Moto uniformemente accelerato

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Moto uniformemente
accelerato
http://cosmo.fisica.unimi.it/didattica/corsi/fisicagenerale-con-elementi-di-fisica-tecnica/fisicagenerale-fisica-tecnica-20142015/
Nella maggioranza dei moti la velocità non è costante
Nell’esempio le macchine partono da ferme, quindi con velocita nulla.
La velocità nella prima fase del moto aumenta da zero ad un valore massimo.
Poi si attesta attorno al valore di crociera.
Alla fine diminuisce fino a tornare a zero.
100
100
80
v(m/s)
v(m/s)
80
60
40
40
20
20
0
60
0
0
100
200
300
400
500
t(s)
Moto rettilineo uniforme
0
100
200
300
t(s)
Moto vario
400
500
Riprendiamo l’esempio di Usain Bolt. Qui siamo a Pechino
100 m in 9.69 s
vmedia=100/9,69=10,3199 m/s
Passaggi ogni 10 m. vmedia=10,3199 m/s
t(s)
s(m)
Dt(s)
Ds(m)
t(s)
v(m/s)
0,17
0,2
0,17
0,2
0,17
1,17
1,85
10
1,68
10
1,85
5,95
2,87
20
1,02
10
2,87
9,8
3,78
30
0,91
10
3,78
10,98
4,65
40
0,87
10
4,65
11,49
5,50
50
0,85
10
5,50
11,76
12
6,32
60
0,82
10
6,32
12,19
10
7,14
70
0,82
10
7,14
12,19
7,96
80
0,82
10
7,96
12,19
8,79
90
0,83
10
8,79
12,04
9,69
100
0,9
10
9,69
11,11
100
80
s(m)
60
40
20
0
0
2
4
6
8
10
6
8
10
t(s)
14
v(m/s)
8
6
4
2
0
0
2
4
t(s)
Moto rettilineo uniforme (quasi)
14
12
10
v(m/s)
8
6
Moto rettilineo
uniformemente
accelerato
4
2
0
0
2
4
6
t(s)
8
10
Accelerazione
Dv
a =
Dt
Le dimensioni dell’accelerazione sono:
velocità spazio
=
tempo
tempo2
E si misura in m/s2
Se l’accelerazione è costante il moto è detto uniformemente accelerato.
100
100
80
80
v(m/s)
v(m/s)
Legge della velocità
60
40
20
0
60
40
20
0
100
200
300
400
500
0
0
100
200
300
t(s)
t(s)
v=costante
v=v0+at
Moto uniforme
400
500
Moto uniformemente accelerato
Per un intervallo di tempo Dti molto corto:
Dt i
100
80
v(m/s)
Dsi=viDti
60
v
40
v
20
0
0
2
4
6
8
10
t(s)
Dt
Per tanti intervalli di tempo Dti :
Per un intervallo di tempo Dt lungo a piacere:
Ds=SviDti
Ds=vDt/2
Per un intervallo di tempo Dt lungo a piacere:
Dt i
100
v(m/s)
80
60
v
40
v
20
0
Ds=vDt/2
0
2
4
6
8
10
t(s)
11
2Δt
Δs

a
v
D
t
Δt
Δs  a D t
22
Dt
In generale:
1 2
s  s0  v 0 t  at
2
Per chi si ricordi che cosa sono derivate e integrali:
dv
a
dt
v   adt
2
dx
 2
dt
x   vdt
Se il moto è uniformemente accelerato, a = cost:
v   adt  a  dt  a t
1 2
x   vdt   atdt  a  tdt  at
2
Legge oraria
Moto uniformemente accelerato
100
100
80
80
s(m)
s(m)
Moto uniforme
60
60
40
40
20
20
0
0
0
100
200
300
400
t(s)
s  s0  vt
500
S0=0
V0=0
s
1 2
at
2
V0=0
0
100
200
300
400
500
t(s)
1 2
s  s0  v 0 t  at
2
1
s  s0  at 2
2
Una formula utile: il legame tra spostamento e velocità
v=v0+at
1 2
s  s0  v 0 t  at
2
v-v0=at
t=(v-v0)/a
1 2
s s0  v 0 t  at
2
(v  v 0 ) 1 (v  v 0 )
s  s0  v 0
 a
2
a
2
a
2
(v  v 0 ) 1 (v  v 0 )
 v0

