LE DERIVATE Definizione Sia x0 un punto interno di A ⊆ R e sia f

LE DERIVATE
Definizione Sia x0 un punto interno di A ⊆ R e sia f : A → R.
Si dice che f è derivabile in x0 se esiste finito il limite
lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
.
x − x0
In questo caso, tale limite viene detto derivata prima di f in x0 , e si indica con:
f 0 (x0 ) =
df
f (x) − f (x0 )
(x0 ) = lim
.
x→x0
dx
x − x0
A seconda dei casi, per indicare la derivata si usano notazioni differenti; oltre alle due sopra
indicate, se ne usano anche altre, fra cui:
f 0 (x0 ) =
df
(x0 ) = dx f (x0 ) = Dx f (x0 ) = Df (x0 ).
dx
Teorema (prima formula dell’incremento finito). Sia x0 un punto interno di A ⊆ R e sia
f : A → R.
f è derivabile in x0 ⇐⇒ esiste l ∈ R tale che
f (x) = f (x0 ) + l(x − x0 ) + o(x − x0 ),
per x → x0 .
Quando f è derivabile, l = f 0 (x0 ).
Rimandiamo al Canuto -Tabacco per ulteriori dettagli
Teorema. Sia x0 un punto interno di A ⊆ R.
Se f è derivabile in x0 =⇒ f è continua in x0 .
Dim. Dobbiamo dimostrare che limx→x0 f (x) = f (x0 ). Utilizzando la prima formula dell’incremento
finito, abbiamo che
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + o(x − x0 ),
per x → x0 .
Allora
lim f (x) = lim [f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + o(x − x0 )] = f (x0 )
x→x0
x→x0
Infatti, se h(x) = o(x − x0 ) per x → x0 , allora limx→x0 h(x) = 0.
1
Algebra delle derivate
Teorema. Sia x0 un punto interno di A ⊆ R, e siano f e g due funzioni definite su A e
derivabili in x0 .
Allora
1. La derivata è lineare, vale a dire che:
(a) f + g è derivabile in x0 , e
(f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 )
(b) ∀α ∈ R, αf è derivabile in x0 , e
(αf )0 (x0 ) = αf 0 (x0 ).
2. f · g è derivabile in x0 , e vale la seguente regola, detta Regola di Leibniz:
(f · g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) · g(x0 ) + f (x0 ) · g 0 (x0 ).
3. Se g(x0 ) 6= 0,
1
g
è derivabile in x0 , e
1
g
4. Se g(x0 ) 6= 0,
f
g
!0
(x0 ) = −
g 0 (x0 )
.
g 2 (x0 )
è derivabile in x0 , e
f
g
!0
(x0 ) =
f 0 (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g 0 (x0 )
.
g 2 (x0 )
La dimostrazione può essere fatta sia utilizzando la definizione di derivata (cfr. CanutoTabacco), sia utilizzando la prima formula dell’incremento finito, come faremo nel seguito.
Dim.
1.a) Dimostriamo che f + g è derivabile. Dato che f e g sono derivabili in x0 , abbiamo
che:
f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) + o(x − x0 ),
per x → x0
0
g(x) = g(x0 ) + g (x0 )(x − x0 ) + o(x − x0 ),
per x → x0 .
Sommando le due, otteniamo
f (x) + g(x) = (f + g)(x) = (f + g)(x0 ) + (f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ))(x − x0 ) + o(x − x0 ),
per x → x0 .
come volevasi dimostrare.
La dimostrazione della 1b) è lasciata al lettore.
2. Regola di Leibniz.
Moltiplicando le formule dell’incremento finito relative a f e g, abbiamo, per x → x0 :
f (x) · g(x) = (f · g)(x) = (f · g)(x0 ) + (f 0 (x0 ) · g(x0 ) + f (x0 ) · g 0 (x0 ))(x − x0 ) + altri termini.
Osserviamo che tutti i termini trascurati risultano essere o(x − x0 ) o o((x − x0 )2 ) per x → x0 .
Pertanto sono tutti o(x − x0 ) per x → x0 , cosicché possiamo concludere che
f (x)·g(x) = (f ·g)(x) = (f ·g)(x0 )+(f 0 (x0 )·g(x0 )+f (x0 )·g 0 (x0 ))(x−x0 )+o(x−x0 ),
2
per x → x0 .
