Problemi classici della geometria

Progetto lauree scientifiche
Problemi classici
della geometria
Costruzioni con riga e compasso
Liceo Scientifico
Liceo Scientifico con opzione
Scienze applicate
Liceo Classico
“Federico Quercia”
Marcianise (CE)
Eseguire una costruzione con riga e
compasso significa tracciare segmenti ed
angoli servendosi esclusivamente di una
riga e di un compasso idealizzati, ossia non
graduati, senza quindi la possibilità di
poter far riferimento alle tacche della riga
per prendere misure o di poter ripetere
una data apertura che il compasso aveva
avuto in precedenza. Il problema delle
costruzioni con riga e compasso ha
accompagnato gli sviluppi della geometria
nella Grecia antica. Per i matematici greci i
problemi geometrici si presentavano non
nella forma genericamente esistenziale,
ma in quella costruttiva. La geometria era
inoltre utilizzata per risolvere quelli che
per noi ora sono problemi algebrici.
Si dice che lo stesso Euclide utilizzò tale
metodo di costruzione negli Elementi,
come dimostrano i primi tre postulati del
libro primo che sono alla base dell’utilizzo
di rette e cerchi.
1. È possibile condurre una linea retta da
un qualsiasi punto ad ogni altro punto;
2. È possibile prolungare illimitatamente in
linea retta un segmento finito;
3. È possibile descrivere un cerchio con
qualsiasi centro e qualsiasi raggio.
Indice
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•
•
I tre grandi problemi dell’antichità.
Semplici costruzioni con riga e compasso.
Costruzioni di poligoni regolari.
Risoluzioni alternative dei tre grandi problemi
dell’antichità.
I tre grandi problemi dell'antichità
la quadratura del
cerchio
la duplicazione
del cubo
la trisezione
dell'angolo
La quadratura del cerchio consiste nel costruire un
quadrato della stessa area di un cerchio dato; la
duplicazione del cubo consiste nel costruire un cubo di
volume doppio rispetto a quello dato; la trisezione
dell'angolo consiste nel dividere un angolo in tre parti
uguali. Dunque il primo problema riguarda le aree, il
secondo i volumi, il terzo gli angoli.
Gli studiosi greci di geometria ammettevano soltanto per
i loro metodi, l'uso della riga e del compasso, in quanto la
riga è una linea retta; il compasso è il cerchio.
La quadratura del cerchio
Già a Babilonia e in Egitto i matematici si erano
interessati ai rapporti che univano il cerchio e il
quadrato. Nel più antico testo matematico che sia stato
rinvenuto, lo scriba Ahmes si prefiggeva di trovare un
quadrato equivalente a un cerchio dato, proponendo di
prendere in considerazione un quadrato col lato uguale
a otto noni del diametro del cerchio. Più tardi, in Grecia,
Anassagora fu il primo greco a interessarsi della
questione, si trovava in carcere quando si dedicò al
problema della quadratura senza però giungere ad
alcun risultato. Dopo il suicidio di Anassagora il
problema della quadratura rimase irrisolto. In seguito fu
la volta di Ippocrate di Chio, il quale riuscì nella
quadratura delle lunule alimentando così speranze folli.
Ma il primo che osò trasgredire la legge della riga e del
compasso fu Ippia di Elide che riuscì a effettuare la
quadratura del cerchio grazie alla 'quadratrice' che
aveva messo a punto.
La duplicazione del cubo
La prima volta che si sentì parlare di
duplicazione del cubo, fu in occasione di
una grande epidemia: La peste ad Atene.
Una delegazione di ateniesi s'imbarcò per
Delfi, allo scopo d'interrogare l'oracolo
perché indicasse loro un modo per porre
fine all'epidemia. L’oracolo suggerì di
duplicare l'altare consacrato ad Apollo
nell'isola di Delo. L'altare di Apollo a Delo
era celebre in tutta la Grecia per la sua
forma. Infatti era un cubo. Gli ateniesi si
recarono sull'isola e costruirono un nuovo
altare, col lato doppio di quello antico. La
peste continuò, ma un saggio che passava
di lì fece notare che il nuovo altare non era
grande il doppio di quello antico, bensì otto
volte più grande. Gli ateniesi sbarcati
sull'isola, decisero di distruggere il grande
altare.
Sopra il vecchio altare, ne costruirono uno nuovo,
identico sotto ogni aspetto a quello antico.
Soddisfatti, tornarono ad Atene, ma la peste
continuò. Infatti ciò che era doppio non era il volume
di un unico altare, bensì di due. Gli ateniesi
accorgendosi di essere del tutto impotenti, decisero
di fare appello ai più grandi matematici del tempo.
