Presentazione di PowerPoint

La sezione aurea
La sezione aurea
C
A
B
AB:AC=AC:CB
Il segmento AC si definisce sezione aurea del segmento AB
se sta all’intero segmento AB (AC:AB)
come la porzione rimanente CB
sta alla sezione aurea stessa AC (CB:AC).
Costruzione geometrica
Dimostrazione della costruzione
geometrica
Per il teorema della secante e della tangente si ha:
AB : AD = AE : AB
Da cui scomponendo si ottiene:
(AB – AD) : AD = (AE – AB) : AB
Dato che:
AB – AD = AB - AC = CB
AE – AB = AE – CD =AD
Perciò l’ultima proporzione diventa:
CB : AD = AD :AB
Da cui :
AB : AC = AC : CB
Misura della sezione aurea
a
A
A
C
x
a-x
B
B
Misura della sezione aurea
Una sola radice è positiva:
x=a*0,618….
OSSERVAZIONI:
La lunghezza del segmento e la sua
sezione aurea sono incommensurabili.
Rapporto aureo AB/AC
F con 454 cifre decimali
1.618033 9887498 9484820 4586834 3656381 1772030 9179805 7628621 3544862 2705260
4628189 0244970 7207204 1893911 3748475 4088075 3868917 5212663 3862223 5369317
9318006 0766726 3544333 8908659 5939582 9056383 2266131 9928290 2678806 7520876
6892501 7116962 0703222 1043216 2695486 2629631 3614438 1497587 0122034 0805887
9544547 4924618 5695364 8644492 4104432 0771344 9470495 6584678 8509874 3394422
1254487 7066478 0915884 6074998 8712400 7652170 5751797 8834166 2562494 0758906
9704000 2812104 2762177 1117778 0531531
Alcune osservazioni
5 1
x
 0.618....
2
1
2


x
5 1
2



5 1

5 1

5 1

2

5 1
1
5 1 2  2
5 1


1  x 1
x
2
2
1
 x 1
x

5 1
5 1
2
Altri modi di vedere il rapporto aureo
x  1  1  1  1  1  1  ....
Come frazione continua…..
1
x 1
1
1
1
1
1
1
1
1
....
x 11 
1
x 1

