Campionamento per la revisione contabile 2

Corso di Laurea Magistrale in Economia e Professioni
Statistica per l’analisi dei dati
Prima parte: il campionamento nella
revisione contabile
Dispensa 2
Argomenti: elementi di inferenza statistica
Prof. Giorgio Tassinari
a.a. 2011-12
II -
inferenza statistica
In generale dobbiamo affrontare problemi in cui, sulla base della conoscenza
di alcuni elementi della popolazione, si vogliono trarre conclusioni su tutta la
popolazione da cui questi elementi provengono
Avendo però osservato solo alcuni elementi della popolazione
le conclusioni che possiamo trarre sull’intera popolazione sono
caratterizzate da incertezza.
Per popolazione intendiamo l’insieme
delle unità statistiche a cui vogliamo
riferire le nostre conclusioni
popolazioni concettuali (infinite)
popolazioni reali (finite)
le fatture emesse da una azienda nell’anno contabile costituiscono una popolazione finita
tutte le possibili uscite T o C in successivi lanci di una moneta sono una popolazione infinita
II -
2
Il procedimento logico-induttivo attraverso cui si arriva, sulla base di
un campione, a trarre conclusioni sull’intera popolazione è detto
inferenza statistica.
Oggetto dell’inferenza sono alcune misure di sintesi della distribuzione di
uno o più caratteri nella popolazione (medie, varianze, proporzioni,…)
popolazione
?
parametri
, 2 ,  ,  , 
stime
verifica di ipotesi
distribuzioni campionarie
teoria della probabilità
campione
statistiche
x , s 2 , p, r , b
II -
3
Data quindi una popolazione P, un criterio di campionamento C e la numerosità
campionaria n, è possibile definire l’insieme di tutti i possibili campioni
S(P,C,n).
Se indichiamo con P(c) la probabilità di ogni campione c, appartenete ad S, di
essere estratto, la coppia {S,P(c)} è detta piano di campionamento.
Consideriamo un piano di campionamento casuale semplice con ripetizione:
una volta estratte le n unità campionarie ed osservata la caratteristica di
interesse avremo la n-upla (x1,x2,…,xn), ovvero il campione osservato.
Questa n-upla è uno dei possibili elementi dello spazio campionario S.
Al variare della n-upla in S viene generata una v.c. campionaria (X1,X2,…,Xn)
II -
4
La v.c. n-upla campionaria (X1,X2,…,Xn) è una variabile n-dimensionale a
componenti i.i.d. (indipendenti ed identicamente distribuite).
Questo significa che la v.c. Xj (j=1,…n), generata dalla j-esima estrazione,
ha la stessa distribuzione di probabilità della caratteristica X nella popolazione.
(x1,x2,…,xn) -> (X1,X2,…,Xn)
Dato che la v.c. n-upla campionaria (X1,X2,…,Xn) è a componenti i.i.d.,
allora la sua funzione di probabilità congiunta è data da:
P(X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn)=P(X1=x1)P(X2=x2)…P(Xn=xn)
Questa rappresenta la probabilità di avere
osservato il campione (x1,x2,…,xn)
II -
5
Consideriamo ad esempio il numero di impiegati per ufficio in una azienda.
N. impiegati
Frequenza relativa
1
2
3
4
0.15
0.30
0.45
0.10
Totale
1.00
Se estraiamo un campione casuale di n=5 uffici, la variabile numero di impiegati potrà
assumere valori da 1 a 4, con probabilità pari alla frequenza relativa associata ad ogni singolo
valore. Ciò significa che le 5 v.c. generate dalle 5 estrazioni avranno distribuzione di probabilità
uguale fra loro ed uguale a quella della caratteristica in esame.
Ad esempio, la prima unità estratta avrà:
P(X1=1)=0.15, P(X1=2)=0.30, P(X1=3)=0.45, P(X1=4)=0.10
Supponiamo di avere estratto un campione con n=5 che ha fornito i seguenti valori:
(x1=1,x2=3, x3=2, x4=1, x5=4)
La probabilità associata al campione osservato è:
P(x1=1,x2=3, x3=2, x4=1, x5=4)=P(x1=1)P(x2=3)P(x3=2)P(x4=1)P(x5=4)=
0.15*0.45*0.30*0.15*0.10=0.000303
II -
6
Indichiamo con θ un parametro della popolazione, ovvero una sua costante
caratteristica (nel caso di popolazioni finite una media, varianza,…)
Noto θ, la distribuzione di probabilità della v.c. n-upla campionaria (X1,X2,…,Xn) ci
consente di assegnare una probabilità a qualsiasi campione osservato (x1,x2,…,xn)
[problema diretto].
In realtà quello ci interessa è il problema inverso (o induttivo).
Non conosciamo il valore di un parametro θ della popolazione, e lo si
vuole “valutare” per mezzo del campione osservato (x1,x2,…,xn).
I metodi che permettono di risolvere il problema inverso sono detti di
inferenza statistica
Ad esempio, se il parametro θ a cui siamo interessati è la media μ del numero di impiegati per
ufficio dell’azienda sotto esame, ed abbiamo osservato il campione (x1=1,x2=3, x3=2, x4=1, x5=4)
avremo:
1
x  (1  3  2  1  4)  2.2
(   2.5)
5
II -
7
Inferenza statistica
Stima dei parametri
Verifica di ipotesi
stima puntuale
stima per intervallo
Dato lo spazio parametrico Θ, ovvero l’insieme
di tutti i valori che può assumere il parametro
incognito θ, e dato lo spazio campionario S, la
stima dei parametri consente, in base al
campione osservato, di un valore (stima
puntuale) o un insieme di valori (stima per
intervallo) al valore incognito θ.
S
(x1,x2,…,xn)
La verifica di ipotesi consente di fare una
congettura, un’affermazione su θ, detta
ipotesi, e di decidere, sulla base del
campione, se essa può essere accettata.
Si tratta cioè di dividere lo spazio
campionario in due sottoinsiemi: il
sottoinsieme A dei campioni che porta ad
accettare l’ipotesi, ed il sottoinsieme
complementare R che invece porta al rifiuto
dell’ipotesi.
S
Θ
Θ
ω
R
A
S
(x1,x2,…,xn)
Θ
ω
dove ω rappresenta il sottoinsieme dello
spazio parametrico cui appartiene θ
II -
8
Statistiche campionarie e distribuzioni campionarie
Ogni processo di inferenza statistica è caratterizzato da una componente di
incertezza, i dati x sono infatti interpretati come realizzazione di un vettore
casuale X.
Se si ripete l’esperimento, nelle medesime condizioni, si ottengono dei dati x0, generalmente
diversi da x.
L’inferenza viene eseguita cercando di estrarre tutta l’informazione possibile
contenuta nel campione, per fare una valutazione dell’intera popolazione rispetto
al fenomeno studiato. Pertanto, si fa uso di opportune funzioni dei valori
campionari (somma, media aritmetica, differenza tra massimo e minimo e così
via) che permettano di effettuare questa valutazione.
Queste funzioni vengono dette statistiche campionarie.
Si definisce statistica (campionaria) ogni trasformata T = t(X1, … ,Xn), che
sintetizza opportunamente il campione casuale X = (X1,…,Xn).
Formalmente si tratta di funzioni
t ( X1 ,..., X j ,..., X n ) : S 
che associano a ogni n-pla ( x1 ,..., x j ,..., xn ) un singolo numero reale (ad esempio la
media campionaria, la varianza campionaria,…)
II -
9
Una statistica campionaria è essa stessa una variabile casuale:
o
è funzione della v.c. ( X1 ,..., X j ,..., X n )
o
assume, in generale, valori diversi a seconda del campione estratto
o
ha una propria distribuzione di probabilità che dipende dalla distribuzione della
v.c. ( X1 ,..., X j ,..., X n )
o
la probabilità che la statistica campionaria assuma un certo valore è pari alla
probabilità complessiva di tutti i campioni (dello spazio campionario) per i quali
si ottiene tale valore
T  t ( X1 ,..., X j ,..., X n ) è una variabile casuale o, in generale, un vettore casuale con una
determinata distribuzione di probabilità, chiamata distribuzione campionaria.
Una statistica campionaria, utilizzata per stimare un generico parametro θ
viene detta stimatore di θ
Ad esempio la media campionaria x è uno stimatore di 
II - 10
I parametri che si debbono stimare, o rispetto ai quali verificare ipotesi,
rappresentano delle misure di sintesi della popolazione, cioè funzioni della
distribuzione del carattere nella stessa popolazione (medie, varianze, proporzioni)
E’ abbastanza ragionevole pensare di stimare (in modo puntuale) un parametro
incognito θ applicando, ai dati campionari, la stessa sintesi che θ opera sulla
popolazione.
Questo modo di procedere viene denominato “plug in principle” e si basa
sull’idea di stimare funzioni dei dati in popolazione (parametri) applicando le
stesse funzioni ai dati campionari (es.: stimare la media di pop. con la media
campionaria, la varianza di pop. con la varianza campionaria, ecc. …)
Tuttavia, non sempre è possibile usare tale metodo e, comunque, non è detto
che tale metodo produca una “buona” stima del parametro.
Esistono altri metodi per individuare gli stimatori (dei minimi quadrati, della
massima verosimiglianza, dei momenti, ecc.)
II - 11
Definizione: si chiama stimatore del parametro θ ogni
statistica T  t ( X1 ,..., X j ,..., X n ) utilizzata per stimare θ.
Il valore t  t ( x1 ,..., x j ,..., xn ) che lo stimatore T assume in un
campione osservato si chiama stima.
In realtà viene osservato un singolo campione e, poiché non è nota la popolazione,
non è possibile dire se la stima ottenuta in base al campione osservato è “buona”
o no (così come non si poteva decidere se il campione era rappresentativo)
Al fine di decidere se lo stimatore rappresenta una proposta ragionevole oppure no
per stimare il parametro è necessario considerare la distribuzione dello stimatore
nello spazio dei campioni
II - 12
Data una popolazione di 100 documenti, in cui la percentuale di errore è del 20%,
supponiamo di estrarre un campione di 3 documenti, e di verificare quanti di essi sono errati
Campione
s
Valore assunto dalla
statistica camp. P̂
(0,0,0)
0
(0,0,1)
Pr(s)
distribuzione di probabilità di
(distribuzione campionaria)
Pr( Pˆ )
(1-θ)3
P̂
1/3
θ(1-θ)2
0
(1-θ)3
(0,1,0)
1/3
θ(1-θ)2
1/3
3xθ(1-θ)2 = 0.384
(1,0,0)
1/3
θ(1-θ)2
2/3
3xθ2(1-θ) = 0.096
(0,1,1)
2/3
θ2(1-θ)
1
θ3
(1,0,1)
2/3
θ2(1-θ)
Totale
1
(1,1,0)
2/3
θ2(1-θ)
(1,1,1)
1
= 0.512
= 0.008
θ3
Supponiamo di osservare tre documenti e di ottenere (1,0,1).