Archita di Taranto ci riuscì realizzando l'intersezione
tra un cono, un cilindro e un prisma; Menecmo,
invece, utilizzando due coniche, un'iperbole e una
parabola. Quattro secoli dopo Nicomede inventò
una curva a forma di spirale, la 'concoide', che fece
meraviglie tanto per la duplicazione del cubo quanto
per la trisezione dell'angolo. Queste costruzioni
seppur geniali non erano realizzabili sul piano
concreto, in quanto si servivano di elementi mobili.
La trisezione dell’angolo
Il metodo per bisecare l‘angolo è molto
semplice. Gli antichi greci pensarono che
fosse altrettanto semplice poter dividere gli
angoli in ogni modo, cercarono quindi un
metodo con riga e compasso che
permettesse di dividere un angolo in tre parti
uguali. Ben presto si accorsero che il
problema era più difficoltoso: in effetti, il
problema è risolvibile con riga e compasso
solo per alcuni tipi di angoli, ma nel caso
generale non può essere risolto in modo
classico come cercavano di fare gli antichi,
tuttavia è possibile risolverlo facendo uso di
altre curve, come la curva ideata da Ippia nel
V sec. a.C.
Semplici costruzioni con riga e
compasso
•
•
•
•
Con l’utilizzo di riga e compasso è possibile
effettuare la costruzione di alcuni semplici enti
geometrici :
Asse di un segmento
Bisettrice di un angolo
Perpendicolare da un punto ad una retta
Sottomultipli di un segmento
Asse di un Segmento
1. Costruire due circonferenze i cui
centri sono gli estremi del
segmento dato e il raggio uguale
alla lunghezza del segmento
stesso.
b
C
c
2. Unendo i punti di
intersezione delle
due circonferenze
si ottiene l’asse.
c
d d
A A
BB
a a
D
Perpendicolare da
un punto ad una retta
1. Descrivere una circonferenza
avente centro in un punto esterno alla retta in modo
da intersecarla in due punti.
2. Tracciare altre due circonferenze aventi
come centro i punti di intersezione tra la
prima circonferenza e la retta data e raggio
uguale alla distanza dal primo centro.
b
C
C
3. Unire il punto dato con il punto
d’incontro delle altre due
circonferenze
ottenendo la perpendicolare.
F
E
G
Bisettrice di un angolo
1. Dato un angolo tracciare una circonferenza
avente come centro l’origine dell’angolo e
raggio qualsiasi.
C
C
C
dd
2. I due punti di intersezione
della circonferenza con le
semirette dell’angolo saranno
i centri delle circonferenze con
raggio uguale alla distanza tra
i due punti stessi.
gg
g
bb
b
HH
H
JJ
ee
c
A
A A
a
h
3. Unire l’origine dell’angolo con i due punti
di intersezione delle due circonferenze.
cc
I
I
a
a
I
Sottomultipli di un segmento
1. Dato un segmento, costruire una semiretta che abbia origine in uno
dei suoi estremi.
2. Descrivere una circonferenza che abbia centro in un punto
qualsiasi della semiretta passante per il primo estremo.
3. Descrivere altre circonferenze che abbiano centro nel punto di
intersezione tra la circonferenza che la precede e la semiretta di
raggio uguale alla distanza dal centro
della circonferenza precedente.
4. Unire l’ultimo punto di
intersezione dell’ultima circonferenza
con la semiretta,con il secondo
estremo del segmento.
A partire da questa retta
tracciare le parallele
passanti per i centri delle
circonferenze che per il
teorema di Talete dividono il
segmento in n parti uguali.
i
h
g
f
e
e
G
G
dd
FF
EE
DD
D
A
A
A
B
A
B
B
B
Costruzione di poligoni regolari
Fin dall’antichità è stato affrontato il problema delle costruzioni con
riga e compasso applicato ai poligoni regolari di n lati. Il primo ad
occuparsene fu Euclide che, negli “Elementi”, si interessò, ai casi di
poligoni con n=3, n=4, n=5,n=6 e n=15 esplicitamente, e ad un numero
di casi addizionali implicitamente.
Però già per N=7 si incontrano grosse difficoltà. Interessa dunque
capire quali poligoni sono costruibili con riga e compasso e quali no.
Fu il giovane Gauss nel 1796 a 19 anni che riuscì a dimostrare che, se p
è un numero primo di Fermat, allora il poligono regolare con p lati è
costruibile con riga e compasso.
I numeri di Fermat sono espressi dalla formula
Solo i numeri ottenuti per n = 0,1,2,3,4 (i cui valori sono 3, 5, 17,
257, 65537) sono stati sinora verificati essere primi.
Teorema di Gauss-Wantzel
Più in generale Gauss provò che si possono
costruire con riga e compasso poligoni
regolari che abbiano un numero di lati
scomponibile in:
dove k è un numero intero non negativo ed i
fattori pj sono numeri di Fermat primi distinti.