11
1
x 1

1
1
11
1
x 1

1
1
1
1
11
La successione di Fibonacci
Il matematico pisano Leonardo Fibonacci viene ricordato soprattutto per
via della sua sequenza divenuta ormai celeberrima. (La sequenza di
Fibonacci risale all’anno 1202.)
Essa si compone di una successione di numeri nella quale ognuno di essi
è la somma dei due numeri precedenti
0
0+1=
1+1=
2+1=
2+3=
3+5=
1
1
2
3
5
8
5+8= 13
8+13= 21
13+21= 34
21+34= 55
34+55= 89
55+89= 144
…
La successione di Fibonacci
Johannes Kepler notò che facendo il rapporto fra
due numeri di Fibonacci consecutivi, esso si avvicinava
sempre più a 1,61803, valore noto anche con il nome di
rapporto aureo.
2/1=2
3/2=1,5 5/3=1,666
8/5=1,6 13/8=1,625
Il rettangolo aureo
Esiste uno speciale rettangolo le cui dimensioni corrispondono alla lunghezza di un
segmento ed alla sua sezione aurea. Il suo nome è rettangolo aureo.
Il rettangolo aureo
Anche il rettangolo CBDF è un rettangolo aureo
Così come lo è il rettangolo FDGH…
Rettangolo aureo e Fibonacci
La spirale
Tracciando archi di circonferenza con
Centro nel punto in cui si ottiene
la sezione aurea del lato del rettangolo si
ottiene una spirale:
Centro in F e raggio EF fino a C
Centro in H e raggio CH fino a G
….
La spirale
Spirale aurea
Di quali proprietà gode questa spirale?
La spirale
Cartesio studiò la spirale logaritmica osservando che è una curva equiangolare:
in tutti i suoi punti l’angolo formato da un raggio e dalla tangente è costante.
Sulla testa di un girasole il numero delle spirali rientra spesso in questo schema: 89 spirali che si
irradiano ripide in senso orario, 55 che si muovono in senso antiorario e 34 che si muovono in senso
orario ma meno ripido. Il più grande girasole mai visto aveva 144, 89 e 55 spirali.
Come si è detto i numeri di Fibonacci si trovano anche nella fillotassi; fu Keplero a rilevare che su molti tipi di alberi le foglie sono
allineate secondo uno schema che comprende due numeri di Fibonacci. Partendo da una foglia qualunque dopo uno, due, tre o cinque giri
dalla spirale si trova sempre una foglia allineata con la prima e a seconda della specie, questa sarà la seconda, la terza, la quinta, l’ottava o
la tredicesima foglia.
LA GENESI DELLE GALASSIE A SPIRALE
Le prime teorie consideravano i bracci di spirale alla stregua di strutture connesse al disco centrale: eiezioni di
materia del nucleo galattico, aventi differente luminosità ed estensione.
Ogni galassia spirale ha un movimento rotatorio non uniforme :
le regioni centrali, infatti, hanno una velocità di rotazione più alta delle periferiche.
Il fenomeno della rotazione differenziale, nella quale le zone esterne hanno una velocità angolare più lenta
rispetto a quelle interne, fece sorgere tra gli scienziati il dubbio che nel tempo i bracci più vicini al disco nel tempo
si sarebbero avvolti su se stessi, scomparendo definitivamente. A tal risoluzione, nel 1941 fu proposta una teoria
che scinde i bracci di spirale dalla cinematica della galassia:
è la teoria delle onde di densità, comparabili ad onde di compressione, come le onde sonore che si propagano
nell’atmosfera terrestre. Essa prevede che i bracci a spirale si formino dall’interazione tra onde di densità e
materia galattica.
Qual è il meccanismo che interessa il fenomeno? Si tenga presente che la materia del disco galattico si muove in
rotazione differenziale, mentre l’onda di densità si muove a velocità angolare costante, nello stesso senso della
materia del disco. Quando la materia del disco, più veloce dell’onda, raggiunge l’onda stessa, essa altera la propria
velocità, rallentando comprimendosi. Successivamente la materia abbandona l’onda, riacquistando velocità e
densità. Con l’alternarsi d’interazioni successive, il raggio di curvatura va dunque continuamente aumentando:
una linea ipotetica che parte dall’origine diminuisce gradualmente il suo profilo arcuato man mano che si
allontana da centro. Si delinea così la caratteristica struttura a girandola delle spirali galattiche.
