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sistemi di secondo grado e parabola - IIS Sassetti
APPUNTI DI MATEMATICA LE SEZIONI CONICHE • I sistemi di secondo grado • La parabola ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 I sistemi di secondo grado 1.1 2 I sistemi di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Verifica della soluzione di un sistema di secondo grado . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Risoluzione di un sistema di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Le sezioni coniche: la parabola 2.1 9 Le sezioni coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.1 Il cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.2 Le sezioni coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.3 Alcune proprietà fisiche della parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Vertice e asse di simmetria di una parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 La parabola nel piano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4 Significato geometrico dei coefficienti della parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5 Rappresentare sul piano cartesiano una parabola nota la sua equazione . . . . . . . . 16 2.6 Equazione dell’asse di simmetria, coordinate del vertice di una parabola, del suo fuoco e equazione della sua direttrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.7 La parabola per 3 punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.8 La parabola passante per un punto e per un vertice assegnati . . . . . . . . . . . . . 21 2.9 2.8.1 Il passaggio di coordinate fra due sistemi di riferimento . . . . . . . . . . . . 21 2.8.2 L’equazione di una parabola noto il suo vertice . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.8.3 L’equazione di una parabola passante per un punto e avente vertice assegnati 22 Intersezione retta parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.10 Esercizi e problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 Capitolo 1 I sistemi di secondo grado 1.1 I sistemi di secondo grado Come ben sappiamo, il grado di un sistema è dato dal prodotto dei gradi delle singole equazioni che lo compongono. Se noi abbiamo quindi un sistema di due equazioni, per essere di secondo grado una delle due equazioni è di primo grado e l’altra è di secondo grado. Esempi . È di secondo grado il sistema: x2 + y 2 + 2y = 5 10x + y = 1 infatti la prima equazione è di secondo grado, la seconda è di primo grado quindi il sistema è di secondo grado (2 · 1 = 2). . È di terzo grado il sistema: x2 y + y 2 + 2y = 5 10x + y = 1 infatti la prima equazione è di terzo grado, la seconda è di primo grado quindi il sistema è di terzo grado (3 · 1 = 3). . È di sesto grado il sistema: x2 y + y 2 + 2y = 5 10x + y 2 = 1 infatti la prima equazione è di terzo grado, la seconda è di secondo grado quindi il sistema è di sesto grado (3 · 2 = 6). 1.1.1 Verifica della soluzione di un sistema di secondo grado Ricordiamo che risolvere un sistema in 2 incognite significa determinare una coppia (o più coppie) di valori che sostituita alle incognite rende le equazioni del sistema delle uguaglianze vere. Verificare una soluzione vuol dire quindi sostituire i rispettivi valori alle incognite e vedere se le equazioni si trasformano in uguaglianze vere. Chiariamo col seguente: Alessandro Bocconi 3 Esempio . Il sistema x2 + y 2 + 2x = 7 3x + y = 5 ha come soluzione la coppia (1; 2). Infatti sostituendo alla x il valore 1 e alla y il valore 2 otteniamo per la prima equazione: primo termine: 12 + 22 + 2 · 1 = 1 + 4 + 2 = 7 secondo termine: 7 e quindi la prima eguaglianza è verificata. Sostituendo nella seconda otteniamo: primo termine: 3 · 1 + 2 = 5 secondo termine: 5 e quindi anche la seconda eguaglianza è verificata e con essa tutto il sistema. 1.1.2 Risoluzione di un sistema di secondo grado Adesso ci interessa come risolvere un sistema e, come vedremo, il metdo di risoluzione è molto simile a quello adottato per sistemi di primo grado. Vediamolo con un esempio: . Risolvere il seguente sistema: x2 + y 2 + 2x = 7 3x + y = 5 Si considera l’equazione di primo grado (la seconda) e ci ricaviamo un’incognita in funzione dell’altra. Conviene ricavarci la y perchè ha coefficiente 1: x2 + y 2 + 2x = 7 y = 5 − 3x Adesso sostituiamo, nell’altra equazione, alla y l’espressione ricavata al passo precedente: 2 x + (5 − 3x)2 + 2x = 7 y = 5 − 3x Eleviamo al quadrato: x2 + 25 + 9x2 − 30x + 2x = 7 y = 5 − 3x e sommare fra loro i monomi simili portando il termine noto al primo termine: 10x2 − 28x + 25 − 7 = 0 y = 5 − 3x 10x2 − 28x + 18 = 0 y = 5 − 3x Alessandro Bocconi 4 A questo punto abbiamo un’equazione di secondo grado che chiamiamo equazione risolvente. Come tutte le equazioni di secondo grado anche l’equazione risolvente può avere 2 soluzioni, una soluzione (o meglio 2 coincidenti) o zero soluzioni, a seconda che il discriminante (il delta) sia maggiore di zero, uguale a zero oppure minore di zero. 10x2 − 28x + 18 = 0. Risolviamo allora l’equazione: (Si osservi che sarebbe possibile dividere entrambi i termini per 2 semplificando i calcoli.) Calcolando il delta con a = 10; b = −28 e c = 18 otteniamo: 4 = b2 − 4ac = (−28)2 − 4 · 10 · 18 = 784 − 720 = 64 quindi il discriminante è maggiore di zero e ci aspettiamo due soluzioni che otteniamo usando la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado: √ √ −b ± 4 28 ± 64 28 ± 8 28 − 8 620 1 28 + 8 636 9 9 x= = = → x1 = = = 1; x = = = 2 2a 2 · 10 20 20 620 1 20 620 5 5 A questo punto abbiamo trovato 2 valori per la x. Sostituendoli nell’altra equazione determineremo i relativi valori di y: x=1 y =5−3·1 x=1 y=2 x = 59 y =5− x = 59 y =5−3· 27 5 = 25−27 5 9 5 = − 25 quindi il sistema ha due soluzioni, le coppie (1; 2) e ( 95 ; − 25 ) Dall’esempio possiamo ricavare facilmente la seguente: Proprietà. L’equazione risolvente ed il sistema hanno lo stesso numero di soluzioni, quindi se l’equazione risolvente ha 2 soluzioni (come nell’esempio) il sistema ha 2 coppie di valori che lo risolvono, se l’equazione risolvente ha una soluzione il sistema ha una sola coppia che lo risolve, mentre se l’equazione risolvente non ha soluzioni, nessuna coppia risolve il sistema. Esempi . Risolvi il seguente sistema: 8x + y = 26 x2 + y + 2x = 17 y = 26 − 8x x2 + y + 2x = 17 Ci ricaviamo y dalla prima equazione: e lo sostituiamo nella seconda: y = 26 − 8x x2 + 26 − 8x + 2x = 17 y = 26 − 8x x2 − 6x + 9 = 0 Alessandro Bocconi 5 L’equazione risolvente è: x2 − 6x + 9 = 0 Calcolando il delta con a = 1; b = −6 e c = 9 otteniamo: 4 = b2 − 4ac = (−6)2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0 quindi il discriminante è zero e ci aspettiamo una soluzione dell’equazione risolvente e, di conseguenza, un’unica soluzione del sistema. √ √ 6± 0 6 −b ± 4 = = → x1 = x2 = 3 x= 2a 2 2 A questo punto abbiamo trovato un valore per la x. Sostituendolo nell’altra equazione determineremo il relativo valore di y: y = 26 − 8 · 3 = 2 x=3 quindi il sistema ha un’unica soluzione, la coppia (3; 2) . Risolvi il seguente sistema: x − 3y = 1 x2 + 2y 2 + 2x − 8y = 1 Ricaviamoci x dalla prima equazione e sostituiamo l’espressione ottenuta nella seconda: x = 3y + 1 (3y + 1)2 + 2y 2 + 2(3y + 1) − 8y = 1 x = 3y + 1 9y 2 + 1 + 6y + 2y 2 + 6y + 2 − 8y = 1 x = 3y + 1 11y 2 + 4y + 2 = 0 L’equazione risolvente è: 11y 2 + 4y + 2 = 0 Calcolando il delta con a = 11; b = 4 e c = 2 otteniamo: 4 = b2 − 4ac = (4)2 − 4 · 11 · 2 = 16 − 88 = −72 il discriminante è minore di zero quindi l’equazione risolvente non ha soluzioni e, di conseguenza, non ha soluzioni nemmeno il sistema. 1.2 Problemi Anche i sistemi di secondo grado (come quelli di primo, le equazioni e le disequazioni) possono essere utili a risolvere dei problemi di varia natura. Si veda il seguente: Esempio . L’area di un rettangolo è di 15 metri quadrati e il suo perimetro è di 16 metri. Determinare la misura di entrambi i lati. Alessandro Bocconi 6 Notiamo che, essendo 2 i lati da determinare, sono 2 anche le incognite. Chiamiamo quindi con x la misura di un lato e con y la misura dell’altro. Vincoli di “interezza”: x e y possono essere non interi. Vincoli di range: x e y non possono essere negativi. Dal momento che l’area di un rettangolo è data dal prodotto delle misure dei 2 lati differenti un’equazione è xy = 15. Inoltre il perimetro è la somma delle misure dei 4 lati, 2 dei quali misurano x e gli altri due misurano y. Quindi: x + x + y + y = 16 cioè 2x + 2y = 16 e quindi x + y = 8. Riassumendo il sistema è: xy = 15 x+y =8 che è di secondo grado perché la prima equazione é di secondo grado. Risolviamolo: 2 (8 − y)y = 15 8y − y 2 − 15 = 0 y − 8y + 15 = 0 x=8−y x=8−y x=8−y Risolviamo allora l’equazione: y 2 − 8y + 15 = 0. Calcolando il delta con a = 1; b = −8 e c = 15 otteniamo: 4 = b2 − 4ac = (−8)2 − 4 · 1 · 15 = 64 − 60 = 4 quindi il discriminante è maggiore di zero e ci aspettiamo due soluzioni che otteniamo usando la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado: √ √ −b ± 4 8± 4 8±2 8−2 6 8+2 10 y= = = → y1 = = = 3; y2 = = =5 2a 2·1 2 2 2 2 2 A questo punto abbiamo trovato 2 valori per la y. Sostituendoli nell’altra equazione determineremo i relativi valori di x: y=5 y=3 x=8−5=3 x=8−3=5 e osserviamo che le 2 soluzioni indicano entrambe che un lato misura 3 metri e l’altro 5. Inoltre la soluzione rispetta i vincoli. 1.3 Esercizi Verificare se la coppia messa fra parentesi risolve il relativo sistema 1. x + 5y = 7 x2 − 2y 2 + 3xy + y = 9 (2; 1) 2x − 5y = 3 x2 + 3y 2 + 3x + 2y = 2 (4; 1) 2. 3. 2x − 3y = 7 3x2 − 2y 2 + 3xy + y = 3 (2; −1) Alessandro Bocconi 7 4. 1 1 ( ; ) 2 3 2x + 3y = 2 4x2 − 9y 2 + 4x + 3y = 3 5. 2x − 5y = 7 x2 − 2y 2 + 3xy + y = 32 (−4; −3) Risolvere i seguenti sistemi 6. x2 − 9x − y 2 = 9y x − 3 = 7y (10; 1) 3 3 ( ;− ) 8 8 7. 4x + 2y = 16 x2 − xy + 4 = 0 (2; 4) 2 20 ( ; ) 3 3 8. x+y =6 xy = 0 (0; 6) (6; 0) 9. −2x + 2y = 0 xy − 2x − 2y = −4 (2; 2) 10. x2 − 2y 2 − xy + 5y = x + 2 y−2=x+2 (−1; 3) (−7; −3) 11. x2 + y 2 + 4x − 3y + 10 = 0 3x − 3y = 0 impossibile 12. x+y−3=0 2x2 − 3y 2 − 6x + 9y + xy = 0 (3; 0) (0; 3) 13. x=0 x2 + (y − 1)2 = 1 (0; 1) 14. 2x − y = 0 x2 + 2y 2 + 2x + 2y − 3 = 0 (−1; −2) 15. xy = 8 2x − y = 6 (4; 2) (−1; −8) 1 2 ( ; ) 3 3 Alessandro Bocconi 8 16. x2 + y 2 − 10y = 0 3x − 4y = 5 (3; 1) 17. x+y =1 x2 + y 2 + x + y + 8 = 0 impossibile 18. x2 + y 2 = 25 3x + y = 3 1 3 ( ; ) 2 2 ( 13 9 ;− ) 10 10 19. xy + 2x = 7 −4x + y = 1 (1; 5) 7 (− ; −6) 4 20. −3x + y = 0 3x2 + y 2 + 2 = 0 impossibile 21. 