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UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI SALERNO
FACOLTA’ DI INGEGNERIA
Corso di laurea in Ingegneria Meccanica
Appunti del corso di
“Costruzione di Macchine II”
Prof. Calogero Calì
e
ing. Roberto Citarella
LEGAMI COSTITUTIVI
Appunti di Costruzione di Macchine
INDICE
LEGAMI COSTITUTIVI ........................................................................................................ 1
Legami costitutivi...................................................................................................................................... 4
Legge di Hooke generalizzata .............................................................................................................. 4
Simmetrie nel legame costitutivo ............................................................................................................. 4
Simmetrie monocline............................................................................................................................ 4
Simmetria ortotropa .............................................................................................................................. 5
Matrici costitutive in termini di costanti ingegneristiche ....................................................................... 8
Restrizioni sulle costanti elastiche ..................................................................................................... 11
Materiali isotropi............................................................................................................................. 11
Materiali ortotropi........................................................................................................................... 12
Particolarizzazione del legame d’ortotropia .......................................................................................... 15
Stato piano di tensione........................................................................................................................ 15
Lamina ortotropa............................................................................................................................. 15
Stato piano di deformazione............................................................................................................... 16
Materiali ortotropi - Trasformazioni Caratteristiche......................................................................... 17
Tensioni ............................................................................................................................................... 17
1. Trasformazione OFF AXIS è ON AXIS ................................................................................ 18
2. Trasformazione ON AXIS è OFF AXIS ................................................................................ 19
Deformazioni....................................................................................................................................... 21
Relazioni tra tensioni e deformazioni per generiche orientazioni delle direzioni d’ortrotopia della
lamina....................................................................................................................................................... 23
Determinazione dei parametri tensili dei materiali ortotropi in lamina............................................... 32
Determinazione sperimentale delle caratteristiche elastiche e della resistenza di una lamina di
materiale ortotropo.............................................................................................................................. 34
Criteri di resistenza ................................................................................................................................. 39
Criterio di Massima Tensione ............................................................................................................ 39
Criterio di Massima Deformazione.................................................................................................... 40
Criterio di TSAI – HILL..................................................................................................................... 42
Criterio di TSAI – WU ....................................................................................................................... 44
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Appunti di Costruzione di Macchine
Criterio quadratico di TSAI............................................................................................................ 46
Comportamento micromeccanico di una lamina in un composito....................................................... 48
Approccio della meccanica dei materiali alle rigidezze ................................................................... 49
Determinazione di E1 ...................................................................................................................... 49
Determinazione di E2 ...................................................................................................................... 51
Determinazione di ν12 ..................................................................................................................... 53
Determinazione di G12 .................................................................................................................... 55
Compositi stratificati............................................................................................................................... 57
Comportamento dei laminati.............................................................................................................. 58
Forze e momenti distribuiti ............................................................................................................ 60
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Appunti di Costruzione di Macchine
LEGAMI COSTITUTIVI
Legge di Hooke generalizzata
La relazione che lega reciprocamente le tensioni presenti in un corpo, per effetto di assegnate
condizioni al contorno, alle relative deformazioni può essere espressa, nel caso più generale non
lineare, nel seguente modo:
σ = f (ε )
Linearizzando il legame si ottiene la legge di Hooke generalizzata, che esprime la sopra indicata
relazione per materiali anisotropi; esplicitando tale legame in forma matriciale si ha, con notazione
simbolica o con pedici in forma contratta:
{σ } = [C ] ⋅ {ε }
σ i = Cij ⋅ ε j
oppure
con i, j = 1,..., 6
Sono note dalla teoria dell’elasticità le condizioni che consentono il passaggio dalla notazione a
quattro pedici σ ij = C ijkl ⋅ ε k l ( i, j , k , l = 1,2,3 ) a quella a due pedici. Il numero di costanti di
rigidezza, inizialmente da valutare in 34 = 81 termini, si riduce a dapprima 6 × 6 = 36 e
successivamente per la simmetria C ij = C ji a 21 termini nella trattazione di materiali anisotropi o
anche detti triclini (privi di piani di simmetria materiale).
SIMMETRIE NEL LEGAME COSTITUTIVO
Simmetrie monocline
L’esistenza di simmetrie riduce il numero di costanti di rigidezza e quello dei reciproci termini. Se
il piano z = 0 (con z corrispondente al pedice 3) è un piano di simmetria, tutte le costanti relative
alla stessa direzione devono essere identiche sia che siano associate al verso positivo [z (+ )] o al
negativo [z (− )] . Pertanto:
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Appunti di Costruzione di Macchine
σ x 
σ 1  C11
 