L’onda d’urto, che investe il gas interstellare, provoca la formazione di nuove stelle: le più massicce e luminose
vivono il tempo necessario per attraversare il braccio a spirale (circa 10 milioni d’anni) rendendolo quindi
luminoso.
Un po’ di storia…
Ippaso da Metaponto (V sec a.C.)
Euclide (III sec. a. C.)
Tolomeo (100-179 d.C.)
Luca Pacioli (1496)
Keplero (1571-1630)
La sezione aurea
Keplero affermava che:
“La geometria possiede due grandi tesori:
uno è il teorema di Pitagora;
l’altro la divisione di una linea secondo il rapporto estremo e medio.
Possiamo paragonare il primo a una certa quantità d’oro, e definire il
secondo una pietra preziosa”.
La spirale logaritmica
• Torricelli calcolò la lunghezza di tale curva.
• Bernouilli dimostrò parecchie proprietà della spirale: l’evoluta di una
spirale logaritmica è una spirale logaritmica stessa (simillima filia
matri). (Volle che sulla sua tomba fosse incisa una spirale log)
• La curva ottenuta con l’operazione di inversione è una spirale uguale a
quella di partenza.
•
Problema dei quattro cani: la curva pur avendo lunghezza finita (pari al lato del quadrato) è illimitata
– i cani per raggiungersi devono compiere infiniti giri – simile al paradosso di Zenone su Achille e la
tartaruga.
•
L’equazione in coordinate polari è :
r=aet cota
con a l’angolo costante formato dalla tangente e dal raggio .
Triangolo isoscele
con angoli di misura: 72°, 72°, 36°.
Il pentagono regolare
Ogni lato forma con due diagonali un triangolo dagli angoli
di misura 72°, 72°, 36°.
Ogni lato forma, con il punto d’incontro di due diagonali consecutive, un triangolo
dagli angoli di 36°, 36°, 108°.
Il pentagono regolare
il lato del pentagono regolare è la sezione aurea di una sua diagonale
il punto d' intersezione tra due diagonali divide ciascuna di esse in due
segmenti che stanno nel rapporto aureo.
Il pentagono regolare
D
E
C
F
A
B
La diagonale del pentagono regolare
ed il suo lato sono incommensurabili
Triangolo isoscele
con angoli di misura: 36°, 36°, 108°.
Dato un triangolo isoscele i cui angoli alla base misurano 36° ciascuno, e
l’angolo al vertice misura 108°, il lato obliquo e la differenza tra la
base e il lato obliquo danno vita a una sezione aurea.
Infatti il triangolo CDE è simile al triangolo BDE della figura precedente.
Costruzione del decagono
regolare
Il lato del decagono regolare è pari alla sezione aurea del raggio della
circonferenza circoscritta:
Costruzione del decagono
regolare noto il lato
• Se conosciamo il lato del decagono regolare dobbiamo prima ricavare
il raggio della circonferenza circoscritta partendo dalla conoscenza
della sezione aurea.
La sezione aurea e l’aritmetica
b)
Aritmetica
In questa sezione si verifica la relazione tra la successione di
Fibonacci e il rapporto aureo e si presentano alcune applicazioni
in campi diversi dell'aritmetica.
c)
Botanica e Zoologia
In questa sezione si presentano alcuni esempi di come in natura si
ritrovi la successione di Fibonacci.
Somma di numeri di Fibonacci
Consideriamo la serie di Fibonacci A, B, C, D, E, G...
Se si sommano due o più numeri consecutivi di tale serie, sempre a partire da A, e si aggiunge
ulteriormente "1", si ottiene sempre un altro numero di Fibonacci che nella sequenza segue di due
posti l'ultimo termine della somma
( A+B+C+1 = E )
•
Esempi:
1+1+2+3+5+1
=
13
In questo caso si sono sommati i primi cinque numeri di Fibonacci, si è aggiunto uno e si è ottenuto il
settimo numero della sequenza.
1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89+1=233
In questo caso invece si sono sommati i primi undici numeri di Fibonacci, si è aggiunto uno e si è
ottenuto il tredicesimo numero della sequenza.
Inoltre se si prendono due numeri di Fibonacci consecutivi e se ne fa il quadrato, la somma fra i quadrati è
un altro numero di Fibonacci che nella sequenza occupa il posto risultante dalla somma delle
posizioni dei due termini di partenza.
•
Esempi:
32+52=34
In questo caso si sono presi il quarto e il quinto numero della sequenza, se ne è fatto il quadrato e la