Secondo il “plug in principle” proponiamo la proporzione campionaria
ˆ  2 3  0.667
come stima di θ. p

Se invece avessimo osservato un campione (0,0,1), avremmo avuto p
ˆ  1 3  0.333

il che avrebbe portato a conclusioni diverse.
II - 13
Distribuzione della media campionaria
Se si indica con x1, x2, …, xn l’insieme dei valori rilevati in un campione di
ampiezza n, la media aritmetica campionaria si ottiene sommando le osservazioni
e dividendole per n:
n
x 
x
j
j 1
n
Se calcoliamo la media campionaria per tutti i possibili campioni dello spazio
campionario U avremo la distribuzione della media campionaria.
I parametri che ci consentono una “descrizione” di questa distribuzione sono:
- il valore atteso E ( x )
- la varianza
V (x )
II - 14
Si consideri una popolazione finita, costituita da N = 4 elementi, e avente la seguente
distribuzione
xi
f(xi)
1
2
3
4
0.25
0.25
0.25
0.25
1 2  3  4
 2.5
4
1
1
1
1
 2  1  22  32  42  (2.5) 2  1.25
4
4
4
4

Consideriamo tutti i possibili campioni di dimensione n = 2 estraibili da questa popolazione;
se il campionamento avviene con reimmissione, i campioni di ampiezza 2 sono 42 = 16
Si tratta di disposizioni con ripetizione per cui
Universo campionario
Campioni
Medie
Campioni
U N ,n  N n
Medie
(1,1)
1
(3,1)
2
(1,2)
1.5
(3,2)
2.5
(1,3)
2
(3,3)
3
(1,4)
2.5
(3,4)
3.5
(2,1)
1.5
(4,1)
2.5
(2,2)
2
(4,2)
3
(2,3)
2.5
(4,3)
3.5
(2,4)
3
(4,4)
4
Distribuzione delle medie campionarie
xi
f ( xi )
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
1/16
2/16
3/16
4/16
3/16
2/16
1/16
II - 15
Distribuzione della popolazione
Distribuzione della media campionaria
la distribuzione della media
campionaria ha una forma a
campana, simile a una
distribuzione normale,
anche se la popolazione ha
la distribuzione uniforme
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
1
1.5
2
2.5
media della distribuzione della media campionaria:
3
3.5
E(x )  1
4
1
2
3
4
3
1
 1.5  2  2.5  3  4  2.5
16
16
16
16
16
16
varianza della distribuzione della media campionaria:
V (x )  1
1
2
3
4
3
2
1
 (1.5) 2  (2) 2  (2.5) 2  (3) 2  (3.5) 2  (4) 2  (2.5) 2  0.625
16
16
16
16
16
16
16
II - 16
Il valore atteso della distribuzione della media campionaria è, indipendentemente
dalla forma distributiva di X, equivalente al valore atteso μ della popolazione:
 n
  xj
j 1
E( X )  E 
 n








n
 E(x )
j
j 1

n
n

n
La varianza non è uguale alla varianza della popolazione, tuttavia vale la relazione
V (X ) 
2
n

1.25
 0.625
2
infatti
 n
  xj
j 1
V (X )  V 
 n








n
V ( x )
j
j 1
n
n 2  2
 2 
n
n
II - 17
Se il campionamento, nell’esempio precedente, viene fatto senza reimmissione, i
campioni estraibili da questa popolazione finita costituita da 4 elementi sono soltanto 6,
Si tratta di combinazioni semplici per cui
Universo campionario
Campioni
U N ,n 
Medie
(1,2)
1.5
(1,3)
2
(1,4)
2.5
(2,3)
2.5
(2,4)
3
(3,4)
3.5
N
N!
 
