Lezione n. 4 - Dipartimento di Matematica e Fisica

12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
1
Da Eistein
«…la teoria della relatività assomiglia ad un edificio a due
piani separati: la teoria speciale (o ristretta) e la teoria
generale.
La teoria speciale […] si applica a tutti i fenomeni fisici
tranne la gravitazione.
La teoria generale conduce alla legge della gravitazione e alle
relazioni di essa con altre forze della natura.»
La teoria della relatività speciale o ristretta fu formalizzata
per la prima volta attraverso un saggio pubblicato nel 1905.
Successivamente, nel 1915, Einstein propose una nuova teoria
(la teoria della relatività generale) che superava la precedente,
includendola come caso limite.
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
2
Tre scienziati determinanti nella storia della
relatività:
Galileo
Maxwell
Einstein
Ma anche molti altri: Poincarè, Fitgerald, Michelson, Morley,
Lorentz, Minkowski......
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
3
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
4
Riserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili
animaletti volanti; siavi anco un gran vaso d'acqua, e dentrovi de' pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia
vadia versando dell'acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente come
quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso le parti della stanza; i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i
versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi, gettando all'amico alcuna cosa, non più gagliardamente la dovrete gettare
verso quella parte che verso questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a piè giunti, eguali spazii passerete
verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia che mentre il vassello sta fermo non
debbano succeder così, fate muover la nave con quanta si voglia velocità ché (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là)
voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, nè da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o
pure sta ferma: voi saltando passerete nel tavolato i medesimi spazii che prima, nè, perché la nave si muova velocissimamente, farete
maggior salti verso la poppa che verso la prua, benché, nel tempo che voi state in aria, il tavolato sottopostovi scorra verso la parte
contraria al vostro salto; e gettando alcuna cosa al compagno, non con più forza bisognerà tirarla, per arrivarlo, se egli sarà verso la prua e
voi verso poppa, che se voi fuste situati per l'opposito; le gocciole cadranno come prima nel vaso inferiore, senza caderne pur una verso
poppa, benché, mentre la gocciola è per aria, la nave scorra molti palmi; i pesci nella lor acqua non con più fatica noteranno verso la
precedente che verso la sussequente parte del vaso, ma con pari agevolezza verranno al cibo posto su qualsivoglia luogo dell'orlo del vaso; e
finalmente le farfalle e le mosche continueranno i lor voli indifferentemente verso tutte le parti, nè mai accaderà che si riduchino verso la
parte che riguarda la poppa, quasi che fussero stracche in tener dietro al veloce corso della nave, dalla quale per lungo tempo, trattenendosi
per aria, saranno state separate; e se abbruciando alcuna lagrima d'incenso si farà un poco di fumo, vedrassi ascender in alto ed a guisa di
nugoletta trattenervisi, e indifferentemente muoversi non più verso questa che quella parte. E di tutta questa corrispondenza d'effetti ne è
cagione l'esser il moto della nave comune a tutte le cose contenute in essa ed all'aria ancora, che per ciò dissi io che si stesse sotto coverta;
ché quando si stesse di sopra e nell'aria aperta e non seguace del corso della nave, differenze più e men notabili si vedrebbero in alcuni de gli
effetti nominati: e non è dubbio che il fumo resterebbe in dietro, quanto l'aria stessa; le mosche parimente e le farfalle, impedite dall'aria,
non potrebber seguir il moto della nave, quando da essa per spazio assai notabile si separassero; ma trattenendovisi vicine, perché la nave
