Diapositiva 1 - Associazione aicap

GUIDA ALL’USO DELL’EUROCODICE 2
NELLA PROGETTAZIONE STRUTTURALE
Elementi e strutture precompressi
Napoli, 10 maggio 2007
Ing G. MAGLIULO
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI NAPOLI “FEDERICO II”
Elementi e strutture precompressi
OVERVIEW
Napoli – 10 maggio 2007
Ing. G.MAGLIULO
• NORMATIVE DI RIFERIMENTO
• CALCOLO DEGLI SFORZI DI PRECOMPRESSIONE
• CALCOLO DEI TREFOLI
• CADUTE DI TENSIONE
• VERIFICHE ALLO S.L.E.
• VERIFICHE ALLO S.L.U.
Elementi e strutture precompressi
Napoli – 10 maggio 2007
Ing. G.MAGLIULO
NORMATIVE DI RIFERIMENTO
-Carichi e sovraccarichi:
•EUROCODE 0 [Aprile 2002]: “Criteri generali di progettazione strutturale”, EN 1990;
•EUROCODE 1 [April 2002]: “Action on structures – Parte 1.1:General actions – Densities,
self weight, imposed loads for buildings ”, EN 1991-1-1;
•EUROCODE 1 [July 2003]: “Action on structures – Parte 1.3:General actions – Snow loads”, EN
1991-1-3;
•EUROCODE 1 [January 2004]: “Action on structures – Parte 1.4:General actions – Wind loads”,
EN 1991-1-4;
•EUROCODE 1 [November 2003]: “Action on structures – Parte 1.5:General actions – Thermal
loads”, EN 1991-1-5;
•EUROCODE 1 [September 2004]: “Action on structures – Parte 1.6:General actions – Actions
during execution”, EN 1991-1-6;
•EUROCODE 1 [September 2005]:”Action on structures – Parte 3:Actions induced by cranes and
machinery”, EN 1991-3.
-Cemento armato normale e precompresso:
•EUROCODE 2 [December 2004]: “ Design of concrete structures - Part 1-1: General
rules and rules for buildings ”, EN 1992-1-1;
•CNR - UNI 10025/98 10 dicembre 1998: “Istruzioni per il progetto, l’esecuzione ed il collaudo
delle strutture prefabbricate in calcestruzzo”.
•CNR - UNI 10018/99: “Apparecchi di appoggio per le costruzioni”.
-Costruzioni in zona sismica:
•EUROCODE 8 [December 2003]: “Design for structures for earthquakes resistence – Part 1 –
General rules, seismic actions and rules for buildings”, Final Draft - prEN 1998-1;
Elementi e strutture precompressi
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Ing. G.MAGLIULO
CARATTERISTICHE DEI MATERIALI
Dai cataloghi forniteci, per trefoli a 7 fili:
f p (0,1) k  1670 N / mm2  167 10 4 kN / m 2
f pk  1860 N / mm2  186 10 4 kN / m2
f
p( 0,1 )k
(EC2 - punto 3.3.3 – Resistenza) è la tensione allo 0,1 % di deformazione residua e f
resistenza a trazione
pk
è la
come primo approccio per il calcolo delle sollecitazioni si fa riferim
Elementi e strutture precompressi
condizione di carico caratteristica.
COMBINAZIONI
DI CARICO
Pertanto in esercizio
e per combinazioni
di carico caratteristica (EC0 – p
di azioni):
Combinazione di carico caratteristica:
La normativa (EC0 - punto 6.5.3 – Combinazione di azioni) afferma che le



Edriporta
 G
k, j  Pdi
Q
sono
1
gli
stati
limite
esercizio
caratteristica,
combin
k,1  della
0combinazione
,i  Q3:
k,i Combinazione
Si
la
spiegazione
di caricoEq.
frequente
perchè
nec
j1
i 1
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Ing. G.MAGLIULO
frequente.
progettazione
dunque andrebbe fatta considerando tutte e
fessurazione.
(per
il progettoLa
dell’elemento
precompresso)
essendo:
realtà
si considera
solo ladispone
prima (poiché
specificatamente
richiestadiper
La
combinazione
frequente
EC0 - punto
6.5.3 – Combinazione
azi
Combinazione
di caratteristico
carico frequente:
Gk,j il valore
della j-esima azione permanente (peso proprio,
sottointesa nelle verifiche al tiro. Si riporta per completezza di disc
P
 2,i  Qk,i di un’azione di precompressione
Edilvalore
Gk, jrappresentativo
 P  1,i  Qk,1 significativo


combinazione
di carico quasi
j1
i 1 permanente necessaria successivamente pe
Q la ilverifica
valoreacaratteristico
dell’azione variabile dominante;
(perk,1
fessurazione)
tensione.noti i termini dell’espressione ad eccezione di:
essendo
Qk,i il valore caratteristico della i-esima azione variabile non dominante;
La
di carico quasi
permanentepari
dispone
EC0 - punto 6.5.3 – Co
Ψ1,icondizione
che è il di
coefficiente
di permanente:
combinazione
a 0.2(per
neve e 0 per i s
Combinazione
carico
quasi
Ψo, i è il coefficienti di combinazione pari a 0,5 per lalaneve
e a 0 per
nel
caso
di
(EC0
Tabella
A1.1 – Valori
– prospetto
Gk,coperture
j  P A1.1
– Valori
- Q
(E
EC0
raccomandati
deiraccomandati
coefficienti dei
percoefficien
gli edific
d

j1

i1
2,i
k,i

Ψ2,i chedelle
è ilcadute
coefficiente
di combinazione pari a 0 per la neve e per i sovra
(calcolo
di tensione)
essendo noti i termini dell’espressione ad eccezione di:
caso di coperture (EC0 - Tabella A1.1 – Valori raccomandati dei coefficienti 
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insorgere
fessure
longitudinali
se il livello di tension
ccome
però Possono
il prefabbricatore
in modo
da
nel calcestruzzo
al momento
delopera
trasferimento
della
ottoposto alla In
forza
di precompressione.
Siccome
però il– prefabbricatore
modo danel c
accordo
all’EC2 (punto
5.10.2.2
Limitazione opera
della in
tensione
Elementi
e
strutture
precompressi
critico.
Tale
fessurazione
28
stagionature
precoci
a sperimentali
vapore,
etc)
, sepieno
l’esperienza
o prove

0,gg
65 (attraverso
 f ckil(tvalore
)caratteristica
aggiungere
della fcksupera
prima
dei un
28
ggvalore
(attraverso
stagionature
precoci
a vapore, etc) può
compressione della struttura, indotta dalla forza di precompressione e
2
2 TENSIONALI
LIMITI
possiamo
considerare
che
e che
tiro
f
(
t
)

f

45
N
/
mm
(t )  f ctm cioè che la resistenza
e che
cioè
che
la
resistenza
alf ctmtiro
mm
fdurabilità.
(
t
)

f
In
assenza
di
altri
provvedimenti,
come all’increm
ck
ck
urazione
longitudinali.
ctm
ctm
momento della messa in tensione o del rilascio della precompressione (
ia quella
si compressione
haminime
a 28 gg. di armatura
7.3.2
– che
Aree
) confinamento
non è richiesta mediante armatura trasversa
o
il
Tiro:
caratteristica),
deve
esserenel
limitata
a: al momento del trasferimento della
Per elementi con
armatura pre-tesa,
la tensione
calcestruzzo
o nel
la combinazione
carico
caratteristica
e il valore
calcestruzzo
aldimomento
del trasferimento
della
classe
XD
(cloruri),
XF
(cicli
di
gelo/disgelo),
XS (cloruri
deriva
0
(
)
pretensione puòessere
aumentata
fino
a
,
se
l’esperienza
o
prove
sperimentali


0
,
65

f
(
t
)