Egli intuì anche che la condizione suddetta
doveva essere anche necessaria, ma la cosa
venne provata solo più tardi da Pierre
Wantzel, nel 1836, risultato che prende il
nome di teorema di Gauss-Wantzel.
Gauss
Risoluzioni alternative
ai problemi classici
La trisezione dell’angolo
secondo Archimede
il problema della tripartizione trova soluzione con il seguente metodo di
Archimede:
dato l’angolo CÔK = X nella semicirconferenza di centro O e diametro CZ = 2r
si voglia ricavare l’angolo y = (1/3) x. Si faccia in modo che la riga individui
la retta che, passando per K, intersechi in A il prolungamento del diametro
CZ in modo tale che il tratto esterno alla circonferenza AB sia uguale al
raggio r. Si dimostra, in tal caso, che l’angolo y = BÂZ risulta pari a (1/3) x.
Infatti : ABO è un triangolo isoscele di lato r
BOK è un triangolo isoscele di lato r
KOC è un triangolo isoscele di lato r
Poiché ABO è un triangolo isoscele avremo:
BÂO = BÔA = y ; KÔB = 180 – BÔA - CÔK
KÔB = 180 – ( x + y )
La somma dei due angoli alla base del
triangolo isoscele BÔK vale quindi ( x + y ); in particolare l’angolo KBO vale
( x + y )/2;ABO = ( 180 – KBO ) = [ 180 - ( x + y )/2 ]
e anche ABO = ( 180 – 2y ) ; si ricava così:
2y = ( x + y )/2
4y = x + y
3y = x
Uno dei tanti strumenti che si ispirano a questa costruzione è il:
TRISETTORE DI TISSANDIER
La duplicazione del cubo
secondo Menecmo
Vediamo ora come Menecmo ragiona sul problema del cubo,
avvalendoci ,per semplicità, dell’uso a noi noto della geometria
analitica:
Procedendo dalla proporzione a : x = x : y = y : 2a, dove a è il lato del
cubo dato e x quello del cubo di volume doppio,
possiamo ricavare l'equazione di due delle
infinite possibili coppie di parabole la cui
intersezione individua la soluzione del
problema.
Da x : y = y : 2a ricaviamo y2 = 2 a x (A)
Da a : x = x : y ricaviamo
x2 = a y (B) x4 = a2 y2
x4 = a2 2 a x da cui otteniamo: x3 = 2a3
Quindi l'ascissa X dell'intersezione tra le due
parabole individua la misura del lato del
cubo di volume doppio del cubo assegnato di lato a.
Si può osservare che allo stesso risultato si perviene con l'intersezione
di due parabole ricavabili dalle equazioni delle parabole considerate in
precedenza moltiplicando il 2° membro di (A) per n2 e moltiplicando il
1° membro di (B) per n.
a : x = x : y = y : 2a x y = 2a2 iperbole (A) y = 2a2/X
a : x = x : y = y : 2a y2 = 2 a x parabola (B) 4a4/X2 = 2 a x
2a3 = x3 x = 3√2 a
• Allo stesso modo Menecmo operò intersecando un iperbole e
una parabola
La quadratura del
cerchio e il π
" Qual'è 'l geometra che tutto s'affige per misurar lo
cerchio, e non ritrova, pensando, quel principio ond'elli
indige, tal era io...."
(Dante)
Al problema della quadratura del cerchio,
come a quello della rettificazione della
circonferenza è legata la questione del π.
Il tentativo di risoluzione di questi
problemi infatti fu accompagnato dalla
ricerca del suo valore effettivo.
Un tentativo di risoluzione del primo problema fu proposto
da Ahmes nel papyrus Rhind che suggerì di costruire un
quadrato avente lato uguale al diametro del cerchio
diminuito di 1/9 considerando il raggio del cerchio stesso
uguale a 1.
l=d-1/9d=2-2/9=16/9
Di conseguenza
Aq=l^2=256/81
Dovendo essere cerchio e quadrato equivalenti dovrà essere
Ac=Aq quindi pi greco = 256/81=3,1604… Numero ben
approssimabile a п (pi greco).
Il problema della rettificazione della circonferenza fu ancora
affrontato per la prima volta dagli egiziani, ma con scarsi
risultati, in quanto giungevano a п=2,9 poco approssimabile
al reale valore di п (pi greco).
Archimede invece ottenne una
soluzione più concreta del problema
partendo dalla costruzione
dell’esagono regolare iscritto e
circoscritto al cerchio, egli calcolò i
perimetri di questi poligoni e di quelli
da essi ottenuti raddoppiando
successivamente il numero dei lati.
Arrivò così fino ai poligoni regolari
iscritti e circoscritti di 96
lati,calcolando per п il valore:
п=22/7=3,142…
Con l’introduzione del calcolo infinitesimale si è arrivato al valore di п
attraverso le serie numeriche. A cominciare dal tardo 1600 furono
scoperte molte serie numeriche convergenti verso п tra cui: quella di
Leibniz, di Eulero, di Machin e quella di Sharp.