a
2
a
2
2
2
(v  v 0 )
1
(v  v 0 ) 1
1 (v  v 0 )
s  s0 
(v 0  (v  v 0 ) ) 
(v  v 0 ) 
a
2
2
a
a
2
Caduta libera nel vuoto.
Tutti i corpi, che non siano trattenuti,
cadono verso terra con accelerazione
costante g=9.8 m/s2.
L’aria trattiene il corpo e frena il moto
in modo diverso a seconda della forma
del corpo
Caduta libera nel vuoto
Di solito si posiziona l’asse z con l’origine a terra.
Il corpo quindi ha una posizione
iniziale non nulla:
g
z0=h
La componente dell’accelerazione lungo l’asse z è
h
asse z
Negativa -g
Nella caduta libera la velocità iniziale è nulla:
v0=0
z=0
Legge della velocità
g
h
asse z
z=0
Dv
a=
= -g
Dt
v-v0
= -g
t-t0
v=-gt
v0=0
t0=0
v=-gt
g
Legge oraria
h
asse z
z=0
1 2
z  z 0  v 0 t  at
2
z=z0- 1 gt2
2
v0=0
t0=0
z0=h
z=z0- 1 gt2
2
v=-gt
0
100
-20
s(m)
80
v(m/s)
-40
60
-60
40
-80
20
-100
0
0
2
4
6
t(s)
8
10
0
2
4
6
t(s)
8
10
Esercizio 1
Quanto ci mette un corpo a cadere da
1m
2
1
z=z
gt
0
10m
2
100m
0=z0- 1 gt2
1km
2
2 z0
t 
g
2
2 z0
t 
g
z0
z0= 1 gt2
2
2
t 
9.8
t  0.45 s
z=0
Esercizio 1
z0
Quanto ci mette un corpo a cadere da
1m
2
1
z=z
gt
0
10m
2
100m
0=z0- 1 gt2
1km
2
2 z0
t 
g
2
2 z0
t 
g
z0= 1 gt2
2
2x10
t 
9.8
t  1.42 s
z=0
Esercizio 1
z0
Quanto ci mette un corpo a cadere da
1m
2
1
z=z
gt
0
10m
2
100m
0=z0- 1 gt2
1km
2
2 z0
t 
g
2
2 z0
t 
g
z0= 1 gt2
2
2x100
t 
9.8
t  4.51 s
z=0
Esercizio 1
z0
Quanto ci mette un corpo a cadere da
1m
2
1
z=z
gt
0
10m
2
100m
0=z0- 1 gt2
1km
2
2 z0
t 
g
2
z0= 1 gt2
2
2 z0
2x1000
t 
t 
g
9.8
t  14.28 s
z=0
La formula che abbiamo usato:
2 z0
t 
g
vale in generale nella caduta libera.
22
20
18
16
14
t(s)
12
10
8
6
4
2
0
0
200
400
600
800
1000 1200 1400 1600 1800 2000
z0(m)
Z0(m)
1
10
100
1000
t(s)
0.45
1.42
4.51
14.28
B
Esercizio 2
Una persona, su un grattacielo alto 100 m,
lancia una palla verso l’alto con una
velocità di 20 m/s. Denominando i punti
del moto come in figura, calcolare:
1)
2)
3)
Tempo di arrivo e posizione in B
Tempo d’arrivo e velocità in C
Se passa da D dopo 6 secondi, posizione e velocità in D
4) Tempo di arrivo e velocità in E
5) Velocità media del moto.
C A
D
E
Esercizio 2
B
zA=100m, posizione iniziale
vA=20 m/s, velocità iniziale.
C A
20
120
0
100
s(m)
v(m/s)
v=vA-gt
z=zA+vAt-1/2 gt2
-20
-40
D
80
60
E
40
-60
20
-80
0
0
2
4
t(s)
6
8
0
2
4
t(s)
6
8
Esercizio 2
B
1) Tempo di arrivo e posizione in B
zA=100m
vA=20 m/s. Questa è la velocità iniziale.
C A
v=vA-gt
Chiamo tB il tempo di arrivo in B.
D
Dato che il corpo in B si ferma e torna indietro,
in quel punto la sua velocità è nulla, vB=0.
vB=vA-gtB=0
tB=vA/g
E
1) Tempo di arrivo e posizione in B
tB=vA/g
B
tB=20/9.8 s = 2.04s
20
120
0
100
s(m)
v(m/s)
z=zA+vAt-1/2 gt2
22 2
2
=100+20t
9.8t
z
=100+v
=z
+v
t
t
-1/2
-1/2
gt
gt
B
zBB=100+20x2.04-1/2
A
Am
AB B
B B9.8x2.04
=120.4
B
B
-20
-40
D
60
40
-60
-80
80
C A
20
0
0
2
4
t(s)
6
8
0
2
4
t(s)
6
8
E
2) Tempo di arrivo e velocità in C
B
In C si ha che zC=zA
gt2
z=zA+vAt-1/2
0=20tC-1/2 9.8tC2
zC=zA+vAtC-1/2 gtC2
tC(20-1/2 9.8tC)=0
20
120
C
s(m)
v(m/s)
0
-20
-40
D
80
60
40
-60
-80
C
100
C A
20
0
0
2
4
t(s)
6
8
0
2
4
t(s)
6
8
E
2) Tempo di arrivo e velocità in C
tC=0
0=20tC-1/2 9.8tC2
(20-1/2 9.8tC)=0
tC(20-1/2 9.8tC)=0
20
120
C
s(m)
v(m/s)
C
100
-20
-40
D
80
60
40
-60
-80
C A
tC=20x2/9.8 =4.08 s
1/2 9.8tC=20
0
B
20
0
0
2
4
t(s)
6
8
0
2
4
t(s)
6
8
E
2) Tempo di arrivo e velocità in C
B
v=vA-gt
tC=4.08 s
vC=vA-gtC =20-9.8x4.08 =20-40 =-20 m/s C A
20
120
C
s(m)
v(m/s)
0
-20
-40
D
80
60
40
-60
-80
C
100
20
0
0
2
4
t(s)
6
8
0
2
4
t(s)
6
8
E
3) Posizione e velocità in D
tD=6 s v=vA-gt
B
vD=vA-gtD =20-9.8x6 =20-58.8 =-38.8 m/s
20
120
0
100
s(m)
v(m/s)
C A
z=zA+vAt-1/2 gt2 zD=zA+vAtD-1/2 gtD2
zD=100+20x6-1/2 9.8x62=100+120-176.4 =43.6m
D
-20
-40
80
D
60
40
-60
-80
D
20
0
0
2
4
t(s)
6
8
0
2
4
t(s)
6
8
E
4) Tempo d’arrivo e velocità in E
2
v=v
-gt
z=z
+v
t-1/2
gt
zE=0
A
A
A
zE=zA+vAtE-1/2 gtE2
4.9xtE2-20tE-100=0
20
0=100+20tE-1/2 9.8xtE2
20  400  4 x100 x 4.9 20  48.58

