Y - Economia Aziendale Online

All stable processes we shall predict. All unstable processes we shall control (John von Neumann)
Aula Foscolo
Palazzo Centrale
Università di Pavia,Facoltà di Economia
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Finalità di questo Modulo



Nel precedente Modulo 1 ho ricordato le nozioni fondamentali del
Systems Thinking per fornire un linguaggio semplice ed efficace.
In questo Modulo 2a presento la logica del controllo e due semplici
Sistemi di Controllo mono leva e mono obiettivo: controllo audio e
controllo temperatura.
Il Modulo comprende i paragrafi da 1.6 a 1.9.
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2
Par. 1.6

Controllare una variabile Yt [output o effetto] significa “fare in
modo” che essa:
 tramite una “successione di aggiustamenti” nel tempo,


Controllo di una variabile
arrivi ad assumere un valore Y*, che rappresenta un obiettivo
da conseguire,

oppure un vincolo o un limite o uno standard da mantenere,

pur in presenza di disturbi esterni non controllabili: D.
La distinzione tra vincoli, limiti e obiettivi non sempre è netta; per
questo, salvo che non sia specificato chiaramente, il segno “*”,
apposto a una variabile Yt, assumerà, d’ora in avanti, il significato di
obiettivo del controllo di quella variabile, goal o traiettoria.
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3
La leva di controllo e il tasso g


Per “aggiustare” i valori della Yt , verso l’obiettivo Y*, occorre agire su
un’altra variabile Xt, che definiamo variabile d’azione [input o
causa], o leva di controllo, la quale è connessa alla Yt da un
legame causale semplice.
La misura secondo la quale Xt agisce sulla Yt (X causa la Y) è
definita dal:
 tasso d’azione
gy oppure
g(Y/X),
 così che risulti:


Yt = [Xt × gy ] + Dt
essendo Dt la variabile che indica i disturbi esterni.
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4
La distanza, o Errore

Il controllo richiede il calcolo di una terza variabile:

lo scarto dall’obiettivo (differenza, scostamento, deviazione,
distanza, ecc.)




Δ(Y) = E(Y) = Y* - Y
definito anche errore da eliminare.
La logica del controllo è semplice: attribuire a Xt una successione di
valori che annullino E(Y) = Δ(Y).
Quali valori? Per calcolarli occorre conoscere un tasso di reazione
hx o anche h(X/Y),

che indica la misura secondo la quale E(Y) agisce sulla leva Xt,
per ottenere il nuovo valore Xt+1 , tale che:



[oppure: Δ(Y*) = Y – Y*].
Xt+1 = Xt + [E(Y) × hx] o, anche, in forma
differenziale:
Xt+1 - Xt = [E(Y) × hx]
Per un controllo simmetrico, si pone: h = 1 / g.
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Pag. 52
Modello canonico semplificato
di Sistema di Controllo a una leva
Tasso di azione g(Y/X)
s
D = Disturbo esterno
Variabile
d’azione = X
B
s
Tasso di reazione h(X/Y)
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Variabile da
controllare = Y
o
Obiettivo
= Y*
s
Scostamento o
Scarto o Errore
E(Y/X) = Y*–Y
6
La distanza come variabile fondamentale

Ecco come Wiener descrive la funzione della “distanza” cioè dello
scostamento, o errore:
Pag. 51

Supponiamo che io debba prendere una matita. Per fare
questo devo muovere certi muscoli. Nessuno di noi, eccetto
qualche esperto anatomista, sa tuttavia quali siano questi
muscoli [...]
Ciò che noi vogliamo consapevolmente fare è solo prendere la
matita. Una volta presa questa decisione, il movimento
procede in modo tale che – per così dire – “quanto manca alla
presa della matita” decresca progressivamente. Questa parte
dell’azione non si svolge a livello di piena consapevolezza [...].
Vediamo dunque che per un’azione efficace sul mondo
esterno, non solo è essenziale possedere buoni organi motori,
ma occorre che l’attività di tali organi sia adeguatamente
segnalata a scopo di controllo al sistema nervoso centrale, e
che i rilevamenti degli organi di controllo si combinino
appropriatamente con le altre informazioni in arrivo dagli
organi sensoriali per determinare un’uscita motoria regolata
(Wiener, 1968, p. 30).
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7
Pag. 50


