Secondo gruppo

I NUMERI IRRAZIONALI
La matematica certamente non sarebbe nata, se si
fosse saputo fin da principio che in natura non esiste nè
una linea esattamente retta, nè un vero cerchio, nè un'
assoluta misura di grandezza.
Friedrich Nietzsche
Argomenti trattati
- La scoperta e lo scandalo degli irrazionali,
i Pitagorici e la loro dottrina.
- Le grandezze incommensurabili, la radice
quadrata di 2.
- Il “pi greco” e la sua storia
- Rappresentazione geometrica dei numeri
LA SCOPERTA E LO
SCANDALO DEGLI
IRRAZIONALI
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Cos’è un irrazionale?
Un numero irrazionale è in matematica
un numero reale, illimitato, non periodico,
che non può essere scritto sotto forma di
frazione. I numeri irrazionali sono dunque i
numeri la cui espressione decimale non
termina mai e non forma una sequenza
periodica.
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I PITAGORICI
Volto di Pitagora
La scoperta degli irrazionali viene
attribuita a Pitagora e ai suoi
allievi. Essi scoprirono numerose
verità matematiche e studiarono in
che modo esse si manifestavano
nel mondo. Oggi non sappiamo
molto su di loro e sulle loro
ricerche, tanto che non sappiamo
con certezza neanche quali
scoperte attribuire a loro e quali ad
altri studi Mesopotamici ed Egizi.
Tuttavia ci sono arrivate, tramite
scritti ed opere, alcune
informazioni molto interessanti,
caratteristiche ed anche curiose
sul pensiero e sullo stile di vita dei
Pitagorici
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Le regole dei pitagorici
Sappiamo che tutti gli appartenenti alla setta
dovevano attenersi a una sorta di codice non
scritto abbastanza restrittivo che ne regolava la
vita pubblica e privata:
• fare ogni sera un esame di coscienza e ogni mattina un
programma per il giorno che iniziava;
• rispettare gli dei;
• non cibarsi di carne e fave;
• non spezzare il pane o attizzare il fuoco con metallo;
• non indossare panni di lana o anelli;
• non raccogliere ciò caduto;
• rispettare la regola del silenzio;
• praticare la comunione dei beni;
• Non si era mai ammessi alla presenza del maestro
(Pitagora), che parlava ai novizi nascosto dietro a una tenda.
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L’insegnamento
L’insegnamento di Pitagora veniva appreso come una
rivelazione divina, in forma dogmatica, come attesta la
formula rituale in uso nella setta “αυτός έφη” (“egli lo ha
detto”).
La dottrina veniva
impartita attraverso
un elenco di
domande e di
risposte in forma di
sentenza.
Pitagora nella Scuola
d'Atene, di Raffaello
Sanzio
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LA DOTTRINA
La dottrina dei Pitagorici è bene espressa nel loro
motto “tutto è numero”. Essi infatti credevano che
tutto dipendesse dai numeri e dai loro rapporti, e
che i numeri fossero la chiave per scoprire tutti i
segreti dell’universo. Pensavano infatti di poter
risalire attraverso la matematica persino
all’esistenza di un essere divino superiore.
Pitagorici
celebrano l’alba,
di Fyodor
Bronnikov.
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Il numero
Dai numeri derivano tutte le cose e le relazioni tra di esse
sono esprimibili attraverso determinazioni numeriche.
Constatando come l’armonia
musicale si fondasse su rapporti
numerici, i pitagorici conclusero
che gli elementi e le proprietà
fondamentali delle cose e che
l’universo fosse, sul modello della
musica, numero e armonia.
Essi videro nella scienza del
numero la via per la conoscenza.
