kW ; Q = 0 VAR
Q
XC XL
Calcolare R1 , XC e la potenza reattiva assorbita da XC
Q = QC + QL = X C ⋅ I12 + X L ⋅ I 22


 P = P1 + P2 = R1 ⋅ I12 + R2 ⋅ I 22
Q = 0 ⇒ X C ⋅ I12 + X L ⋅ I 22 = 0 ⇒
X C = − X L (I1 = I 2 )
(R1 + jX C )⋅ I1 = (R2 + jX L ) ⋅ I 2 = U
(Teorema di Boucherot)
Essendo le correnti uguali in modulo e le reattanze uguali in modulo,
ed essendo i due rami in parallelo, sarà: R1 = R2 , da cui:
P = 2 R1I12 = 2 R2 I 22 ⇒ R1 = R2 = P 2 I12 = 2400 (2 ⋅ 400 ) = 3 Ω
inoltre è:
U =
R12
+
X 12
⋅ I1
⇒
R12
+
X 12
=
U
I1
⇒
R12
+
X 12
U2
= 2
I
P 2400
S = P + jQ = P ⇒ S = P = U ⋅ I ⇒ U = =
= 100 V
24
I
⇒ QC = X C ⋅ I12 = 4 ⋅ 400 = 1600 VAR
capacitivi
ma:
U2
1002
2
XC =
− R1 =
− 32 = 4 Ω
2
2
I
20
ESEMPIO (Rifasamento)
Si valuti il fattore di potenza
complessivo cos ϕt e il valore
A
A'
efficace della corrente totale per i
C
2
1 carichi 1 e 2, alimentati con una
tensione di 500 V alla frequenza
industriale di 50 Hz
Si rifasi eventualmente il carico a cos ϕ't = 0,95 e si valuti l'indicazione
dell'ampermetro A' dopo il rifasamento.
Dati: P1 = 10 kW , Q1 = 10 kVAR , Q2 = 8 kVAR , cos ϕ2 = 0,5
P2 =
Q2
8000
=
= 4619 W
tan ϕ 2 1,732
Pt = P1 + P2 = 14619 W
Qt = Q1 + Q2 = 1800 VAR
St = Pt 2 + Qt2 = 14619 2 + 18000 2 = 23189 VA ⇒ I t = St U = 46,38 A
cos ϕ t = cos(arctan Qt Pt ) = cos(arctan (18000 14619 )) = 0,63
C = Pt
occorre rifasare a cos ϕ = 0,95:
tan ϕ − tan ϕ '
1,23-0 ,329
=
⋅
= 168 µF dopo il rifasamento:
4619
2
2
2π ⋅ 50 ⋅ 500
ωU
Q 't = Qt − QC = 18000 − ωCU 2 = 18000 − 13195 = 4805 VAR ; S 't = 14619 2 + 48052 = 15389 VA
I 't =
S 't 15389
=
= 30,78 A
U
500
(Lettura dell'ampermetro A')
METODO DI ELIMINAZIONE DELLE TENSIONI
Rete di bipoli (non vincolante)
I
z
z ⋅ I
n −1
∑ Ik = 0
l − n + 1 ∑ Ek + ∑ zk I k = 0
E
ESEMPIO
z3
z1
I1
I2
E1 z
2
I6
I3
7 lati
5 nodi
z4 A
E2
A
I5
I4
z5
I7
 E1 − z1I1 − z2 I 2 = 0


 z2 I 2 − z3 I 3 − E2 = 0

 E − z I − z I = 0
 2 4 4 5 5
A z5
A
z5
Eeq
E2
z5
B
B
 I1 + I 6 = 0


 I1 − I 2 − I 3 = 0

I − I = − A
 4 5
7 equazioni
z4
Correnti indispensabili: I1 , I 2 , I 3 , I 7
Le correnti dei generatori si possono
eventualmente ricavare in seguito.
E' indispensabile conservare le equazioni
ai co-cicli dove non compaiono
le correnti dei generatori. Le 4 equazioni
sono:
 E1 − z1I1 − z2 I 2 = 0

 z2 I 2 − z3 I 3 − E2 = 0

 E2 − z4 I 4 − z5 I 5 = 0

 I1 − I 2 − I 3 = 0
METODI ABBREVIATI DI ANALISI
METODO DELLE CORRENTI CICLICHE
Z ⋅ J = E
Discende dalle equazioni di Maxwell →
 z11 z12
Solenoidalità delle Correnti
 z
z 22
21