Sistema di Controllo ad una leva.
Definizione
Definizione.
 Nel Systems Thinking, un sistema di controllo è un sistema
logico che consente di raggiungere o mantenere un desiderato
Y*, di una data variabile Yt (effetto, o output)
 mediante variazioni in una variabile
Xt (causa, o input),
calcolate in modo da annullare l’errore
E(Y) = Y* - Yt,
malgrado possibili disturbi esterni, Dt.
È facile riconoscere che un Sistema di Controllo, da un punto
di vista logico, è un loop di bilanciamento che connette le
variabili X, Y, D, secondo lo schema canonico:
[s–o–s]
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8
Par. 1.8
Sistema ad una leva senza ritardo
Audio
gy=3
Tasso di azione = g
s
Apprendimento,
esperienza
X0=0
Rotazione
manopola = X
Disturbo esterno = D
B
Volume suono
=Y
Volume desiderato= Y*
s
hx=1/3
Tasso di reazione = h
o
Y*=60
s
Errore =
E(Y) = Y* – Y
Suono percepito:
- basso se E>0
- alto se E<0
- gradevole se E=0
X
15
decisione
decisione +3 15+3=18
decisione +4 18+4=22
-2 22-2=20
decisione
[email protected]
Y
E
×3
45
60-45=15
×3
54
60-54=6
×3
66
60-66=-6
×3
60
60-60=0
9
FINE
Sistema ad una leva senza ritardo
Par. 1.9
Temperatura acqua con miscelatore
gy=2
Tasso di azione g(Y/X)
s
Disturbo esterno
=D
Apprendimento,
esperienza
Rotazione
miscelatore = X
X0=0
Temperatura
acqua = Y
B
s
hx=1/2
o
Y*=30
s
Errore= EY =
Tasso di reazione h(X/Y)
Y* – Y
Temperatura percepita:
- fredda se EY>0
- calda se EY<0
- gradevole se EY=0
X
decisione
decisione
decisione
Temperatura
desiderata = Y*
Y
12
+5 12+5=17
-2 17-2=15
[email protected]
×2
Tempo di reazione r(X/Y)
r(X/Y) = 1
E
24
30-24=6
34
30-34=-4
30
30-30=0
FINE
10
Pag. 51

Modello generale di
sistema di controllo a una leva
La struttura generale dei sistemi di controllo ad una leva del tipo
standard [s–o–s] senza ritardi.
Tasso di azione g(Y/X)
th
s
MANAGER
Apprendimento,
esperienza
D = Disturbo
esterno
[s–o–s]
Variabile
d’azione = X
th+1
B
s
Variabile da
controllare = Y
o
th
Scarto = Sy
Tasso di reazione h(X/Y)
= Y – Y*
Obiettivo = Y*
s
GOVERNANCE
Motivazioni esterne
personali
Tempo di reazione r(X/Y)
[email protected]
11
Pag. 60

Tipi
Variazione continua di X
Sono i Sistemi di Controllo nei quali la Xt assume valori continui nel
tempo, anche se sono tempificati per istanti discreti: t0, t1, ecc.,
producendo variazioni continue in Yt.
[email protected]
12
Pag. 60

Tipi
Variazione discreta di X
Sono i Sistemi di Controllo nei quali la Xt assume valori discreti nel
tempo, che dipendono da un passo fisso della leva che si ripete nel
tempo producendo una variazione discreta in Yt fino a quando non ha
raggiunto Y*.
manopola/decibel
5
Yt=0 =
tempo di reazione
1
Y* =
0
tolleranza max in
passo fisso
delle manop.
[email protected]
5 tolleranza di precisione in decibel
50 decibel
0
13
Pag. 57



Una variabile fondamentale
Il tempo di reazione
Il tempo di reazione rx è una variabile decisionale che stabilisce di
quando decade l’errore, per unità di tempo, per ogni azione sulla X.
È più facile – ma del tutto equivalente – definire tempo di reazione rx
come la variazione di X per unità di tempo. In pratica:
Se, per un dato E(Y) la X deve variare, per es. di 60, allora:
70.0
 con rx = 1, X varia di 60,
60.0
50.0
 con rx = 2, X varia di 30,
40.0
 con rx = 3, X varia di 20,
30.0
20.0
 ecc.
10.0
0.0

Un tempo di reazione è molto importante per il controllo in quanto un rx
maggiore di 1 rende il controllo più “graduale”, “morbido” e
“accettabile”.
1
[email protected]
2
3
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5
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7
8
9
10
14
Controllo immediato e graduale
Pag. 89

Il controllo è immediato se il tempo di reazione è rx =1.



Sono sistemi ad aggiustamento veloce della Y ma sono pericolosi
e difficili da realizzare in quanto producono uno shock nella
struttura fisica del sistema. Il controllo appare “ruvido” (rough
control).
Il controllo graduale opera quando rx >1, così che la struttura fisica
assorbe gradualmente le variazioni di X e di Y.



Il sistema porta Yt a Y* in un solo istante.
Il sistema produce una dinamica di Y verso Y* più lenta ma più
morbida (soft control).
Occorre individuare il rx >1 che porti ad un bilanciamento tra
rapidità e gradualità.
Sono a controllo graduale quelli a variazione discreta per i quali
non si pone rx.
[email protected]
15
Attenzione ai ritardi

Quando non è dichiarato esplicitamente, si suppone che:


Se tra lo stimolo DX e la risposta DY intercorre un periodo
relativamente lungo, allora si dice che




lo stimolo DX e la risposta DY siano concatenati istantaneamente.
la risposta DY si produce con un ritardo rispetto allo stimolo
DX.
Il ritardo si rappresenta nel modello scrivendo RITARDO o sulla
freccia i cui processi presentano il ritardo, o barrandola.
Regola: vi è un ritardo nella risposta se è possibile fare variare
almeno due volte la X prima che si produca la prima variazione della
Y.
I ritardi non sempre si possono eliminare ma i loro effetti
si possono mitigare con rx >1.
Si veda anche il modulo 2b.
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16
Par. 1.9
Sistema ad una leva con ritardo
Temperatura acqua con miscelatore
gy=2
Tasso di azione g(Y/X)
s
Disturbo esterno
=D
Apprendimento,
esperienza
Rotazione
miscelatore = X
Temperatura
acqua = Y
B
X0=0
s
hx=1/2
o
Temperatura
desiderata = Y*
Y*=30
s
Errore= EY =
Tasso di reazione h(X/Y)
X
decisione
12
decisione
20=12+8
+8
23=20+3
+3
decisione
[email protected]
10=23-13
-13
decisione
Y* – Y
Temperatura percepita:
- fredda se EY>0
- calda se EY<0
- gradevole se EY=0
×2
Tempo di reazione r(X/Y)
Y
r(X/Y) = 1
E
0
30-0=30
24
30-24=6
40
30-40=-10
46
30-46=-16
17
Doccia con ritardi e diversi
tempi di reazione
CONTROLLO TEMPERATURA DOCCIA CON UN RITARDO
CONTROLLO TEMPERATURA DOCCIA CON UN RITARDO
70,00
40,00
60,00
35,00
30,00
50,00
25,00
40,00
20,00
30,00
15,00
20,00
10,00
10,00
5,00
0,00
0,00
1
2
3
4
5
6
7
obiettivo
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
temperatura
1
2
3
4
5
miscelatore rotazione
6
7
8
obiettivo
CONTROLLO TEMPERATURA DOCCIA CON 2 RITARDI
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
temperatura
miscelatore rotazione
CONTROLLO TEMPERATURA DOCCIA CON 2 RITARDI
300,00
45,00
200,00
40,00
35,00
100,00
30,00
0,00
1
2 3
4 5
6 7
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
25,00
-100,00
20,00
-200,00
15,00
10,00
-300,00
5,00
-400,00
0,00
1
-500,00
obiettivo
[email protected]
temperatura
miscelatore rotazione
2
3
4
5
6
obiettivo
7 8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
temperatura
miscelatore rotazione
18
Il tempo entropico
Par. 3



Ogni Sistema di Controllo scandisce la sua dinamica su una
appropriata scala temporale che definisce la finestra temporale
del sistema.
Anche se la dinamica può essere continua, per la
costruzione di modelli di simulazione si suppone
normalmente che essa sia scansionata per intervalli
discreti.
La lunghezza dell’intervallo dipende dall’accuratezza della misurazione
dell’errore e soprattutto dalle esigenze di precisione.
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19
Tipi
Sistemi di on/off e I/O.
Par. 2.6


Sistemi on/off.
 Sono particolari sistemi che raggiungono l’obiettivo Y* facendo
funzionare [on] la leva Xt per un dato tempo preimpostato, T*,
fino a quando la arrestano [off] per poi riprendere quando D
produce nuovamente un errore di ampiezza prefissata ΔE* (es.
condizionatore).
Sistemi I/O
 Sono particolari sistemi che tentano di raggiungere l’obiettivo Y*
accendendo [I] la leva X, una o più volte, per un dato tempo,
deciso di volta in volta, per ottenere un valore fisso ΔY, fino a
quando la spengono [O], annullando ΔY, per poi riaccenderla
quando D produce nuovamente un errore E. (es. ascensore).
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20
Tipi
Sistemi di on/off e I/O.
Par. 10

Sistemi on/off.
Yt = variabile da
controllare
Y* = obiettivo
Xt = on

Xt = off
Xt = on
Xt = off
Sistemi I/O
Yt = variabile da
controllare
+ ΔY
Xt = I
[email protected]
- ΔY
Y* = obiettivo
Xt = O
21
Sistema di controllo on-off a una leva.
Temperatura dell’aria con condizionatore

È un sistema nel quale non c’è intervento umano se non per decidere
la temperatura obiettivo. Si avvia quando si manifesta lo scostamento.
v = volume aria fredda
c = temperatura aria fredda
D = Disturbo
esterno
s
g=v x c
X = Tempo di
accensione = t
B
Temperatura
ambientale = Y
s
h
o
Temperatura desiderata
= Y*
s
Errore o Scarto
E(Y) = Y* – Y
Accensione solo se E < 0
Temperatura percepita:
- bassa se E(Y) > 0
- alta se E(Y) < 0
- gradevole se E(Y) = 0
[email protected]
22
Variazione discreta I/O
Ascensore quale sistema di controllo
Tasso di sollevamento g(Y/X)
MOTORE
s
Tempo di
accensione = X
B
Pianot+1 =
= Y = Pianot +
salita/discesa
Piano
desiderato
(pulsante) = Y*
o
CALCOLO TEMPO ACCENSIONE
s
Tempo accensione h(X/Y)
[email protected]
RILEVATORE DEL PIANO
Salita/discesa
piani = E(Y) =
Y* – Y
s
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