TERZA LEGGE DI KEPLERO:

TERZA LEGGE DI KEPLERO:
La terza legge sul moto dei corpi celesti, formulata da Keplero,
afferma che si mantiene costante il rapporto fra il quadrato del
periodo di rivoluzione dei pianeti e il cubo del semiasse maggiore
della sua orbita:
𝑻𝟐
𝒌= 𝟑
𝒓
𝒔𝟐
𝐤=
𝐞𝐪𝐮𝐚𝐳𝐢𝐨𝐧𝐞 𝐝𝐢𝐦𝐞𝐧𝐬𝐢𝐨𝐧𝐚𝐥𝐞.
𝟑
𝒎
Tale relazione fu usata da Newton per trovare una legge che fosse in grado di spiegare i
moti dei pianeti formulati da Keplero; questa legge prende nome di LEGGE DELLA
GRAVITAZIONE UNIVERSALE, la cui forza in modulo può essere descritta dall’equazione:
𝑭𝒈 = 𝑮 ∗
𝒎𝟏 ∗ 𝒎𝟐
𝒓𝟐
tale equazione descrive la reazione che intercorre tra due corpi in virtù delle loro masse e le loro distanze, ed
esprime una forza attrattiva e reciproca per i corpi in questione: direttamente proporzionale al prodotto delle
loro masse, e inversamente proporzionali ai quadrati delle distanze.
In quanto la forza di gravitazione universale che risente un corpo, che orbita attorno ad
un altro corpo celeste, è diretta verso quest’ultimo, può essere considerata come una
forza centripeta con opportune semplificazioni:

Consideriamo la traiettoria del moto di un qualsiasi corpo celeste, si come un
ellisse, ma avente eccentricità 𝒆 pari a zero, risultando essere a tutti gli effetti una
circonferenza,( di conseguenza l’asse maggiore coinciderebbe con il raggio della
circonferenza).

I corpi quindi compirebbero un moto circolare (al cui centro è presente l’altro
corpo), e risentirebbero di una forza centripeta pari a:
𝑭𝒄 =
𝒗𝟐
𝒎
𝒓
In quanto la velocità tangenziale 𝒗 può essere
𝟐𝝅𝒓
𝑻
descritta come:𝒗 =
e a sua volta T (dalla
formula inversa della terza legge di Keplero) è
: 𝑻𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒓𝟑 , la formula può essere descritta
come:
(𝟐𝝅𝒓)𝟐
𝟒𝝅𝟐 ∗ 𝒓𝟐
𝟑
𝟐
𝒌𝒓
𝑻
𝑭𝒄 = 𝒎
=𝒎
𝒓
𝒓
con opportune semplificazioni otteniamo:
𝟒𝝅𝟐
𝑭𝒄 = 𝟐 𝒎
𝒌𝒓
𝟒𝝅𝟐
per semplicità descriviamo
con la lettera C: si a quindi che la forza centripeta che risente il pianeta che
𝒌
percorre la sua orbita risulta essere: 𝑭
=𝑪∗
𝒎
𝒓𝟐
Il termine 𝑪come possiamo notare, non dipende dal pianeta considerato in quanto K è costante per tutti i pianeti
che orbitano attorno ad uno stesso corpo celeste(es:Sole) e 4π^2 è un semplice numero.
dalla formula possiamo già osservare che la forza centripeta è direttamente proporzionale alla massa e
inversamente proporzionale al quadrato della distanza.
Per il terzo principio della dinamica (p. azione e reazione), Newton afferma che anche il corpo celeste (es:Sole)
attorno al quale orbitano i pianeti risente di tale forza (di stessa intensità ma opposta di verso) e la descrive quindi
𝑴
con: 𝑭 = 𝑪′ ∗ 𝟐 ( dove C’ è una costante come nel primo caso, ed M è la massa del
𝒓
corpo attorno al quale girano gli altri pianeti):
𝑪′
𝑴
𝒎
∗ 𝟐 = 𝑪∗ 𝟐
𝒓
𝒓
Semplificando i quadrati dei raggi otteniamo: 𝑪′ 𝑴
= 𝑪𝒎
A questo punto Newton per trovare quanto vale la costante C’ divide entrambi i membri del equazione per il
prodotto mM (il prodotto della massa del pianeta * la massa del corpo celesta attorno al quale il pianeta orbita)
𝑪′
𝑪
ottenendo:
= =𝑮
𝒎
𝑴
G quindi è una nuova costante e per il fatto che Fg=Fc=Fc’ otteniamo quindi la formula definitiva:
𝒎∗𝑴
𝑭𝒈 = 𝑮 ∗
𝒓𝟐
Otteniamo quindi la legge di gravitazione universale formulata da newton
Legge di Keplero:
Considerando la terza legge di Keplero ci apprestiamo a calcolare la costante
per i pianeti de sistema solare e per i pianeti medicei: cioè i satelliti principali
di Giove.
Dato che la costante dipende dal corpo celeste attorno al quale i pianeti
ruotano, otterremmo valori di k diversi per i tipi di pianeti: quindi tutti i
pianeti che girano intorno al sole dovrebbero avere la stessa costante; i
pianeti medicei avranno un'altra costante perché ruotano attorno a Giove.
Ciò dipende dalla diversa forza di gravità che esercitano il sole e Giove
rispettivamente sui pianeti del sistema solare e i pianeti medicei.
nome
pianeta
mercuri
o
venere
terra
marte
giove
saturno
urano
nettuno
periodo di rivoluzione (s) semiasse maggiore
7603200
21081600
31536000
59356800
374112000
928972800
2649628800
5189875200
costante (K)
57.894.375,96
108.159.260,50
149.597.870,70
233.971.069,80
779.255.308,40
1.427.014.089
2.857.319.330
4.496.911.993
2,97909E-10
3,5125E-10
2,97055E-10
2,75077E-10
2,95777E-10
2,96976E-10
3,0095E-10
2,9619E-10
3E+19
2.5E+19
2E+19
1.5E+19
1E+19
5E+18
0
0
Series1
Semi asse al cubo
1E+29
1,94E+23
1,27E+24
3,35E+24
1,28E+25
4,73E+26
2,91E+27
2,33E+28
9,09E+28
quadrati di
rivoluzione
5,78087E+13
4,44434E+14
9,94519E+14
3,52323E+15
1,3996E+17
8,6299E+17
7,02053E+18
2,69348E+19
Semi asse
maggiore
orbita metri
periodo
orbitale
secondi
Periodo
orbitale
periodi quadri
Semi asse maggire al cubo
T^2/r^3
Io
421800000
152928
1,77 giorni
23386973184
7,50446E+25
3,11641E-16
Europa
671100000
306720
3,55 giorni
94077158400
3,02247E+26
3,11259E-16
Ganimede 1070400000
618624
7,16 giorni
3,82696E+11
1,22642E+27
3,12044E-16
1882700000
1442016
16,69 giorni
2,07941E+12
6,67334E+27
3,116E-16
Callisto
Grafico costante k per i pianeti medicei
2.5E+12
2E+12
1.5E+12
1E+12
5E+11
0
0
1E+28
La prima legge afferma che:
« l’ orbita descritta da un pianeta è un'ellisse, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi. »
La seconda legge afferma che:
« Il segmento (raggio vettore) che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta descrive aree uguali in
tempi uguali. »