compito del 5 settembre 2007

Esercizio 1
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
Tre conduttori sferici cavi concentrici, di spessore
trascurabile, hanno raggi R1 = 10 cm, R2 = 20 cm, R3 =
40 cm. L’intercapedine compresa tra R2 e R3 e` riempita
di ossigeno liquido (er = 1,5). Un generatore di f.e.m.
nota viene collegato al conduttore piu` interno (polo
positivo) e piu` esterno (polo negativo). Si esprima, in
funzione della carica sulle armature,
il campo elettrico in tutto lo spazio. Assumendo uguale a
zero il potenziale sulla superficie piu` interna, esprimere
la differenza di potenziale tra i due conduttori piu` interni
e
tra i due piu` esterni; si calcoli anche
la capacita` dei due conduttori piu` interni e
dei due piu` esterni. Calcolare
il valore numerico della carica sulle armature nel caso in
cui la f.e.m. valga 600 V e calcolare i corrispondenti
valori numerici per i punti (b), (c), (d), (e). Infine si calcoli
l’energia elettrostatica del sistema.
• Soluzione dell’esercizio 1
•
Applicando la legge di Gauss nelle diverse regioni di
spazio delimitate dalle sfere, troviamo il campo:
E (r )  0.............................r  R1
........ 
........ 
........ 
•
1
Q
..........R1  r  R2
2
4e0 r
1
Q
..........R2  r  R3
2
4e0e r r
1
Q
..........R3  r
2
4e0 r
Per il potenziale:
r
r
 
1 Q
V (r )  V ( R1 )    E  dr    Edr   
dr 
2
4
e
r
0
R1
R1
R1
r
Q  1
Q  1 1
  ....................R1  r  R2





4e0  r  R1 4e0  R1 r 
r
•
Da cui si trova la ddp tra le sfere 1 e 2, e
r
Q
dr 
2
4
e
e
r
0 r
R2
V (r )  V ( R2 )   

1
 1 1
  ....................R2  r  R3
4e0e r  R2 r 
Q
•
Da cui si trova la ddp tra le sfere 2 e 3. Possiamo quindi
trovare la ddp tra le sfere 1 e 3:
Q  1
1  1

 
V ( R3 )  V ( R1 ) 


4e0  R1 R2  e r
•
La capacita` tra le sfere 1 e 2 e`:
C12 
•
 1
1 
  
 R2 R3 
4e0
Q

V21 1  1
R1 R2
E tra le sfere 2 e 3:
4e0e r
Q

1
1
V32

R2 R3
Dall’espressione della ddp tra 1 e 3 possiamo ricavare
la carica:
C23 
•
V ( R3 )  V ( R1 )
4e0 
1
1  1 1
1 
      
 R1 R2  e r  R2 R3 
600

 10nC
 1
1
1  1
1 
8.99 109 





0
.
1
0
.
2
1
.
5
0
.
2
0
.
4



Q
•
La ddp tra le sfere 1 e 2 e`:
1
1 
  
R1 R2 

V ( R2 )  V ( R1 )  V ( R3 )  V ( R1 )

1
1  1 1
1 
      
 R1 R2  e r  R2 R3 
1
1

0.1 0.2
 600
 450V
1
1
1  1
1 





0.1 0.2 1.5  0.2 0.4 
•
E tra le sfere 2 e 3:
V ( R3 )  V ( R2 )  V ( R3 )  V ( R1 )  V ( R2 )  V ( R1 ) 
 600  450  150V
•
Le capacita` tra 1, 3 e 2, 3 sono rispettivamente:
Q 10 8
C12 

