Le relazioni e le funzioni - Dipartimento di Matematica e Fisica

4.1 Le relazioni
4.1 Le relazioni
Obiettivi di apprendimento:
Relazioni, dati e previsioni 6T, 7T, 8T, 10Q.
Nel linguaggio quotidiano:
I
‘‘In relazione a quanto hai detto credo di poter essere d’accordo ”
I
‘‘La mia relazione con Lia non è piú serena come una volta”
I
‘‘Ho scritto una relazione sulla tua pessima condotta”
I
‘‘In relazione a quante calorie mangi puoi avere piú o meno energia
da spendere in attività fisiche e cognitive”
4.1 Le relazioni
In ambito matematico:
Definizione
Dati due insiemei A e B si dice relazione binaria R di A con B uno dei
qualsiasi sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B.
Dati a ∈ A e b ∈ B per indicare che (a, b) ∈ R si dice che a è in
relazione con b e si puó anche scrivere aRb.
Osservazione:
Si noti che fra gli elementi appartenenti a ciascuna coppia non è
necessario che vi sia un legame di significato.
4.1 Le relazioni
Per definire una relazione è necessario dichiarare oltre che R anche gli
insiemi A e B.
Dati quindi qualsiasi A e B:
I
A × B ⊆ A × B, quindi R = A × B è un relazione ed è chiamata
RELAZIONE UNIVERSALE.
I
∅ ⊆ A × B, quindi R = ∅ è un relazione ed è chiamata RELAZIONE
NULLA.
I
Se gli elementi appartenenti alle coppie della relazione possono
essere descritti da una proprietà caratteristica p(x, y ) enunciato
aperto in due variabili, allora la relazione puó essere scritta nel
seguente modo:
R = {(a, b) ∈ A × B : p(x, y )}
4.1 Le relazioni
Esempi:
Sono relazioni:
I
Dato A = {1, 3, 6} e B = {5, 7, 10} si consideri in A × B:
aRb se e solo se ‘‘a = b − 4”
Avremo quindi R = {(1, 5), (3, 7), (6, 10)}. In questo caso la
relazione è data per proprietà caratteristica e ne abbiamo poi
elencato gli elementi.
I
Dato A = {cane, gatto, orso} e B = {5, 7, 10} una relazione è
S = {(cane, 5), (cane, 7))(orso, 7)} pur non riconoscendo alcun
legame semantico esistente fra gli elementi dei due insiemi. In
questo caso non è possibile descrivere la relazione per proprietà
caratteristica.
4.1 Le relazioni
4.1.1 Rappresentazione di una relazione
4.1.1 Rappresentazione di una relazione
1. Per elencazione
2. Se possibile, per proprietà caratteristica
3. Diagramma saggitale
Si rappresentano gli insiemi A e B con i diagrammi di Eulero-Venn e
poi si collega con una freccia ciascun elemento di A con ogni
elemento di B con cui è in relazione.
4.1 Le relazioni
4.1.1 Rappresentazione di una relazione
Scheda scuola primaria...
4.1 Le relazioni
4.1.1 Rappresentazione di una relazione
Se A = B, allora si rappresentano le frecce all’interno dello stesso insieme:
In quest’ultimo caso
A × A = {(luca, luca), (marco, marco), (roberto, roberto), (luca, marco),
(marco, luca), (luca, roberto), (roberto, marco), (roberto, luca),
(marco, roberto)},
mentre {(roberto, roberto), (marco, roberto), (marco, luca)} ⊆ A × A è la
relazione rappresentata.
4.1 Le relazioni
4.1.1 Rappresentazione di una relazione
4. Rappresentazione con tabella a doppia entrata
Si contrassegnano le caselle che corrispondono alle coppie
appartenenti alla relazione. Con una freccia si indica il senso di
lettura della tabella.
Presa la relazione S:
%
5 7 10
cane
x
gatto x
orso
x
4.1 Le relazioni
4.1.1 Rappresentazione di una relazione
Scheda scuola primaria...
Provare a tradurlo con la rappresentazione saggitale o quella per
elencazione.