0
,
6

f
(
t
)
c
ck
c
ck
l calcestruzzo
è
compresso
oppure
il
valore
assoluto
l’esperienza
o prove sperimentali
0,65  f ck (t )–, se
Classi
di esposizione
in relazione
ssicurano che
è impedita
la formazione
di fessurazione
longitudinali.alle condizioni ambientali,
dove f ck (t ) è la resistenza a compressione cilindrica del calcestruz
è
minore
di
Eq.4minime di armatura) non è richiesta

 f ctm
ct , p  f ct ,eff (EC2
urazione
longitudinali.
Negli
elementi
precompressi
- punto 7.3.2 – Aree
essere opportuno limitare le tensioni di compressione nel c
sottoposto
alla
forza
dinon
precompressione.
Siccome
peròe ililvalore
prefabbri
un’armatura
minima
nelle
sezioni
in
cui,
sotto
la
combinazione
di
carico
caratteristica
7.3.2
–
Aree
minime
di
armatura
)
è
richiesta
a trazione del calcestruzzo (EC2 - Prospetto 3.1 –
esercizio
alil valore:
Esercizio:
aratteristico della
forza di precompressione,
il calcestruzzo
compresso
valore assoluto
raggiungere
valore
pieno
della
fck èprima
dei oppure
28 gg il(attraverso
stagion
la
combinazione
di
carico
caratteristica
e
il
valore
del calcestruzzo ).
della tensione di
trazione
nel
calcestruzzo
Eq.4
 ct , p è minore di  ct , p  f ct ,eff  f ctm 2

0
,
5

f
c
ck
possiamo
considerare
che
e
che
f
(
t
)

f

45
N
/
mm
f
calcestruzzo è compresso oppure il valore
ck assoluto
ck
ctm (t )  f ctm
dove f ctm è il valore medio della resistenza a trazione del calcestruzzo (EC2 - Prospetto 3.1 –
Le
massime
tensioni
normali,
è minore di sia
Eq.4 σc, di trazione nel conglomera
 ctquella
, p  f ctche
,eff sifha
ctm a 28 gg.
Caratteristiche di resistenza e di deformazione del calcestruzzo ).
Per
elementi
con(EC2
armatura
pre-tesa,
nel calcestruzzo
mom
devono
rispettare
la- stessa
limitazione
del tiro
data dall’eq.al 4.
a trazione del
calcestruzzo
Prospetto
3.1la –tensione
pretensione può essere aumentata fino a  c  0,65  f ck (t ) , se l’esperi
del calcestruzzo ).
assicurano che è impedita la formazione di fessurazione longitudinali.
che se ne dispongano 4 per ogni piede del tegolo ecco perché si è ipoti
sforzo
didove
precompressione
Oss.:
la
posizione
del
baricentro
dei
trefoli
è scelta
tenendo
conto
che solitamente
Notando che la condizione peggiore per il tegolo
al tiro
è sugli
appoggi
noni trefoli
sussiste tale da so
cm; l’EC2 fornisce prescrizioni circa la disposizione delle
distano
5 cm tradovuto
loro in
quanto
c’è una
griglia
guida
fori 
adèinfatti
ogni 
5uguale
cm.
N ao
l’alleggerimento
del momento
al peso
proprio
(sugli
appoggi
talecon
momento
N
o – Armature
opre–t
precompressione al punto 8.10.1.2
di
precompressione



c , min
perciò
che il primo
trefolo limite
sia posizionato
a 5 cmc ,sup
dal
lembo
inferiore teg
e e
zero), nota laSupponendo
geometria della
sezione
e le tensioni
nel calcestruzzo
(nella
Aprogettazione
teg
A è l’area della sezione del tegolo;
s
che se nesidispongano
ogni piede
del tegolo
ecco perché
è ipotizzato
=12,5
successive verifiche
considera 4 lapertensione
limite
a trazione
senzasi aggiunta
di e0armature
teg
Ws è il modulo
dilaresistenza
della sezione
delarmature
solo tegolo
riferito alla fibra
l’EC2consiste
fornisce
circadell’area
disposizione
delle di
sussidiarie), ilcm;
progetto
nellaprescrizioni
determinazione
di trefoli capace
sviluppare
  Ndauno

Elementi e strutture precompressi
e


W
PROGETTO DELLO SFORZO DI PRECOMPRESSIONE
 N
e 




precompressione
– Armature di precompressione pre–tese. 
Tiro: sforzo di precompressione
teg le seguenti
tale al
dapunto
soddisfare
A solo tegoloteg
W8.10.1.2
è il modulorelazioni:
di resistenza della sezione del
riferito alla fibra
o
c ,inf
teg

o
Wi
o
c , max
A è l’area della sezione del tegolo; i
  N   N  eo
o
o
le formuleteso)
Eq.4 ed Eq.5 vanno utilizzate come
e non come ve


 Naturalmente
(lembo superiore
Eq.progetto
5
c ,sup
c , min
o
teg
2
teg
A
Ws teg è ilW
modulo di resistenza della sezione del solo tegolo riferito
alla fibra superiore;
dove:

f
(
t
)

3
.
8
N
/
mm
ctm
si
particolarizzano
nelle:
c ,min
s


teg
 N  e di resistenza della sezione
W
del solo tegolo 3800
riferito alla fibra oinferiore.

i  N è ilmodulo
 0.6  f ck (t )  27 N /
1729
c , maxkN
Eq. 6
   inferiore compresso)


  A  teg   N  (lembo
1,2  0,270
1,2 
e
  progetto
Wi Eq.4 ed Eq.5 vanno utilizzate
 verifica e quindi
Naturalmente le formule
e
non come
 come
0,275  =1,20(suggerito dall’esper
W
A   0,0494


si particolarizzano nelle:
o
o
o
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Ing. G.MAGLIULO
c ,inf
o
o
c , max
c ,sup
c , min
teg

o
teg
sup
 f ctm (t )  3.8 N / mm  3800 kN / om (limite di trazione)
elastica all’atto del tiro. È
o
27000
o

c , max
 c,min
N c3800


 1588 kN
o
o
,inf 2
N  c ,supc ,max  0.6  f ck (t ) 27 N/ mm
1729
compressione)
 27000
/ m 2kN(limite
270
1,2  assegnare una sovratensione
 1,2  0,di
  eo kN


 

  e
   1,2  0,270   1,2  
o

  0,0256
0,275  precompressione sia pari ad u
A

teg

0è,W
275
=1,20(suggerito
uninfcoefficiente
che tiene conto della caduta di tensione
 0,0494
W
Ateg  dall’esperienza)
sup


TraÈi due
risultati
ottenuti
scegliamo il più
limitativo,
minore valore
forni
e0 cioè
èchelailpermette
distanza
il N,
barice
elastica all’atto
del tiro.
in altre
parole
un coefficiente
amplificativo
ditra di
o
27000
o
 cuna
relazione:
, max
sovratensione
all’acciaio affinché
nell’esercizio della struttura
lo sforzo di Supponen
precompressione.
N  c ,infassegnare


 1588 kN
1
,
2

0
,
270
1
,
2
   eo



o
   N
 1588N;kN


precompressione
sia pari ad

unc,infvalore
(considerando anche le indic


0
,
0256
0
,
275


A
teg 
 W inf
e0 è la distanza tra il baricentro geometrico della sezione tegolo e il baricentro dei cavi di
0,125=0,270
m;
Tra i due risultati ottenuti scegliamo il più limitativo, cioè il minore valore di N, fornito
dalla prima
precompressione. Supponendo che tale distanza dal bordo inferiore sia pari a 12,5 cm
relazione:
(considerando anche le indicazioni della PRE.MER s.r.l), si deduce che e0=yg-0,125=0,395o
N  c ,inf0,125=0,270
 1588 kN m;
dove:






o
c ,min
2
2




consiste
nella
determinazione
precompressione tale da soddisfa
Elementi e strutture precompressi
N
N  e M min



A teg
Wsteg
Wsteg
Anche in esercizio, considerando che la sezione più sollecitata è quella di mezzeria, il progetto
 c,sup 
PROGETTO DELLO SFORZO DI PRECOMPRESSIONE
N
Ne
consiste nella determinazione dell’area di trefoli capace di sviluppare uno sforzo
min
 di teg  Mteg

Esercizio:
c ,inf
A teg
W
W
i
i
precompressione tale da soddisfare le seguenti relazioni:
 c,sup 
N
Ne
Mcarichi perm.var iabili  
min
 teg  Mteg
 Msoletta

c , max
teg sol
A teg Ws
Ws
Wsteg
W
s , teg
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Ing. G.MAGLIULO
Le formule Eq.8 ed Eq.9 vanno utilizzate come progetto e non come verifica e quindi si
N nelle:
Ne
Mcarichi perm.var iabili  
min
particolarizzano
 teg  Mteg
 Msoletta

c ,inf 
c , min
teg sol
A teg
Wi
Wi
Witeg 

W
M perm.utilizzate
var

MEq.9
sol
min ed
Le formule M
Eq.8
vanno
come
progettoi ,teg
e non come verifica e quindi si




sol
sol
teg

sol
c
,
max

Ws
 Ws

W s ,teg
particolarizzano
nelle:
  9220 kN
N  c ,supdove:

 e
1 


 sol  M perm. var2


M
 kN / m 2 ;
M
sol
min

f

3
.
8
N
/
mm

3800
A
W
ctm



soletta
c , min sol
s



sol
teg

sol
c
,
max
Ws
 Ws

W
s ,teg

  9220 kN
N  c ,sup 
2
 0.5  f cke non
 22
.15 Nnella
/ mmverifica
 22500
kN
/ m 2 negativo.
c , max
Questa è una
condizione che
incide
essendo
N
venuto