Il pentagramma, una figura che
rappresentava l’armonia.
La natura è ordinabile e misurabile attraverso la matematica.
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I pitagorici individuarono corrispondenze magicoreligiose tra i numeri e i fenomeni della vita:
• il numero 1 esprime l’intelligenza, immobile e identica a se stessa;
• il 2 la mobile opinione che oscilla incerta verso direzioni opposte;
• il 4 o il 9 (il quadrato del primo numero pari e di quello dispari)
rappresentano la giustizia;
• il 5 il matrimonio perché è l’unione del primo pari e del primo
dispari(dopo il numero 1);
• il 7 è il tempo critico (kairòs) dei periodi cruciali della vita umana
(parto settimino, cambio dei denti a 7 anni, pubertà a 14, maturità a
21).
• Il 10 è, infine, il numero perfetto, rappresentato da un triangolo
equilatero, su cui i pitagorici erano soliti giurare. Raffigurato come
un “numero triangolare”, esso rappresenta la mistica dècade:
formato dai primi quattro numeri contiene egualmente il pari (4
numeri pari: 2,4,6,8) i dispari (4 numeri dispari:3,5,7,9).
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L’inizio della Fine
Certamente i pitagorici avevano una
concezione rivoluzionaria della matematica,
interessante e basata su dei solidi princìpi.
Durante i loro studi i Pitagorici, per una
semplice scoperta, vennero a conoscenza di
una verità che avrebbe smentito del tutto la
loro dottrina. Decisero di tenere nascosta
questa scoperta, ma un “traditore”, tale Ippaso
da Metaponto, la divulgò …
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La crisi della Scuola
Egli rese pubblica una dimostrazione,
in seguito anche attribuitagli,
dell’irrazionalità di 2 e l’esistenza
di grandezze il cui rapporto non può
essere espresso da una frazione con
numeratore e denominatore interi.
Questa dimostrazione costituiva una
“scandalosa eccezione” alla teoria dei
Pitagorici, in grado di screditare la
loro dottrina. Alla scoperta seguirono
tentativi di smentirla, ma la
dimostrazione di Ippaso era ormai di
dominio pubblico.
Di lui non si sa quasi nulla, ma si
racconta che morì in un naufragio,
colpito dall’ira di Zeus adirato per la
sua scomoda scoperta.
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Più credibilmente ci fu un
complotto degli stessi pitagorici
che punirono Ippaso per la sua
tracotanza.
La crisi della
Scuola
Scrive su Ippaso il filosofo greco Proclo:
“I pitagorici narrano che il primo divulgatore di questa teoria
[degli irrazionali] fu vittima di un naufragio; e parimenti si
riferivano alla credenza secondo la quale tutto ciò che è
irrazionale, completamente inesprimibile e informe, ama
rimanere nascosto; e se qualche anima si rivolge ad un tale
aspetto della vita, rendendolo accessibile e manifesto, viene
trasportata nel mare delle origini, ed ivi flagellata dalle onde
senza pace”.
Fine
Il numero “Pi greco”
Il fascino di un numero trascendente
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« Esplorare π è come esplorare l'Universo … »
[David Chudnovsky]
3.141592653589793238462643383279502884197169399375
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60518707211349999998372978049951059731732816096318
...
Approssimazione del π.
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Pi Greco
Il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suo
diametro è una delle costanti universali conosciute
dall’uomo, a cui è stato dato il nome di “pi greco” o
anche costante di Archimede.
Circonferenza