Intanto la ricerca della frazione che rappresentasse esattamente п
continuò finchè nel 1766 J.M.Lambert dimostrò che п è un numero
irrazionale: non è una frazione e le sue cifre decimali non sono periodiche,
per cui è impossibile determinare il suo valore decimale esatto. Tuttavia
sappiamo che anche il numero √2 è un numero irrazionale, ma attraverso
il teorema di Pitagora notiamo che è possibile costruire con riga e
compasso un segmento che abbia questa misura. Si cercò di raggiungere
lo stesso risultato per il numero п, ma nel 1882 il matematico Ferdinando
Lindemann dimostrò che п è un numero trascendente che quindi non
si può costruire con riga e compasso.
Mentre veniva svolto tutto questo lavoro di carattere teorico, veniva spinto
avanti il calcolo del valore decimale di п con l’aiuto di calcolatori sempre
più precisi. Il risultato più recentemente ottenuto è quello del giapponese
Shigeru Kondo il 2 agosto 2010 che consta di ben 5 000 miliardi di cifre.
Calcolo dell’area del cerchio e del perimetro di
una circonferenza utilizzando la trigonometria e
l’analisi infinitesimale
● Calcoliamo l’area del cerchio e il perimetro
della circonferenza attraverso l’area e il perimetro
dei poligoni inscritti e circoscritti.
● Riconduciamo i poligoni di n lati, a n
triangoli,risolubili attraverso formule
trigonometriche
● Attraverso il calcolo del limite per n che
tende all’infinito, otterremmo le aree e i
perimetri suddetti.
Atriangolo = ½ r2 sen2 π/n
Apoligono = n/2 r2 sen2 π/n
lim n/2 r2 sen2 π/n
n→∞
lim π n/2 r2 sen2 π/n = π r2 c.v.d.
n→∞
2 π/n
1
ln= 2r sen π/n pn = n 2r sen π/n
α = 2π/n
lim n 2r sen π/n
n→∞
lim π n/ π 2r sen π/n
n→∞
π/n
ln
E
ἀ
F
C
A
= 2r π c.v.d.
1
D
B
α/2 = π/n
Ln/2 = r tg π/n
Atriangolo = r2 tg π/n Apoligono = n r2 tg π/n
lim n r2 tg π/n
n→∞
lim π n r2 tg π/n
= π r2 c.v.d.
n→∞
π/n
1
Ln = 2r tg π/n Pn = n 2r tg π/n
lim n 2 r tg π/n
n→∞
lim π n 2r tg π/n = 2r π c.v.d.
n→∞
π/n
1
Ln
ἀ
Calcolo dell’area del cerchio attraverso il metodo
degli integrali definiti
y
-r
Utilizziamo la circonferenza goniometrica
x2+y2= r2
y = ± √r2-x2
r
x
Per trovare l’area del cerchio utilizziamo il significato
geometrico dell’integrale definito, calcolando
l’area della semicirconferenza positiva : ∫ √r2-x2 dx
Risolviamo quest’integrale utilizzando il metodo della sostituzione, ponendo :
x = r sen t
dx = r cos t dt
Andando a sostituire si ottiene:
∫ (√ r2 - r2 sen2 t) r cos t dt = ∫ √ r2(1 - sen2 t) r cos t dt =
=∫ (√ r2 cos2 t ) r cos t dt = ∫ r2 cos2 t dt = r2 ∫(1+cos 2t)/2 dt =
= r2 [ ∫ 1/2 dt + ∫ (cos 2t/2) 2dt/2] = r2 ( t/2 + 1/4 sen 2t) + c
Ora dalla posizione iniziale riandiamo a sostituire :
t = arcsen (x/r)
cos t = (1/r) (√r2-x2)
r2/2 ( t + sen t cos t) = r2 ( arcsen (x/r) + (x/r2) √r2-x2)
Per calcolare l’area bisogna fare il doppio prodotto dell’integrale calcolato tra -r
e r:
Acerchio = 2 r2/2 arcsen (r/r) + (r/r2) √r2-r2 - arcsen (–r/r) – ( r/r2) √r2-r2 =
r
= r2 (π/2 + π/2) = r2 π
-r
c.v.d.
Hanno collaborato gli alunni:
Rossano Tommaso, Russo Paola, Raucci Giulia, Bruno
Giovanna, Santillo Angela, Rossano Maria Immacolata,
Iodice Michela, Sparaco Michela, Di Lillo Giovanni, Golino
Antonella
Si ringrazia:
La professoressa
Marino Concetta
IL DIRIGENTE SCOLASTICO
DIAMANTE MAROTTA