 W sol  A
soletta 
s

Oss.: questotegsignifica
che occorrerebbe uno sforzo N di trazione per raggiungere il limite di
 sol


dove:
Eq. 8

c , min
 f ctm  3.8 N / mm

c , max
 0.5  f ck  22.5 N
Eq. 9
teg  sol
Ws,teg
è il modulo di

del tegolo;

Wi,teg

del tegolo;

teg  sol
è il modulo di
Mmin è il momento dovuto
Tra
i
due
valori
scegliamo
il
più
limitativo,
vale
a dire il
è
il
modulo
di
resistenza
della
sezione
tegolo+soletta
riferito
alla
fibra
superiore
W
s, teg
compressione nella fibra superiore più sollecitata del tegolo.
massimo N
Msoletta è il momento dovu
Questa è una condizione che non incide nella verifica essendo N venuto negativo.
del tegolo;

M
è il mo
M M c. p. var
M
min
carichi perm.+ variabili
 significa
sforzo N di trazione per raggiungere il limite di
Oss.: questo
che occorrerebbe
 solsol
  uno
sol
teg  sol
c , min 
 teg
W
W
W
i sol
i ,teg
  562
è nella
ili modulo
di resistenza
della
e=einferiore
fibra superiore
più sollecitata
delsezione
tegolo. tegolo+soletta riferito alla fibra
o=yg-0,125=0,395-0,1
N  c ,inf compressione
 i, teg
kN
 e
1 
 sol 

 M min M

eccentricità che si ha agli
Asolc. p. var 
Wisol  M


del tegolo;



sol
sol
teg

sol
c
,
min
 Wi

Wi
Wi ,teg

 il maggiore
Tra
i due
risultati
ottenuti
il
più
limitativo,
cioè
N

562 kN valore di N, fornito dalla seconda
c ,M
inf min è il momento dovuto al solo peso proprio del tegolo;
 e

1
 sol 

relazione è:
Asol 
Msoletta è il momento
dovuto
al solo peso della soletta;
 Wi
N  c ,inf   562 kN
Tra i due
risultati
ottenuti il più limitativo, cioè il maggiore valore di N, fornito dalla seconda
Mcarichi
perm.+ variabili è il momento dovuto ai carichi permanenti+i carichi variabili;


W


Elementi e strutture precompressi
Inoltre sempre allo stesso punto la norma dice che per elementi precompressi, in assen
PROGETTO
DELLO
SFORZO
DI PRECOMPRESSIONE
più dettagliati,
si considera
soddisfacente
limitare le ampiezze di progetto delle fessu
wmax forniti dal prospetto 7.1N , sotto la combinazione di carico frequente.
decompressione richiede che ogni parte delle armature di precompressione o delle gu
Il progetto dello
viene
condizionato
anche dalla
almenosforzo
25 mmnormale
all’interno
del calcestruzzo
compresso.
Alla luce di cio che afferma
verifica a fessurazione.
Napoli – 10 maggio 2007
Ing. G.MAGLIULO
determina lo sforzo normale imponendo che la tensione inferiore all’esercizio sotto la
sia non
trazione inimponiamo
modo da andare
a vantaggio di sicurezza ed essere
Per operarefrequente
a vantaggio
didisicurezza
la decompressione
avere problemi
nella verificadi
e fessurazione
chepermanente.
verrà effettuata successivamente.
al limite inferiore
sotto condizione
carico quasi
Come visto precedentemente, la formule Eq.8 ed Eq.9 vanno utilizzate come progett
Tale verifica può essere più gravosa di quella tensionale.
verifica. L’equazione che però risulta condizionante risulta la 9 poiché la 8 fornisce u
L’eq. 9 si particolarizza:

N  c ,inf

 M min M sol M c. p. var

 sol 
  c ,min
teg  sol
 Wi sol
W
W
i
i ,teg

 e
1 
 sol 

A
W
sol 
 i



  741 kN
dove ci si mette nella condizione di carico frequente e si pone  c ,min  0
Si ottiene:
N  c ,inf   741 kN
Elementi e strutture precompressi
CALCOLO DEI TREFOLI
Per quanto concerne le tensioni limite (per la verifica allo stato limite di esercizio tensionale
EC2 - punto 7.2 – Limitazione delle tensioni; punto 5.10.2.1 – Forza di precompressione massima),
nel caso dell’armatura pre-tesa si deve avere:

0

 min  0,9  f
;0,8  f
p ( 0,1) k
pk 
p , max

(Tiro)
Eq.11
(Esercizio)
Eq.12
Dai cataloghi forniteci, per trefoli a 7 fili:
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
2
4
2
 0.60  f
fpp, max
pk N / mm  167  10 kN / m
( 0 ,1) k  1670
2
4
2
f

01860 N / mm  186  10 kN / m
pk
dove 
è la tensione iniziale di tesatura (al tiro), 
p , max
p , max
è la tensione a tempo infinito, tenuto
Oss.: le case produttrici di acciai armonici garantiscono dei valori di snervamento e rottura almeno
conto delle
da tutte
le azioni
sollecitanti,
(EC2
3.3.3
–
f dolce”
pari tensioni
a quelliprovocate
indicati. Un
acciaio
normale
“cosiddetto
ha -unpunto
valore
di snervamento
p( 0,1 )k
pari a 430 N/mm2 (Feb44k), quindi circa 4 volte inferiore.
Resistenza
) è la
allo dettate
0,1 % didalla
deformazione
residua
Imponendo
le tensione
limitazioni
normativa
si ha:e f pk è la resistenza a trazione.
0
;  0 per il tiro
  Oss.:
min  0non
,9  fci sono tre
;0,diversi
8  f limiti
 min
0.9tensione
1670;di0.snervamento,
8 1860   1488
N / mm 2  149  10 4
per la
a seconda
p ( 0,1) k
pk  p , max
p

della tipologia di armatura da precompressione – fili, trecce e trefoli, barre – cosi come avviene per
.60  f (pkD.M.
; 2005
p  0italiana
p , max);  0.60  1860  1116 N
esempio per lanorma
/ mm 2  112  10 4 kN / m 2
L’area di trefoli necessaria per conferire uno sforzo di precompressione N è:
0
Oss.: il valore di f p ( 0 ,1) k è la tensione allo 0,1 % di deformazione residua. Si utilizzano questi
N
1,2  745
0
A


 6.00 cm 2
p
,
min
4 acciaio armonico non è ben
valori convenzionali perché il valore di 0snervamento per un
 p ,max 149 10
visibile nel
diagramma
didel
materiale.
Considerando
8 trefoli
da 1/2
pollice
con diametro nominale di 93 mm2 si ha:
Ap=744 mm2
I valori delle tensioni che si hanno con tale armatura in esercizio sono i seguenti:
p 
N

745
6
 100 10 4 kN / m 2   p ,max  112 10 4 kN / m 2
Aci
teg tref
I XG
Elementi e strutture
precompressi
teg tref
0,279
1
N
N 0  e0
894 894  0,
teg tref
 
 DEL
YG TIRO

teg CLS
tref AL
A
0,279 1,05 1
I XG
0
0
VERIFICA
ci
ci
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OSS.: nell’espressione della tensione non compare
viene fatta all’appoggio dove il momento è nu
In accordo con l’EC2 (punti 5.10.2.2 – Limitazione
minime di armatura) deve essere:
0
 cs0   c0,min  K min
  f ctm  3800 kN / m2
0
 ci0   c0,max  K max
 0.6 f ck (t )  27000 kN / m
La resistenza minima di progetto che deve possedere
 ci0
12074
f ck (t ) 