somma fra i quadrati è risultata essere il nono numero di Fibonacci.
82+132= 233
In questo caso si sono presi il sesto e il settimo numero della sequenza e la somma fra i loro quadrati ha
dato
il
tredicesimo
numero
di
Fibonacci.
Zoologia: la riproduzione dei
conigli
In condizioni ideali una coppia
di conigli è in grado di
riprodursi già da un mese dopo
la nascita.
La femmina è in grado di
generare una seconda coppia di
conigli già un mese dopo
l’accoppiamento con il maschio.
Prendiamo una coppia di conigli
e mettiamola in un recinto.
Supponiamo che i nostri conigli
non
muoiano
mai.
La riproduzione dei conigli 2
Come si vede dal grafico all’inizio
dell’esperimento
abbiamo
1
coppia di conigli.
Dopo un mese rimaniamo sempre
con 1 coppia di conigli.
Dopo 2 mesi la femmina ha
generato un’altra coppia di conigli,
quindi nel recinto ne abbiamo 2.
Al terzo mese la prima coppia ne
ha generata un’altra, mentre la
seconda non è stata in grado di
procreare, quindi nel recinto ci
sono 3 coppie di conigli.
Passato un altro mese le prime due
coppie generano altre due coppie
mentre la terza non procrea, quindi
nel recinto ci sono 5 coppie di
conigli e cosi via di mese in mese.
La riproduzione dei conigli 3
Schema della crescita delle famiglie di conigli
Botanica
Zoologia: l’albero genealogico
dei fuchi
•
L'albero genealogico di un fuco presenta
chiaramente la sequenza di Fibonacci.
Bisogna innanzitutto dire che in uno sciame
non tutte le api sono uguali: ci sono
innanzitutto le api (femmine) e i fuchi
(maschi).
Le femmine sono tutte generate dall’unione
dell’ape regina con un fuco e si dividono in
operaie e regine.
•
Le api regine sono api operaie nutrite con
pappa reale ma, diversamente dalle operaie,
sono in grado di produrre uova.
I maschi nascono dalle uova dell ape regina.
Quindi possiamo dire che le femmine hanno
2 genitori: l’ape regina e un fuco, mentre i
fuchi hanno un solo genitore: l’ape regina.
Prendiamo in esame l’albero genealogico di
un fuco. 1 fuco ha 1 genitore che ha sua volta
ha 2 genitori che a loro volta hanno 3 genitori
che a loro volta hanno 5 genitori e così via.
Zoologia: le spirali delle
conchiglie
In natura molte conchiglie hanno una forma a spirale
logaritmica. Ne è un esempio il nautilus di figura
Ancora una spirale logaritmica
Botanica
La sequenza di Fibonacci si
trova in molte piante e fiori.
Ne è un esempio l’Achillea
ptarmica.
La crescita di questa pianta
segue questo schema qui
sopra
disegnato.
Ogni ramo impiega un mese
prima di potersi biforcare.
Al primo mese quindi
abbiamo 1 ramo, al secondo
ne abbiamo 2, al terzo 3, al
quarto 5 e così via.
La sezione aurea e l’arte
Architettura Antica e Rinascimentale
In questa sezione si presentano esempi nell'architettura egiziana,
greca, romana e rinascimentale in cui si utilizza il modulo del
rettangolo aureo.
Scultura
In questa sezione si presentano alcuni esempi nella scultura egizia e
greca in cui si utilizza il modulo del rettangolo aureo.
Pittura
In questa sezione si presentano esempi di utilizzo del rapporto aureo
e del rettangolo aureo nella pittura rinascimentale e moderna.
Musica
In questa sezione si presentano esempi di brani che presentano l’uso
della sezione aurea per la suddivisione degli intervalli e
l’analogia tra la coclea dell’orecchio umano e la spirale
logaritmica.
Architettura classica: Il Partenone
di Atene
Torna al
rettangolo aureo
Il portale di Castel del Monte
Torna al pentagono
La piramide di Giza
L’uomo vitruviano
La pittura: la sezione aurea e
l’arte moderna
L’ultima cena
(Salvator Dalì)
Le Corbusier
Nel 1943 Le Corbusier elabora una griglia di misure
armoniche per stabilire una serie di grandezze articolate
fra loro dalla "sezione aurea" o "numero aureo".
Ma, come sempre attento al rapporto con la società , Le
Corbusier non aveva costruito una griglia astratta su base
puramente matematica, come la serie di numeri armonici
stilata da Fibonacci nel XIII secolo: aveva invece ripreso
i principi su cui aveva lavorato Matila Ghyka intorno al
1930, e aveva definito la griglia relativamente alle