n !( N  n)!  n 
Distribuzione delle medie campionarie
xi
f ( xi )
1.5
2
2.5
3
3.5
1/6
1/6
2/6
1/6
1/6
1
1
2
1
1
E ( X )  1.5  2  2.5  3  3.5  2.5
6
6
6
6
6
V ( x )  (1.5) 2
1
1
2
1
1
5
 (2) 2  (2.5) 2  (3) 2  (3.5) 2  (2.5) 2 
 0.417
6
6
6
6
6
12
II - 18
In generale, se estraiamo un campione casuale di ampiezza n da una popolazione
con media μ e varianza σ2, allora la distribuzione della media campionaria ha
media:
E( X )  
Per campioni estratti da popolazioni infinite o se il campionamento è effettuato con
reimmissione, la varianza della media campionaria è:
V (X ) 
2
n
Per campioni estratti senza reimmissione da popolazione finita, la varianza della
media campionaria è:
2
V (X ) 
Lo scarto quadratico medio
S(X ) 
 N n
n N 1

n
è detto errore standard della media, e rappresenta una misura della variabilità delle
medie dei campioni di ampiezza n estratti da una popolazione con varianza σ2
N n
N 1
viene detto fattore correttivo per la popolazione finita, e tende ad 1 più la
dimensione del campione è piccola rispetto alla dimensione della popolazione
II - 19
Per quanto riguarda la forma funzionale della distribuzione si può inoltre affermare
che se la popolazione segue un modello normale (con media μ e varianza σ2)
anche la distribuzione campionaria della media campionaria segue a sua volta una
variabile aleatoria normale con la media e varianza indicate in precedenza
Più in generale, data una popolazione con media μ e varianza σ2, se
da essa si estraggono campioni di dimensione n, allora la variabile:
Z
X 

n
è una v.c. la cui distribuzione tende ad una distribuzione normale
standardizzata per n->∞ (Teorema del limite centrale)
Qualunque sia la distribuzione della popolazione, si può quindi affermare
che la distribuzione della media campionaria è approssimativamente
normale con media μ e varianza σ2/√n, per n sufficientemente grande.
II - 20
Schema riassuntivo distribuzione della media campionaria
1. Campionamento da una popolazione distribuita normalmente con media μ e
varianza σ2
E( X )  
V (X ) 
2
n
la distribuzione della media campionaria è normale
2. Campionamento da una popolazione non distribuita normalmente con media μ
e varianza σ2
E( X )  
V (X ) 
V (X ) 
2
n
se
n
 0.05
N
2 N n
n N 1
la distribuzione della media campionaria è approssimativamente normale,
per n abbastanza grande
II - 21
Distribuzione della media campionaria (varianza σ2 incognita)
Quanto visto in precedenza richiede la conoscenza della varianza σ2 della
popolazione.
Nel caso che il numero n degli elementi del campione sia grande (grande
campione), se σ2 non è nota, si sostituisce a σ2 la varianza s2 del campione.
Se invece l’ampiezza n del campione è piccola (piccolo campione), si hanno dei
risultati solo se il campione proviene da una popolazione normale.
Sia data una popolazione normale avente media μ, e da essa si
estraggano campioni casuali di ampiezza n; indicando con X la
media campionaria e con S lo scarto quadratico medio campionario,
la variabile:
X 
T
S
n
è una variabile aleatoria avente la distribuzione t di Student con
grado di libertà ν = n − 1
II - 22
Proprietà principali della t di Student:
•
è simmetrica rispetto all’asse x = 0
•
la densità ha una forma a campana simile a quella della normale ma le sue code
sono più “pesanti”;
•
è caratterizzata dai gradi di libertà (g) , definiti (nel contesto che consideriamo)
come dimensione del campione (n) meno il numero delle ipotesi che si avanzano
(nel caso della distribuzione della media, una sola, quindi g = n -1);
•
al crescere di g la t assomiglia sempre più ad una Normale e, per g≥30 ne è
praticamente indistinguibile.
E (t )  0
n
n2
N (0,1)
V (t ) 
t
n 
Esistono tavole statistiche anche per la distribuzione t di Student.
In queste tavole si hanno i valori di h corrispondenti all’espressione:
Pr(t ≥ h) = α
II - 23
Distribuzione
t di Student
Ad esempio:
gdl=9 α=0.05:
t0.05=1.833
Se gdl=9, trovare il valore di tα tale
che la somma dell’area a destra di tα
e dell’area a sinistra di −tα vale α =
0.05
Area totale delle due code = α = 0.05
area a destra di tα (una coda) =
α/2 = 0.025.
tα = t0.025 = 2.262
II - 24
In sintesi, la distribuzione della media campionaria potrà essere:
Grandi campioni
σ2
Nota
Popolazione
distribuita secondo
una N(μ,σ2)
X 

N (0,1)
n
Non
nota
X   n 
N (0,1)
S
n
Piccoli campioni
Distribuzione non
nota o diversa dalla
Normale
X   n 

N (0,1)
n
X   n 
N (0,1)
S
n
Popolazione
distribuita secondo
una N(μ,σ2)
X 

N (0,1)
n
X   n
tn 1
S
n
Distribuzione non
nota o diversa dalla
Normale
La distribuzione
della media
campionaria dipende
distribuzione di X
nella popolazione
La distribuzione
della media
campionaria dipende
distribuzione di X
nella popolazione
II - 25
Distribuzione campionaria del numero di successi e della proporzione
Se un campione casuale di n elementi è estratto da una popolazione suddivisibile in
due classi mutuamente escludentisi (E e Ē) caratterizzata dalla probabilità p’ del
verificarsi dell’evento E, allora la distribuzione campionaria del numero di successi
è descritta dalla
 distribuzione binomiale
nel caso di campionamento con
ripetizione
 distribuzione ipergeometrica
nel caso di campionamento senza
ripetizione
La distribuzione campionaria del numero di successi X, nel caso di estrazione con
ripetizione, essendo binomiale, avrà valore atteso e varianza pari a:
 n

E ( X )  E   x j   np '
 j 1 
 n
 n
V ( X )  V   x j   V ( x j )  np '(1  p ')
 j 1  j 1
mentre nel caso di campionamento senza ripetizione avremo la stessa media, e
varianza:
 N n
V ( X )  np '(1  p ') 

 N 1 
II - 26
Se invece consideriamo la proporzione di successi (eventi E) in un campione di
n elementi, avremo il parametri campionario X/n, direttamente legato alla v.c. X
numero di successi.
La distribuzione campionaria di P=X/n sarà descritta da:
 distribuzione binomiale
con:
np '
 p'
n
np '(1  p ') p '(1  p ')
V ( P) 

n2
n
E ( P) 
 distribuzione ipergeometrica
con:
nel caso di campionamento con
ripetizione
nel caso di campionamento senza
ripetizione
E ( P)  p '
V ( P) 
p '(1  p ')  N  n 


n
 N 1 
II - 27
In base al teorema del limite centrale avremo inoltre che:
La variabile X numero di successi tende, al
crescere di n, alla distribuzione normale
n 
X
N (np ', np '(1  p '))
per cui la probabilità di avere valori di X inferiori ad un certo x sarà:

x  np ' 
P( X  x)  P  Z 


np
'(1

p
')