 20123 kN / m 2  20.1 N
0.6
0,6
Il taglio dei trefoli può essere effettuato dopo t
resistenza cilindrica pari a quella appena calcolata.
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CADUTE DI TENSIONE
Le cadute di tensione sono di due tipi:
a)
quelle legate al sistema e alle modalità di precompressione;
b)
quelle dipendenti dalle caratteristiche visco-elastiche dei materiali.
Più precisamente:
a) Perdite di tensione dovute a fenomeni istantanei che tendono a diminuire l’allungamento
impresso ai fili;
b) Perdite di tensione dovute a fenomeni differiti nel tempo.
Le prime sono dovute al fatto che le armature sono tesate prima del getto e la precompressione
viene impressa, a maturazione avvenuta, mediante l’aderenza tra acciaio e conglomerato. Ciò
comporta che all’accorciamento del calcestruzzo corrisponde un identico accorciamento
dell’acciaio e quindi una riduzione della tensione iniziale fornita all’armatura. In realtà tale caduta
nell’acciaio consente la sollecitazione del calcestruzzo.
Le seconde sono di gran lunga più importanti e insidiose. Esse sono le cadute di tensione per
deformazioni lente o fluage nel calcestruzzo e nell’acciaio, dovute ad effetti viscosi (scorrimenti tra
i grani del materiale sotto carico) che dipendono dallo stato di sollecitazione nella struttura; le
cadute corrispondenti al fenomeno del ritiro (variazioni di volume del calcestruzzo dovute alla
presa e all’indurimento), che invece sono pressoché indipendenti dallo stato di sollecitazione.
La conseguenza diretta dei fenomeni della viscosità e del ritiro del calcestruzzo sul comportamento
nel tempo degli acciai pretesi è quella di ridurre in essi lo stato di deformazione impresso all’atto
della messa in tensione e quindi provocare una caduta di tensione.
La valutazione rigorosa della caduta causata da tali fenomeni e da quello del rilassamento degli
acciai (caduta di tensione che si verifica nel tempo ad un filo di acciaio teso tra due estremità tenute
a distanze costante) è complessa e incerta..
Conducendo il calcolo per la sezione di mezzeria, dove le cadute di tensione si massimizzano, le
prime che intervengono sono quelle di natura elastica al disarmo del tegolo.
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CALCOLO DELLE CADUTE DI TENSIONE ELASTICHE
Il calcolo delle cadute di tensione elastiche nei trefoli si esegue riferendosi alla sezione di mezzeria,
poiché ivi si massimizzano. Ci si trova inoltre ancora nella fase di tiro, quando cioè, al disarmo
della trave, per effetto del peso proprio del tegolo si produce una deformata elastica ed una relativa
curvatura che abbassa il valore della tensione nel trefolo da quello di tesatura iniziale.
L’EC2 al punto 5.10.3 - Forza di precompressione, con “Pmt(x)” indica la forza di precompressione,
al tempo t, nella sezione generica distante x dall’estremità dell’armatura da precompressione a cui è
stato applicato il martinetto di tesatura.
Il valore iniziale della forza di precompressione, immediatamente dopo il trasferimento della
precompressione al calcestruzzo (in una trave precompressa tramite pre-tensione), non può superare
il valore seguente:
Pm 0,max ( x)  A p   pm0,max ( x)
Eq.15
essendo:
Ap l’area della sezione dell’armatura da precompressione;
 pm0,max ( x)  min 0,85  f p ( 0,1) k ;0,75 f pk  ;  p ,m 0 è la tensione nelle armature da precompressione
immediatamente dopo il trasferimento della precompressione al calcestruzzo (nel caso della pretensione).
Il valore Pm 0 ( x) è ottenuto sottraendo al valore dello sforzo di tesatura, presente nelle armature
all’atto della messa in tensione Pmax  Ap   p ,max (punto 5.10.2.1 – forza di precompressione
massima),
le perdite di tensione immediate Pi (x) .
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CALCOLO DELLE CADUTE DI TENSIONE ELASTICHE
Nel determinare le perdite immediate Pi (x) la norma raccomanda di considerare le seguenti
influenze, per pre-tensionamento e post-tensionamento, ove applicabili:
Perdite durante le fasi di tesatura
Tali perdite sono dovute:
− alle forze di attrito che si originano in corrispondenza delle deviazioni angolari eventualmente
presenti; ciò accade se le armature da precompressione hanno un tracciato del tipo “a linea
poligonale” (trefoli deviati);
− al rientro dei cunei di ancoraggio.
Perdite prima del trasferimento della precompressione al calcestruzzo
Tali perdite sono dovute al rilassamento delle armature da precompressione che si verifica nel
periodo compreso fra la tesatura delle armature stesse ed il trasferimento della precompressione al
calcestruzzo.
Nel caso in cui si adotti la maturazione accelerata del calcestruzzo occorre tenerne conto per il
calcolo del rilassamento, considerato il fatto che il rilassamento delle armature da precompressione
varia al variare della temperatura.
Perdite all’atto del trasferimento della precompressione al calcestruzzo
Tali perdite sono dovute alla deformazione elastica del calcestruzzo conseguente alla azione delle
armature da precompressione che dapprima ancorate in corrispondenza delle testate di tiro vengono
poi rilasciate.
Si considera e si calcola solo la caduta di tensione elastica ipotizzando un legame    lineare del
calcestruzzo
p,m0j = 0pj - ncj (Infatti  pj   cj  E p   cj  n  Ecm  n   cj )
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CALCOLO DELLE CADUTE DI TENSIONE ELASTICHE
trefolo
Wjteg+tref
s 0 cj
n°
1
2
3
4
m3
0.0307
0.0360
0.0434
0.0548
kN/m2
5450
5120
4789
4459
dove: W jteg tref 
 
0
cj
N 0
Aci
CADUTE DI TENSIONE ELASTICHE
Ds pj
s p,m0j
s 0 pj
Np,m0j
kN/m2
32700
30717
28735
26753
kN/m2
1201613
1201613
1201613
1201613
kN/m2
1168913
1170895
1172878
1174860
kN
217.4
217.8
218.2
218.5
Mp,m0j
Yp,m0
ep,m0teg+tref
kNm
10.9
21.8
32.7
43.7
m
m
0.1251
0.2656
teg tref
I XG
;
(YGteg tref  y j )

  N 0  e0teg tref
W
teg tref
j

M min
;
W jteg tref
 pj  n cj0 ipotizzando una perfetta aderenza tra calcestruzzo e trefoli, ossia che si
soddisfatta la relazione p =c
 p,m0 j   0pj  n cj0 con  0pj tensione nei trefoli alla tesatura (cioè prima della caduta di
tensione elastica);
N p ,m 0 j   p , 0 j  Asj ;
M p ,m 0 j  N p ,m 0 j  y j ;
Y p ,m 0 
M
N
p ,m 0 j
p ,m 0 j
tref
eteg
 YGtegtref  Yp,m0
p ,m 0
Si verifica che:
2
2
 .Si assume f
;0,75  f
p(0,1)k = 1670 N/mm ; fpk = 1860 N/mm
p (0,1) k
pk 

min 0,85  1670;0,75  1860  min 1420;1395  1395 N / mm2  1395000kN / m 2

p, m0 j
(max)  min  0,85  f
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CALCOLO DELLE CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI LENTI
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Il valore medio della forza di precompressione al tempo t è espresso dalla relazione seguente (punto
5.10.3 – Forza di precompressione):
Eq.16
Pmt ( x)  Pm0 ( x)  Pc  s r ( x)
Essendo Pc  s  r (x) il valore (nella sezione di ascissa x) delle perdite di precompressione
dipendenti dal tempo causate dalla viscosità e dal ritiro del calcestruzzo e dal rilassamento delle
armature da precompressione.
Tali perdite di precompressione sono dovute come detto:
− ai fenomeni viscosi del calcestruzzo dovuti alla precompressione ed ai carichi permanenti;
− al rilassamento dell’acciaio;
− al ritiro del calcestruzzo.
Le suddette perdite di precompressione (al tempo t) possono essere calcolate mediante la seguente
relazione di normativa:
Ep
 cs  E p  0,8   pr ( x) 
  (t , t 0 )   c ,Qp
Ecm
Pc  s  r ( x)  Ap   p ,c  s  r ( x)  A p 
Eq.17
E p Ap 
Ac 2 
1