Diametro
Se potessimo prendere una circonferenza di un metro di
diametro costruita con un filo, tagliarlo e stenderlo per
terra a formare un segmento, quest’ultimo avrebbe una
lunghezza pari esattamente al valore di “pi greco”, che
approssimato è 3,1415926535. Occorre riportare
un’approssimazione in quanto il “pi greco” è un numero
irrazionale, come dimostrò nel 1767 lo svizzero Lambert.
Il “pi greco” è inoltre un numero trascendente: non è il
risultato di un’equazione con coefficienti razionali.
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I primi calcoli del “pi greco”
“Fece poi un bacino di metallo fuso di dieci cubiti da un orlo all ’altro,
rotondo; misurava dieci cubiti; la sua altezza era di cinque cubiti e la
sua circonferenza di trenta cubiti”
(I Libro dei Re 7,23)
Questo brano biblico fa riferimento a un recipiente, contenente
l’acqua per le abluzioni, che si trovava nel tempio del re Salomone
(costruito nel 950 a.C. ). Di esso vengono date le misure del
diametro e della lunghezza della circonferenza. Da questi dati si
deduce che il valore biblico di “pi greco” è 3.
Quella biblica é la peggiore approssimazione del “pi greco” mai
data nella storia, ancor più se si considera che nel papiro egizio di
Rhind, che risale al 1650 a.C. circa, è già presente un valore di π
pari a 3,16.
Pagina iniziale
Calcolo di Archimede
Fu Archimede ( 287-212 a.C. ) il primo a individuare un metodo
matematico per determinare un valore approssimato di “pi greco”,
consistente, sostanzialmente, nel costruire due poligoni, uno
inscritto e l’altro circoscritto a una circonferenza di raggio 1. Il
valore della lunghezza della circonferenza doveva trovarsi tra i
valori delle lunghezze dei due poligoni. Considerando che, a quei
tempi, per effettuare questo tipo di calcoli non si disponeva di due
strumenti fondamentali, la notazione decimale e la trigonometria, il
valore ottenuto da Archimede nell’espressione:
223/71 < π < 22/7
è davvero degno di elogio, poiché l’errore commesso è nell’ordine
dei millesimi.
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La “corsa” per trovare il maggior numero possibile di
decimali di “pi greco” ha inizio già nella più remota antichità.
I risultati più significativi di questo periodo sono indicati nella
seguente tabella:
Matematico
Anno
Approssimazione
Nazionalità
Tsu Ch’ung Chi
( 430-501a.C.)
355/113
Cina
Tolomeo
( 150 circa )
3,1416
Grecia
Al-Khwarizmi
( 800 circa )
3,1416
Persia
Al-Kashi
( 1430 circa )
14 cifre
Persia
Viète
( 1540-1603 )
9 cifre
Francia
Van Roomen
( 1561-1615 )
17 cifre
Belgio
Van Ceulen
( 1600 circa )
35 cifre
Germania
Eccezion fatta per il matematico cinese Tsu Ch’ung Chi, di cui non si conosce
il metodo applicato, tutti gli altri matematici usarono metodi sostanzialmente
uguali a quello di Archimede. Si può affermare che lo studio del π non fece
registrare progressi significativi per duemila anni.
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L’origine del simbolo π
Il primo impiego di un simbolo per rappresentare il rapporto tra il