La variabile P proporzione di successi tende,
al crescere di n, alla distribuzione normale
n 
P
N ( p ',
p '(1  p ')
)
n
per cui la probabilità di avere valori di P inferiori ad un certo p sarà:


P( P  p)  P  Z 




p  p' 

p '(1  p ') 

n

II - 28
Stima puntuale
Proprietà degli stimatori
Uno stimatore T  t ( X1 ,..., X j ,..., X n ) è uno strumento che consente di ottenere
delle stime, ovvero dei valori che possano “validamente” approssimare il valore
di un parametro θ della popolazione.
In genere è possibile calcolare più di uno stimatore per uno stesso campione,
ognuno dei quali fornisce potenziali stime per il parametro θ e la scelta dello
stimatore è basata sull’analisi della sua distribuzione di probabilità e di alcune
proprietà auspicabili.




correttezza
efficienza
consistenza
sufficienza
II - 29
Correttezza
T è uno stimatore corretto di θ se il suo valore atteso è uguale al
valore del parametro incognito:
E(T) = θ
Siccome non siamo in grado di sapere se la stima ottenuta in base ad un
singolo campione osservato sia buona, si richiede che lo stimatore che la
produce sia corretto, ovvero che la stima sia almeno basata su una regola
buona “in media”.
La distorsione di uno stimatore T è definita da: B(T ) = E (T ) - θ
II - 30
Efficienza
Accanto al valore atteso di uno stimatore è utile considerare anche la sua
varianza.
V (T ) = E [T - E(T )]2 = E[T -θ]2
La varianza di uno stimatore fornisce una misura sintetica di quanto i valori
della stima che osserviamo nei singoli campioni “distano” dal valore vero del
parametro che costituisce la loro media.
Dati due stimatori corretti per il parametro θ:
f ( X1 ,..., X i ,..., X n )
g ( X1,..., X i ,..., X n )
Diremo che f è più efficiente di g se:
V  f ( X1 ,..., X i ,..., X n )  V  g ( X1,..., X i ,..., X n )
II - 31
La correttezza di uno stimatore è importante perché indica che lo stimatore T
ha una distribuzione centrata sul parametro θ.
D’altra parte, il valore atteso di T è tanto più rappresentativo quanto più la sua
varianza è piccola.
Tuttavia, poiché la varianza di T misura la dispersione attorno al suo valore
atteso, se E(T ) ≠ θ (stimatore distorto) è necessario usare un diverso criterio
di valutazione della variabilità:
MSE(T) = E(T–θ)2 = Var(T) + B2(T)
detto errore quadratico medio (mean square error)
Per stimatori corretti l’MSE coincide con la varianza
Diremo che f è più efficiente di g se:
MSE ( g )
1
MSE ( f )
Uno stimatore T si dice consistente (in senso forte) per
il parametro θ se il suo errore quadratico medio tende
a zero al crescere di n
lim MSE (T )  0
n 
II - 32
Stima della media della popolazione
Si consideri una popolazione X, con media μ e varianza σ2.
n
Lo stimatore media campionaria
X
x
j
è stimatore corretto, infatti:
j 1
n
n
n
n


1
1

1
E( X )  E  n  x j   n  E( x j )n    n1n  
j 1
j 1
j 1


 n x
j

j 1
La varianza della media campionaria è: V X  V 
 n


 
pertanto è uno stimatore consistente, poiché:
 n
V (x j )
 
n 2  2
j 1
 2 

2
n
n
n



lim MSE ( X )  lim
n 
n 
2
n
0
Se la popolazione è distribuita normalmente con N(μ,σ2) allora anche la media
campionaria si distribuisce come una Normale
 2 
X N  , 
n 

II - 33
Stima della proporzione della popolazione
Si consideri una popolazione X distribuita come una Bernoulli con parametro π.
n
La proporzione campionaria
no di [ x j  1]
ˆ
P

n
x
j
j 1
n
è stimatore corretto della proporzione π, infatti:
La varianza della proporzione campionaria è:
pertanto è uno stimatore consistente, poiché:
E ( Pˆ )  
 (1   )
V ( Pˆ ) 
n
 (1   )
lim MSE ( Pˆ )  lim
0
n 
n 
n
II - 34
Stima della varianza della popolazione
Si consideri una popolazione X, con media μ e varianza σ2.
n
2
Se utilizziamo lo stimatore “naturale” della varianza campionaria: s 
n1 2
il suo valore atteso è: E(s2 ) 
  2
n
 x
j
j 1
 x
2
n
 n 1  2 1 2
B(V )  E (V )   2  
 1   
n
 n

Non si tratta di un difetto grave, la distorsione infatti decresce
rapidamente al crescere di n, tuttavia spesso si utilizza un’apposito
stimatore
La distorsione dipende essenzialmente dal valore di n:
Si definisce varianza campionaria corretta lo stimatore:
S2 è uno stimatore corretto infatti:
e consistente per σ2:
1 n
2
S 
x

x


j

n  1 j 1
2
E (S 2 )   2
lim MSE (S 2 )  0
n
II - 35
Stima intervallare
Per mezzo della stima puntuale, sulla base di un campione
osservato s S, si ottiene una stima t del parametro θ,
ossia un singolo valore, che, tuttavia, può differire in modo
rilevante da θ stesso.
Per rappresentare l’incertezza legata alla stima, è opportuno
accompagnare la stima puntuale con una misura di variabilità
dello stimatore nello spazio dei campioni.
stima intervallare
La stima intervallare consiste nel calcolare, sulla base dei dati di un
campione, un intervallo di valori [c1,c2 ] per cui sia possibile dire che il
valore del parametro cada al suo interno, con un livello di “fiducia (o
confidenza)” pari a 1-α (assegnato).
II - 36
In generale sia X una v.c. con f(x,θ) dipendente da θ ignoto,
considerato un campione di numerosità n che fornisce i valori
(X1,…,Xj,…,Xn), se C1 e C2 sono due v.c. funzione di (X1,…,Xj,…,Xn) ,
tali che W=C2-C1 è indipendente da θ e che: P[C1≤θ≤C2]=1-α,
esse determinano un intervallo di confidenza del parametro θ avente
coefficiente di confidenza pari a 1-α.
Se per tale intervallo si afferma che al suo interno è compreso l'ignoto
parametro θ, tale affermazione gode di un grado di fiducia pari ad 1-α.
Per costruire un intervallo di confidenza fissiamo una regola [C1(X1,…Xn); C2(X1,…,Xn)]
in base a cui calcoleremo l'intervallo, in funzione del campione (X1,…,Xn).
Un volta estratto un campione (x1,…, xn), si calcolano gli estremi dell'intervallo come
[C1(x1,…,xn) ;C2(x1,…,xn)].
•
A priori possiamo dire che la probabilità di estrarre un campione tale da fornire
un intervallo che includa θ è (1-α).
•
A posteriori, confidiamo di aver estratto uno dei campioni che forniscono un
intervallo che include θ.
II - 37
Per costruire IC un metodo è quello della quantità pivotale o ausiliaria.
Una quantità pivot è una funzione dei dati campionari e del parametro
incognito θ da stimare, la cui distribuzione nello spazio dei campioni S è
completamente nota e non dipende da nessun altro parametro incognito.
Se ad esempio vogliamo stimare la media μ in popolazione di un carattere X, tale che
X~N(μ,σ2)
Sappiamo che:
Z
X 
 /n
2
con σ noto
N (0,1)
Z è una quantità pivot in quanto:
• è funzione dei dati campionari (attraverso la media campionaria) e del parametro
incognito μ,
• è di distribuzione nota nello spazio dei campioni (è N(0,1))
• non dipende da nessun altro parametro incognito (abbiamo supposto σ noto)
II - 38
Inversione di una quantità pivot
Essendo nota la distribuzione della QP, allora per ogni α fissato, 0< α <1,
esisteranno due valori q1 e q2 dipendenti da α, tali che
Pr q1  QP  q2   1  
Nel caso precedente della media, fissato un livello di probabilità 1-α , è possibile
determinare due valori z2 e z1 tali che:


X 
Pr  z1 
 z2   1  

n




X 
Pr   z /2 
 z /2   1  
 n



 

Pr  X  z /2
   X  z /2
  1
n
n

II - 39
Abbiamo quindi uno stimatore intervallare definito dall’intervallo:
C1  X  z /2

n

C2  X  z /2
n
che ha probabilità 1-α di contenere il valore incognito μ.
Ad esempio se α=0.05

 

P  X  1.96
   X  1.96
  0.95
n
n


La stima intervallare, calcolata sul campione, è invece definita da:
c1  x  z /2

n
c2  x  z /2

n
e consente di affermare che questo intervallo conterrà μ con un livello di “fiducia”
(o “confidenza”) pari a 1-α (non è più corretto parlare di “probabilità…)
II - 40
Si parla di “confidenza” e non di probabilità perché inizialmente si considera:


X 
Pr   z /2 
 z /2   1  
 n



 

Pr    z /2
 X    z /2
  1 
n
n

questo consente di affermare che la probabilità di estrarre un campione la cui
media sia distante da μ meno di zα/2σ/√n è pari a 0,95.
Risolvendo la disequazione rispetto a μ, si ottiene:

 

Pr  X  z /2
   X  z /2
  1
n
n

Il cui significato è: se consideriamo per ciascun campione dello spazio campionario
S l’intervallo di estremi X  z /2 ( / n ) allora la frazione 1-α di tutti gli intervalli
associati ai campioni di S hanno estremi tali da contenere il valore incognito μ.
II - 41
0.014
0.012
0.01
0.008
0.006
0.004
0.002
0
0
50
100
150
Estratto quindi un campione
effettivo si potrà calcolare il
parametro campionario e
determinare gli estremi
dell’intervallo. Tuttavia non si può
dire che con probabilità 1-α (ad
esempio del 95%) il parametro
incognito è compreso in questo
intervallo, in quanto

 

Pr  X  z /2
   X  z /2
  1
n
n

esprime una proprietà che
riguarda lo spazio campionario e
non il singolo campione osservato.
Ma, dato che a priori la probabilità di ottenere un campione a cui è associato un
intervallo che contiene il parametro incognito è del 95%, si ha “fiducia” che
l’intervallo effettivamente determinato sia un intervallo valido.
II - 42
La lunghezza di un intervallo di confidenza con grado di fiducia (1−α)⋅100% è
2z /2

n
e dipende quindi da tre fattori:
1. n: al crescere dell’ampiezza del campione, la lunghezza dell’intervallo diminuisce,
quindi la stima è più precisa;
2. α: al crescere del grado di fiducia richiesto, la lunghezza dell’intervallo aumenta,
quindi la stima è meno precisa;
3. σ: al crescere della deviazione standard, che riflette la variabilità del campione, la
lunghezza dell’intervallo aumenta.
II - 43
Stima intervallare di una media
◊ Varianza della popolazione nota
Dato un campione di dimensione n estratto da una
popolazione con media μ e varianza σ², avremo che,
per il teorema del limite centrale:


x




P  z / 2 
 z / 2   1  



n


dove  z /2 è l'ascissa che lascia α/2% dei casi della normale standardizzata alla
sua sinistra, mentre z/ 2 è l'ascissa che lascia la medesima percentuale di casi
alla sua destra.
Per mezzo di una semplice trasformazione matematica avremo che la formula
precedente diviene:


 
P  x  z / 2
   x  z / 2
  1
n
n


Potremo cioè dire che la media della popolazione è compresa nell'intervallo:

 x  z /2


 x  z /2


n

n
,x  z /2
 

n
nel caso di campionamento con ripetizione
N-n

, x  z /2
N-1
n
N-n 

N-1 
nel caso di campionamento senza ripetizione
con un grado di affidabilità dell'1-α%.
II - 44
◊ Varianza della popolazione ignota
In questo caso, se la numerosità del campione è sufficientemente grande (n≥30),
i limiti dell'intervallo potranno essere calcolati esattamente con le stesse modalità
del caso in cui la varianza della popolazione sia nota, utilizzando come stima della
varianza della popolazione la varianza calcolata sui dati campionari che
indicheremo con s²:
n
s2 
 (x
i
 x)
i 1
n 1
n
2
per cui
s
 (x
i
 x )2
i 1
n 1
avremo quindi gli intervalli:
s
s 

x

z
,x

z

/2

/2


n
n


s
x

z

 /2
n

nel caso di campionamento con ripetizione
N-n
s
, x  z /2
N-1
n
N-n 

N-1 
nel caso di campionamento senza ripetizione
II - 45
Se invece la numerosità del campione è inferiore a 30 unità non potremo più
assumere la distribuzione normale come distribuzione limite; in particolare
avremo che:
x 
s
n
si distribuisce secondo una t-Student
Gli intervalli saranno perciò:
s
s 

x

t
,x

t
 /2
 /2


n
n


s
 x  t /2
n

nel caso di campionamento con ripetizione
N-n
s
, x  t /2
N-1
n
N-n 

N-1 
nel caso di campionamento senza ripetizione
II - 46
Stima intervallare di una proporzione
Abbiamo già avuto modo di notare come il parametro proporzione possa essere
considerato come una media P  X
n
Pertanto potremo costruire intervalli di confidenza seguendo una formula del
tutto analoga a quella della media. Quindi se π è la proporzione della popolazione
da stimare e p è la proporzione calcolata sulla base delle osservazioni
campionarie, avremo gli intervalli per π:

 p  z /2

p(1  p)
, p  z /2
n
p(1  p) 

n


 p  z /2

p(1  p) N  n
, p  z /2
n
N 1
nel caso di campionamento con ripetizione
p (1  p ) N  n 

n
N  1 
nel caso di campionamento senza ripetizione
L'approssimazione che si compie nel sostituire π con p per il calcolo della
varianza è pari a quella che si ha quando si sostituisce σ con s, ed introduce una
fonte di errore trascurabile per campioni sufficientemente grandi.
II - 47
Normalmente si scelgono valori di probabilità: α=0.10, α=0.05, α=0.02,
α=0.01 (i più utilizzati sono α=0.05 e α=0.01).
Sulla base della tavola della normale
standardizzata è possibile ricavare i
valori di zα/2 per i valori di α sopra
indicati
α=0.10
α=0.05
α=0.02
α=0.01
»
»
»
»
z0.050=1.64
z0.025=1.96
z0.010=2.33
z0.005=2.58
II - 48
Esempio 1
Si vuole stimare l’importo medio μ delle 2000 fatture emesse da un’azienda in un certo
esercizio e si costruisce un campione di 100 fatture. L’importo medio risulta pari a 450 euro,
e lo scarto campionario corretto è pari a 65 euro. L’intervallo di stima al 95% (cioè con una
probabilità di errore pari a 0,05) sarà dato da:
caso di campionamento con ripetizione
s
s  
65
65 