4.1 Le relazioni
4.1.1 Rappresentazione di una relazione
5. Diagramma cartesiano
Si reticola il piano secondo due direzioni perpendicolari e si
evidenziano i punti di intersezione del reticolo che corrispondono alle
coppie che appartengono alla relazione.
Presa la relazione S si ha:
4.1 Le relazioni
4.1.2 Relazioni in A × A
4.1.2 Relazioni in A × A
Consideriamo il caso il cui R ⊆ A × A.
PROPRIET‘A DELLE RELAZIONI IN A×A
Definizione
Una relazione R in A × A è riflessiva se per ogni elemento x di A, x è in
relazione con se stesso.
In simboli:
∀x ∈ A : xRx
4.1 Le relazioni
4.1.2 Relazioni in A × A
Osservazioni
Per capire se è riflessiva:
I
Rappresentazione saggitale → se sono presenti i cappi ad ogni
elemento di A.
I
Tabella a doppia entrata → se sono evidenziate tutte le celle della
diagonale principale (avendo disposto gli elementi di A nello stesso
ordine sia nella riga che nella colonna di intestazione).
I
Rappresentazione cartesiana → se disponenedo gli elementi di A
nello stesso ordine sulle due rette di intestazione del reticolo, sono
evidenziati tutti i punti della bisettrice dell’angolo formato da tali
rette.
Una relazione è non riflessiva se esiste almeno un elemento x di A che
non è in relazione con se stesso.
4.1 Le relazioni
4.1.2 Relazioni in A × A
Definizione
Una relazione R in A × A è antiriflessiva se per ogni elemento x di A, x
non è in relazione con se stesso.
In simboli:
∀x ∈ A : (x, x) ∈
/R
Osservazioni:
Si noti che la proprietà antiriflessiva non corrisponde alla negazione della
proprietà riflessiva.
4.1 Le relazioni
4.1.2 Relazioni in A × A
Definizione
Una relazione R in A × A è simmetrica se per ogni (x, y ) ∈ R, si ha
anche (y , x) ∈ R .
In simboli:
∀x, y ∈ A : (x, y ) ∈ R → (y , x) ∈ R
4.1 Le relazioni
4.1.2 Relazioni in A × A
Osservazioni.
Capiamo che la relazione è simmetrica se:
I
Rappresentazione saggitale → se per ogni freccia di andata c’è la
corrispondente freccia di ritornoA.
I
Tabella a doppia entrata → se sono evidenziate le celle simmetriche
rispetto diagonale principale (avendo disposto gli elementi di A nello
stesso ordine sia nella riga che nella colonna di intestazione).
I
Rappresentazione cartesiana → se disponendo gli elementi di A nello
stesso ordine sulle due rette di intestazione del reticolo, sono
evidenziati i punti simmetrici rispetto alla bisettrice dell’angolo
formato da tali rette.
Una relazione è non simmetrica se esiste almeno una coppia (x, y ) ∈ R
per cui (y , x) ∈
/ R.
4.1 Le relazioni
4.1.2 Relazioni in A × A
Definizione
Una relazione R in A × A è antisimmetrica se per ogni (x, y ) ∈ Rtale
che anche (y , x) ∈ R, si ha x = y .
In simboli:
∀x, y ∈ A : [(x, y ) ∈ R ∧ (y , x) ∈ R] → x = y
4.1 Le relazioni
4.1.2 Relazioni in A × A
Osservazioni:
Si noti che la proprietà antisimmetrica non corrisponde alla negazione
della proprietà simmetrica, ma le relazioni antisimmetriche sono un caso
particolare di quelle non simmetriche.
4.1 Le relazioni
4.1.2 Relazioni in A × A
Definizione
Una relazione R in A × A è transitiva se per ogni (x, y ) ∈ R e
(y , z) ∈ R, allora si ha anche (x, z) ∈ R .
In simboli:
∀x, y , z ∈ A : [(x, y ) ∈ R ∧ (y , z) ∈ R] → (x, z) ∈ R
4.1 Le relazioni
4.1.2 Relazioni in A × A
Osservazioni:
I
Dalla rappresentazione saggitale capiamo che una relazione è
transitiva se considerate le frecce da x a y e da y a z, c’è anche la
freccia da x a z che chiude il triangolo fra x, y e z.