 1 
 z cp   1  0,8   (t , t 0 )
Ecm Ac 
Ic

essendo:
 p ,c  s  r il valore assoluto della variazione di tensione nelle armature dovuta alla viscosità del
calcestruzzo, al ritiro del calcestruzzo ed al rilassamento dell’acciaio; tale valore è calcolato al
tempo t, nella sezione di ascissa x;
 cs valore assoluto totale del ritiro del calcestruzzo calcolato in accordo con il punto 3.1.4 –
Viscosità e ritiro; la deformazione totale da ritiro si può esprimere come:
 cs   cd   ca
Eq.18
dove:
 cd è la deformazione per ritiro da essiccamento (il ritiro da essiccamento si manifesta lentamente
in seguito alla migrazione delle particelle d’acqua che si trovano all’interno della pasta cementizia
indurita)
 ca è la deformazione per ritiro autogeno (il ritiro autogeno si sviluppa in seguito alla maturazione
del calcestruzzo: per tale motivo si manifesta nel periodo immediatamente successivo al getto).
Essendo Pc  s  r (x) il valore (nella sezione di ascissa x) delle perdite di pr
dipendenti dal tempo causate dalla viscosità e dal ritiro del calcestruzzo e dal rila
armature da precompressione.
Tali perdite di precompressione sono dovute come detto:
− ai fenomeni viscosi del calcestruzzo dovuti alla precompressione ed ai carichi perm
− al rilassamento dell’acciaio;
− al ritiro del calcestruzzo.
Le suddette perdite di precompressione (al tempo t) possono essere calcolate media
relazione di normativa:
Lo sviluppo del ritiro per essiccamento nel tempo è regolato dalla (punto 3.1.4 – Viscosità e ritiro):
Ep
 cd (t )   ds t , t s   k h   cd 0
 cs  E p  0,8   pr ( x) 
  (t , t 0 )   c ,Qp
Eq.19
Ecm
( x)  Ap  cdp0,c nel
dove  cd 0 è tabellato (Prospetto 3.2 – Valori nominali per essiccamentoP
non
c  s  rcontrastato
s  r ( x)  A p 
E p Ap 

A
1

 1  c  z cp2   1  0,8   (t , t 0 )
calcestruzzo) in funzione di f ck / f ck ,cube e dell’umidità relativa.
Ecm Ac 
Ic

k h è tabellato (Prospetto 3.3 - Valori di k h ) in funzione di h0 che è laessendo:
dimensione fittizia (in mm)
pari a:
 p ,c  s  r il valore assoluto della variazione di tensione nelle armature dovuta all
2 Ac
2 x Area della sezione in conglomerato 
calcestruzzo, al ritiro del calcestruzzo ed al rilassamento dell’acciaio; tale valore
h0 

u
perimetro della sezione in coglomerato esposto all ' aria
tempo t, nella sezione di ascissa x;


 cs valore assoluto totale del ritiro del calcestruzzo calcolato in accordo con il

t  ts 

 ds t , t s   
Viscosità e ritiro; la deformazione totale da ritiro si può esprimere come:
 t  t s   0,04  h03 
 cs   cd   ca
essendo:
dove:
t l’età del calcestruzzo presa in esame espressa in giorni;
 cd èNormalmente
la deformazione
per ritiro da essiccamento (il ritiro da essiccamento si manife
t s l’età del calcestruzzo (in giorni) all’inizio del ritiro per essiccamento.
tale inizio
in seguito alla migrazione delle particelle d’acqua che si trovano all’interno della pa
coincide con la fine della maturazione.
indurita)
Il valore finale della deformazione da ritiro per essiccamento,  cd è uguale
a k h   cd 0 .
 ca è la deformazione per ritiro autogeno (il ritiro autogeno si sviluppa in seguito al
Per il tegolo si avrà dunque:
del calcestruzzo: per tale motivo si manifesta nel periodo immediatamente successivo
2A
 cd  k h   cd 0 dove: h0  c  2 x275000  122mm
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CALCOLO DELLE CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI LENTI
u
4500
k h  0.97 (valore interpolato tra h0=100 mm e h0=200 mm)
 cd 0 per un fck=45 N/mm2 e per un valore dell’umidità relativa pari a 60%(valore medio rilevato a
Napoli nel mese di Marzo) utilizzando l’Espressione B.11 – Punto B.2 – Equazioni di base per
determinare il ritiro da essiccamento che è più precisa e considerando una classe R del cls (Punto
3.1.2 – Resistenza) si ha:
 cd 0  0.00051 per cui:
 cd  k h   cd 0  0.97  0.00051  0.00049
Si poteva usare anche il Prospetto 3.2 interpolando linearmente i dati.
La deformazione da ritiro autogeno è (punto 3.1.4 – Viscosità e ritiro):
 ca (t )   as t    ca  
Eq.20
6
Dove:  ca    2,5 f ck  10  10 e  as t   1  exp  0.2t 0.5 
Dove t è dato in giorni. Se t   si assume t  500000ore per cui  as   1 .
Essendo Pc  s  r (x) il valore (nella sezione di ascissa x) delle perdite di pr
dipendenti dal tempo causate dalla viscosità e dal ritiro del calcestruzzo e dal rila
armature da precompressione.
Tali perdite di precompressione sono dovute come detto:
− ai fenomeni viscosi del calcestruzzo dovuti alla precompressione ed ai carichi perm
− al rilassamento dell’acciaio;
− al ritiro del calcestruzzo.
Le suddette perdite di precompressione (al tempo t) possono essere calcolate media
relazione di normativa:
Ep
 cs  E p  0,8   pr ( x) 
  (t , t 0 )   c ,Qp
Dove t è dato in giorni. Se t   si assume t  500000ore per cui  as   1 .
Ecm
Pc  s  r ( x)  Ap   p ,c  s  r ( x)  A p 
Per il tegolo si avrà dunque:
E p Ap 

A
1

 1  c  z cp2   1  0,8   (t , t 0 )
6
6
5
 ca    2,5 f ck  10  10  2,5  45  10  10  8.75  10
Ecm Ac 
Ic

4
essendo:
 cs   cd   ca  0,00049  0,0000875  5.78 10
 p ,c  s  r il valore assoluto della variazione di tensione nelle armature dovuta all
E p è il valore del modulo elastico delle armature da precompressione
(punto
3.3.3del
– Resistenza
calcestruzzo,
al ritiro
calcestruzzo); ed al rilassamento dell’acciaio; tale valore
t, nella sezione
ascissa x;
prospetto
3.1 – diCaratteristiche
di
E cm è il modulo di elasticità del calcestruzzo (indicato neltempo
 cs valore assoluto totale del ritiro del calcestruzzo calcolato in accordo con il
resistenza e di deformazione del calcestruzzo);
Viscosità e ritiro; la deformazione totale da ritiro si può esprimere come:
CADUTE DI TENSIONE PER RITIRO
 cs   cd   ca
e cs
Ds rit
Ep
trefolo
dove:
n°
kN/m2
kN/m2
 cd è la deformazione per ritiro da essiccamento (il ritiro da essiccamento si manife
1
in seguito alla migrazione delle particelle d’acqua che si trovano all’interno della pa
2
5.78E-04 1.95E+08 112710
indurita)
3
 ca è la deformazione per ritiro autogeno (il ritiro autogeno si sviluppa in seguito al
4
del calcestruzzo: per tale motivo si manifesta nel periodo immediatamente successivo
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Napoli – 10 maggio 2007
Ing. G.MAGLIULO
CALCOLO DELLE CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI LENTI
 (t , t0 ) il coefficiente di viscosità al tempo t riferito a carichi applicati al tempo t 0 ;
Il coefficiente di viscosità  (t , t0 ) è in relazione con il modulo tangente, Ec, che si può assumere
pari a 1,05 Ecm. Se non è richiesta una grande accuratezza, il valore che si può ricavare dalla Figura
3.1 – Metodo per determinare il coefficiente di viscosità  (t , t 0 ) di calcestruzzi in condizioni
ambientali normali - può essere considerato il coefficiente di viscosità, a condizione che il
calcestruzzo sia soggetto a una tensione di compressione sotto i carichi quasi permanenti non
superiore a  c  0,45  f ck al tempo t0, età del calcestruzzo al momento dell’applicazione del carico.
Si deve verificare cioè che:
 cm0 s  0,45  f ck  0,45  45  20,25 N / mm2
Essendo Pc  s  r (x) il valore (nella sezione di ascissa x) delle perdite di pr
dipendenti dal tempo causate dalla viscosità e dal ritiro del calcestruzzo e dal rila
armature da precompressione.
Tali perdite di precompressione sono dovute come detto:
− ai fenomeni viscosi del calcestruzzo dovuti alla precompressione ed ai carichi perm
− al rilassamento dell’acciaio;
− al ritiro del calcestruzzo.
Le suddette perdite di precompressione (al tempo t) possono essere calcolate media
relazione di normativa:
Ep
 cs  E p  0,8   pr ( x) 
  (t , t 0 )   c ,Qp
Ecm
Pc  s  r ( x)  Ap   p ,c  s  r ( x)  A p 
E p Ap 

