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1 La lezione di oggi Il comportamento microscopico dei gas Il 1 principio della termodinamica 2 Equazione di stato dei gas Applicazioni dell’equazione di stato La teoria cinetica dei gas Il 1 principio della termodinamica 3 Equazione di stato dei gas ideali Gas ideale: non ci sono interazioni tra le molecole Condizioni standard ( T = 20 oC, P= 1 atm ) Gas reale in condizioni standard = gas ideale Se voglio aumentare la pressione P… Aumento la temperatura a V costante Aumento il numero di molecole (N) Equazione di stato dei gas perfetti Diminuisco il volume (V) NT Pk V 4 Equazione di stato dei gas ideali Equazione di stato dei gas perfetti NT Pk V P V N k T k 1.38 10 J/K -23 Costante di Boltzmann N: numero di molecole di gas ( massa) T in K, P in Pa, V in m3 PV nRT n: numero di moli di gas ( T in K, P in Pa, V in m3 massa) R kNAvogadro (1.38 10-23 J/K)(6.022 1023 molecole/m ole) 8.31 J/(mole K) 5 Moli e massa molecolare o o o o o Unità di massa atomica (u, o uma) è ottenuta assegnando arbitrariamente 12 u al 12C 1 u = 1 uma = 1.665.10-27 kg Una mole (o grammo-molecola) numero di Avogadro di quantità elementari (atomi, molecole,....) Una mole contiene tante quantità elementari quante ce ne sono in 12 grammi di 12C Una mole è il numero di grammi di sostanza uguale alla massa molecolare espressa in uma Problema Calcolare la massa di una molecola di ossigeno O2 m M molecolare ossigeno N Avogadro -3 32.0 10 kg/mole - 26 5.32 10 kg/molecol a 23 6.02 10 molecole/m ole massa di 1 mole = 32.10-3 kg 6 Equazione di stato dei gas Applicazioni dell’equazione di stato La teoria cinetica dei gas Il 1 principio della termodinamica 7 Trasformazioni isoterme Parto dall’equazione di stato dei gas PV nRT Ipotesi: T costante (trasformazione isoterma) Massa costante Legge di Boyle Piniziale Viniziale Pfinale Vfinale Nel piano PV le isoterme sono iperboli PV = k 8 Trasformazione isobara Parto dall’equazione di stato dei gas PV nRT Ipotesi: P costante (trasformazione isobara) Massa costante Legge di Charles Viniziale Vfinale Tiniziale Tfinale Nel piano VT le isobare sono rette V=k.T T = 0, V = 0 T = 0 zero assoluto 9 Equazione di stato dei gas Applicazioni dell’equazione di stato La teoria cinetica dei gas Il 1 principio della termodinamica 10 La teoria cinetica dei gas Pressione e temperatura grandezze macroscopiche Posizione o velocità di una molecola grandezze microscopiche Come faccio a misurarle ? o Macroscopiche: manometro e termometro o Microscopiche: ??? o Teoria cinetica dei gas: gas insieme di molecole grande numero di molecole identiche ogni molecola ha massa m ed è puntiforme si muovono in modo casuale e obbediscono alle leggi di Newton solo urti elastici 11 Teoria cinetica e pressione dei gas Una molecola di massa m, con velocità v, in un contenitore di volume V urta contro la parete Quantità di moto Prima dell’urto p i,x - mv x Dopo l’urto p f, x mv x p x 2mv x Variazione F parete su molecola causa la p Tempo necessario a fare andata e ritorno 2mv x mv 2x F 2L/v x L 2L t vx Pressione media 2a legge di Newton p F t p F t F mv 2x /L mv 2x P 2 A V12 L Teoria cinetica e pressione dei gas Distribuzione delle velocità delle molecole di un gas a due temperature (Distribuzione di Maxwell) Velocità più probabile Generica velocità in 3 dimensioni (v 2 ) m (v 2x ) m (v 2y ) m (v 2z ) m Non ci sono direzioni privilegiate (v 2x ) m (v 2y ) m (v 2z ) m (v ) m (v ) (v ) (v ) 3 (v ) 2 Nella pagina precedente avevamo ottenuto 2 x m 2 y m mv P V 2 z m 2 x 2 x m ovvero 1 (v 2x ) m (v 2 ) m 3 Per N molecole 1 m(v 2 ) m 2 N Km P N 3V 3 V 13 Energia cinetica e temperatura Equazione dei gas perfetti + PV NkT 1 PV Nm(v 2 ) m NkT 3 Pressione nella teoria cinetica dei gas 1 m(v 2 ) m P N 3 V 2 1 N( mv 2 ) m NkT 3 2 L’energia cinetica media delle molecole di un gas è proporzionale alla Temperatura 1 K m ( mv 2 ) m 2 3 K m kT 2 Velocità quadratica media v qm (v ) m 2 3kT m 3kT (M/N A ) 3N A kT M 3RT M 14 Esercizio Qual è l’energia cinetica media di una molecola di gas a 37 C ? 3 3 K m kT (1.38 10 -23 J/K)(273 37 K) 6.4 10 21 J 2 2 Calcolo l’energia cinetica media di una mole dello stesso gas alla stessa temperatura. 3 K N A ( kT) 2 (6.02 ×1023 molecole/mole)(6.4 ×10-21 J/molecola) = 3900 J/mole 1 mole di gas m 3700 J sono tanti o pochi ? Prendiamo una pietra di 1 kg e vediamo a che velocità devo lanciarla per avere questa K ? 2K v m 2 × 3900 = 88 m/s 320 km/h 1 15 Esercizio Qual è la velocità quadratica media delle molecole presenti nell’aria (O2 e N2) a temperatura ambiente (20 C) ? m(O 2 ) M O 2 (u.m.a.) (32)(1.66 10 -27 kg) 5.3 10 -26 kg v qm 3(1.38 10 -23 J/K)(273 20) 3kT 480 m/s 1700 km/h - 26 5.3 10 kg m m(N 2 ) M N 2 (u.m.a.) (28)(1.66 10 -27 kg) 4.6 10 -26 kg v qm 3(1.38 10 -23 J/K)(273 20) 3kT 510 m/s 1800 km/h - 26 4.6 10 kg m 16 Energia interna di un gas ideale Energia interna: somma dell’energia potenziale e cinetica delle molecole che la compongono U = Si (Ui + Ki) Gas perfetto: urti elastici Ui = 0 Ki = 3/2 kT 3 N 3 3 N A kT nRT U NkT 2 NA 2 2 Numero di molecole Numero di moli 17 La legge di Dalton (o delle pressioni parziali) Considero una miscela di due gas perfetti I due gas non interagiscono/reagiscono tra di loro Le molecole non interagiscono tra di loro La pressione è data dagli urti delle molecole sulle pareti Il contributo alla pressione totale è indipendente per i 2 gas Gas 1 Gas 2 Gas (1+2) N1 k T P1 V N kT P2 2 V Ptotale = Ptotale P1 P2 (N1 + N 2 ) k T V Legge di Dalton In una miscela, ciascun gas esercita la pressione che eserciterebbe se occupasse da solo tutto il volume 18 Esercizio Un pneumatico viene gonfiato a una pressione relativa di 200 kPa a T=10 C. Dopo un tragitto di 100 km, la T sale a 40 oC. Qual è ora la pressione del pneumatico ? n costante (non aggiungo/tolgo aria) Condizioni a contorno PV nRT V costante (se varia il volume, varia di una quantità trascurabile) Equazione di stato dei gas perfetti Piniziale Pfinale Tiniziale Tfinale 19 Esercizio PV nRT Equazione di stato dei gas perfetti Piniziale Pfinale Tiniziale Tfinale P e T assolute !!! Tfinale (273 40) K 3.01105 Pa 3.3 10 5 Pa 330 kPa Pfinale Piniziale (273 10) K Tiniziale P Pfinale - Piniziale 3.30 105 - 3.01105 29 kPa 0.10 10% 5 P Piniziale 3.0110 301kPa La pressione è aumentata del 10% (non trascurabile !) 