I
Una relazione è non transitiva se esistono (x, y ) e (y , z) in R ma
(x, z) non appartiene a R.
4.1 Le relazioni
4.1.2 Relazioni in A × A
PARTICOLARE RELAZIONE: LA RELAZIONE D’EQUIVALENZA
Definizione
Una relazione si dice relazione d’equivalenza se è riflessiva, simmetrica
e transitiva.
Definizione
Data una relazione d’equivalenza R su A e x ∈ A si chiama classe
d’equivalenza di x e si indica con [x] l’insieme di tutti gli elementi di A
che sono in relazione con x.
In simboli:
∀x ∈ A : [x] = {y ∈ A : xRy }
4.1 Le relazioni
4.1.2 Relazioni in A × A
Definizione
Data una relazione d’equivalenza R su A si chiama insieme quoziente
di A rispetto a R l’insieme che ha per elementi tutte le classi
d’equivalenza di R .
In simboli:
A \ R = {X ∈ P(A) : aRb ∀a, b ∈ A}
4.1 Le relazioni
4.1.2 Relazioni in A × A
Scheda scuola primaria...
4.1 Le relazioni
4.1.2 Relazioni in A × A
Scheda scuola primaria...
4.1 Le relazioni
4.1.2 Relazioni in A × A
PARTICOLARE RELAZIONE: LA RELAZIONE D’ORDINE
Definizione
Una relazione si dice relazione d’ordine largo se è riflessiva,
antisimmetrica e transitiva.
Definizione
Una relazione si dice relazione d’ordine stretto se è antiriflessiva,
antisimmetrica e transitiva.
4.1 Le relazioni
4.1.2 Relazioni in A × A
Definizione
Tra le relazioni d’ordine (largo o stretto) distinguiamo inoltre le relazioni
d’ordine:
I
totale se comunque presi due elementi di A essi sono sempre
confrontabili tra loro, cioè
∀x, y ∈ A : (x, y ) ∈ R ∨ (y , x) ∈ R
I
parziale se esistono due elementi di A non confrontabili tra loro, cioè
∃x, y ∈ A : (x, y ) ∈
/ R ∧ (y , x) ∈
/R
4.1 Le relazioni
4.1.2 Relazioni in A × A
Esempio
Se prendiamo l’insieme A = {0, 1, 2, 3} e consideriamo
T = {(x, y ) ∈ A × A : x < y }, allora le coppie che appartengono alla
relazione sono (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 3).
Tramite diagramma saggitale si ottiene:
Questa è una relazione d’ordine stretto totale infatti è antiriflessiva,
antisimmetrica e transitiva. Inoltre tutti gli elementi sono confrontabili
fra loro.
4.1 Le relazioni
4.1.2 Relazioni in A × A
Esempio
Se prendiamo l’insieme A = {0, 1, 2, 3} e consideriamo
T = {(x, y ) ∈ A × A : x ≤ y }, allora le coppie che appartengono alla
relazione sono
(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 3).
Tramite diagramma saggitale si ottiene:
Questa è una relazione d’ordine largo totale infatti è riflessiva,
antisimmetrica e transitiva. Inoltre tutti gli elementi sono confrontabili
fra loro.
4.1 Le relazioni
4.1.2 Relazioni in A × A
Esempio
Il testo del presente esercizio contenuto nelle prove INValSI...
4.2 Le funzioni
4.2 Le funzioni
Cosideriamo nuovamente le relazioni tra due insiemi A e B.
Definizione
Una relazione R ⊆ A × B è detta funzione da A in B se qualunque sia
a ∈ A, esiste ed è unico l’elemento di b ∈ B tale che (a, b) appartenga a
R:
∀a ∈ A ∃! b ∈ B : (a, b) ∈ R
Le funzioni vengono anche indicate nel seguente modo:
A →
B
f :
a → b = f (a)
con (a, b) ∈ R
4.2 Le funzioni
Osservazione
Per decidere se una relazione è una funzione oppure no, non devo
osservare cosa accade in B, devo osservare unicamente cosa accade per
ciascun elemento di A.