1.4 x + 2y − 4 = 0 22 − y 2 + xy = 5 (2; 1) (−18; 11) Problemi Risolvi i seguenti problemi evidenziando i vincoli 1. Un triangolo ha l’ipotenusa di 5 centimetri e il perimetro di 12 centimetri. Determinare la lunghezza dei cateti. 2. Per piastrellare 2 stanze quadrate ci sono voluti esattamente 52 metri quadri di mattonelle, e 40 metri (lineari) di battiscopa (il battiscopa sta lungo il perimetro delle stanze). Quanto misura il lato di una stanza e quanto misura il lato dell’altra stanza. 3. Nel 2010 Mario spende per andare al cinema 126 euro. Dopo 3 volte che ci era andato aveva già speso 18 euro. Quanto costa il biglietto del cinema? Quante volte è andato nel 2010? 4. Lo spread fra i titolo di stato italiani e quelli tedeschi è di 4 punti percentuali. Se eleviamo al quadrato i punti percentuali dei titoli di stato italiani e facciamo lo stesso per quelli tedeschi e sommiamo questi 2 quadrati si ottiene 58. Quanto è il rendimento dei titoli di stato italiani e quale il rendimento di quelli tedeschi? 5. Sono state emesse azioni della ditta “Prince” per un valore di 130.000 euro. Dieci azioni costano 650 euro. Quante azioni sono state emesse? Quanto costa ciascuna azione? Capitolo 2 Le sezioni coniche: la parabola 2.1 Le sezioni coniche Le sezioni coniche rappresentano certamente un argomento di grande suggestione per le connessioni che mettono in evidenza fra la matematica e altre discipline (o forse sarebbe meglio dire fra la matematica e il resto dell’Universo). Già note dall’antichità, le sezioni coniche sono la circonferenza, l’ellisse, la parabola e l’iperbole e devono il loro nome al fatto che sono ottenute “affettando” un cono con un piano. Per comprendere bene l’argomento bisogna sapere cosa è un cono (figura familiare a tutti si pensi ad esempio al cono gelato). 2.1.1 Il cono Il cono è un solido di rotazione, cio significa che è ottenuto ruotando una figura piana (in questo caso una specie di triangolo rettangolo). Immaginiamo di avere un compasso con le gambe di lunghezza infinita e di compiere una rotazione completa attorno a una delle due gambe (vedi figura 2.1) Se la gamba che si muove lasciasse una scia luminosa tale scia formerebbe un cono (o meglio un semicono come vedremo dopo). Nella figura 2.1 le gambe del compasso sono rappresentate da semirette. Nella definizione completa del cono però al posto delle semirette si usano le rette. Quindi un cono si ottiene ruotando attorno a una retta la retta inclinata che genera il cono (figura 2.2). Ovviamente, essendo le rette di lunghezza infinita, è di lunghezza infinita anche il cono. Figura 2.1: La semiretta obliqua (a sinistra) ruotando attorno alla semiretta verticale forma il semicono a destra 9 Alessandro Bocconi 10 Figura 2.2: La retta obliqua (a sinistra) ruotando attorno alla retta verticale forma il cono a destra Figura 2.3: Il piano, “affettando” il cono forma le sezioni coniche 2.1.2 Le sezioni coniche Se tagliamo il cono con un piano perpendicolare all’asse del cono stesso, la sezione che otteniamo è una circonferenza. Se incliniamo leggermente il piano (meno di quanto è inclinata la retta generatrice) otterremo un ellisse. Se incliniamo il piano rispetto all’asse, esattamente come è inclinata la retta generatrice, otteniamo una parabola. Se aumentiamo l’inclinazione otteniamo un iperbole (figura 2.3). In modo più semplice possiamo ottenere le sezioni coniche con una pila. Sappiamo che la pila emette un cono di luce: se proiettiamo perpendicolarmente al muro otteniamo un cerchio di luce, se incliniamo leggermente la pila otteniamo un ellisse, se incliniamo ancora in modo che il cono di luce abbia la sua generatrice parallela al muro si ottiene una parabola. Se aumentiamo l’inclinazione si ottiene un iperbole. Si osservi che il concetto è analogo al precedente, soltanto che in precedenza abbiamo tenuto fermo il cono e aqbbiamo variato l’inclinazione del piano che lo “affetta”, mentre adesso abbiamo variato l’inclinazione del cono di luce mentre il piano (in questo caso il muro) stava ovviamente fermo (figura 2.4). Alessandro Bocconi 11 Figura 2.4: Il cono di luce della torcia, variando di inclinazione, forma le varie coniche sul muro 2.1.3 Alcune proprietà fisiche della parabola Pur senza poterle dimostrare, è interessante vedere due proprietà fisiche della parabola: • la traiettoria di un oggetto lanciato (non in verticale) descrive sempre una parabola come in figura 2.5 (questo risultato è stato dimostrato scientificamente dal fisico pisano Galileo Galilei). • qualunque raggio che arriva parallelamente all’asse di simmetria della parabola, colpendo la parabola stessa, “rimbalza” sempre sullo stesso punto detto fuoco (figura 2.6) L’ultima delle due proprietà spiega il motivo per cui si usa una antenna a forma di parabola per guardare la tv satellitare. Precisiamo innanzitutto che non si tratta di una parabola ma di un paraboloide, cioè di un solido tridimensionale ottenuto ruotando una parabola (che è invece un oggetto bidimensionale) (figura 2.7). Il paraboloide conserva la stessa proprietà della parabola per cui i segnali provenienti dal satellite arrivano parallelamente all’asse del paraboloide e vengono convogliati nello stesso punto (il fuoco del paraboloide) dove è posto un ricettore che fa arrivare un segnale nitido alla nostra televisione. Lo scopo di questi esempi è soprattutto far riflettere come un oggetto come la parabola (ma lo stesso si potrebbe dire per circonferenza, ellisse e iperbole) ottenuta sezionando un cono ricorra in applicazioni fisiche (e non solo) che nulla hanno a che vedere con la sua costruzione. Lo stupore deve essere lo stesso che si avrebbe mettendo una serie di lettere a caso una dopo l’altra per poi scoprire che esiste nel mondo una lingua per cui quella serie di lettere messe a caso rappresenta una frase di perfetto senso compiuto (o meglio una poesia di rara bellezza). 