A
1

 1  c  z cp2   1  0,8   (t , t 0 )
Ecm Ac 
Ic

essendo:
 p ,c  s  r il valore assoluto della variazione di tensione nelle armature dovuta all
calcestruzzo,
al ritiro di
delmessa
calcestruzzo
ed alèrilassamento dell’acciaio; tale valore
Siccome la tensione limite di compressione in esercizio (cioè nel momento
in carico)
tempo
t,
nella
sezione
di
ascissa
x;
 c  0,5  f ck , occorre effettuare questa verifica tensionale sul calcestruzzo al fine di accertare la
 cs valore assoluto totale del ritiro del calcestruzzo calcolato in accordo con il
possibilità di usare la formulazione semplificata.
Viscosità e ritiro; la deformazione totale da ritiro si può esprimere come:
Nel caso in esame:
 cs   cd   ca
N p ,m 0 N p ,m 0  e p ,m 0 M min  M sol M perm  M var
2
dove:
 cm 0 s 



 3,64 N / mm  0,45  f ck  20,25 N / mm 2
Aci
Wsteg tref
Wsteg tref
Ws*(t t  s )  cd è la deformazione per ritiro da essiccamento (il ritiro da essiccamento si manife
in seguito alla migrazione delle particelle d’acqua che si trovano all’interno della pa
teg+tref
indurita) (cioè considerando la sezione di
dove:Ws
è il modulo di resistenza del tegolo omogeneizzato
 ca è la deformazione per ritiro autogeno (il ritiro autogeno si sviluppa in seguito al
cls e trefoli) e riferito alla fibra superiore;
del
calcestruzzo:
tale motivo
manifesta
nel periodo immediatamente successivo
W*s è il modulo di resistenza del tegolo omogeneizzato
+ soletta per
e riferito
allasiquota
della
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CALCOLO DELLE CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI LENTI
fibra superiore;
Mmin è il momento dovuto al solo peso proprio del tegolo;
Msoletta è il momento dovuto al peso della soletta (che grava solo sulla sezione di tegolo
omogeneizzata);
Mperm+var è il momento dovuto ai carichi fissi ed a quelli accidentali che agiscono sulla sezione
completa e cioè formata da tegolo e soletta;
Si può dunque applicare la teoria della viscosità lineare.
Essendo Pc  s  r (x) il valore (nella sezione di ascissa x) delle perdite di pr
dipendenti dal tempo causate dalla viscosità e dal ritiro del calcestruzzo e dal rila
armature da precompressione.
Tali perdite di precompressione sono dovute come detto:
− ai fenomeni viscosi del calcestruzzo dovuti alla precompressione ed ai carichi perm
− al rilassamento dell’acciaio;
− al ritiro del calcestruzzo.
Le suddette perdite di precompressione (al tempo t) possono essere calcolate media
relazione
normativa:
L'Appendice B dell'Eurocodice contiene informazioni dettagliate sull'evoluzione della
viscositàdinel
tempo. I valori ivi riportati valgono per condizioni ambientali caratterizzate da umidità relativa
Ep
 cs  E p  0,8   pr ( x) 
  (t , t 0 )   c ,Qp
compresa fra 40% e 100% e temperatura fra –40°C e + 40°C. I grafici sono inoltre funzione dell'età
Ecm
del calcestruzzo t , espressa in giorni, all'atto dell'applicazione del carico, della dimensione
fittizia
P  s  r ( x)  Ap   p ,c  s  r ( x)  A p 
nonché della classe di calcestruzzo (es. C30/37) e della classe (R, N, S) del cemento cimpiegato
E p Ap 

A
come specificato al punto 3.1.2 - Resistenza.
1

 1  c  z cp2   1  0,8   (t , t 0 )
Ecm Ac 
Ic

essendo:
 p ,c  s  r il valore assoluto della variazione di tensione nelle armature dovuta all
calcestruzzo, al ritiro del calcestruzzo ed al rilassamento dell’acciaio; tale valore
tempo t, nella sezione di ascissa x;
 cs valore assoluto totale del ritiro del calcestruzzo calcolato in accordo con il
Viscosità e ritiro; la deformazione totale da ritiro si può esprimere come:
 cs   cd   ca
dove:
 cd è la deformazione per ritiro da essiccamento (il ritiro da essiccamento si manife
in seguito alla migrazione delle particelle d’acqua che si trovano all’interno della pa
indurita)
 ca è la deformazione per ritiro autogeno (il ritiro autogeno si sviluppa in seguito al
del calcestruzzo: per tale motivo si manifesta nel periodo immediatamente successivo
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0
Fig.6.1 - Metodo per determinare il coefficiente di viscosità φ(∞, t0) di calcestruzzi in condizioni ambientali
normali
La deformazione viscosa del calcestruzzo  cc ,t0  al tempo t = ∞ per una tensione di
compressione costante c applicata all’età t0 del calcestruzzo, è data da:
 cc , t 0    , t 0 

c
Eq.21
Ecm
Se la tensione al tempo to è maggiore di  c  0,45  f ck (t 0 ) , la proporzionalità espressa dalla Eq. 21
non sussiste e bisogna fare ricorso all'espressione esponenziale (3.7) dell’EC2.
Il calcolo della caduta di tensione per viscosità deve essere effettuato con riferimento alla tensione
che, nella sezione considerata, agisce sulla fibra di conglomerato posta al livello dell’armatura.
Essendo Pc  s  r (x) il valore (nella sezione di ascissa x) delle perdite di pr
dipendenti dal tempo causate dalla viscosità e dal ritiro del calcestruzzo e dal rila
armature da precompressione.
Tali perdite di precompressione sono dovute come detto:
− ai fenomeni viscosi del calcestruzzo dovuti alla precompressione ed ai carichi perm
− al rilassamento dell’acciaio;
− al ritiro del calcestruzzo.
Le suddette perdite di precompressione (al tempo t) possono essere calcolate media
relazione di normativa:
La fase in cui si manifestano le cadute di tensione per viscosità è ovviante quella di esercizio e nella
Ep
 cs  E p  0,8   pr ( x) 
  (t , t 0 )   c ,Qp
condizione di carico quasi permanente. Occorre riferirsi al sistema tegolo – soletta e armatura.
Ecm
Il tempo di messa in carico t0 può variare da 10 gg ad 1 anno a seconda
delle
necessità.
Si
suppone
Pc  s  r ( x)  Ap   p ,c  s  r ( x)  A p 
E p Ap 

A
che t0=10 giorni. Pertanto φ(∞, t0)=1,9. A vantaggio di sicurezza si assume φ(∞, t0)=2,0.
1

 1  c  z cp2   1  0,8   (t , t 0 )
Ecm Ac 
Ic

teg tref
teg tref
*
*
essendo:
YG
I XG
YG
I XG
A ci
n*
 p ,c  s  r il valore
assoluto della variazione di tensione nelle armature dovuta all
2
4
4
m
m
m
---m
m
calcestruzzo,
al
ritiro
del calcestruzzo ed al rilassamento dell’acciaio; tale valore
0.279
0.391
1.05E-02
0.833
0.449
1.43E-02
tempo t, nella sezione di ascissa x;
 cs valore assoluto totale del ritiro del calcestruzzo calcolato in accordo con il
s
A ci  YGteg tref  n * A sol   h teg  sol  Viscosità
e ritiro; la deformazione totale da ritiro si può esprimere come:
2


*
Y

G
dove:
 cs   cd   ca
A ci  n * A sol
dove:
2
 cd è la deformazione
per ritiro da essiccamento (il ritiro da essiccamento si manife
s sol
*
teg tref
teg tref
* 2
*
*

I XG  I XG
 A ci  YG
 YG  n  Asol  in
 YG  delle particelle d’acqua che si trovano all’interno della pa
 hseguito
teg  alla2migrazione


indurita)
E
30000
 ca è la deformazione per ritiro autogeno (il ritiro autogeno si sviluppa in seguito al
n*  cm ,sol 
 0,833
del calcestruzzo: per tale motivo si manifesta nel periodo immediatamente successivo
Ecm,teg 36000
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