Si introducono delle correnti fittizie che
[Z ] =
 siano di per sé solenoidali (base vettoriale

 z M 1 z M 2
su cui si proiettano le correnti reali I )
[]
Es:
z6
I4
E1
I1
M = l – (n - 1)
A
z4
z1 J A
I2
I5
z5
J B I3
E2
zij = z ji
zii Impedenza propria della maglia i
z ji Impedenza mutua tra le maglie i e j
della maglia i
I6
JC
z1M 
z 2 M 


z MM 
z3
 J1 
[J1 ] =  
 J 2 
Correnti cicliche
Nelle maglie
 Ev1   Ei1 
[E ] =   +  
 EM 1   EiM 
• Evi è la somma dei generatori di tensione nella
maglia i, prese con segno + se concordi con il verso
di Ji e viceversa
• Eii è la somma delle tensioni dovute ai generatori di
corrente collegati agli estremi dei lati della maglia i
(prodotto della corrente per l'impedenza del ramo a
cui è collegato) preso con il segno + se la caduta di
tensione provocata in quel ramo dalla sola corrente
del generatore è concorde con Ji e viceversa
ESEMPIO
I1
X1
E1 J1
I 4 R4
X7
J3
I2
I5
I8
R7
E1 = j100;
R2
e1 (t ) = 100 2 sin ωt
X 5 J 2 E2
X6
X8
J4
E3
e2 (t ) = 200 2 cos ωt
e3 (t ) = 100 cos(ωt + π 4 )
R2 = R4 = R7 = 6 Ω
X3
E 2 = 200;
X1 = X 3 = X 5 = X 6 = X 7 = X 8 = 3 Ω
E3 = 50 + j 50
−6
0   J1   j100 
j3
6
    − 200 
 j3
−
6
0
3
j
J 2  = 


− 6

0
0 12 − j 6 j 3   J 3  
  


−
−
50
50
0
3
3
3
−
−
j
j
j
j
J

  4  

METODO DEI POTENZIALI NODALI
SI BASA SULLA PROPRIETA’ DI IRROTAZIONALITA’ DELLE TENSIONI
A3
1
A1
∫ E ⋅ dl = 0
2
Y1
U2
U1
Qualsiasi tensione di lato è esprimibile
come somma algebrica dei potenziali
di nodo.
3
Y2
Y3
E
Y4
Legge di Kirchhoff delle tensioni
A2
U3
LE U 2 COSTITUISCONO UNA
BASE PER LE TENSIONI
[Y ][U ] = [A]
 Y1,1
Y1, 2 Y1, N −1 

[Y ] =  
YN −1,1 YN −1,2 YN −1, N −1 


 U1 
[U ] =  
U N −1 


 Ai1   Av1 
[A] =   +  
 AiN −1   AvN −1 
[Y ][U ] = [A]
N = n –1 nodi indipendenti
Yij = Y ji
 Y11 Y12 Y1N 