2.2 Vertice e asse di simmetria di una parabola Nella figura 2.8 sono evidenziati il vertice e l’asse di simmetria della parabola. Alessandro Bocconi 12 Figura 2.5: L’acqua della fontana e il pallone da basket descrivono una traiettoria a forma di parabola Figura 2.6: I raggi che arrivano parallelamente all’asse “rimbalzano” tutti sul fuoco 2.3 La parabola nel piano cartesiano Prima di dare la definizione di una parabola ricordiamo cos’è la distanza di un punto P da una retta r: Se H è il punto di intersezione fra la retta r e la retta passante per P e perpendicolare a r, la distanza di P da r è la lunghezza del segmento P H (figura 2.9). Definizione di parabola. La parabola è il luogo dei punti equidistanti da un punto detto fuoco e da una retta detta direttrice. Dalla definizione segue che, una volta scelta una retta e un punto è determinata la parabola che ha quella retta come direttrice e quel punto come fuoco. Il problema è determinarla e noi lo faremo in un caso particolare. Si scelga in un piano cartesiano una retta parallela all’asse x avente equazione y = −d (dalla geometria della retta sappiamo che ogni retta parallela all’asse x ha equazione y = un numero. Nel nostro caso il numero è −d); e un punto F sull’asse y di coordinate (0; d). Se prendiamo un qualunque punto P di coordinate generiche (x; y) ci chiediamo dove si deve trovare il punto P , e Alessandro Bocconi 13 Figura 2.7: Un paraboloide ottenuto ruotando una parabola (a sinistra) e un’antenna parabolica (a destra) Figura 2.8: L’asse e il vertice di una parabola Figura 2.9: La distanza del punto P dalla retta r quindi come devono essere le sue coordinate, affinché P sia uno dei punti della parabola (figura 2.10). Innanzitutto scriviamo la formula della distanza fra i due punti P e F : p p P F = (x − 0)2 + (y − d)2 = x2 + (y − d)2 Inoltre la distanza fra P e la retta r è la lunghezza del segmento P H. Ma dato che la distanza fra la retta scelta e l’asse delle x è uguale a d e la distanza da P dall’asse delle x è uguale a y risulta che P H = y + d. Affinché P appartenga alla parabola (ricordiamoci la definizione di parabola data in precedenza), deve risultare che: PH = PF cioè in coordinate cartesiane: y+d= p x2 + (y − d)2 Alessandro Bocconi 14 y P(x,y) F(0,d) O Direttrice di equazione y=- d } } y d x H Figura 2.10: P per appartenere alla parabola deve essere equidistante da F e da H Per risolvere questa equazione abbiamo bisogno di eliminare la radice quadrata. Per farlo possiamo elevare alla seconda sia il primo che il secondo termine dell’equazione: p (y + d)2 = ( x2 + (y − d)2 )2 Dal momento che la radice quadrata è l’operazione inversa dell’elevamento al quadrato, nel secondo termine dell’equazione la radice e l’elevamento a potenza si annullano a vicenda. Si ottiene quindi: (y + d)2 = x2 + (y − d)2 da cui y 2 + 2dy + d2 = x2 + y 2 − 2dy + d2 semplificando e portando i monomi che contengono y al primo termine e gli altri al secondo si ottiene: 1 2 y6 2 +2dy+ d6 2 +2dy = x2 + y6 2 + d6 2 → 4dy = x2 → y = x 4d Per semplificare l’equazione sostituiamo a 1 4d la lettera a e l’equazione diviene y = ax2 Abbiamo quindi ottenuto l’equazione di una parabola avente asse verticale e vertice nell’origine (si potrebbe dimostrare, anche se non lo faremo, che l’asse di simmetria e la direttrice sono sempre perpendicolari fra loro: quindi se la direttrice è orizzontale, l’asse di simmetria è verticale). Più in generale, se non avessimo preso il fuoco sull’asse y e con distanza dall’origine uguale alla distanza fra la direttrice e l’origine (vedi secondo esempio di questo paragrafo), avremmo ottenuto una parabola con un’equazione del tipo: y = ax2 + bx + c Questa equazione vale per tutte le parabole con asse di simmetria verticale. Dal momento che noi tratteremo esclusivamente questo tipo di parabole, la formula precedente rappresenta l’equazione di tutte le parabole di cui ci occuperemo. 