4.2 Le funzioni
Esempio
Date le relazioni f1 ed f2 rappresentate qui di seguito, si nota che
entrambe sono funzioni in quanto per ogni elemento a di A esiste ed è
unico l’elemento in b che è in relazione con a.
4.2 Le funzioni
Scheda scuola primaria...
4.2 Le funzioni
Scheda scuola infanzia/primaria...
Osservazioni?
4.2 Le funzioni
Scheda scuola primaria...
Osservazioni?
4.2 Le funzioni
Esercizio
R1 = {(1, a), (2, b), (2, c), (3, d)} è una funzione?
4.2 Le funzioni
Esercizio
f3 = {(1, b)} è una funzione?
4.2 Le funzioni
Esercizio
f4 = {(1, a), (2, b), (3, b)} è una funzione?
4.2 Le funzioni
Le funzioni possono godere di alcune proprietà.
1. Una funzione f : A → B è iniettiva se associa ad elementi distinti di
A elementi distinti di B.
∀x, y ∈ A : x 6= y → f (x) 6= f (y )
oppure, equivalentemente,
∀x, y ∈ A : f (x) 6= f (y ) → x 6= y
4.2 Le funzioni
2. Una funzione f : A → B è suriettiva se qualunque sia l’elemento b
di B esiste un elemento a di A che gli corrisponde:
∀b ∈ B : ∃a ∈ A : b = f (a)
4.2 Le funzioni
3. Una funzione f : A → B è biettiva se è iniettiva e suriettiva:
∀b ∈ B : ∃!a ∈ A : b = f (a)
4.2 Le funzioni
Osservazione:
Per decidere se una funzione è iniettiva, suriettiva o biettiva devo
osservare cosa accade nell’insieme B.
4.2 Le funzioni
Scheda scuola primaria...
4.3 Le operazioni
4.3 Le operazioni
Definizione
Sia A un insieme non vuoto; chiamiamo operazione interna e ovunque
definita in A ogni funzione da A × A in A:
f :
A×A
(a, b)
→
A
→ c = f (a, b)
4.3 Le operazioni
Specifichiamo che:
I
l’aggettivo INTERNA sta ad indicare che l’insieme di riferimento è
sempre A
I
l’aggettivo OVUNQUE DEFINITA sta a indicare che l’operazione è
definita su tutti gli elementi di A × A.
4.3 Le operazioni
Definizione
Sia A un insieme non vuoto; chiamiamo operazione non ovunque
definita in A ogni funzione da un sottoinsieme C di A × A in A:
C
→
A
f :
(a, b) → y = f (a, b)
4.3 Le operazioni
Prendiamo l’insieme potenza P(U); avremo quindi come elementi tutti i
possibili sottoinsiemi di U.
Esaminiamo alla luce di questa nuova teoria l’unione, l’intersezione, la
differenza fra insiemi e il prodotto cartesiano.
1. Intersezione
P(U) × P(U) →
∩:
(A, B)
→
P(U)
A ∩ B = {x ∈ U : a ∈ A ∧ x ∈ B}
Essa è una operazione binaria, interna e ovunque definita.
4.3 Le operazioni
2. Unione
P(U) × P(U) →
∪:
(A, B)
→
P(U)
A ∪ B = {x ∈ U : a ∈ A ∨ x ∈ B}
Essa è una operazione binaria, interna e ovunque definita.
4.3 Le operazioni
3. Differenza
P(U) × P(U) →
\:
(A, B)
→
P(U)
A \ B = {x ∈ U : x ∈ A ∨ x ∈
/ B}
Essa è una operazione binaria, interna e ovunque definita.
4.3 Le operazioni
4. Prodotto cartesiano
P(U) × P(U) →
×:
(A, B)
→
K
A × B = {(a, b) ∈ U × U : a ∈ A ∧ b ∈ B}
Essa è una operazione binaria, non interna a P(U) e ovunque definita.