CADUTE DI TENSIONE PER VISCOSITA'
Np,mo
trefolo
n°
1
2
3
4
Aci
2
kN
m
872
0.279
ep,m0teg+tref
Wjteg+tref
3
m
m
0.0307
0.0360
0.0434
0.0548
0.266
Wj*
 c,Qpj
n
f (oo,t0)
Ds visc,j
3
2
-
-
6
2
kN/m2
25112
26694
28276
29857
m
0.0358
0.0409
0.0478
0.0574
kN/m
2093
2224
2356
2488
 c,Qp è la tensione nel calcestruzzo calcolata in corrispondenza delle armature da precompressione
dovuta al peso proprio, alla precompressione iniziale ed alle altre azioni quasi permanenti; si precisa
che, a seconda della fase costruttiva considerata, il valore  c,Qp può essere dovuto ad una parte dei
pesi propri ed alla precompressione iniziale oppure dovuto ad una completa combinazione di carico
quasi permanente ed alla precompressione iniziale  c G  Pm0   2  Q  ;


N p ,m 0

tref
N p ,m0  eteg
p ,m 0

M min  M sol

M perm  M var
Essendo Pc  s  r (x) il valore (nella sezione di ascissa x) delle perdite di pr
dipendenti dal tempo causate dalla viscosità e dal ritiro del calcestruzzo e dal rila
armature da precompressione.
Taliarmature
perdite didaprecompressione
 c,Qp è la tensione nel calcestruzzo calcolata in corrispondenza delle
precompressionesono dovute come detto:
− ai fenomeni viscosi del calcestruzzo dovuti alla precompressione ed ai carichi perm
dovuta al peso proprio, alla precompressione iniziale ed alle altre azioni quasi permanenti; si precisa
− al rilassamento dell’acciaio;
che, a seconda della fase costruttiva considerata, il valore  c,Qp può
essere
ad una parte dei
− al
ritirodovuto
del calcestruzzo.
pesi propri ed alla precompressione iniziale oppure dovuto ad una Le
completa
combinazione
di carico
suddette
perdite di precompressione
(al tempo t) possono essere calcolate media


quasi permanente ed alla precompressione iniziale  c G  Pm0  relazione
;

Q
di normativa:
2
tref
Ep
N
N
 eteg
M perm  M var
M M
p ,m 0
 cs  E p  0,8   pr ( x) 
  (t , t 0 )   c ,Qp
 c,Qpj  p ,m0  p ,m0teg tref
 minteg tref sol 
Ecm
*
Pc  s  r ( x)  Ap   p ,c  s  r ( x)  A p 
Aci
(W j
)
(W j
)
(W j )
E p Ap 

A
1

 1  c  z cp2   1  0,8   (t , t 0 )
M p ,m 0
Ecm Ac 
Ic

con: N p ,m0   j N p ,m0 j e e p ,m 0 
N p ,m 0
essendo:
 p ,c considerando
in cui: Wjteg+tref è il modulo di resistenza del tegolo omogeneizzato(cioè
la sezionedella
di variazione di tensione nelle armature dovuta all
s  r il valore assoluto
cls e trefoli) e riferito al j-esimo livello di trefoli;
calcestruzzo, al ritiro del calcestruzzo ed al rilassamento dell’acciaio; tale valore
W*j è il modulo di resistenza del tegolo omogeneizzato+soletta tempo
e riferito
alla sezione
quota del
j-esimox;
t, nella
di ascissa
livello di trefoli;
 cs valore assoluto totale del ritiro del calcestruzzo calcolato in accordo con il
Mmin è il momento dovuto al solo peso proprio del tegolo;
Viscosità e ritiro; la deformazione totale da ritiro si può esprimere come:
Msol è il momento dovuto al peso della soletta (che grava solo sulla sezione di tegolo
 cs   cd   ca
omogeneizzata);
dove:
Mperm+acc è il momento dovuto ai carichi fissi ed a quelli accidentali che agiscono sulla sezione
 cd è la deformazione per ritiro da essiccamento (il ritiro da essiccamento si manife
completa e cioè formata da tegolo e soletta;
A p  Asj è l’area della sezione delle armature da precompressione
sezione
x e alla fibra
in nella
seguito
alla migrazione
delleinparticelle d’acqua che si trovano all’interno della pa
indurita)
esame;
 ca è la deformazione per ritiro autogeno (il ritiro autogeno si sviluppa in seguito al
Ac  Ac  Asol è l’area della sezione di calcestruzzo (tegolo + soletta);
*
del
calcestruzzo:
per tale
I  I è il momento di inerzia della sezione di calcestruzzo (momento
di inerzia
del motivo
sistemasi manifesta nel periodo immediatamente successivo
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CALCOLO DELLE CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI LENTI
c
XG
tegolo+soletta rispetto al proprio baricentro);
z cpj  YG*  y j è l’eccentricità delle armature da precompressione calcolata facendo riferimento al
baricentro della sezione di calcestruzzo.
 pr il valore assoluto della variazione della tensione nell’armatura da precompressione calcolata
in x al tempo t dovuta al rilassamento dell’armatura da precompressione stessa. Tale variazione è
calcolata per una tensione  p dovuta ai carichi quasi permanenti ed alla precompressione iniziale;
 p   p G  Pm 0   2  Q 
Essendo Pc  s  r (x) il valore (nella sezione di ascissa x) delle perdite di pre
dipendenti dal tempo causate dalla viscosità e dal ritiro del calcestruzzo e dal rilass
armature da precompressione.
Tali perdite di precompressione sono dovute come detto:
− ai fenomeni viscosi del calcestruzzo dovuti alla precompressione ed ai carichi perma
− al rilassamento dell’acciaio;
− al ritiro del calcestruzzo.
Le suddette perdite di precompressione (al tempo t) possono essere calcolate mediant
relazione di normativa:
La relazione 17 si riferisce:
Ep
− a valori “locali” (nella sezione in esame) quando si tratta di armature da precompressione
 cs  E p  0,8   pr ( x) 
  (t , t 0 )   c ,Qp
Ecm
aderenti;
Pc  s  esterni;
r ( x )  A p   p ,c  s  r ( x )  A p 
− a valori medi fra le sezioni poste nei punti di deviazione se si fa riferimento a cavi
E p Ap 

A
− a valori medi calcolati lungo l’intera lunghezza della trave precompressa se si fa riferimento ad
1

 1  c  z cp2   1  0,8   (t , t 0 )
Ecm Ac 
Ic
armature interne non aderenti.

Si ricorda che, in accordo a quanto è scritto al paragrafo 3.3.2 – Proprietà
essendo:, le perdite per
rilassamento delle armature da precompressione possono essere calcolate 
o
sulla baseildivalore
certificati
assoluto della variazione di tensione nelle armature dovuta alla
p ,c  s  r
di prova forniti dal produttore o tramite le Relazioni (3.28), (3.29), (3.30) calcolando
il rapporto fra il
calcestruzzo,
al
ritiro
valore delle perdite di tensione per rilassamento (  pr ) ed il valore delle tensioni iniziali nelle del calcestruzzo ed al rilassamento dell’acciaio; tale valore è
tempo t, nella sezione di ascissa x;
armature da precompressione (  pi ). Le 3 relazioni sono relative alle tre classi di rilassamento in cui
 cs valore assoluto totale del ritiro del calcestruzzo calcolato in accordo con il p
si possono suddividere le armature.
Viscosità
e ritiro; la
totale da ritiro si può esprimere come:
In tale calcolo interviene il valore 1000 che rappresenta le perdite per rilassamento (espresse
in deformazione
%)
 cs   cd   ca
a 1000 ore dopo la tesatura, in un ambiente in cui la temperatura media è di 20 °C.
In particolare molto diffusi sul mercato sono attualmente acciai a basso rilassamento
per i quali è
dove:
possibile verificare la presenza di rilassamento, per una tensione iniziale pari
fpk, dell’ordine per ritiro da essiccamento (il ritiro da essiccamento si manifes
 cd aè0,75
la deformazione
del 4-6%, contro il 21% di quelli ad ordinario rilassamento valutata con
l’indicazione della
in seguito
migrazione
delle particelle d’acqua che si trovano all’interno della pas
normativa con un risultato assolutamente antieconomico. Per poter utilizzare
al meglioalla
l’armatura
è
indurita)
dunque d’obbligo l’utilizzo di acciaio con basso limite di rilassamento. Dalla scheda di produzione
 ca è la deformazione per ritiro autogeno (il ritiro autogeno si sviluppa in seguito alla
delle trecce e trefoli si legge 1000  2% .
Nel caso dei trefoli a basso rilassamento (classe 2) si ha:
del calcestruzzo: per tale motivo si manifesta nel periodo immediatamente successivo a
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CALCOLO DELLE CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI LENTI
 pr
 pi
 t 
 0,66  1000  e 9,1 