stessa, come di fabbrica anfrattuosa, porta seco parte dell'aria sua prossima, senza intoppo o fatica seguirebbon la nave, e per simil cagione
veggiamo tal volta, nel correr la posta, le mosche importune e i tafani seguir i cavalli, volandogli ora in questa ed ora in quella parte del
corpo; ma nelle gocciole cadenti pochissima sarebbe la differenza, e ne i salti e ne i proietti gravi, del tutto impercettibile.
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
5
Rinserratevi nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun
gran navilio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animaletti
volanti; siavi anco un gran vaso d'acqua, e dentrovi dei pescetti;
sospendasi anco in alto qualche secchiello che a goccia a goccia
vadia versando del'acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia
posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente
come quegli animaletti volanti con pari velocità vadano verso tutte
le parti della stanza; i pesci si vedranno andar notando
indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte
nel vaso sottoposto... Osservate che avrete diligentemente tutte
queste cose, benché niun dubbio ci sia che mentre ‘l vassello sta
fermo non debbano succedere così, fate muover la nave con quanta
si voglia velocità, ché (purché il moto sia uniforme e non
fluttuante...) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti
li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprendere se la
nave cammina oppure sta ferma..
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
6
Principio galileiano di relatività.
Tutte le leggi della Meccanica, quali quelle
relative alla caduta dei gravi, alle oscillazioni,
ecc., sono le medesime per osservatori in moto
traslatorio rettilineo uniforme l'uno rispetto
all'altro.
[sono invarianti rispetto a trasformazioni di
Galileo]
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
7
Un evento fisico è qualcosa che accade in un certo
punto ad un certo tempo (ad es. l’accendersi di
una lampadina), indipendentemente dal sistema di
riferimento che potremmo usare. Per descrivere
un evento usiamo quattro misure in un particolare
sistema di riferimento, cioè le coordinate x, y, z, e
il tempo t.
Consideriamo ora due sistemi
di riferimento, uno fermo che
chiameremo O e l’altro (che
si muove con velocità v0
rispetto a O) che chiameremo
O’.
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
8
Per comodità supponiamo che il sistema O’ si
sposti lungo l’asse comune x , x’ . A questo
punto poniamo che si verifichi un evento in un
punto P; un osservatore in O misurerà la
posizione e l’istante in cui avviene l’evento
assegnandogli le coordinate spaziali x, y, z e il
tempo t, mentre un osservatore
in O’ in movimento con velocità
v0 gli assegnerà le coordinate
x’, y’, z’, t’.
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
9
Trasformazioni di Galileo.
x = x' + v0 t
t = t'
derivando
v = v' + v0
derivando
a = a'
(F = ma) = (F’=ma')
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
10
Punti salienti della meccanica
classica
Spazio, tempo, massa assoluti
Le forze, i segmenti orientati, gli
intervalli temporali, le masse (inerziali o
gravitazionali) sono invarianti in tutti i
sistemi inerziali.
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
11
Una riflessione: da Galileo a Newton tutte le leggi
della meccanica erano state sviluppate in un
mondo in cui le velocità erano molto minori di
quella della luce .
(360 Km/h = 0.1 Km/s << 300.000 Km/s)
le leggi che si ricavano non è detto che si possano
estrapolare a velocità prossime a c.
(esempio: carica condensatore in mondo in cui  è
sempre dell’ordine del milione di anni)
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
12
Passa il tempo...........
ed intanto si cominciano a studiare i
fenomeni elettrostatici, la corrente elettrica,
il campo elettrico, il magnetismo, i
fenomeni di induzione......
.....fino al 1860 circa
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
13
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
14
Maxwell raccoglie tutti i risultati
nelle quattro equazioni
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
15