dimensioni principali del corpo umano.
Il modulor di Le Corbusier
Nel 1947, durante una conferenza, Le
Corbusier battezza il suo sistema Modulor
e poi pubblica Il Modulor. Saggio su una
misura armonica alla scalaumana
universalmente applicata all'architettura e
alla meccanica.
Nel 1955 pubblica il volume Modulor 2 (la
parola agli utenti) in cui presenta un vero
e proprio bilancio del metodo. Il disegno
della figura umana su cui è costruita la
griglia assurgerà a celebrità universale.
Le Corbusier
Dopo aver messo a punto il sistema, Le Corbusier regolerà su di esso le misure di
tutti gli elementi costitutivi dei suoi progetti. La "grandezza conforme"
dell'Unità di abitazione di Marsiglia discende proprio da questo schema di
misure proporzionali.
Le Corbusier usa infatti il Modulor per definire le misure degli ambienti e degli
utensili; a lato, studio del Modulor per diverse azioni comuni.
La musica:
I primi elementi della successione di Fibonacci sono:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…
A partire da tale successione, se ne forma una di tipo frazionario, dalla
quale emergono i seguenti rapporti:
1/1; 2/1; 3/2; 5/3; 8/5; 13/8; 21/13; 34/21; 55/34, 89/55; 144/89
ecc.
i cui valori decimali approssimati sono:
1; 2; 1,5; 1, 666; 1,6; 1,625; 1,615; 1, 619; 1, 617; 1, 6181;
1, 6180 ecc.
Gli intervalli musicali
che corrispondono agli intervalli musicali:
unisono=1
ottava=2
quinta=1,5
sesta maggiore=1,666
sesta minore=1,6
in cui gli ultimi sono complementari degli intervalli di terza minore e
maggiore.
se poi applichiamo la serie di Fibonacci alle sovrarmoniche e alle
sottoarmoniche di un suono di riferimento(ad es. il DO) avremo che i
numeri in successione aurea 3,5,e 8 superiori al suono dato
corrispondono ai suoni MI, SOL e Do acuto e i numeri 3, 5 e 8
inferiori allo stesso suono corrispondono al LAb, FA e DO grave .
Abbiamo quindi l'armonia maggiore e minore. (***)
Gli intervalli musicali 2
• Le distanze do-re, re-mi, fa-sol, sol-la, la-si sono ognuna un tono,
mentre le distanze mi-fa e si-do sono un semitono. Raggruppando il
numero di vibrazioni dei dodici semitoni che si susseguono ricaviamo
una proporzione continua:
T1:T2=T2:T3=T3:T4 eccetera
Possiamo arrivare a dire che il numero delle variazioni che si
differenziano per otto semitoni si comporta quindi come la sezione
aurea:
T1:T9=T9:T17=1:1,618
L’orecchio umano
Da ciò deriva che anche negli organi di corti
dell'apparato uditivo umano, cui compete la
selezione dei suoni, si deve poter riscontrare
il principio della sezione aurea; non solo, ma
essa è anche punto di riferimento nella
costruzione di canne di organo e altri
strumenti musicali. Possiamo anche
ipotizzare che negli organi di Corti
dell'apparato uditivo umano, che reagiscono
alle tonalità pure, operi il principio dei
numeri della successione di Fibonacci. In un
violino, il cui timbro dipende dalle dalle
possibilità di vibrazione di tutte le parti, la
sezione aurea gioca sicuramente un ruolo; in
effetti se misuriamo uno Stradivari vediamo
che esso è contenibile entro quattro pentagoni
regolari i cui lati fungono da tangenti,
determinando una linea estremamente
armoniosa.
Biografia di Fibonacci
•
Leonardo Fibonacci, figlio di Guglielmo Bonacci,
nacque a Pisa intorno al 1170. Suo padre era
segretario della Repubblica di Pisa e responsabile
a partire dal 1192 del commercio pisano presso la
colonia di Bugia, in Algeria. Alcuni anni dopo il
1192, Bonacci portò suo figlio con lui a Bugia. Il
padre voleva che Leonardo divenisse un mercante
e così provvedette alla sua istruzione nelle
tecniche del calcolo, specialmente quelle che
riguardavano le cifre indo-arabiche, che non erano
ancora state introdotte in Europa. In seguito
Bonacci si assicurò l’aiuto di suo figlio per
portare avanti il commercio della repubblica
pisana e lo mandò in viaggio in Egitto, Siria,
Grecia, Sicilia e Provenza. Leonardo colse
l’opportunità offertagli dai suoi viaggi all’estero
per studiare e imparare le tecniche matematiche