tE 
9.8
9.8
20  48.58
 6.99 s

9.8
D
100
s(m)
v(m/s)
C A
120
0
E
-20
-40
80
60
40
-60
-80
B
E
20
0
0
2
4
t(s)
6
8
0
2
4
t(s)
6
8
E
4) Tempo d’arrivo e velocità in E
zE=0
vE=20-9.8x6.99 =20-68.5
=-48.5 m/s
20
120
0
100
-20
s(m)
v(m/s)
vE=vA-gtE
E
-40
C A
D
80
60
40
-60
-80
B
tE  6.99 s
v=vA-gt
E
20
0
0
2
4
t(s)
6
8
0
2
4
t(s)
6
8
E
5) Velocità media
v=vA-gt
B
vE=-48.5 m/s
vmedia=(vE+vA)/2 =(-48.5+20)/2 =-28.5/2
C A
=-14.25
=-100/7
20
D
v(m/s)
0
vscalare media=140.8/7
-20
E
-40
=20.11
-60
-80
0
2
4
t(s)
6
8
E
Esercizio 3
• Un’auto viaggia con velocità costante di 70 km/h, valore oltre il limite di velocità.
Dietro un cartellone pubblicitario c’è appostata una moto dei vigili urbani, che,
dopo un secondo dal passaggio dell’auto, parte all’inseguimento. La moto ha
un’accelerazione di 3 m/s2.
• Quando la moto raggiunge l’auto?
Definiamo come t=0 l’istante in cui la macchina passa davanti al cartellone
Moto
Auto
Moto rettilineo uniforme
Moto uniformemente accelerato
v mm  v m,0
m,0  a m
m t(t  t 0 )
v a  v a,0 = 70 km/h
= 70*1000/3600 m/s = 19.44 m/s
sa  s0  v a,0 t
 v a,0 t
sa  19.44 t
s(m)
400
200
0
0
10
t(s)
20
1
2
2
s m vsm,0

