Diapositiva 1 - Dipartimento di Matematica

DIFFUSIONE
DELL’ AIDS
( Modello di Ho - 1994 )
Lucia Della Croce -Matematica
applicata alla biologia
Il virus HIV (Human Immunodeficiency Virus) provoca lo sviluppo
dell’ AIDS (Acquired ImmunoDeficiency Sindrome)
Il virus attacca una classe di linfociti ( CD4 T-Cellule), la cui
azione è essenziale nell’ambito della difesa immunitaria.
In condizioni normali la concentrazione di CD4 è circa 1000/ l;
quando scende al di sotto di 200/ l il paziente è classificato malato.
PRECEDENTI SUPPOSIZIONI
Periodo che intercorre tra l’infezione e lo sviluppo della malattia
è un periodo di latenza e inattività del virus
Lo sviluppo della malattia è lento
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Tutti i meccanismi
coinvolti sono lenti
Concentrazione plasmatiche
di cellule virali,
linfociti CD4
e
anticorpi HIV
Nel periodo di pseudo-latenza , la concentrazione di virus e anticorpi è quasi
costante, mentre si ha una lenta diminuizione di concentrazione di cellule CD4
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Il virus è allora inattivo ?
MODELLO DI HO
Esperimento di Ho:
(1994)
V (t )
Per capire se il virus è attivo
nella fase di pseudolatenza, Ho
ha perturbato la sua attività
somministrando a 20 pazienti un
inibitore della proteasi
Virus al tempo t
p
Cellule virali prodotte nell’unità di tempo
c
Tasso di eliminazione (azione sistema immunitario, morte etc.
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)
La variazione nel tempo di cellule virali può essere descritto dalla
equazione di bilancio:
dV
Equazione differenziale
 P  cV (t )
del I ordine
dt
Soluzione generale
P
V (t )   V0 exp( ct ) V
0
c
valore inizialeV (t0 )
Per t = 0, cioè nella fase di pseudo-latenza (equilibrio) si ha:
dV
0
dt
e quindi
P
V0 
c
P  cV
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P0
La proteasi è stata bloccata
non ci sono nuove cellule
prodotte
Il modello è più semplice:
dV
 cV (t )
dt
V (t )  V0 exp( ct )
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Dunque la variazione di cellule virali è stata modellizzata
dall’equazione
P
V (t )  exp( ct )
c
Occorre calcolare c
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Procedimento di fitting
per identificare il parametro c
V (t )  V0 exp( ct )
ln( V (t ))  ln( V0 exp( ct ))  ln( V0 )  ln(exp( ct ))
 ln( V0 )  ct
y
y  b  ct
I parametri
c e b
b
Sono identificati con un procedimento
di regressione lineare
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Diminuizione della concentrazione di cellule virali in 2 pazienti
trattati con inibitore della proteasi
7
7
10
10
paziente 1
curva fitting
paziente 2
curva fitting
6
6
10
concentrazione HIV
concentrazione HIV
10
5
10
4
10
3
4
10
3
10
10
2
10
-10
5
10
2
0
10
giorni
20
30
10
-10
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0
10
giorni
20
30
Per ogni paziente si ottiene
una valutazione diversa dei
parametri c e b
Si esegue una media
c  0.33  0.06
Ho trovò:
La conoscenza di c permette di approssimare P:
P  cV0
P
V0 
c
V0  10  10
6
7
P  0.33 * (106 107 )
( dal fitting)
Il virus non è affatto quiescente !
Questa scoperta ha cambiato la comprensione dei meccanismi di
infezione dell’AIDS dando avvio a nuove terapie.
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MODELLI DINAMICI DISCRETI LINEARI
Sistema dinamico:
Sistema discreto:
Sistema lineare:
Sistema che evolve nel tempo
L’intervallo temporale è
discretizzato
la legge che determina
l’evoluzione è lineare
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DISCRETIZZAZIONE
TEMPORALE
t0
t1
ti
y0
y1
yi
T  tN
yN
è una funzione che misura la quantità
che varia nel tempo
sono i valori in corrispondenza ai tempi
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EVOLUZIONE
LINEARE
 y0 , y1,... yn 
sono definiti per ricorrenza
yn1  f ( yn )
f è una funzione lineare
f ( y)  a  y  b
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MODELLO DI MALTHUS
PROBLEMA
Thomas Robert Malthus
Sociologo e matematico
inglese
(1766 -1834)
studiare come varia nel tempo
una popolazione di batteri
immersa in un liquido di cui si
nutrono
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IPOTESI DEL MODELLO
1. Nascita di nuovi batteri
2. Morte di alcuni batteri
3. Il numero di nati è proporzionale al
numero di batteri presenti
4. Il numero di morti è proporzionale al
numero di batteri presenti
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MODELLO
yn1  yn   yn   yn


coefficiente di natalità
coefficiente di
mortalità
yn1  (1     ) yn
yn1  (1  r ) yn
tasso di crescita
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Il modello è lineare
yn1  (1  r ) yn


yn1   yn
f ( y)   y
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Come si calcola l’abbondanza della
popolazione al tempo t ?
Iteriamo l’equazione:
  y0
2
  ( y0 )   y0
2
3
y n   y0
n
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Se interviene anche un’immigrazione …
yn1   yn  b
y1  y0  b
y2  y1  b   (y0  b)  b)  2 y0  b  b
yn   y0  b  b   b  ...   b
  n y0  b(1     2  ...   n 1 )
n
2
yn1
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n 1
n
1


 n y0 
b
1 
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3 SITUAZIONI POSSIBILI
 1
1   
  0
 
•
•
la popolazione è in declino
I morti superano i nati
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EVOLUZIONE DI UNA POPOLAZIONE DI
BATTERI IN DECLINO
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Con immigrazione:
3
2.5
Yn = 0.8 * Yn-1 + 0.2
popolazione
2
1.5
1
0.5
0
0
2
4
6
8
10
tempo
12
Si stabilizza al valore
14
16
18
20
b
1 
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 
 1
EVOLUZIONE DI UNA POPOLAZIONE DI
BATTERI IN CRESCITA
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 1
 
yn  yn1
Lo stato della popolazione è STAZIONARIO
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