20 Equazione di stato dei gas Applicazioni dell’equazione di stato La teoria cinetica dei gas Il 1 principio della termodinamica 21 Il primo principio della termodinamica Voglio applicare la legge di conservazione dell’energia Il calore è una forma di energia che viene scambiata Energia interna: somma di energie potenziale e cinetica di un sistema Caso 1: nel sistema entra una quantità di calore Q senza che venga compiuto del lavoro Uf = Ui + Q t = t0 t = t1 t = t2 U = Uf - Ui = Q Convenzione importante Il sistema acquista calore: Q > 0 Il sistema cede calore: Q<0 Uf > U i Uf < U i 22 Il primo principio della termodinamica Caso 2: il sistema compie un lavoro sull’ambiente esterno N.B. il sistema è termicamente isolato Q=0 U f = Ui - L t = t0 t = t1 t = t2 U = Uf - Ui = -L Convenzione importante Il sistema compie lavoro: Compio lavoro sul sistema: L>0 L<0 In generale, se Q e L sono entrambi diversi da 0, vale il Primo principio della termodinamica U = Q - L 23 Il primo principio della termodinamica U, Q, L Q energia che fluisce per contatto termico L energia trasferita per azione di una forza che agisce su una distanza U dipende dallo stato del sistema (T, P, V) U FUNZIONE DI STATO Q e L dipendono da come il sistema cambia da uno stato all’altro 24 Trasformazioni reversibili e irreversibili Processi quasi-statici: sono molto lenti Il sistema è sempre in equilibrio con l’ambiente circostante Il valore di P e T è sempre uniforme in tutto il sistema Sistemi privi di attrito e forze dissipative Questi processi sono reversibili torno allo stato iniziale Nella realtà tutti i processi sono irreversibili (attrito,.....), ma noi faremo sempre l’approssimazione di processi reversibili 25 Trasformazione isobara P = cost Il gas si espande Il gas compie un lavoro L sul pistone L F (x f - x i ) P A (x f - x i ) P (Ax f - Ax i ) L = area sotto la curva che rappresenta la trasformazione nel diagramma PV P (Vf - Vi ) P V Primo principio della termodinamica Q = U + P. V 26 Trasformazione isocora Il recipiente contiene un gas L F (x f - x i ) 0 Area = 0 Fornisco una quantità di calore Q Il volume rimane costante Trasformazione isocora L = 0 Primo principio della termodinamica U = Q 27 Trasformazione isoterma Espansione isoterma Equazione dei gas perfetti PV NkT T costante P V costante costante P V Vf L NkT ln Vi Nel piano PV la trasformazione è descritta da un’iperbole Vf nRT ln Vi Il lavoro L è l’area sottesa dalla curva Nota. Se comprimo il gas, Vf/Vi<1, ln(Vf/Vi )<0, L<0, compio lavoro sul 28 sistema Trasformazione adiabatica Non ho scambio di calore con l’esterno Q=0 Compressione adiabatica Una compressione veloce è una buona approssimazione di adiabatica Espansione adiabatica P V costante 29 Il primo principio della termodinamica Trasformazione Grandezza costante In base al primo principio: Isobara P = costante Q = U + L= U + PV V = costante V = 0 quindi L = 0 Q = U Isoterma T = costante T = 0 quindi U = 0 Q=L Adiabatica Q=0 U = -L Isocora 30 Esercizio n. 72, pag. T124 Walker Un cilindro dotato di un pistone mobile contiene 2.50 moli di argon a temperatura costante di 295 K. Quando il gas viene compresso isotermicamente, la sua pressione aumenta da 101 kPa a 121 kPa. Trovare: 1. Il volume finale del gas 2. Il lavoro compiuto dal gas 3. La quantità di calore fornita al gas 31 1. Il volume finale del gas Equazione dei gas perfetti PV nRT R 8.31 J/(mol K) n R T 2.5 (8.31) (295) -2 3 Vf 5.1 10 m Pf 121 10 3 2. Il lavoro compiuto dal gas Vf L nRT ln Vi Pi L nRT ln Pf Pi nRT ln Pf 101 10 3 (2.5) (8.31) ln 3 121 10 - 1.1 kJ 32 3. La quantità di calore fornita al gas 1 principio della termodinamica U = Q - L Q U L 0 (-1.1 kJ) - 1.1 kJ 33 Riassumendo La conservazione dell’energia porta alla formulazione del 1 principio della termodinamica 34