3. Osserviamo che g, essendo derivabile, è anche continua in x0 . Per il Teorema della
permanenza del segno, se g(x0 ) 6= 0, allora g(x) 6= 0 in un intorno di x0 e 1/g è ben definita
in quell’intorno. Ha allora senso chiedersi se 1/g è derivabile in x0 . Verifichiamo che esiste il
limite del rapporto incrementale di 1/g:
lim
x→x0
1
g(x)
−
1
g(x0 )
x − x0
= lim
x→x0
g(x0 )−g(x)
g(x)g(x0 )
x − x0
= lim
x→x0
g(x) − g(x0 )
1
−
·
x − x0
g(x)g(x0 )
!
=−
g 0 (x0 )
.
[g(x0 )]2
4. La dimostrazione è lasciata al lettore, che la può ricavare applicando la Regola di
1
Leibniz al prodotto di f (x) ·
.
g(x)
Teorema(derivata di funzione composta).
Sia f : A → R una funzione derivabile in x0 punto interno ad A ⊆ R.
Sia y0 = f (x0 ) un punto interno a f (A) e sia g : f (A) → R una funzione derivabile in y0 .
=⇒ g ◦ f (x) è derivabile in x0 e
(g ◦ f )0 (x0 ) = g 0 (f (x0 )) · f 0 (x0 ).
Dim. Dobbiamo verificare che g ◦ f è derivabile in x0 , cioè che esiste l ∈ R tale che:
g ◦ f (x) − g ◦ f (x0 ) = l(x − x0 ) + o(x − x0 ),
per x → x0 .
Posto y = f (x), possiamo riscrivere la formula come:
g(y) − g(y0 ) = l(x − x0 ) + o(x − x0 ),
per x → x0 .
Ma g è derivabile in y0 , quindi:
g(y) − g(y0 ) = g 0 (y0 )(y − y0 ) + o(y − y0 ),
per y → y0 .
Poiché y − y0 = f (x) − f (x0 ), la derivabilità di f in x0 implica che
y − y0 = f (x) − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 ) + o(x − x0 ) per x → x0 .
Ne ricaviamo che, per x → x0 :
g(f (x)) − g(f (x0 )) = g 0 (y0 )(f 0 (x0 )(x − x0 ) + o(x − x0 )) + o(f (x) − f (x0 )) (∗)
= g 0 (f (x0 ))f 0 (x0 )(x − x0 ) + g 0 (f (x0 )) + o(x − x0 ) + o(f (x) − f (x0 ))
Osserviamo che, se h(x) = o(f (x) − f (x0 )), per x → x0 ::
lim
x→x0
h(x)
f (x) − f (x0 )
h(x)
= lim
·
= 0 · f 0 (x0 ) = 0.
x − x0 x→x0 f (x) − f (x0 )
x − x0
Ne segue che h è anche o(x − x0 ) per x → x0 , e dunque, riprendendo la (∗), abbiamo che:
g(f (x)) − g(f (x0 )) = g ◦ f (x) − g ◦ f (x0 ) = g 0 (f (x0 )) · f 0 (x0 )(x − x0 ) + o(x − x0 ) per x → x0 .
Pertanto g ◦ f è derivabile in x0 e la sua derivata è g 0 (f (x0 )) · f 0 (x0 ), c.v.d.
Abbiamo dimostrato in precedenza che la funzione inversa di una funzione f invertibile
e continua su un intervallo I è ancora una funzione continua sull’intervallo J = f (I). Ci
chiediamo sotto quali ipotesi possiamo garantire che la funzione inversa è anche derivabile. Il
seguente Teorema dà una risposta a questo problema:
3
Teorema (derivabilità della funzione inversa)
Sia f continua e invertibile in un intorno di x0 ∈ R; inoltre, sia f derivabile in x0 . Se
0
f (x0 ) 6= 0
=⇒ f −1 è derivabile in y0 = f (x0 ) e
f −1 (y0 ) =
1
f 0 (f −1 (y
0)
=
1
f 0 (x
0)
.