D  ρ
Gauss

 B  0


B
E  
t
B  solenoidale
FaradayNeumann

  D
H  j 
t
12/05/2004
Circuit.di H
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
16
Dalle equazioni di Maxwell, con qualche ipotesi del
tutto generale e con semplici operazioni
matematiche si trova che le onde elettromagnetiche
si muovono con velocità:
1
c
ε 0μ 0
la stessa con cui si propaga la luce
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
17
Difficoltà
Dall’ analisi delle equazioni di Maxwell
sorgono alcune inconsistenze con le teorie
precedenti:
in particolare la velocità della luce
è fissata indipendentemente dal
sistema di riferimento
1
c
ε 0μ 0
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
18
Inoltre
le e. di Maxwell NON sono invarianti
sotto trasformazioni di Galileo
Cioè il campo elettromagnetico non
rispetta il principio di relatività
Galileiana. (Il campo elettrico e quello
magnetico non son uguali in tutti i sistemi
inerziali)
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
19
E
E
E
E
E
E
E
E
E
Filo su cui sono
depositate cariche positive
E
EE
E
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
EE
E
E
E
S.d.R. fisso rispetto
al filo
20
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
21
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
22
Questi problemi spinsero gli scienziati
della fine sec. 1800 a sviluppare ricerche
sperimentali e teoriche per chiarire le
inconsistenze che si venivano
evidenziando.
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
23
Da un punto di vista sperimentale
prendiamo il caso della costanza della
velocità della luce.........
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
24
Maxwell prevede per c un valore ben determinato senza fare
ipotesi sul sistema di riferimento.
Ciò porta a 3 possibilità:
1) Le equazioni di Maxwell sono sbagliate od incomplete (cfr.
il caso della corrente di spostamento)
2) Il valore calcolato da Maxwell si riferisce ad un ben
determinato sistema di riferimento. In tal caso cambiando s.d.r.
cambierà il valore di c.
3) se c non varia cambiando il s.d.r. le trasformazioni di Galileo
sono sbagliate.
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
25
Tralasciando il 1) caso
[ 1)Le equazioni di Maxwell sono sbagliate od incomplete (cfr. il caso della
corrente di spostamento]
(per cui non si trovavano grandi possibilità di modificare le equazioni) le
ricerche si concentrarono sulla seconda possibilità:
[ 2)Il valore calcolato da Maxwell si riferisce ad un ben determinato sistema
di riferimento. In tal caso cambiando s.d.r. cambierà il valore di c.]
l’esempio classico a cui riferirsi erano le onde elastiche (ad es. le onde
sonore) la cui velocità di propagazione dipendeva dalle caratteristiche del
mezzo su cui si muovevano.
Si poteva quindi immaginare che le onde e.m. si propagassero attraverso un
mezzo particolare (l’etere) e che in tale sistema la velocità di propagazione
fosse appunto
1
c
ε 0μ 0
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
26
Poichè si presupponevano valide le trasformazioni di
Galileo si doveva trovare un particolare sistema di
1
riferimento O tale che in esso valesse la c 
ε 0μ 0
Ovviamente in un sistema O′ in moto con velocità v
rispetto ad O si sarebbe ottenuta una velocità
  
V  vc
Sarebbe quindi stato sufficiente misurare la velocità della
luce in vari sistemi di riferimento per individuare quello in