,x  z /2
, 450  1.96
 x  z /2
   450  1.96
   450  12.74, 450  12.74    437.26, 462.74 
n
n 
100
100 

caso di campionamento senza ripetizione


 x  z /2
n

N-n

, x  z /2
N-1
n
N-n  
65
   450  1.96
N-1  
100
2000  100
65
, 450  1.96
2000  1
100
2000  100 

2000  1 
  450 1.96  6.5  0.9749, 450  1.96  6.5  0.9749    450 12.42, 450  12.42   437.58, 462.42
Se ad esempio il campione fosse n=50, sempre
con (1-α)%=95%, avremo rispettivamente:
Se invece il campione fosse sempre n=100, ma
con (1-α)%=99%, avremo rispettivamente:
(431.98, 468.02)
campionamento con ripetizione
(433.23, 466.77)
(432.21, 467.79)
campionamento senza ripetizione
(433.65, 466.35)
II - 49
Se invece il campione fosse di numerosità n=25 avremo:
Tavola della distribuzione t di Student
s
s 

,x  t /2
 x  t /2

n
n


65
65 

450

2.064
,
450

2.064


25
25 

 450  26.8, 450  26.8  
 423.2, 476.8 

s
 x  t /2
n

N-n
s
, x  t /2
N-1
n
N-n 
=
N-1 

65 2000  25
65
, 450  2.064
 450  2.064
25 2000  1
25

 450  26.67, 450  26.67  
2000  25 

2000  1 
 423.3, 476.7 
II - 50
Esempio 2
Date 5000 fatture emesse da un’azienda in un certo esercizio, si vuole stimare la
proporzione π delle fatture contenenti errori formali e si costruisce un campione di 150
fatture, delle quali 9 contengono errori formali. Si vuole costruire un intervallo al 95%
per la proporzione π.
La proporzione campionaria è:
p
9
 0.06
150
caso di campionamento con ripetizione

p(1  p)
p(1  p)  
0.06(1  0.06)
0.06(1  0.06) 
p

z
,
p

z

0.06

1.96
,
0.06

1.96

 
 
 /2
 /2
n
n
150
150

 

 0.06  1.96  0.0194, 0.06  1.96  0.0194    0.06  0.038, 0.06  0.038   0.022, 0.098
caso di campionamento senza ripetizione

 p  z /2

p (1  p ) N  n
, p  z /2
n
N 1
p (1  p ) N  n 

n
N  1 

0.06(1  0.06) 5000  150
0.06(1  0.06) 5000  150 
, 0.06  1.96
 0.06  1.96
 
150
5000

1
150
5000

1


 0.06  1.96  0.0191, 0.06  1.96  0.0191   0.06  0.037, 0.06  0.037    0.023, 0.097 
II - 51
Esempio 3
Consideriamo nuovamente di volere stimare l’importo medio μ delle 2000 fatture emesse da
un’azienda in un certo esercizio, e di ipotizzare che lo scarto quadratico medio sia pari a 65
euro. Quale dovrà essere la numerosità del campione affinché possiamo essere “confidenti” al
95% che l’errore compiuto nella stima non superi i 10 euro (ipotizzando un campionamento
con ripetizione)?

 

x

z
,x

z

/2

/2


n
n

1.96
65
 10 
n
n  1.96
z /2

n

65
 n  (1.96  6.5)2  n  162.31
10
Il campione dovrà quindi essere n=163
II - 52
Se dall’osservazione del campione di 163 fatture si ottenesse una media per fattura di 450
euro, avremo il seguente intervallo di confidenza al 95%:
s
s  
65
65 