v
t
t
s m  s m,0
(t

t
)

a
(t

t
)
m,0
m,0
0
m
0
2
1
s m  a m (t  t 0 ) 2
2
1
s m  3(t  1) 2
2
1
s m  3(t  1) 2
2
sa  19.44 t
sa  s m
1
19.44 t  3(t  1) 2
2
1.5 t 2  3 t  1.5  19.44 t
1.5 t 2  22.44 t  1.5  0
22.44  22.44  4 x1.5 x1.5
22.44  22.23

t
2 x1.5
2 x1.5
2
s(m)
400
=14.89 s
=0.067 s
200
0.067<1
0
0
10
t(s)
20
Precedente alla partenza della moto
Da scartare
Sicurezza stradale e cinematica
Tempo di reazione e distanze di sicurezza
Il tempo di reazione è l’intervallo di tempo che passa tra il momento in cui si percepisce un pericolo e il momento in
cui si inizia ad agire per evitarlo. In condizioni normali il tempo di reazione è circa 0.75-1 s .
Se il conducente è sotto l’effetto di alcol, il tempo di reazione aumenta esponenzialmente col tasso alcolico.
Per esempio, in stato di euforia debole (alcolemia=0.4 g/l), il tempo di reazione è 1.5 s.
Da quando vede un ostacolo, il conducente di un veicolo impiega circa 1 s prima di iniziare a frenare e percorre uno
spazio di reazione Δsr = v (1 s) che dipende dalla velocità v a cui procede. Se l’ostacolo dista meno di Δsr metri
dall’auto, l’automobilista non ha neppure il tempo per iniziare a frenare e urta contro l’ostacolo con la velocità v.
60
s(m)
40
20
0
0
50
100
v(km/h)
150
200
Spazio di frenata
Lo spazio di frenata è la distanza che un veicolo percorre fra l’inizio della decelerazione e l’arresto.
Nell’ipotesi che la decelerazione prodotta dai freni sia costante, il moto del veicolo è uniformemente accelerato.
La velocità iniziale v0 , lo spazio di frenata , quella finale v = 0 m/s, l’accelerazione (<0) e lo Δsf sono legati dalla relazione :
1 (v 2  v 02 ) 1 v 02
D sf 

2
a
2 |a |
Lo spazio di frenata dipende dalle condizioni del veicolo e dal fondo stradale, che determinano il valore della decelerazione.
Lo spazio di frenata cresce con il quadrato della velocità.
Per un’automobile in buone condizioni, su una strada con aderenza media, gli spazi di frenata sono molto vicini a:
v (km/h)
Δsf (m)
25
4
50
16
90
52
a=-6 m/s2
130
110
Gli spazi di frenata aumentano in modo considerevole in caso di pioggia o ghiaccio e quando le gomme sono sgonfie o
comsumate.
Distanza di sicurezza
La distanza di sicurezza è la distanza che un veicolo deve mantenere da quello che lo precede per potersi
arrestare senza urtarlo.
La distanza di sicurezza Δss è la somma dello spazio di reazione e dello spazio di frenata:
Δss = Δsr + Δsf
120
Δss
100
A 50 km/h, Dss= 35 m
Dsf(m)
80
60
40
Δsr
20
0
0
20
40
60
80 100 120 140
v(km/h)
A 100 km/h, Dss= 110 m
Conclusione
• Guidare sempre sobri e senza aver fumato canne (non parliamo poi di
altre sostanze)
• Mettersi nelle condizioni di vederci bene
• Fare attenzione a ghiaccio, neve, pioggia, stato degli pneumatici e dei
freni
• Guidare a bassa velocità