cui essa valeva c e quindi trovare il s.d.r. dell’etere
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
27
Purtroppo fino al 1870 le misure della
velocità della luce erano affette da un errore
molto maggiore delle velocità che era
possibile raggiungere in quei tempi
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
28
K. D. Froome and L. Essen, "The Velocity of Light and Radio Waves", Academic Press, 1969
When
Author
Measured
1626
1676
1726
1849
1857
Galileo
Olaus Roemer
James Bradley
Armand Fizeau
Weber,
Light
Light
Light
Light
ESU/EMU
1862
1879
1891
1907
1926
Leon Foucault
Albert Michelson
Blondlot
Rosa, Dorsey
Albert Michelson
12/05/2004
Method
Uncovering Lanterns
Galilean Satellites of Jupiter
Stellar Aberration
Toothed Wheel
Ratio of Electrostatic to
Electromagnetic Units
Light
Rotating Mirror
Light
Rotating Mirror
Radio
Parallel Wires
EMU/ESU Electromagnetic Units
Light
Rotating Mirror
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
Result (km/s)
Error
infinity
214,000
301,000
315,000
310,740
298,000±500
299,910±50
297,600±15000
299,788±30
299,796±4
29
Fu quindi necessario:
a) da una parte trovare un sistema con la più
alta velocità possibile,
b) dall’altra diminuire drasticamente
l’errore nella misura della velocità della
luce.
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
30
Per a) si prese la massima velocità allora
raggiungibile: quella con cui la terra gira
attorno al sole ~29 km/s ≈ 100.000 km/ora.
Per b) si dovettero inventare nuovi metodi
usando le cognizioni sull’ottica che si
stavano sviluppando in quei tempi.
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
31
• A.A. Michelson (1852-1931) con la
collaborazione di E.W. Morley inventò
l’interferometro che porta il suo nome, uno
strumento di grandissima precisione, che rese
possibile l’esperimento di verifica della teoria
dell’etere;
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
32
L’interferometro di Michelson era direttamente connesso
con la Terra, perciò se noi immaginiamo che l’etere sia fisso
rispetto al sole, la Terra (e con essa pure l’interferometro) si
muove nell’etere con una velocità pari a 29 Km/s in direzioni
diverse a seconda delle stagioni.
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
33
Nella pratica, la realizzazione dell'esperimento
consisteva nella rilevazione di una differenza
di velocità di propagazione della luce fra due
raggi luminosi perpendicolari.
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
34
Per rendere intuitivamente l’ esperimento possiamo riferirci all’immagine di una
nave che si muova lungo un fiume tra due punti A e B alla stessa distanza. Nel
primo caso B è a valle del fiume mentre nel secondo B è sull’altra sponda.
v
c
12/05/2004
2
c -v
2
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
35
Nel primo caso il tempo impiegato dal punto A a
quello B e ritorno è:
Nel secondo caso invece abbiamo
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
36
La differenza tra i tempi di transito quindi è:
Supponiamo ora che il fiume scorra verticalmente (cioè venga ruotato di
90°), a questo punto l1 è il cammino perpendicolare alla corrente e l2
quello parallelo alla corrente. Facendo le dovute sostituzioni la stessa
analisi compiuta in precedenza ora da per la differenza fra i tempi di
transito è:
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
37
Ruotando il fiume di 90° le differenze di tempo cambiano di:

 1
2
1
t 't  l1  l2 

2
2
c
 1  v 2
v
1
c
c2






In corrispondenza della rotazione si ha quindi una variazione
di interferenza tra i due raggi, variazione che si riflette in una
variazione delle frange viste dall’ osservatore.
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
38
Schema dell’esperimento di Michelson
Sorgente
luminosa
Etere
Immagini
virtuali
occhio
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
39
12/05/2004
Da G. Gamow – One two three...Infinity
Mentor Books 1957
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
40
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
41
Il risultato dell'esperimento di Michelson e
Morley fu che la velocità della Terra rispetto
all'etere era nulla in qualsiasi periodo
dell'anno, confutando l’esistenza del mezzo
cosmico ipotizzato.
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
42
Da un punto di vista teorico .....
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
43
Dopo svariati tentativi dell’esperimento di Michelson e
Morley, (sempre con esiti negativi), Fitzgerald propose, nel
1892, un’ipotesi, che fu poi elaborata da Lorentz per dare una
spiegazione a questi risultati, e mantenere tuttavia il concetto
di riferimento privilegiato dell’etere.
La loro ipotesi fu che qualsiasi corpo subisce una contrazione
nella direzione del moto relativo all’etere stazionario di un
fattore pari a:
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
44
INOLTRE:
Si comprese che la velocità di trasmissione di un segnale che porti
informazione non può essere infinita. Ciò infatti permetterebbe ad una
persona di inviare un messaggio ad un’altra persona e riceverne la risposta
nello stesso istante contraddicendo così
il principio di causa ed effetto.
questo porta a far dubitare delle trasformazioni di Galileo che portavano a
v = v' + v0 e quindi permetterebbero una velocità infinita.
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
45
Problema simultaneità
Galileo presuppone che il tempo sia
universale (t = t’), ma ......
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
46
• Ritrovando indipendentemente anche
risultati di W. Voigt (1887), Lorentz
introduce nel 1892 (oltre alla contrazione
delle lunghezze) anche l'idea di tempo
locale per spiegare il risultato negativo degli
esperimenti di Michelson e Morley.
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
47
• Dalla ipotesi della contrazione di Fitzgerald e del tempo
locale si possono ricavare le "trasformazioni di Lorentz"
1899-1904 che sono delle modifiche a quelle di Galileo.
(Se la velocità relativa è molto piccola rispetto alla velocità
della luce, si riottengono le trasformazioni di Galileo).
• Nel 1904 Lorentz osservò che benché le equazioni di
Maxwell non siano invarianti per trasformazioni galileiane,
lo sono per quelle di Lorentz,
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
48
Le trasformazioni di
Galileo
Lorentz
12/05/2004
x  vt
x'  x  vt
x' 
y'  y
y'  y
z'  z
z'  z
t'  t
v
t   2 x
c 