Dim. Calcoliamo, se esiste, il limite del rapporto incrementale di f −1 in y0 = f (x0 ):
lim
y→y0
f −1 (y) − f −1 (y0 )
= lim
y→y0
y − y0
1
y − y0
f −1 (y) − f −1 (y0 )
Dato che f è continua in x0 , f −1 è continua in y0 = f (x0 ) e
se y = f (x) → y0
=⇒
x = f −1 (y) → f −1 (y0 ) = x0 .
Utilizzando il Teorema di limite di funzione composta, abbiamo che
lim
y→y
0
1
1
f −1 (y) − f −1 (y0 )
1
= 0 −1
.
= lim
= 0
x→x0 f (x) − f (x0 )
f (x0 )
f (f (y0 ))
y − y0
x − x0
4
Il Teorema ”del tappabuchi”.
Lemma. Sia f : A → R e sia x0 un punto interno a A ⊆ R. f soddisfa le seguenti proprietà:
1. f è continua in x0 ;
2. esiste un intorno B(x0 ) tale che f è derivabile in B(x0 ) \ {x0 };
3. esiste lim− f 0 (x) = l1
x→x0
4. esiste lim+ f 0 (x) = l2 .
x→x0
=⇒ esistono
limx→x−
0
limx→x+
0
f (x) − f (x0 )
= limx→x− f 0 (x) = l1
0
x − x0
f (x) − f (x0 )
= limx→x+ f 0 (x) = l2 .
0
x − x0
(x0 )
per
Dimostrazione. Poiché f è continua in x0 , il limite (da destra e da sinistra) di f (x)−f
x−x0
0
x → x0 è una forma indeterminata 0 . Per il Teorema di de l’Hopital, se esistono i limiti destro
e sinistro del rapporto delle derivate
lim±
x→x0
(f (x) − f (x0 ))0
f 0 (x)
=
lim
= lim± f 0 (x),
0
±
(x − x0 )
1
x→x0
x→x0
esistono anche i limiti del rapporto assegnato e sono uguali ai limiti trovati. Poiché per ipotesi
questi due limiti esistono, abbiamo la tesi.
Questo Lemma ci permette di dimostrare immediatamente il seguente:
Teorema ”del tappabuchi”. Sia f : A → R e sia x0 un punto interno a A ⊆ R. f soddisfa
le seguenti proprietà:
1. f è continua in x0 ;
2. esiste un intorno B(x0 ) tale che f è derivabile in B(x0 ) \ {x0 };
3. esiste lim− f 0 (x) = l1
x→x0
4. esiste lim+ f 0 (x) = l2 .
x→x0
Allora,
• Se l1 = l2 = l ∈ R
• Se l1 , l2 ∈ R, l1 6= l2
=⇒ f è derivabile in x0 e f 0 (x0 ) = l.
=⇒ x0 è un punto angoloso di f .
• Se l1 = l2 = ∞ con lo stesso segno
• Se l1 = l2 = ∞ con segni opposti
=⇒ x0 è un punto a tangente verticale di f .
=⇒ x0 è un punto di cuspide di f .
• Se l1 è±∞, la parte del grafico a sinistra di x0 ha tangente verticale in x0 e analogamente
per l2 .
5
Osservazioni.
1. L’ipotesi di continuità della funzione in x0 è fondamentale nella dimostrazione.
Per esempio la funzione
f (x) =
è tale che
x,
x<0
x−1 x≥1
1,
x<0
.
1
x>1
Il limite per x → 0 di f 0 (x) esiste ed è uguale a 0, ma la funzione in x = 0 non è
continua, e quindi non derivabile.
0
f (x) =
2. Quando il limite di f 0 non esiste, non è detto che la funzione sia non derivabile nel punto
x0 , come mostra il seguente esempio.
6
Esempio. Consideriamo la funzione
f (x) =
x2 sin x1 ,
0
x 6= 0
x=0
Per x 6= 0, la derivata è:
f 0 (x) = 2x sin
1
1
− cos ,
x
x
che non ha limite per x → 0.
D’altra parte, se calcoliamo la derivata in x = 0 usando la definizione, vediamo che
lim
x→0
x2 sin x1
f (x) − f (0)
= lim
= 0 = f 0 (0).
x→0
x−0
x
In questo caso il Teorema del tappabuchi non è applicabile, perché il limite per x → 0
di f 0 (x) non esiste.
7