1 Osservazione. Non deve stupire la sostituzione che abbiamo effettuato quando, al posto di 4d ; abbiamo scritto a. Questi “cambiamenti” di lettera sono molto frequenti in matematica e servono per scrivere le formule in modo più semplice. Osserviamo che tali sostituzioni sono corrette: una 1 volta scelto d diverso da zero infatti, è sempre possibile scegliere a tale che a = 4d . Ad esempio se 1 1 d = 1 allora a = 4 , se d = 2 allora a = 8 ecc. Alessandro Bocconi 15 Esempi . Determinare la parabola avente fuoco F (0, 2) e direttrice di equazione y = −2 Un punto P (x, y) per appartenere a detta parabola deve verificare che: PH = PF dove H è il punto sulla direttrice tale che P H sia perpendicolare alla direttrice stessa. Passando in coordinate cartesiane: y+2= p x2 + (y − 2)2 eleviamo al quadrato entrambi i termini per eliminare la radice quadrata: 1 (y + 2)2 = x2 + (y − 2)2 →6y 2 + 6 4 +4y = x2 + y6 2 + 6 4 −4y → 8y = x2 → y = x2 8 l’equazione della parabola cercata è quindi: 1 y = x2 8 . Determinare la parabola avente fuoco F (2, 1) e direttrice di equazione y = −3 Un punto P (x, y) per appartenere a detta parabola deve verificare che: PH = PF dove H è il punto sulla direttrice tale che P H sia perpendicolare alla direttrice stessa. Passando in coordinate cartesiane: y+3= p (x − 2)2 + (y − 1)2 eleviamo al quadrato entrambi i termini per eliminare la radice quadrata: (y + 3)2 = (x − 2)2 + (y − 1)2 →6y 2 +9 + 6y = x2 + 4 − 4x+ y6 2 +1 − 2y → 8y = x2 − 4x − 4 1 4 4 1 1 1 y = x2 − x − → x2 − x − 8 8 8 8 2 2 l’equazione della parabola cercata è quindi: 1 1 1 y = x2 − x − 8 2 2 2.4 Significato geometrico dei coefficienti della parabola Il coefficiente a “determina” la concavità della parabola, infatti se: • a > 0 allora la parabola ha la concavità rivolta verso l’alto (ha una forma a ∪) • a < 0 allora la parabola ha la concavità rivolta verso il basso (ha una forma a ∩) Inoltre a determina anche l’ampiezza della parabola: più a è vicino a zero e più la parabola è larga. Più a cresce (in valore assoluto e quindi anche con segno negativo) più la parabola si “restringe” (vedi figura 2.11). Il coefficiente c trasla in verticale la parabola, in altre parole se aumentiamo ad esempio di 1 il coefficiente c, tutta la parabola “sale” di 1; se lo diminuiamo di 2 la parabola “scende” di 2. Il coefficiente b (insieme ad a) determina il posizionamento dell’asse verticale (destra-sinistra) e, insieme sia ad a che a c, dello spostamento in verticale della parabola. Alessandro Bocconi 16 120 100 80 y=3x^2 60 40 y=x>^2 20 y=0,1x^2 0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -20 -40 y=- x^2 -60 Figura 2.11: quattro parabole con vertice nell’origine: maggiore è il valore di a e più la parabola si restringe 2.5 Rappresentare sul piano cartesiano una parabola nota la sua equazione Per disegnare una parabola conoscendo la sua equazione si compiono i seguenti passi: 1. Si determina se la concavità è rivolta verso il basso o verso l’alto 2. Si determinano le intersezioni con l’asse x (o, in mancanza di queste, con un’altra retta orizzontale) 3. Si determinano le coordinate del vertice 4. Si determina l’intersezione con l’asse y 5. Si uniscono i punti trovati Esempi . Rappresentare graficamente la parabola di equazione y = x2 − 6x + 5 Concavità: la concavità è rivolta verso l’alto dato che il coefficiente a è 1 e quindi positivo Intersezioni con l’asse x: per determinare le intersezioni della parabola con l’asse x bisogna mettere a sistema l’equazione della parabola con l’equazione dell’asse x cioè y = 0 y = x2 − 6x + 5 y=0 da cui sostituendo a y il valore zero nella prima si ottiene l’equazione di secondo grado x2 −6x+5 = 0 le cui 2 soluzioni sono x = 1 e x = 5. Quindi la parabola interseca l’asse delle x nei punti di ascissa x = 1 e x = 5. Coordinate del vertice: l’asse di simmetria della parabola divide in due parti uguali la parabola e quindi deve passare “in mezzo” ai 2 punti di intersezione della parabola con l’asse x. Dal momento che il vertice sta sull’asse di simmetria per determinare la sua ascissa xv bisogna determinare il valore medio delle 2 soluzioni trovate al punto precedente. Quindi: xv = 1+5 =3 2 Per determinare l’ordinata del vertice (yv )è sufficiente sostituire alla x il valore dell’ascissa del vertice (xv ) nell’equazione y = x2 − 6x + 5 della parabola: yv = x2v − 6xv + 5 → yv = 32 − 6 · 3 + 5 → yv = −4 Alessandro Bocconi 17 35 30 25 20 15 10 55 0 -4 -2 0 1 2 -5 4 5 6 8 10 V(3; -4) -10 Figura 2.12: Quindi le coordinate del vertice sono V (3; −4) Intersezione con l’asse y: per determinare le intersezioni della parabola con l’asse y bisogna mettere a sistema l’equazione della parabola con l’equazione dell’asse y cioè x = 0 y = x2 − 6x + 5 x=0 da cui sostituendo a x il valore zero nella prima equazione si ottiene y = 5. Quindi la parabola interseca l’asse y nel punto di ordinata y = 5 Unendo i punti trovati si ottiene il grafico di figura 2.12. . Rappresentare graficamente la parabola di equazione y = 2x2 − 2x + 1 Concavità: la concavità è rivolta verso l’alto dato che il coefficiente a è 2 e quindi positivo Intersezioni con l’asse x: per determinare le intersezioni della parabola con l’asse x bisogna mettere a sistema l’equazione della parabola con l’equazione dell’asse x cioè y = 0 y = 2x2 − 2x + 1 y=0 da cui sostituendo a y il valore zero nella prima si ottiene l’equazione di secondo grado 2x2 −2x+1 = 0 che non ha soluzioni in quanto il suo 4 è negativo. Questo significa che la parabola non ha intersezioni con l’asse x e quindi, visto che ha la concavità rivolta verso l’alto, sta tutta “sopra” l’asse delle x. Dobbiamo allora determinare una retta orizzontale “più alta” dell’asse delle x che intersechi la parabola. La