t' 
v2
1 2
c
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
v2
1 2
c
49
Michelson himself wrote in 1899:
"The more important fundamental laws and
facts of physical reality have all been
discovered and they are now so firmly
established that the possibility of their ever
being supplanted in consequence of new
discoveries is exceedingly remote .... Our future
discoveries must be looked for in the 6th place
of decimals."
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
50
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
51
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
52
• Postulati della Relatività speciale
• 1. tutte le leggi della fisica (non solo quelle
della meccanica) sono le stesse in tutti i sistemi
di riferimento inerziali (principio di relatività
di Einstein).
• 2. la velocità della luce c è indipendente dalla
velocità della sorgente.
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
53
Alcune conseguenze
(filosofico-matematiche?)
dei postulati della teoria della
relatività
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
54
Trasformazioni di Lorentz
x' 
x  vt
v2
1 2
c
y'  y
z'  z
v
t   2 x
c
t'   
v2
1 2
c
12/05/2004
Dalla sola ipotesi della costanza
della velocità della luce (e della
località del tempo) si ricavano
immediatamente le trasformazioni
di Lorentz.
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
55
Relatività spaziale
Supponiamo di avere i due sistemi di riferimento
O (x, y, z, t)
O’ (x', y', z', t')
E' intuitivo che due fenomeni che avvengono a tempi
diversi possono coincidere spazialmente in un S.d.R ed
essere distanti in un altro; basta pensare ad una lampadina
accesa due volte in un treno in movimento; nel S.d.R del
treno i fenomeni avvengono nello stesso posto, mentre in
un S.d.R fermo si vedono in luoghi ben distanti.
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
56
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
57
Matematicamente,
usando le trasformazioni di
Lorentz.....
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
58
Consideriamo 2 eventi spazialmente coincidenti (x1=x2)
nel sistema O, ma a tempi differenti t1≠t2.
Nel sistema O’ avremo
x1 ' 
x1  vt1
x2 ' 
v2
1 2
c
x  vt
v2
1 2
c
x2  vt2
y'  y
v2
1 2
c
z'  z
Da cui:
x2'  x1' 
x' 
vt1  vt2
v2
1 2
c
v
t   2 x
c
t'   
v2
1 2
c
Cioè gli eventi non coincidono più spazialmente
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
59
Simultaneità temporale
• Passiamo ora a far vedere, che l' affermare che la velocità
della luce è la stessa in tutti i riferimenti, significa dire che
si deve abbandonare il concetto di tempo assoluto e
ammettere che ogni riferimento abbia un suo tempo
proprio che scorre diversamente dal tempo di ogni altro
sistema.
• Consideriamo una sorgente radio, posta nel centro di un
vagone (che si muove con velocità v), che all'istante t = 0
emetta un segnale che si propaga con velocità c e
raggiunge, accendendole, due lampadine poste alle
estremità A’ e B’ del vagone alla distanza s dal centro.
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
60
Due eventi sono simultanei per un osservatore se
rispetto ad esso accadono allo stesso tempo t. Il
passeggero M sito nel vagone e posto in O vedrà
l'onda luminosa sferica accendere le due lampadine
ambedue al tempo t1= s/c. Per M i due eventi sono
simultanei.
Dal binario, N vedrà invece la lampadina in B’
accendersi al tempo t1=s/(c+v) e quella in A’al
tempo t2=s/(c-v)>t1 e quindi per lui i due eventi
NON sono simultanei.
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
61
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
62
Matematicamente,
usando le trasformazioni di
Lorentz.....
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
63
Consideriamo 2 eventi simultanei (cioè temporalmente
coincidenti (t1=t2) nel sistema O, ma in luoghi differenti x1≠x2
x' 
x  vt
v2
1 2
c
v
t   2  x1
c
t1 '   
v2
1 2
c
v
t   2  x2
c
t2 '   
v2
1 2
c
y'  y
z'  z
v
t   2 x
c
t'   
v2
1 2
c
12/05/2004
Nel sistema O’ avremo
 v 
 v 
 2  x1   2  x2
c
c 
t 2 't1 '   
v2
1 2
c
Cioè gli eventi non sono più simultanei in O’
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
64
• Nella fisica di Galileo e Newton il tempo scorre in
modo assoluto in tutti i sistemi di riferimento;
infatti un intervallo di tempo tra due eventi in un
sistema di riferimento inerziale è lo stesso se
misurato in un altro sistema in moto rispetto al
primo. Nella relatività ristretta la situazione non è
più la stessa. Per un osservatore che viaggia a
velocità prossime a quelle della luce il tempo
scorre più lentamente che per l’osservatore fermo.
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
65
Marco Lombardo rivolge a Dante nel canto XVI del Purgatorio (vv. 25-27):
« Or tu chi sé, che il nostro fumo fendi,
e di noi parli pur, come se tue
partissi ancor lo tempo per calendi? »
I due personaggi, Dante e l'anima purgante,
vivono in due tempi diversi: l'uno nella
dimensione terrena, con un preciso limite per
la propria vita, l'altro proiettato nella
dimensione della eternità. Le cose viste da
loro sono le stesse, ma misurate in due modi
differenti.
Dante, come si vede, è stato così geniale da
anticipare persino Einstein e la relatività dei
tempi...
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
66
Contrazione delle lunghezze.
L' osservatore in O vuole misurare una sbarra parallela all' asse x ed in
quiete rispetto a O'.
All' istante tA = tB (e lo deve fare allo stesso tempo perchè la sbarra si
sta muovendo in O) segna gli estremi della sbarra l = xB - xA.
Per O' la sbarra sarà lunga l' = x'B - x'A.
Ma è
x' A 
x A  vt A
1 
2
e x' B 
x B  vt B
e quindi (poichè tA = tB)
x' A x'B 
1  2
x A  xB
1  2
2
Dunque la misura l  l' 1 
della sbarra in movimento è
minore della misura l' in quiete. Ciò si può interpretare dicendo
che una sbarra in movimento si contrae.
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
67
Dilatazione dei tempi.
Supponiamo di avere due eventi nell' origine in O’ tale che siano
t’A
x’A = 0
t’B
x’B = 0
Gli stessi eventi, rilevati in O avvengono nei tempi
β
t' A  x' A
c
tA 
1  β2
Ossia
tB-tA =
t' B  t' A
1 β2
β
t' B  x' B
c
tB 
1  β2
==>
τ
τ'
1 β2
cioè la durata, vista da un sistema in moto, sembra maggiore.
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
68
Orologi in moto
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
69
Orologi in moto
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
70
E=m
2
c
La seconda legge della meccanica dice:



dv
F  ma  m
dt
Ma cosa succede quando v è prossima a c ?
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
71
Occorre ricordare che la



dv
Fm
 ma
dt
in realtà deriva dal principio di conservazione della
quantità di moto 


dp d(mv)
F

dt
dt
nel caso particolare di m costante (cosa che non
sempre si verifica anche in meccanica classica cfr. ad es. un razzo,
un blocco di ghiaccio che evapora etc)
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
72
• Se adesso vogliamo che il momento della
quantità di moto si conservi in differenti sistemi
di riferimento (inerziali) nel caso in cui v è
prossima a c dovremo trattare la
 dp d(mv )
F

dt
dt
con le trasformazioni di Lorentz.
Quindi, dovremmo prendere le equazioni,
derivarle rispetto al tempo ed immetterle
nella
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
x' 
x  vt
v2
1 2
c
y'  y
z'  z
v
t   2 x
c
t'   
v2
1 2
c
73
Il risultato finale è che dovremo ridefinire:
a) il momento della quantità di moto come:

p

mv
1
2
v
c2
che può essere scritta anche come:

p(
m
v2
1 2
c


) v  (massa rel. ) v
e
b) l’energia di una particella di massa m come:
E totale  E cinetica  E a riposo
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
74
E totale  E cinetica  E a riposo
Ove:
E totale 
m
1 v2 c2
c2
Ea riposo  mc 2
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
75
Alcune conseguenze
(nella vita di tutti i giorni)
dei postulati della teoria della relatività
a) contrazione delle lunghezze
b) impossibilità di superare la velocità della
luce
c) E=mc2
d) dilatazione dei tempi
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
76
Mesoni m
Una verifica tangibile della legge della
dilatazione dei tempi è fornita dalla vita propria
dei muoni cosmici, particelle subnucleari
derivanti dal processo di collisione di particelle
altamente energetiche con gli atomi
dell'atmosfera terrestre. Il processo di collisione
genera muoni che attraversano l'atmosfera
terrestre ed arrivano al suolo con una frequenza
misurata di circa 1cm-2 min-1.
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
77
La vita media dei muoni a riposo e` di circa 2.2 ms
Un muone viaggiante alla velocità della luce dovrebbe percorrere quindi
(se non si applicano correzioni relativistiche) in media una distanza s pari
a s = 2.2 · 10-6 x 3 · 108 m cioè circa 660 m prima di decadere.
Poichè i muoni sono prodotti nella parte esterna della atmosfera che dista
dal suolo circa 90 km, la probabilità che un muone raggiunga il suolo
sarebbe del tutto trascurabile e non giustificherebbe la frequenza di arrivo
misurata. Se invece si tiene conto della contrazione delle lunghezze e
(tenendo conto della loro velocità media) si corregge la spazio percorso
dai muoni per il fattore di Lorentz
g=
1
1  2
si ottiene una percorso medio di circa 480 m
Questa nuova stima suggerisce che una frazione significativa dei muoni
prodotti nella parte superiore dell'atmosfera raggiunga il suolo ed è in
ottimo accordo con la frequenza misurata
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
78
Missioni spaziali (Explorer 2)
Saturno
Giove
Nettuno
Urano
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
79
"It followed from the special theory of relativity
that mass and energy are both but different
manifestations of the same thing -- a somewhat
unfamiliar conception for the average mind.
Furthermore, the equation E is equal to m csquared, in which energy is put equal to mass,
multiplied by the square of the velocity of light,
showed that very small amounts of mass may be
converted into a very large amount of energy and
vice versa. The mass and energy were in fact
equivalent, according to the formula mentioned
above. This was demonstrated by Cockcroft and
Walton in 1932, experimentally.“
From the soundtrack of the film, Atomic Physics.
Copyright © J. Arthur Rank Organization, Ltd., 1948.
Image © Brown Brothers, Sterling, PA.
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
80
E=m
2
c
Reattore Nucleare
Little Boy (Hiroshima)
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
81
E=m
12/05/2004
2
c
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
82
Acceleratori di particelle
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
83
Acceleratori di particelle
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
84
Localizzatori satellitari
• Originariamente 21, oggi 28
satelliti con diverse
inclinazioni in modo che
almeno 4 satelliti siano
sempre sopra l’orizzonte.
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
85
In orbita a 20.200 km di altezza
con una orbita di ~12 ore ed una
velocità di 2.9 Km/s
(cioè v/c = 10-5)
I satelliti inviano a tempi predeterminati
segnali che vengono ricevuti ed elaborati dal
ricevitore. Dalla loro differenza si può, con
opportuna triangolazione, ricavare la posizione
del ricevitore con approssimazione dell’ordine
di qualche metro
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
86
Correzioni relativistiche
Relatività speciale:
Ritardo di 7.2 ms al giorno per la velocità
Relatività generale:
Anticipo di 45.6 ms al giorno per la differente gravità
• Poichè qualche metro equivale a decine di ns le
correzioni per la relatività (dell’ordine dei ms) sono
essenziali per il buon funzionamento
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
87
12/05/2004
Introduzione alla teoria della
Relatività speciale
88