 1000 
0 , 751  
 10 5
[(3.29) – EC2]
Eq.22
dove:
 pr è il valore assoluto delle perdite di rilassamento;
 pi   p ,m 0 j per le strutture post-tese è il valore della tensione iniziale nelle armature da
precompressione; per le strutture pre-tese è il valore della tensione ottenuto sottraendo al valore
massimo della tensione applicata alle armature da precompressione le perdite immediate avvenute
durante le fasi della tesatura (attrito nelle piegature e rientro cunei);
 pi

con f pk valore caratteristico della resistenza a trazione delle armature da precompressione;
f pk
t è il tempo dopo la messa in tensione delle armature da precompressione, misurato in ore;i valori a
lungo termine (finali) delle perdite per rilassamento (punto 3.3.2 - Proprietà) possono essere stimati
per un tempo t uguale a 500000 ore (cioè approssimativamente 57 anni);
La condizione più sfavorevole si ha in mezzeria.
Essendo Pc  s  r (x) il valore (nella sezione di ascissa x) delle perdite di pre
dipendenti dal tempo causate dalla viscosità e dal ritiro del calcestruzzo e dal rilass
armature da precompressione.
Tali perdite di precompressione sono dovute come detto:
− ai fenomeni viscosi del calcestruzzo dovuti alla precompressione ed ai carichi perma
− al rilassamento dell’acciaio;
− al ritiro del calcestruzzo.
Le suddette perdite di precompressione (al tempo t) possono essere calcolate mediant
relazione di normativa:
Ep
 cs  E p  0,8   pr ( x) 
  (t , t 0 )   c ,Qp
Ecm
Pc  s  r ( x)  Ap   p ,c  s  r ( x)  A p 
E p Ap 

A
1

 1  c  z cp2   1  0,8   (t , t 0 )
Ecm Ac 
Ic

essendo:
 p ,c  s  r il valore assoluto della variazione di tensione nelle armature dovuta alla
La fase in cui si manifestano tali cadute tensionali è ovviamente
di esercizio
nella
calcestruzzo, alquella
ritiro del
calcestruzzoe ed
al rilassamento dell’acciaio; tale valore è
condizione di carico caratteristica. Si avrà nel caso in esame:
tempo t, nella sezione di ascissa x;
 cs valore assoluto totale del ritiro del calcestruzzo calcolato in accordo con il p
CADUTE DI TENSIONE PER RILASSAMENTO
Viscosità e ritiro; la deformazione totale da ritiro si può esprimere come:
s p,m0j
fpk
trefolo
 prj
.8*prj

1
cs   cd   ca
dove:
2
2
n°
kN/m2
kN/m2
kN/m
kN/m
 è la deformazione per ritiro da essiccamento (il ritiro da essiccamento si manifes
1
1168913
0.628
2 cd
26555
21244
in
seguito
alla
migrazione
delle particelle d’acqua che si trovano all’interno della pas
2
1170895
0.630
2
26726
21381
1860000
indurita)
3
1172878
0.631
2
26898
21518
per
ritiro autogeno (il ritiro autogeno si sviluppa in seguito alla
4
1174860
0.632
2  ca è la deformazione
27071
21657
del
calcestruzzo:
per
tale
motivo
si manifesta nel periodo immediatamente successivo a
Le tensioni di esercizio nei trefoli sono infine:
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Ing. G.MAGLIULO
CALCOLO DELLE CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI LENTI
 pj   p,m0 j   csr , j
Ds pj
Ds rit,j
Ds visc,j
.8*pr,j
Ds c+s+r,j
s pj
kN/m2
32700
30717
28735
26753
kN/m2
kN/m2
25112
26694
28276
29857
kN/m2
21244
21381
21518
21657
kN/m2
185671
186478
187171
187739
kN/m2
1015942
1015135
1014442
1013874
112710
La verifica dello stato tensionale nel trefolo richiede che sia
4
 pj   p ,max  0.60  f pk  112  10 kN / m
Pertanto la verifica è soddisfatta.
2
Elementi e strutture precompressi
VERIFICHE DEL CALCESTRUZZO IN FASE DI ESERCIZIO
La posizione del centro degli sforzi di precompressione è determinata allo stesso modo di come
fatto in precedenza, portando però questa volta in conto anche le cadute di tensione. I risultati sono
illustrati sinteticamente nella tabella che segue:
s pj
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Ing. G.MAGLIULO
2
kN/m
1015942
1015135
1014442
1013874
Nj
Mj
N
M
Y
e
N0/N
kN
189.0
188.8
188.7
188.6
kNm
9.4
18.9
28.3
37.7
kN
kNm
m
m
%
755
94
0.1250
0.266
1.18
Dove: N j  Asj   pj ;
M j  N j  y j con yj distanza della j-esima linea dei trefoli dal bordo inferiore;
M   jM j e N   j N j ;
M
Y 
è il punto di applicazione della risultante degli sforzi di precompressione
N
rispetto al bordo inferiore del tegolo;
e  YGtegtref  Y
OSS.: il rapporto N0/N=1,18 ci dice che le cadute di tensione ipotizzate (=1,2) risultano maggiori
di quelle effettive.
Per le verifiche in esercizio consideriamo la condizione di carico caratteristica.
Elementi e strutture precompressi
VERIFICHE IN FASE DI ESERCIZIO
Le tensioni normali di esercizio (cioè a cadute di tensioni avvenute), al lembo superiore e inferiore
sono calcolate come:
M perm  M var
M sol
M
N
Ne
 teg tref  tegmin


Aci Ws
Ws tref Wsteg tref
Ws*
M perm  M var
M
M
N
Ne
 ci 
 teg tref  tegmin
 tegsol

 tref
 tref
Aci Wi
Wi
Wi
Wi*
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 cs 
dove: N è lo sforzo normale in esercizio (cioè considerate anche le cadute di tensione);
Aci è l’area della sezione omogeneizzata costituita dal tegolo e dai trefoli;
e è l’eccentricità dello sforzo di precompressione rispetto al baricentro della sezione tegolo +
trefoli omogeneizzata e considerando anche le cadute di tensione;
Wi teg tref e Wsteg tref sono il modulo di resistenza della sezione omogeneizzata tegolo+trefoli
rispetto al lembo inferiore ed superiore del tegolo;
Wi * e W s* è il modulo di resistenza della sezione omogeneizzata tegolo+trefoli+soletta
rispetto al bordo inferiore e superiore del tegolo;
Mmin, Msol, Mperm, Mvar hanno il significato noto già ricordato nei precedenti paragrafi.

condizione di carico caratteristica
N
e
Ws,teg
teg+tref
kN
Aci
2
m
m
m
755
0.279
0.266
0.0500
3
Wi,teg
teg+tref
m
3
0.0268
Ws,teg
m
*
3
0.0942
Wi,teg
m
*
3
0.0318
s cs
s ci
2
kN/m
4234
2
kN/m
-1102
Le verifiche sono quindi soddisfatte, tenuto conto che i limiti tensionali sono (condizioni
ambientali ordinarie):
 cs  0,5  f ck  22500kN / m 2
 ci   f ctm  3800kN / m 2
Le verifiche risultano entrambe soddisfatte!
Elementi e strutture precompressi
Napoli – 10 maggio 2007
Ing. G.MAGLIULO
VERIFICA A FESSURAZIONE
Si procede come nel c.a. ordinario, tenendo conto che le
armature sono pretese
Elementi e strutture precompressi
Napoli – 10 maggio 2007
Ing. G.MAGLIULO
VERIFICA ALLO STATO LIMITE DI ESERCIZIO:
Verifica a deformazione
Si procede come nel c.a. ordinario
Elementi e strutture precompressi
VERIFICA ALLO STATO LIMITE ULTIMO PER FLESSIONE
Napoli – 10 maggio 2007
Ing. G.MAGLIULO
La verifica si esegue come per il c.a. ordinario, tenendo conto di alcune
peculiarità:
• Negli elementi precompressi si deve tener conto dell’azione sismica verticale
• Si tiene conto della deformazione dei trefoli fino a decompressione del
calcestruzzo
Elementi e strutture precompressi
Napoli – 10 maggio 2007
Ing. G.MAGLIULO
VERIFICA ALLO STATO LIMITE ULTIMO PER SOLLECITAZIONE
TAGLIANTE
Come per il cemento armato ordinario…..
(il massimo valore del taglio si ha ovviamente sull’appoggio laddove non si considera l’azione di precompressione)
Napoli – 10 maggio 2007
Ing. G.MAGLIULO
Elementi e strutture precompressi
GRAZIE PER LA CORTESE ATTENZIONE