retta orizzontale di equazione y = termine noto della parabola interseca sempre la parabola (come sarebbe facile dimostrare). Dato che la parabola ha come termine noto 1 ( cioè il coefficiente c), studiamo le intersezioni della parabola con la retta y = 1. y = 2x2 − 2x + 1 y=1 da cui sostituendo a y il valore uno nella prima si ottiene l’equazione di secondo grado 2x2 −2x+1 = 1 le cui 2 soluzioni sono x = 0 e x = 1. Quindi la parabola interseca la retta orizzontale y = 1 nei punti di ascissa x = 0 (quindi sull’asse delle y) e x = 1. Osserviamo quindi che abbiamo già determinato anche l’intersezione della parabola con l’asse delle y. Coordinate del vertice: abbiamo già osservato che il vertice sta sull’asse di simmetria quindi per determinare la sua ascissa xv bisogna determinare il valore medio delle 2 soluzioni trovate al Alessandro Bocconi 18 (0; 1) (1; 1) V(1/2;1/2) Figura 2.13: punto precedente. Quindi: 1 0+1 = 2 2 Per determinare l’ordinata del vertice (yv )è sufficiente sostituire alla x il valore dell’ascissa del vertice (xv ) nell’equazione y = 2x2 − 2x + 1 della parabola: xv = yv = 2x2v − 2xv + 1 → yv = 2 ∗ 12 1 1 − 2 · + 1 → yv = 2 2 2 Quindi le coordinate del vertice sono V ( 21 ; 12 ) Intersezione con l’asse y: già determinato. Unendo i punti trovati si ottiene il grafico di figura 2.13. 2.6 Equazione dell’asse di simmetria, coordinate del vertice di una parabola, del suo fuoco e equazione della sua direttrice Vogliamo adesso determinare l’equazione dell’asse di simmetria di una parabola. Sappiamo che tale retta è verticale e quindi la sua equazione è del tipo x = un numero. Per trovare questo numero ricordiamo che l’asse passa nel punto medio fra i 2 punti intersezione della parabola stessa con una qualunque retta orizzontale. Consideriamo allora una parabola di generica equazione y = ax2 + bx + c e determiniamone le intersezioni con la retta orizzontale y = c. y = ax2 + bx + c y=c Sostituendo a y il valore c nella prima equazione si ottiene: ax2 + bx+ 6 c=6 c→ x(ax + b) = 0 e quindi troviamo x = 0 e ax + b = 0 → ax = −b → x = − ab . Le due intersezioni hanno ascissa x = 0 e x = − ab , quindi il suo punto medio ha ascissa: 0− 2 b a =− b 2a e di conseguenza troviamo l’equazione dell’asse di simmetria della parabola che è: x=− b 2a Alessandro Bocconi 19 Per determinare le coordinate del vertice osserviamo che il vertice appartiene all’asse di simmetria b , e quindi anche il vertice ha ascissa: della parabola i cui punti hanno tutti ascissa x = − 2a xv = − b 2a per trovare l’ordinata del vertice sostituiamo, nell’equazione generica della parabola, a x il valore b di xv (cioè − 2a ) ottenendo: yv = ax2v + bxv + c = a(− b2 b 2 b b2 b2 − 2b2 + 4ac b2 − 4ac ) + b · (− ) + c =6 a 6 2 − +c= =− 2a 2a 2a 4a 4a 4a quindi le coordinate del vertice sono: V (− b b2 − 4ac ;− ) 2a 4a Esempio . Determinare le coordinate del vertice della parabola di equazione y = x2 − 6x + 5 (si osservi che è la stessa parabola del primo esempio del paragrafo precedente) Sappiamo che le coordinate del vertice sono xv = − b ; 2a yv = − b2 − 4ac 4a In questo caso abbiamo che a = 1; b = −6; c = 5. Per determinare le coordinate del vertice è sufficiente sostituire tali valori nelle coordinate generiche: xv = − −6 = 3; 2·1 yv = − (−6)2 − 4 · 1 · 5 36 − 20 =− = −4 4·1 4 e si osservi che il risultato coincide con quello dell’esempio del paragrafo precedente. Per completezza diamo le coordinate del fuoco e l’equazione della retta direttrice: F (− 2.7 1+4 b ;− ) 2a 4a direttrice: y = − 1+4 4a La parabola per 3 punti Per qualunque terna di punti non allineati e tali che abbiano tutti una ascissa diversa, esiste un’unica parabola con asse verticale passante per detti punti. Il problema di determinare tale parabola note le coordinate dei tre punti è concettualmente molto facile anche se di non immediata risoluzione. Spieghiamoci tramite un esempio: Esempio. . Si determini l’equazione della parabola passante per i punti A(1; 2), B(−1; 6) e C(2; 3). Sappiamo che la parabola ha equazione generica y = ax2 +bx+c, quindi per determinarla dobbiamo trovare il valore dei coefficienti a, b e c. Affinché la parabola passi per il punto A, deve essere vera l’uguaglianza che si ottiene sostituendo a x l’ascissa di A (che è 1) e a y l’ordinata di A (che è 2): 2 = a · 12 + b · 1 + c Alessandro Bocconi 20 Affinché la parabola passi per il punto B, deve essere vera l’uguaglianza che si ottiene sostituendo a x l’ascissa di B (che è -1) e a y l’ordinata di B (che è 6): 6 = a · (−1)2 + b · (−1) + c Affinché la parabola passi per il punto C, deve essere vera l’uguaglianza che si ottiene sostituendo a x l’ascissa di C (che è 2) e a y l’ordinata di C (che è 3): 3 = a · 22 + b · 2 + c Mettendo insieme le 3 equazioni si ottiene il sistema: 2 = a · 12 + b · 1 + c 6 = a · (−1)2 + b · (−1) + c 3 = a · 22 + b · 2 + c Da cui, scambiando i termini delle 3 equazioni e eseguendo le operazioni si ottiene: a+b+c=2 a−b+c=6 4a + 2b + c = 3 Quanto appena scritto è un sistema di 3 equazioni nelle 3 incognite a, b e c. Concettualmente il metodo di risoluzione è identico rispetto ai sistemi di 2 equazioni, soltanto che il procedimento è più lungo (soprattutto se si usa il metodo