x

z
,x

z

450

1.96
,
450

1.96

/2

/2

 
   450  9.98, 450  9.98    440.02, 459.98
n
n 
163
163 

II - 53
Verifica delle ipotesi
Per ipotesi statistica intendiamo un'assunzione riguardante generalmente un
parametro o una distribuzione di una popolazione.
La verifica o controllo di ipotesi consiste nello stabilire se l'assunzione fatta
si possa considerare esatta o meno, sulla base delle osservazioni campionarie.
Un test per provare un'ipotesi è un criterio per accettare o respingere l'ipotesi
fatta sulla popolazione in base alle risultanze di un campione estratto da
questa popolazione.
L'ipotesi che viene formulata sul valore che un parametro può assumere, e che
si vuole provare per mezzo del test, è detta ipotesi nulla H0, mentre viene
indicata con H1 l'ipotesi alternativa, che è l'ipotesi sul valore che lo stesso
parametro può assumere in alternativa a quello definito nell'ipotesi nulla.
II - 54
Le ipotesi possono essere:
semplici:
se definiscono un punto nello spazio dei parametri
H0: θ=a H1: θ =b
composte:
se definiscono delle regioni H0: θ=a H1: θ≠a;
H0: θ=a H1: θ>a
H0 : θ = a
H1 : θ = b
Ipotesi semplice
H1 : θ < a
Ipotesi composta monodirezionale
H1 : θ > a
Ipotesi composta monodirezionale
H1 : θ ≠ a
Ipotesi composta bidirezionale
II - 55
Nella verifica di ipotesi si segue la seguente procedura:
1. definizione dell'ipotesi nulla
2. assunzione della distribuzione del parametro campionario
3. decisione del grado di rischio che si è disposti a correre
4. decisione sulla numerosità del campione
5. definizione, in base ai punti precedenti, della regione critica o di rifiuto R
6. estrazione del campione, calcolo del parametro, controllo con la regione
critica, accettazione o rifiuto dell'ipotesi nulla.
Nel compiere questa decisione si possono commettere due tipi di errore:
1. rifiutare l'ipotesi nulla H0 quando in realtà è vera (errore di I tipo)
2. accettare l'ipotesi nulla H0 quando in realtà è falsa (errore di II tipo)
II - 56
La possibilità di commettere uno di questi errori dipende dal fatto che la prova
di ipotesi, essendo di carattere inferenziale, viene effettuata in condizioni di
informazione limitata, cioè per mezzo di un campione. Questo significa che,
sulla base delle informazioni prodotte da un sottoinsieme della popolazione,
non potremo mai essere sicuri che l'affermazione fatta nei riguardi della
popolazione sia corretta (la certezza l'avremmo solamente osservando l'intera
popolazione).
Ai due tipi di errore sono associate le probabilità e α e β.
In particolare se S  f ( X1 , X2 ,....., Xn ) è la funzione test, definiamo
1.   P S  R /   0 la probabilità di rifiutare H0 quando in realtà è vera
(probabilità errore di I tipo)
2.   P S  A /   1 la probabilità che la statistica S cada nella regione
di accettazione A, quando l'ipotesi nulla è falsa.
Il valore di probabilità α è detto livello di significatività, e corrisponde alla
dimensione della regione critica.
II - 57
Riassumendo potremo avere:
ipotesi
decisioni
H0 vera
H0 falsa
respingere H0
errore I tipo prob=α
decisione corretta
prob=1-β
accettare H0
decisione corretta
prob=1-α
errore II tipo prob=β
Esiste una relazione tra α e β, tale per cui se diminuiamo la probabilità di avere
un errore di I specie α, aumenterà la probabilità di commettere un errore di
seconda specie β.
II - 58
Se consideriamo ad esempio le ipotesi:
H0 : X  67
H1 : X  68
avremo un'area in cui saremo portati ad accettare H0 , (intervallo A,B). Entro tale intervallo
sarà però possibile commettere un errore di II specie.
E' chiaro se vogliamo ridurre la probabilità β, dovremo aumentare α.
II - 59
La procedura di verifica di ipotesi può quindi essere sintetizzata come segue, nel
caso in cui siano prefissati α ed n:
1. definizione dell'ipotesi nulla
2. assunzione della distribuzione del parametro campionario
3. determinazione della numerosità campionaria n
4.
5.
6.
7.
definizione di α: livello di significatività
identificazione della regione critica
estrazione del campione, calcolo del parametro,
controllo con la regione critica, e quindi accettazione o rifiuto dell'ipotesi nulla
8. controllo di β (detta curva operativa caratteristica OC) o di 1- β, detta
funzione di potenza, in relazione a prefissate ipotesi alternative
 se β o 1- β sono adeguate alle necessità proprie dell'analisi, confermare la
decisione
 se β o 1- β sono inadeguate modificare α o n e ripetere il test.
La curva operativa caratteristica è un grafico indicante la probabilità di errore di II tipo sotto
diverse ipotesi alternative. Questi grafici forniscono indicazioni riguardo a quanto un test
permette di minimizzare l'errore di II specie; indicano in altri termini la potenza di un test
nell'evitare di prendere decisioni errate.
II - 60
Se invece di fissare a priori i valori di α e n, si vuole mantenere controllata la
probabilità di errore di II tipo, potremo sviluppare un test in cui α e β sono dati,
ed, in base a questi, si determina la numerosità n del campione da osservare, tale
da soddisfare i livelli di probabilità richiesti. In questo caso il processo di verifica
di ipotesi sarà:
1. definizione dell'ipotesi nulla
2. assunzione della distribuzione del parametro campionario
3. definizione di α: livello di significatività, e di β
4. calcolo della numerosità n del campione
5. identificazione della regione critica
6. estrazione del campione, calcolo del parametro,
7. controllo con la regione critica, e quindi accettazione o rifiuto dell'ipotesi
nulla
II - 61
Controllo di ipotesi sulla media di una popolazione
σ
nota
Test bilaterale
1. stabilire le ipotesi H0 :   a;
H1 :   a
2. stabilire il parametro campionario da utilizzare:
3. decidere il livello di significatività α
z
x

n
4. stabilire la numerosità campionaria n
5. stabilire i limiti critici di z in base ad α ed n
6. estrarre il campione e calcolare il valore di z per il campione e controllare
la sua posizione nei confronti dei valori dei limiti critici
7. decidere se accettare o rifiutare l'ipotesi nulla
8. individuare, se necessario, la curva operativa caratteristica
II - 62
Data la produzione di una macchina che produce componenti meccanici per i quali è previsto
un diametro di 67mm, con una deviazione standard di 3mm, decidere, sulla base di un
campione di 25 unità se la produzione rispetta le specifiche, con un livello di significatività
del 5%.
H0 :   67
H1 :   67
per =5%=0.05 avremo che i valori limite di z saranno 1.96; graficamente il test sarà:
Supponiamo di estrarre il campione e di ottenere x  68
Calcoliamo
z
68 - 67
1

 1.67
3
0.6
25
Il valore di z ricade all'interno dell'intervallo fissato come regione di accettazione:
si è quindi portati ad accettare l'ipotesi nulla.
II - 63
Vediamo di determinare la curva operativa caratteristica.
Si ipotizza che alcune ipotesi alternative siano vere;
consideriamo ad esempio vera l'ipotesi μ=68; β sarà la probabilità di avere campioni con
media che ricade nell'intervallo di accettazione costruito con μ=67, quando in realtà μ=68.
I limiti di accettazione per μ=67 saranno:
  z / 2
65. 82

3
 67  1. 96

68. 18
n
25
E' sufficiente calcolare i valori di z per i due limiti: z1 
65. 82  68
 3. 63
3
25
z2 
68. 18  68
 0. 30
3
25
e determinare la probabilità di avere
valori campionari entro questi due limiti,
se è vero che μ=68:
Utilizzando la tavola della normale
standardizzata avremo β=0.6172.
II - 64
Ripetendo questo calcolo per diverse alternative avremo:
z1
z2
β
1- β
68.5
-4.47
-0.53
0.29
0.71
68.0
-3.63
0.30
0.62
0.38
67.5
-2.80
1.13
0.87
0.13
67.0
-1.96
1.96
0.95
0.05
66.5
-1.13
2.80
0.87
0.13
66.0
-0.30
3.63
0.62
0.38
65.5
0.53
4.47
0.29
0.71
μ
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
68.5
Funzione di potenza
probabilità
probabilità
Curva operativa caratteristica
68
67.5
67
66.5
66
65.5
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
68.5
68
67.5
67
66.5
66
II - 65
65.5
Per diminuire β, fissato a, si dovrà modificare la numerosità campionaria n; quindi per avere
valori di 1- β più bassi dovremo aumentare n. Se consideriamo ad esempio n=100 avremo che
i limiti saranno 66.41 e 67.59, per cui i valori di probabilità saranno:
z1
z2
β
1- β
68.5
-6.97
-3.04
0.00
1.00
68.0
-5.30
-1.37
0.09
0.91
67.5
-3.63
0.30
0.62
0.38
67.0
-1.96
1.96
0.95
0.05
66.5
-0.30
3.63
0.62
0.38
66.0
1.37
5.30
0.09
0.91
65.5
3.04
6.97
0.00
1.00
μ
Graficamente avremo quindi, confrontando
le due curve delle funzioni di potenza:
Funzione di potenza
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
68.5
n=100
n=25
68
67.5
67
66.5
66
65.5
II - 66
Test unilaterale
E' il caso in cui si applica il test per la media ad una sola coda per
accettare l'ipotesi:
H0 :   a
H1 :   a
oppure
H0 :   a
H1 :   a
Si applicherà evidentemente lo stesso procedimento utilizzato nel caso di test
bilaterali, però il limite della regione di rifiuto sarà determinato in modo che si
trovi da un lato solo della distribuzione del parametro campionario media.
H :   64. 3
Supponiamo di volere verificare l’ipotesi: H0:   64. 3
1
utilizzando un campione n=25, e
sapendo che σ=2, con un livello di
significatività α=0.05.
Per α=0.05, il limite di
accettazione sarà z=-1.645
II - 67
per cui il limite della regione di rifiuto sarà:
  z