perimetro di un cerchio e il suo diametro risale al 1689, quando J.
Christoph Sturm, nell’opera “Mathesis enucleata”, usò la lettera “e”.
Il primo ad utilizzare la lettera π fu William Jones nel suo libro
“Synopsis palmariorum Matheosis”, pubblicato nel 1706.
La spiegazione di ciò era che la lettera “π” è l’iniziale di
περιμετρον, che in greco significa “perimetro”.
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Recenti approssimazioni
Nel giugno del 1949 il matematico ungherese Von Neumann ideò
un programma per il calcolo di π a cui avrebbe lavorato l’ENIAC,
uno dei primi computer della storia. La macchina calcolò 2.037 cifre
in 70 ore. Questo inaugurò l’epoca degli algoritmi computerizzati.
Oggi grazie al lavoro di più di 600 ore di Yanumasa Kanada con un
supercomputer Hitachi SR8000, si è arrivati a conoscere
1.241.100.000.000 cifre decimali. Con esse si potrebbe riempire un
libro di spessore pari a 135 volte l’altezza della torre Eiffel.
Yanumasa Kanada ed il suo computer.
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La passione per il π
Il fascino del π è tale che organizzazioni matematiche si dedichino
esclusivamente al suo studio, a svelare ed arricchire la sua mistica.
Sono state formulate frasi che criptassero la sequenza di cifre di questo numero,
ecco alcuni esempi:
“Ave o Roma o Madre gagliarda di latine virtù che tanto luminoso splendore
prodiga spargesti con la tua saggezza.”
“Che n'ebbe d'utile Archimede da ustori vetri sua somma scoperta?”
Il numero di lettere di ogni parola corrisponde ad una cifra π.
Nel 1977 Simon Plouffe entrò nel Guinness dei primati per aver
memorizzato le prime 4.096 cifre decimali di π; Eppure, solo con le prime
39 cifre decimali si potrebbe calcolare la circonferenza dell’universo
conosciuto con un errore commesso minore del diametro di un atomo di
idrogeno.
Fine
La necessità di ampliare
l’insieme Q
L’esigenza dei pitagorici di trovare la
misura del lato di un quadrato con area
doppia a quella di un quadrato dato dette
origine alla scoperta ed al successivo
studio dei numeri irrazionali.
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Misurare la diagonale
E’ evidente ed anche di
verifica sperimentale che
la diagonale del quadrato
dato sarà congruente al
lato del quadrato con
area doppia a quella del
quadrato iniziale. Così
bisognerà trovare la
misura della diagonale
per risolvere il problema
di origine.
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Se il lato del primo
quadrato misura 1,
l’area del quadrato di
partenza misura
1^2=1
L’area del nuovo
quadrato misurerà il
doppio cioè 2 unità
Per trovare la misura
del lato basterà
soltanto risolvere
d 2d ?
2
Pagina iniziale
… Ma esiste un numero razionale che al quadrato faccia
esattamente 2?
Per assurdo, supponiamo che ci sia una frazione, che
elevata al la seconda sia 2:
2
m
  2
n
N.B.: m e n numeri interi, non nulli e primi tra loro.
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Risolvendo l’equazione si avrà:
2
m2
m
2
2