della sostituzione). Ricaviamo c dalla prima equazione e sostituiamolo nelle altre due: c=2−a−b 6 a −b + 2− 6 a −b = 6 4a + 2b + 2 − a − b = 3 nella seconda equazione dopo aver semplificato a ci ricaviamo facilmente b: c=2−a−b −2b = 4 4a + 2b + 2 − a − b = 3 c=2−a−b b = −2 4a + 2b + 2 − a − b = 3 sostituiamo a b il valore −2 nella terza equazione: c=2−a−b c=2−a−b b = −2 b = −2 4a− 6 4 + 6 2 −a+ 6 2= 3 4a + 2 · (−2) + 2 − a − (−2) = 3 c=2−a−b b = −2 a=1 Sostituiamo i valori trovati per a e per b nella prima equazione: c = 2 − 1 − (−2) c=3 b = −2 b = −2 a=1 a=1 quindi la parabola cercata è y = x2 − 2x + 3. Il procedimento risulta essere molto più semplice se qualcuno dei punti appartiene all’asse y, come possiamo osservare nel seguente esempio: . Determinare la parabola passante per i punti A(0; −3), B(1; 0) e C(2; 7). Alessandro Bocconi 21 Affinché la parabola passi per il punto A, deve essere vera l’uguaglianza che si ottiene sostituendo a x l’ascissa di A (che è 0) e a y l’ordinata di A (che è −3): −3 = a · 02 + b · 0 + c Affinché la parabola passi per il punto B, deve essere vera l’uguaglianza che si ottiene sostituendo a x l’ascissa di B (che è 1) e a y l’ordinata di B (che è 0): 0 = a · 12 + b · 1 + c Affinché la parabola passi per il punto C, deve essere vera l’uguaglianza che si ottiene sostituendo a x l’ascissa di C (che è 2) e a y l’ordinata di C (che è 7): 7 = a · 22 + b · 2 + c Mettendo insieme le 3 equazioni si ottiene il sistema: −3 = a · 02 + b · 0 + c 0 = a · 12 + b · 1 + c 7 = a · 22 + b · 2 + c Da cui, scambiando i termini delle 3 equazioni e eseguendo le operazioni si ottiene: c = −3 a+b+c=0 4a + 2b + c = 7 c = −3 a+b=3 4a + 2b = 10 ricaviamo a dalla seconda equazione e sostituiamo nella terza: c = −3 c = −3 a=3−b a=3−b 4(3 − b) + 2b = 10 12 − 4b + 2b = 10 da cui c = −3 a=3−b −2b = −2 c = −3 a=2 b=1 quindi la parabola cercata è y = 2x2 + x − 3. 2.8 2.8.1 La parabola passante per un punto e per un vertice assegnati Il passaggio di coordinate fra due sistemi di riferimento In un piano cartesiano oxy (che significa di origine nel punto o e assi x e y), scegliamo 2 punti qualunque, ad esempio A(4; 4) e B(8; 3). Si consideri adesso un altro sistema di riferimento OXY (abbiamo scelto le lettere maiuscole per distinguerlo dall’altro) tale che abbia gli assi paralleli al sistema oxy e origine O di cordinate, rispetto all’altro sistema di riferimento, (3; 2) (vedi figura 2.14). Ci chiediamo che coordinate hanno, nel sistema di riferimento OXY , i punti A e B. La figura ci aiuta a capire che, nel nuovo sistema di riferimento, abbiamo che A ha coordinate (1; 2) e B ha Alessandro Bocconi 22 y Y 4 2 3 1 A B O o 1 5 4 8 X x Figura 2.14: coordinate (5; 1). È immediato osservare che, per trovare l’ascissa di A e B nel nuovo sistema di riferimento, è stato sufficiente sottrarre 3 all’ascissa che avevano nel vecchio sistema di riferimento (ascissa nuova di A = ascissa vecchia di A − 3 e ascissa nuova di B = ascissa vecchia di B − 3) mentre per trovare l’ordinata di A e B nel nuovo sistema di riferimento, è stato sufficiente sottrarre 2 all’ordinata che avevano nel vecchio sistema di riferimento (ordinata nuova di A = ordinata vecchia di A − 2 e ordinata nuova di B = ordinata vecchia di B − 2). Questo metodo vale per qualunque punto: se avessimo un punto C avente nel sistema di riferimento oxy coordinate (17; 10), nel sistema di riferimento OXY avrebbe coordinate (14; 8) (14 = 17 − 3; 8 = 10 − 2). Ovviamente per passare da oxy a OXY si sottrae di 3 per le ascisse e di 2 per le ordinate perché O nel sistema di riferimento oxy ha coordinate (3; 2). Se vogliamo fare un discorso più generale consideriamo che O, nel sistema di riferimento oxy abbia coordinate (x0 ; y0 ). Allora le equazioni per passare da un sistema di riferimento all’altro sono: X = x − x0 Y = y − y0 2.8.2 L’equazione di una parabola noto il suo vertice Sappiamo che una parabola con il vertice nell’origine ha equazione: y = ax2 Supponiamo adesso che una parabola abbia il vertice nel punto di coordinate (x0 ; y0 ). Consideriamo un nuovo sistema di riferimento OXY in cui l’origine abbia coordinate (x0 ; y0 ): in questo sistema di riferimento il vertice coincide nell’origine e quindi la parabola ha equazione: Y = aX 2 ma a noi interessa l’equazione della parabola nel sistema di riferimento oxy quindi utilizziamo le formule per i passaggi di coordinata visti alla fine del precedente paragrafo e sostituiamo a X l’espressione x − x0 e a Y l’espressione y − y0 ottenendo cosı̀: y − y0 = a(x − x0 )2 che rappresenta l’equazione di tutte le parabole aventi vertice nel punto di coordinate (x0 ; y0 ) 2.8.3 L’equazione di una parabola passante per un punto e avente vertice assegnati A questo punto è semplice risolvere il problema della parabola noti il vertice e un suo punto. Lo affrontiamo con un esempio: Alessandro Bocconi 23 Esempio . Determinare la parabola avente vertice V (3; −2) e passante per il punto P (1; 6) Usiamo la formula appena trovata e sostituiamo a x0 e y0 le coordinate del vertice. Si ottiene: y + 2 = a(x − 3)2 a questo punto imponiamo il passaggio della parabola per il punto P sostituendo a x e ad y le coordinate 1 e 6. Possiamo cosı̀ ricavarci a: 64 68 2 6 + 2 = a(1 − 3)2 → 8 = 4a → a = 1 → a = 2 64 64 Adesso, nell’equazione y + 2 = a(x − 3)2 , sostituiamo ad a il valore appena trovato ed eleviamo al quadrato: y + 2 = 2(x − 3)2 → y + 2 = 2(x2 − 6x + 9) → y + 2 = 2x2 − 12x + 18 → y = 2x2 − 12x + 16 che rappresenta l’equazione cercata. 