triangolo di Tartaglia

Chi era Tartaglia?
Il vero nome di Tartaglia era Niccolò Fontana; il soprannome gli fu dato per un
difetto di pronuncia causato da una ferita riportata al viso durante il saccheggio di
Brescia nel 1512. Essendo nato da una famiglia molto povera, non poté frequentare
alcuna scuola da giovane, ma era molto fiero di essere autodidatta. Grazie alle sue
capacità, poté guadagnarsi da vivere a Verona, dove fu insegnante di matematica
dal 1521 e risolse l‘equazione cubica (equazione di terzo grado). Scrisse nel 1560 il
"General trattato di numeri et misure", enciclopedia di matematica elementare,
dove compare il famoso "triangolo di Tartaglia", applicato ai problemi di
probabilità. Il triangolo era già noto prima di Tartaglia ai cinesi, e diede un
importante contributo alla diffusione delle opere dei matematici antichi.
Cos’è il Triangolo di Tartaglia?
Il Triangolo di Tartaglia è una disposizione geometrica triangolare dei coefficienti
binomiali, ovvero dei coefficienti dello sviluppo del binomio (a + b) elevato ad
una qualsiasi potenza n.
L’applicazione principale del Triangolo di Tartaglia è nello sviluppo delle
potenze di un binomio. Se, per esempio, si vuol scrivere lo sviluppo di (a + b)4 , è
sufficiente andare alla quarta riga del Triangolo per trovare i coefficienti del
polinomio risultante, ovvero 1, 4, 6, 4, 1.
Riga
Sviluppo delle potenze del binomio: (a+b)n
0
1
(a+b)0 = 1
1
1 1
(a+b)1 = 1a + 1b = a + b
2
1 2 1
(a+b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2
3
1 3 3 1
4
1 4 6 4 1
5
1 5 10 10 5 1
(a+b)3 = 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3
(a+b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4
(a+b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5
Possiamo notare che le parti letterali di ogni polinomio corrispondono alle
cifre del Triangolo di Tartaglia. Ma questa è solo una delle tante particolarità.
Vediamone alcune.
Tutti i numeri lungo il contorno sono uguali a uno.
E’ anche evidente il fatto che la seconda fila, cioè quella subito dopo la fila
degli uno, è data dalla sequenza di numeri naturali.
La terza fila, invece, è data dai numeri “triangolari”; ma non basta: il 7°
numero triangolare è il 28 (il posto lo si ricava dal numero che si trova sopra
di esso a destra) e la somma dei primi 7 numeri triangolari è 84 (la casella in
basso a sinistra). E’ bene ricordare che un numero triangolare è dato dalla
somma di un numero naturale e di tutti i suoi precedenti.
I numeri triangolari appartengono ad una
categoria di numeri detti poligonali, che
spiegheremo più avanti.
Un’altra particolarità del Triangolo di
Tartaglia è data dalla somma dei
termini delle singole righe, che danno
le potenze di 2:
20 = 1;
21 = 2;
22 = 4;
23 = 8;
24= 16;
25 = 32;
26 = 64;
27 = 128;
28 = 256;
29 = 512;
210 = 1024; e così via.
Altra particolarità riguarda i numeri poligonali, o figurati, e, nello specifico, i
numeri tetraedrici.
L’ennesimo numero tetraedrico è dato dalla
somma dei primi n numeri triangolari.
Tn = t1 +t 2+t3 +...+tn .
Esempio: T3 = 1+3+6 = 10
Nel Triangolo di Tartaglia sono presenti anche le potenze di 11: infatti, i numeri
delle prime 5 righe del triangolo di Tartaglia visti come cifre danno i numeri 1, 11,
121, 1331, 14641, cioè le prime 5 potenze di 11:
110 = 1; 111 = 11; 112 = 121; 113 = 1331; 114 = 14641
A prima vista, sembra che le righe successive non siano
più collegabili in qualche modo con le potenze
successive di 11, ma un’analisi più attenta ha fatto
"scoprire“ che è dovuto alla presenza di numeri con più
cifre. Per esempio, nella 6ª riga c’è già la presenza del
numero 10 due volte, nella 7ª i numeri 15 e 20, e così via.
Infatti, con un gioco di somme e di riporti, partendo da una qualsiasi riga e dopo
aver considerato ogni numero come composto solo da unità e decine, si riesce ad
ottenere la potenza di 11 relativa a quella riga.
Per intenderci, consideriamo la 10ª riga  119, dove compaiono le cifre: 1, 9, 36,
84, 126, 126, 84, 36, 9, 1.
in ogni numero si evidenziano solo le decine e le unità:
01 09 36
84
126
126
84
36 09 01
iniziando da destra, si addizionano le decine di ogni numero con le unità del
numero precedente più gli eventuali riporti. Le unità di ogni somma vanno a
costituire le cifre della 9ª potenza di 11, mentre le decine sono i riporti da
considerare nella somma successiva.
Nel Triangolo di Tartaglia si distinguono anche le figure “frattali”, date dalle
celle dei numeri pari. In pratica, si forma una figura nota come “triangolo di
Sierpinskj”, che è appunto una figura frattale.
I frattali sono figure
geometriche
caratterizzate dal
ripetersi sino
all’infinito di uno
stesso motivo su
scala sempre più
ridotta. Esempi di
frattali sono figure
come queste:
Altri frattali nel Triangolo di Tartaglia:
Numeri
divisibili
per 3.
Numeri
divisibili per 5.
Numeri
divisibi
li per 4.
Ovviamente, le particolarità sono molto di più, noi ci siamo limitate a dirne
alcune.
Cosa abbiamo capito di tutto questo?
In poche parole: il Triangolo di Tartaglia è una vera e propria miniera d’oro!