2


2

m

2
n
 
2
n
n
 
m e n, essendo primi tra loro, non possono essere
entrambi pari.
Sono possibili 3 casi:
1. m è dispari, n è dispari.
2. m è dispari, n è pari.
Questi due casi sono tuttavia impossibili, in quanto, se
m è dispari, anche m 2 è dispari e sicuramente
2
disuguale da 2n che sarà pari, che n sia dispari o
che sia pari.
Pagina iniziale
3. m è pari, n è dispari.
Anche questo caso è impossibile:
2
Dato che m è pari, m è divisibile per 4 e non
sarà uguale a 2n 2 che è divisibile solo per 2
(n infatti è dispari ed n 2 sarà anche dispari)
Nessuno dei casi è possibile
CONCLUSIONE:
Non c’è nessun numero razionale che, elevato al
quadrato sia uguale a 2.
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Occorre ampliare,
quindi, l’insieme Q dei
numeri razionali.
Introduciamo
l’insieme R dei
numeri REALI, come
unione dei numeri
RAZIONALI e
IRRAZIONALI.
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Numeri Irrazionali
Sono numeri decimali illimitati non periodici:
avranno infinite cifre dopo la virgola senza che
queste si ripetano in maniera regolare.
Molti di questi numeri si possono esprimere in
maniera esatta solo con il simbolo di radice, in
questo modo:
n
m
Ogni tentativo di esprimere numeri irrazionali con
numeri decimali è un approssimazione
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Grandezze incommensurabili
Sappiamo ora che il rapporto tra diagonale
e lato è 2 , un numero irrazionale.
E’ impossibile, quindi, scrivere una delle
due grandezze come prodotto dell’altra e
di un numero razionale.
Due grandezze con questa
caratteristica, si dicono
incommensurabili.
Stima della
2
La misura della diagonale del quadrato di lato 1 è
quindi 2 e sarà uguale ad un numero x tale
2
che x =2.
Per trovare x occorre procedere per tentativi e
trovare numeri i cui quadrati approssimino il 2 per
difetto e per eccesso.
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AVVICINARSI IL PIU’ POSSIBILE
2
0
1
2
10
2
1.4
1
1.4 1.41
2
1.5
2
1.5
1.42
2
1.41
1.414
1.415
1.42
Pagina iniziale
Prima approssimazione:
Si inizi dai numeri naturali :(1) 2  2  (2) 2
Seconda approssimazione: si calcolino tutti i
quadrati dei numeri con una cifra decimale
compresi tra 1 e 2 e si controlli tra quali di questi
è presente il 2. Si avra’: (1,4) 2  2  (1,5) 2
Terza approssimazione: con un procedimento
analogo calcoliamo i quadrati dei numeri con due
cifre decimali compresi tra 1,4 e 1,5 controllando
di nuovo tra quali di essi si trova il 2.
Si avrà: (1,41) 2  2  (1,42) 2
Ulteriori approssimazioni: Questo procedimento
puo’ continuare per la terza, la quarta cifra
decimale e cosi’ via.
Pagina iniziale
Tutte le approssimazioni per difetto e tutte le
approssimazioni per eccesso generano due
insiemi di numeri A e B che chiameremo
classi.
N.B.: La misura della
2 si puo’ rappresentare sulla retta facilmente,
riportando la lunghezza della diagonale del quadrato di lato 1 con il
compasso
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Osservazioni
1. Ogni elemento di A è minore di 2
mentre ogni elemento di B è maggiore. Per
questo le due classi sono separate: nessun
elemento di A puo’ appartenere anche a B.
2. La differenza tra i due valori trovati diminuisce
ad ogni passaggio all’infinito, infatti il numero di
A ad ogni passaggio aumenta, mentre il numero
di B diminuisce: le due classi si dicono percio’
indefinitamente ravvicinate.
3. Due classi di numeri razionali con queste due
caratteristiche sono dette CLASSI CONTIGUE e
l’elemento che le separa sarà proprio 2 .
Fine
Costruzione delle radici dei numeri naturali
Come per la 2 , si possono rappresentare
graficamente con squadra e compasso tutte le
radici dei numeri naturali mediante la cosiddetta
“chiocciola delle radici” o “spirale di Teodoro”,
sfruttando il teorema di Pitagora.
Pagina iniziale
Si costruisca un triangolo rettangolo isoscele con
entrambi i cateti di misura 1 unità. L’ipotenusa
(OB) sarà uguale a 2 per il teorema di
Pitagora:
OB  ( AO)  ( BA)
2

1 1 
2
2
2
2
Pagina iniziale

Si costruiscano, dopo il primo, altri triangoli
rettangoli aventi come cateti l’ipotenusa del
triangolo precedente, ed un segmento di
misura 1, in questo modo:
B
O
A
Pagina iniziale
Sempre per il teorema di Pitagora, il secondo
triangolo (OBC) avente cateti di misura 1 e 2 ,
avrà come ipotenusa
, infatti:
E di conseguenza, il triangolo successivo (OCD), di Cateti 1
e , avrà come ipotenusa
. Proseguendo in questo modo
si potranno rappresentare graficamente tutte le radici dei
numeri naturali, costruendo la “spirale di Teodoro”.
Pagina iniziale
Un’altra rappresentazione grafica di radici quadrate di numeri
naturali, è il cosiddetto “scorpione degli irrazionali”:
Il lato di un quadrato di misura 1 sia il cateto
di un triangolo isoscele rettangolo.
Sull’ipotenusa di quest’ultimo si costruisca un
altro quadrato.
Si ripeta il processo costruendo
alternativamente un triangolo isoscele
rettangolo ed un quadrato.
Si noti che le ipotenuse di ogni triangolo e
quindi i lati di ogni quadrato misureranno per
il teorema di Pitagora nell’ordine:
2, 4, 8, 16, 32....
Ovvero la radice del numero naturale doppio
al radicando precedente.
Fine
Lavoro realizzato da: Antonio De Marzo,
Federico Fusco,
Riccardo Giorgino,
Antonio Liguori,
Federico Maiorano.
Liceo Classico “Socrate”
Anno scolastico 2008/2009