impiegate in queste regioni. Intorno al 1200,
Fibonacci tornò a Pisa dove per i seguenti 25 anni
lavorò alle sue personali composizioni
matematiche.
Biografia di Fibonacci 2
In tutta la sua produzione l’opera più importante è il "Liber abaci", comparso attorno al
1228: è un lavoro contenente quasi tutte le conoscenze aritmetiche e algebriche ed ha
avuto una funzione fondamentale nello sviluppo della matematica dell’Europa
occidentale. In particolare la numerazione indo-arabica, che prese il posto di quella
latina semplificando notevolmente i commerci extraeuropei, fu conosciuta in Europa
tramite questo libro. In tale sistema di numerazione, il valore delle cifre dipende dal
posto che occupano: pertanto egli fu costretto ad introdurre un nuovo simbolo,
corrispondente allo zero "0", per indicare le posizioni vacanti. La reputazione di
Leonardo come matematico divenne così grande che l’imperatore Federico II gli chiese
un’udienza mentre era Pisa nel 1225. Dopo il 1228 non si sa in sostanza niente della vita
di Leonardo tranne il decreto della Repubblica di Pisa che gli conferì il titolo di
"Discretus et sapiens magister Leonardo Bigollo" a riconoscimento dei grandi progressi
che apportò alla matematica. Fibonacci morì qualche tempo dopo il 1240,
presumibilmente a Pisa. Anche al giorno d’oggi la fama di Leonardo è tale che esiste
un’intera pubblicazione dedicata a questi argomenti: il "Fibonacci Quarterly", periodico
matematico dedicato interamente all’aritmetica connessa alla sequenza di Fibonacci.
Conclusioni
• Sono rimasti alcuni problemi aperti, che ci auguriamo possano essere
di stimolo per ulteriori approfondimenti.
• I numeri di Fibonacci si ritrovano in natura: come mai la natura sceglie
il rapporto aureo?
• Il rapporto aureo sembra dare alla visione dello spettatore una
sensazione di geometrica armonia. Ciò avviene perché lo spettatore è
condizionato da canoni estetici e da modelli culturali o c’è qualcosa di
più profondo nell’inconscio che ci porta inevitabilmente a preferire
certi rapporti? In proposito si può osservare che il rapporto aureo si
ritrova anche in civiltà lontane, certamente non condizionate dai
modelli culturali occidentali, come per esempio la piramide di
Teotiuacan in Messico.
Bibliografia
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Maurizio Bonicatti, Enciclopedia di tutte le arti di tutti i popoli in tutti i tempi, vol. II, pp. 41-51,
Fratelli Fabbri Editori, Milano 1974
G. Brigola, Annali della fabbrica del Duomo, Milano 1877, vol I, pp. 209–211
Giorgio Cricco, Francesco P. Di Teodoro, Itinerario dell’arte, Vol. 1, ed. Zanichelli
M. Gaffo, Numeri e cifre (tratto da "Focus" n. 79, Maggio 1999), ed. Mondadori
Hans M. Enzensberger, Il mago dei numeri, Einaudi
Martin Kemp, La scienza dell’Arte, ed. Giunti
Hamilton Luske, Donald in MathMagic land, Walt Disney Productions, 1987
Carl Schefold, Collana il Marco Polo (vol. Grecia classica, pp. 131-181)
E. Vorobyou, I numeri di Fibonacci, Le Monnier
J. Wasserman, Leonardo da Vinci, ed. Garzanti
Jonathan D. Kramer, The Time of Music: New Meanings, New Temporalities, New Listening Strategies,
Schirmer Books, New York, 1988.
Roy Howat, Debussy in proportion: a musical analysis, Cambridge University Press, 1983 (cfr. anche:
Review-article: Bartók, Lendvai and the principles of proportional analysis, in «Music Analysis»,
2:1/1983, pp. 69-95).
Roger Herz-Fischler, A Mathematical History of the Golden Number, Dover, N.Y. 1998.
Helmut Reis, Der Goldene Schnitt und seine Bedeutung für die Harmonik, ORPHEUS - Schriftenreihe
zu Grundfragen der Musik, herausgegeben von Martin Vogel, Bd. 54, Verlag für systematische
Musikwissenschaft GmbH, Bonn 1990.
Giuseppina Masotti Biggiogero, Luca Pacioli e la sua “Divina proportione”, in: «Istituto Lombardo (Rend.
Sc.)», A 94, 1960, pp. 3-30.
La sezione aurea
e la geometria
In questa sezione si presentano la definizione di sezione aurea e
alcune costruzioni geometriche significative della relazione tra la
sezione aurea e i poligoni regolari.