 22.2 pF
V21 450
Q 10 8
C23 

 66.7 pF
V23 150
•
Per calcolare l’energia elettrostatica conviene prima
calcolare la capacita` risultante, tenendo conto che le
coppie di conduttori 1,2 e 2,3 sono posti in serie:
C13 
•
C12C23
 16.7 pF
C12  C23
L’energia e` quindi:
1
1
E  C13V312  16.7 10 12  600 2  3 10 6 J
2
2
Esercizio 2
Nel circuito seguente sono presenti due resistenze R1, R2,
una sorgente di fem E, un’induttanza L e un interruttore
A. Inizialmente l’interruttore e` aperto, di modo che e`
presente una sola maglia.
R1
R2
L
E
1
2
A
Trovare
(a) la corrente circolante nella maglia,
(b) la potenza erogata dal generatore,
(c) la potenza dissipara in ciascuna resistenza.
Successivamente, all’istante t = 0, l’interruttore A viene
chiuso. Trovare
(d) le correnti circolanti nelle due maglie (indicate con 1 e 2)
nell’istante in cui A viene chiuso e
(e) per un tempo arbitrariamente grande (supponendo,
come accade, di raggiungere uno stato stazionario). In
quest’ultimo caso calcolare
(f) la potenza erogata dal generatore,
(g) la potenza dissipara in ciascuna resistenza,
(h) l’energia magnetica dell’induttanza. Si trovi infine
(i) in modo analitico l’andamento temporale delle correnti
circolanti nelle due maglie al tempo arbitrario t e se ne
schizzi il grafico.
• Soluzione dell’esercizio 2
•
Prima della chiusura dell’interruttore abbiamo un
semplice circuito con generatore e resistenza. La
seconda legge di Kirchhoff ci permette di trovare la
corrente circolante:
E  R1  R2 I
I
•
E
R1  R2
La potenza erogata dal generatore e`:
E2
PG  EI 
R1  R2
•
E quella dissipata in ciascuna resistenza:
2
 E 
 R1
P1  I 2 R1  
R

R
2 
 1
2
•
 E 
 R2
P2  I 2 R2  
 R1  R2 
Si verifica subito che la somma delle potenze dissipate
nelle resistenze uguaglia la potenza erogata dal
generatore:
P1  P2  PG
•
Alla chiusura dell’interruttore, detta EL la fem
dell’induttanza, applichiamo la seconda legge di
Kirchhoff alle due maglie indicate nella figura del testo:
E  EL  R1i1
EL  R2i2
•
Al tempo t=0 in cui avviene la chiusura, le correnti
assumono valori continui rispetto a tempi precedenti,
quindi:
i1  i2  I
•
Per tempi sufficientemente grandi, le correnti diventano
stazionarie, EL si annulla e i valori delle correnti si
trovano dalle equazioni semplificate:
E  R1i1
0  R2i2
•
Quindi:
E
i1 
R1
•
i2  0
La potenza del generatore e` in questo caso:
E2
PG  Ei1 
R1
•
La potenza dissipata nelle resistenze e`:
E2
P1  i1 R1 
R1
2
P2  0
•
L’energia magnetica immagazzinata nell’induttanza e`:
1 2 1 E
E  Li1  L 
2
2  R1 
•
2
La soluzione analitica si ottiene studiando le equazioni
ottenute dalla legge di Kirchhoff. Esplicitiamo intanto EL
in funzione della corrente che scorre nell’induttanza:
d i1  i2 
EL
 R1i1
dt
d i2  i1 
L
 R2i2
dt
•
Sommando le due equazioni si elimina la derivata:
E  R1i1  R2i2
•
Da questa equazione si ricava i2 in funzione di i1:
i2 
E  R1i1
R2
•
Che sostituita nella prima equazione di Kirchhoff, dopo
aver raccolto i termini, da`:
 R  di
E  L1  1  1  R1i1
 R2  dt
•
Questa equazione ha la stessa forma dell’equazione di
un circuito LR, sostituito L con
 R 
L1  1 
 R2 
•
L’equazione si risolve tenuto conto della condizione
iniziale i1 = I. A conti fatti si ottiene:
i1 (t ) 
•
E
R2
t  
1

e


R1  R1  R2

Con la costante di tempo
1
1 
  L  
 R1 R2 
•
Dalla relazione algebrica tra le correnti si ricava i2 :
i2 (t ) 
E
e t 
R1  R2
•
Il grafico delle correnti e` il seguente:
i
E
i1
R1
I
i2
t
E
R1  R2