2.9 Intersezione retta parabola Ormai sappiamo che in geometria analitica le intersezioni si trovano risolvendo dei sistemi. Per determinare le intersezioni fra una retta e una parabola bisogna mettere a sistema l’equazione della retta (di primo grado) e l’equazione della parabola (di secondo grado). Otteniamo cosı̀ dei sistemi di secondo grado come quelli studiati nel capitolo precedente. Possono accadere 3 casi: • Se il sistema non ha soluzioni da un punto di vista geometrico significa che non esistono punti di intersezione fra la retta e la parabola: in questo caso si dice che la retta è esterna alla parabola. • Se il sistema ha un’unica soluzione significa che esiste un solo punto di intersezione fra la retta e la parabola: in questo caso si dice che la retta è tangente alla parabola. • Se il sistema ha due soluzioni significa che esistono due punti di intersezione fra la retta e la parabola: in questo caso si dice che la retta è secante alla parabola. Esempi . Determinare le intersezioni fra la parabola di equazione y = x2 − x + 2 e la retta di equazione 2x − y = 0. Dobbiamo risolvere il sistema: 2x − y = 0 y = x2 − x + 2 conviene ricavarsi y dalla prima e sostituirlo nella seconda: y = 2x y = 2x 2x = x2 − x + 2 x2 − 3x + 2 = 0 Determiniamo allora le soluzioni dell’equazione x2 − 3x + 2 = 0: 4 = b2 − 4ac = 9 − 8 = 1 Alessandro Bocconi 24 il discriminante è positivo quindi il sistema ha 2 soluzioni che significa che la retta e la parabbola hanno 2 punti di intersezione. √ −b ± 4 3±1 x= = x = 1; x = 2 a 2 Abbiamo trovato le ascisse dei due punti di intersezione. Per trovare le ordinate: x=1 x=2 y = 2x y = 2x da cui x=1 y=2 x=2 y=4 quindi i 2 punti di intersezione hanno coordinate (1; 2) e (2; 4) . Determinare le intersezioni fra la parabola di equazione y = x2 − x + 5 e la retta di equazione y = 2x − 1. Dobbiamo risolvere il sistema: y = 2x − 1 y = x2 − x + 5 conviene ricavarsi y dalla prima e sostituirlo nella seconda: y = 2x − 1 y = 2x − 1 x2 − 3x + 6 = 0 2x − 1 = x2 − x + 5 Determiniamo allora le soluzioni dell’equazione x2 − 3x + 6 = 0: 4 = b2 − 4ac = 9 − 24 = −15 il discriminante è negativo quindi il sistema non ha soluzioni. Ciò significa che la retta e la parabbola non hanno punti di intersezione e quindi la retta è esterna alla parabola. 2.10 Esercizi e problemi Paragrafo 2.3 1. Si determini la parabola avente direttrice y = −1 e fuoco nel punto F (0; 1) 2. Si determini la parabola avente direttrice y = 2 e fuoco nel punto F (0; −2) 3. Si determini la parabola avente direttrice y = −2 e fuoco nel punto F (1; 1) 4. Si determini la parabola avente direttrice y = 0 e fuoco nel punto F (2; 3) 5. Si determini la parabola avente direttrice y = −3 e fuoco nel punto F (−2; 3) 6. Si determini la parabola avente direttrice y = 2 e fuoco nel punto F (0; 0) 7. Si determini la parabola avente direttrice y = −1 e fuoco nel punto F (22; −3) Paragrafo 2.5 Rappresentare graficamente le parabole aventi equazione: Alessandro Bocconi 25 8. y = x2 − 2x − 3 9. y = 2x2 − 2x + 5 10. y = −x2 − 2x − 1 11. y = 3x2 + 2x − 1 12. y = −2x2 + 3x + 2 13. y = 12 x2 − 3x + 4 14. y = 10x2 + 3x + 1 15. y = x2 − 2x 16. y = 4x2 17. y = −2x2 + 18 18. y = x2 − 2x − 4 19. y = − 13 x2 − x 20. y = x2 − 5x + 6 21. y = −x2 + 2x + 15 22. y = 2x2 − 21 x 23. y = x2 + 10x + 9 Paragrafo 2.6 Determinare l’equazione dell’asse, le coordinate del vertice, le coordinate del fuoco e l’equazione della direttrice delle seguenti parabole: 24. y = x2 − 2x − 3 25. y = 2x2 − 2x + 5 26. y = −x2 − 2x − 1 27. y = 3x2 + 2x − 1 28. y = −2x2 + 3x + 2 29. y = 12 x2 − 3x + 4 30. y = 10x2 + 3x + 1 31. y = x2 − 2x 32. y = 4x2 33. y = −2x2 + 18 Paragrafo 2.7 Determinare l’equazione della parabola passante per i punti: 34. A(0; 5), B(1; 5), C(−1; 9) [y = 2x2 − 2x + 5] 35. A(1; −6), B(2; −14), C(0; −4) 36. A(−3; −3), B(1; 5), C(0; 0) [y = −3x2 + x − 4] [y = x2 + 4x] Alessandro Bocconi 26 [y = 3x2 − 5] 37. A(2; 7), B(−1; −2), C(−2; 7) [y = 2x2 + x − 1] 38. A(0; −1), B(1; 2), C(−2; 5) 39. A(2; 0), B(3; 0), C(1; 2) [y = x2 − 5x + 6] 40. A(1; −2), B(0; 1), C(3; −32) [y = −4x2 + x + 1] 41. A(1; −12), B(−1; −12), C(0; −10) [y = −2x2 − 10] Paragrafo 2.8 Determinare l’equazione della parabola avente vertice nel punto V e passante per il punto A di coordinate: 42. V (0; 1) e A(2; 0) 43. V (−1; −1) e A(1; 3) 44. V (1; −18) e A(4; 0) 45. V (3; 4) e A(2; 3) 46. V ( 23 ; − 14 ) e A(3; 2) 47. V (−1; −8) e A(2; 10) 48. V (6; −16) e A(2; 0) 49. V (0; −9) e A(1; −8) 50. V (−1; 12) e A(−2; 9) Paragrafo 2.9 Determinare le eventuali intersezioni fra le rette e le parabole di equazione 51. x + y = 2 e y = x2 + 2x − 2 52. 4x − y − 1 = 0 e y = 3x2 − 2x − 1 53. x + y = 0 e y = −x2 + 2x 54. −2x + y = −2 e y = 4x2 + 7x − 1 55. 2x + y = 3 e y = x2 − 5 56. y = 7 − 3x e y = 3x2 + 2x − 1 57. 5x + y + 5 = 0 e y = −5x2 + 2x + 1 58. 2x + 3y = 3 e y = −2x2 + 2x + 1 59. x + 2y = −1 e y = 6x2 − 5x − 2