 Yii = ammettenza propria del nodo i
[Y ] =  
= ammettenza del lato che collega i
Y
ij
YN 1 YN 2 YNN 


nodi i e j presa col segno negativo
 U1  Potenziali degli n–1 nodi rispetto all’n-esimo
[U ] =  
Aij = somma delle correnti dei generatori di
U N 
corrente che incidono sul nodo i, positivi
 
se entranti
 Ai1   Av1 
Avi = correnti dovute ai generatori di tensione




[A] =   +  
inseriti in lati convergenti nel nodo i
 AiN   AvN 
(f.e.m. × ammettenza del lato) positivi se
il generatore da solo fa circolare corrente
entrante
NOTA: SI PARLA DI NODI CHE SONO CASI PARTICOLARI DI CO-CICLI.
IN PRATICA SI CONSIDERANO I CO-CICLI FONDAMENTALI RIFERITI
AD UN ALBERO A STELLA
ESEMPIO
1/18 F
12 Ω
14cos2t
i(t)
9Ω
3Ω
Trovare i(t) con l’analisi
nodale
3/2 H
B
A
12
-j9
14
9
1/6 F
-j3
3
j3
1 j
 1
+
12 − j 9 9 + 3


j
−

3

j
3

 14 
 U A  

   = 12 − j 9 
j 1 j    

+ −  U B 
0


3 3 3
−
1
1 j
14
+ +
12 − j 9 9 3 12 − j 9
UB =
j
0
3
0,1669 + j 0,1244
−
= j1,5
I =
N.B. ho lavorato con i valori massimi
UB
= 0,5
j3
i (t ) = 0,5 cos 2t
METODO DELLE CORRENTI CICLICHE: OSSERVAZIONI
z1
E1
J1
Vx
z 3
A
J2
E2
z 4
 E1 − z1 J1 − V x = 0

V x − (z3 + z 4 )J 2 = E 2
J + A − J = 0
2
 1
LA PRESENZA DI GENERATORI DI CORRENTE INTRODUCE UNA
DESTRUTTURAZIONE DEL METODO, INTRODUCENDO INCOGNITE
MISTE ( V, J ) E TERMINI NOTI MISTI ( E , A ).
ANALOGAMENTE PER IL METODO DEI POTENZIALI NODALI.
E’ IMPORTANTE LA SCELTA OCULATA DELLE MAGLIE E DEI NODI.
ESEMPIO:
R
A
J1
R
J2
I 3I
R
A = 10 A
 J1 = A

3 J 2 = 2 J 2 − J1
− 3 J 2 = 2 J 3 + J1
J3
R
R =1Ω
 J 2 = −10 A

 J 3 = 10 A
THEVENIN IN PRESENZA DI GENERATORI PILOTATI
R
E
A I
i
θi
R0
VAB
R0
R0
−θ
E
R
B
B
A I
R
E
i
θi
R0
VAB
B
A
R0
A
− θ iR0
B
N.B.
GRANDEZZA PILOTANTE ESTERNA: POSSIAMO PASSIVARE
GRANDEZZA PILOTANTE INTERNA: NON POSSIAMO PASSIVARE
ADATTAMENTO ENERGETICO
zCg
A
Rete
Attiva
zCC
Per il T. di Thevenin
E V
B
A
I
zCC
B
Quali sono le condizioni nelle quali zC assorbirà la max potenza attiva?
E ⋅ zC
E
I=
; V =
; zC = RC + jX C ;
z g + zC
z g + zC
2
E
E
⋅
z
E
C
S = P + jQ = V ⋅ I =
⋅
=
⋅ zC
*
2
z g + zC (z g + zC )
z g + zC
*
*
{}
P = ℜe S =
E
2
z g + zC
2
E2
⋅ zC =
⋅ RC
2
2
(Rg + RC ) + (X g + X C )
Max P:
Poiché XC 0 → XC + Xg = 0 → XC = - Xg
P=
dP
dRC
E2
(Rg + RC )
2
⋅ RC ⇒
2
(
)
R + RC − 2 RC
+
− 2 RC (Rg + RC )
R
R
g
C
2
2 g
=E
=E
4
(Rg + RC )3
(Rg + RC )
dP
= 0 ⇒ RC = R g
dRC
=E
2
Rg − RC
(Rg + RC )3
⇒ Z C = Z g*
TEOREMA DEL MASSIMO TRASFERIMENTO DI POTENZA