2
 64. 3  1. 645
 63. 64
n
25
Si rifiuterà quindi l'ipotesi nulla se la media calcolata sul campione di 25 prove
sarà inferiore a 63.64, oppure se il valore di z calcolato sempre nel campione
sarà inferiore a -1.645.
In questo caso la curva operativa caratteristica sarà:
valori medi
limite regione di
rifiuto
z
63. 64  
2
25
curva operativa
caratteristica


63.64   

  Pr  z 

2


25 

62.5
2.85
0.0020
63.0
1.60
0.0548
63.5
0.35
0.3632
64.3
-1.645
0.9500
65.0
-3.40
0.9997
II - 68
β esprime quindi la probabilità di avere valori medi campionari superiori a
63.64 quando la media della popolazione è diversa da 64.3:
0.014
0.014
0.012
0.012
0.01
0.01
0.008
0.008
0.006
0.006
0.004
0.004
0.002
0.002
0
0
0
0
50
50
100
100
150
150
II - 69
Controllo di ipotesi sulla media di una popolazione
σ
ignota
In questo caso si dovrà utilizzare la distribuzione del parametro
campionario t-Student:
x 
t
s
n
con s 
 (x
i
 x )2
n 1
con n-1 gradi di libertà, purché la popolazione di provenienza possa
essere considerata normale.
II - 70
Esempio test bilaterale: supponiamo di volere effettuare il test per:
H0 :  0  65
H1 : 1  65
Ipotizziamo di avere osservato un campione con n=12 che fornisce i seguenti
valori: 55, 62,54,58,65,64,60,62,59,67,62,61; e di volere avere un livello di
significatività del 5%.
Avremo quindi una distribuzione t con (n-1)=(12-1)=11 gradi di libertà da cui
otterremo:
t  2. 20
t  2. 20
2
2
in base al campione avremo inoltre: x  60. 75
s  3. 84
potremo quindi calcolare il valore di t nel campione:
t
60. 75  65
 3. 83
3. 84
12
per cui rifiuteremo l'ipotesi nulla.
II - 71
Esempio test unilaterale: data una miscela chimica in cui debbono essere
presenti almeno 64.3 parti di un additivo, si vuole verificare con 25 prove se la
produzione garatisce tale tipo di composizione della miscela al livello del 5%. Il
campione di 25 prove ha presentato:
x  63. 64 e s  2
In questo caso i gradi di libertà saranno (25-1)=24, per cui la soglia del valore
t sarà -1.711.
Il valore del t campionario è invece:
t
63. 64  64. 3
 1. 65
2
25
per cui potremo accettare l'ipotesi nulla
II - 72
Conclusioni relative alla verifica di ipotesi sulla media
carattere distribuito in modo normale
Se
   0

, sistemi di ipotesi del tipo H 0 :   0 H1 :    0
  
0

σ2 non noto si testano per mezzo della statistica: t 
σ2 noto si testano per mezzo della statistica:
X  0
Z
2
S n
X  0
 n
2
Se n è grande (di solito si assume n≥30) allora la differenza
tra t e Z è piccola e possiamo dire che, approssimativamente:
tn1 t di Student con n  1 gdl
N (0,1)
X  0
2
N (0,1)
S n
carattere distribuito NON in modo normale
Se n è abbastanza elevato, è possibile richiamare il teorema del Limite Centrale per
cui, sotto H0, la statistica test
X  0 n
2
N (0,1)
S n
II - 73
Controllo di ipotesi sulla proporzione di una popolazione
Quando si deve sottoporre a test l’ipotesi che la proporzione della popolazione
assuma un determinato valore p0 si conta il numero X di volte in cui la
caratteristica osservata si presenta nel campione di ampiezza n e si calcola la
proporzione campionaria: si osserva cioè il numero di successi in n prove (o
proporzione di successi).
Si ha quindi a che fare con la distribuzione binomiale e si effettua
un test di ipotesi sul parametro p di una popolazione binomiale.
Quando la numerosità n del campione è sufficientemente grande,
Bin(n,p) ~ N(np,np(1-p))
per cui il test di ipotesi sulla proporzione può essere basato sulla
distribuzione normale.
Per sottoporre a test l’ipotesi H0: p=p0 (o in modo analogo p ≤ p0 o p ≥ p0) si utilizza:
Z
X  np0
np0 (1  po )
che si distribuisce come una normale standardizzata per n sufficientemente grande.
II - 74
Potremo quindi procedere nel modo già illustrato per i test per la media nel
caso dei grandi campioni.
test
Ipotesi nulla H0
Ipot. Altern. H1
Liv. Signif. α
Valori critici
Regione rifiuto
una coda
p ≤ p0
p > p0
0.01
2.326
Z > 2.326
0.05
1.645
Z > 1.645
0.01
-2.326
Z < -2.326
0.05
-1.645
Z < -1.645
0.01
-2.576 e 2.576
Z < -2.576
Z > 2.576
0.05
-1.96 e 1.96
Z < -1.96
Z > 1.96
una coda
due code
p ≥ p0
p = p0
p < p0
p ≠ p0
II - 75
Si effettuano 500 lanci di una moneta, e si ottiene testa 267 volte.
Decidere se la moneta è truccata con un livello di significatività del 5%
Ripetere il calcolo nel caso in cui si ottenga testa 280 volte
Si assume come ipotesi nulla:
H0 : p = 0.5
e come ipotesi alternativa:
H1: p ≠ 0.5.
Si effettua un test a due code con α=0.05, per cui la regione di rifiuto sarà definita dai valori:
Z<-1.96 e Z>1.96
Abbiamo n=500, x=267, p0=0.5
Z
267  500  0.5
 1.52
500  0.5  (1  0.5)
Z=1.52 cade pertanto nella regione di accettazione, quindi l’ipotesi nulla non può essere
rifiutata, potremo quindi ritenere che la moneta non è truccata.
Nel caso in cui si ottenga 280 volte testa,
avremo: n=500, x=280, p0=0.5
Z
280  500  0.5
 2.68
500  0.5  (1  0.5)
In questo caso Z cade nella regione di rifiuto, saremo quindi portati a rifiutare l’ipotesi nulla,
ritenendo pertanto che la moneta sia truccata, con un livello di significatività del 5%
II - 76
Nell’effettuare una verifica su alcune procedure di controllo interno si ritiene che almeno il
95% della documentazione debba essere conforme alle procedure previste.
L’esame di un campione di 200 documenti rivela che in 18 di loro sono riscontrabili delle
irregolarità.
Sottoponiamo a test la percentuale di conformità richiesta, al livello di significatività α=0.01.
Si assume come ipotesi nulla:
e come ipotesi alternativa:
H0 : p ≥ 0.95
H1: p < 0.95.
Si effettua un test a una coda e si ha: n=200
Z
200-x=18
x=182
p0=0.95
182  200  0.95
 2.60
200  0.95  (1  0.95)
Per il livello di significatività α=0.01 la regione di rifiuto è data dai valori Z<−2.326.
Il valore cade nella regione di rifiuto, perciò si rifiuta l’ipotesi nulla, al livello di
significatività dell’1%, concludendo che la percentuale di documenti conformi è inferiore al 95%.
II - 77