σ  
σ y 
 2  C12
σ z 
σ 3  C13
  è  =
σ 4   0
τ yz 
σ 5   0
τ xz 
  
 
σ 6  C16
τ xy 
C12
C13
0
0
C 22
C 23
C 23
C 33
0
0
0
0
0
0
0
0
C 44
C 45
C 45
C 55
C 26
C 36
0
0
C16  ε 1 
 
C 26  ε 2 
C 36  ε 3 
⋅ 
0  ε 4 
0  ε 5 
  
C 66  ε 6 
Materiale Monoclino
13 costanti indipendenti
le componenti antisimmetriche rispetto al piano z = 0 ε4 e ε5 sono accoppiate con le sole σ4 e σ5
(anch’esse antisimmetriche). Sussiste peraltro la simmetria per cui le costanti differenti tra loro
risultano 13.
Simmetria ortotropa
Un materiale è definito ortotropo quando presenta una simmetria rispetto a tre piani mutuamente
ortogonali. Con riferimento alle coordinate 1, 2, 3 (x, y, z) che caratterizzano le normali a tali piani
si ottengono i legami ortotropi contraddistinti da 9 costanti indipendenti. Gli assi di riferimento
sono quelli dell’ortotropia.
La matrice di rigidezza di un materiale ortotropo si desume dal legame indicato dalla relazione:
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Appunti di Costruzione di Macchine
σ 1  C11
σ  
 2  C12
σ 3  C13
 =
σ 4   0
σ 5   0
  
σ 6   0
C12
C13
0
0
C 22
C 23
C 23
C 33
0
0
0
0
0
0
0
0
C 44
0
0
C 55
0
0
0
0
0  ε 1 
 
0  ε 2 
0  ε 3 
⋅ 
0  ε 4 
0  ε 5 
  
C 66  ε 6 
Materiale Ortotropo
9 costanti indipendenti
Simmetria di isotropia trasversale con asse x (o di direzione 1):
z
y
x
σ 1  C11
σ  C
 2   12
σ 3  C12
 =
σ 4   0
σ 5   0
  
σ 6   0

C12
C 22
C12
C 23
C 23
C 22
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(C 22 − C 23 )
0
2
C55
0
0
0
0  ε 1 
0  ε 
 2
0  ε 
⋅ 3
0  ε 4 

0  ε 5 
 
C55  ε 6 
Materiale Trasversalmente
Isotropo
5 costanti indipendenti
Se esistono un numero infinito di piani di simmetria materiale allora si parla di materiale isotropo,
con la seguente matrice delle rigidezze:
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Appunti di Costruzione di Macchine
C11
σ
 1  C12
σ  
 2  C12
σ 3  
 = 0
σ 4  
σ 5   0
  
σ 6  
 0

C12
C12
0
0
C11
C12
C12
C11
0
0
0
0
0
0
(C11 − C12 )
2

 ε 1 
0
  
 ε 2 
0
 ε 
0
 ⋅  3 
 ε 4 
  
0
 ε 5 
(C11 − C12 ) ε 6 


2
0
0
0
0
0
(C11 − C12 )
0
0
0
0
2
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Materiale Isotropo
2 costanti indipendenti
Appunti di Costruzione di Macchine
MATRICI COSTITUTIVE IN TERMINI DI COSTANTI
INGEGNERISTICHE
Le prove di caratterizzazione dei materiali forniscono generalmente le costanti ingegneristiche che,
attraverso la loro definizione pur sempre convenzionale almeno nella simbologia e nella
normalizzazione delle matrici, presentano un intrinseco significato fisico capace di far meglio
intendere i corrispondenti termini delle astratte matrici di rigidezza e cedevolezza.
Le definizioni più diffuse comportano la scrittura delle matrici costitutive in termini di costanti
ingegneristiche quali moduli elastici Ei, moduli di elasticità trasversale Gij e moduli di contrazione
laterale νij. Attenendoci alle definizioni e notazioni di Jones1 si possono scrivere le matrici
costitutive facendo comparire esplicitamente i moduli elastici e le altre costanti ottenendo il legame:
{ε } = [S ]⋅ {σ }
in cui per i materiali ortotropi
 1
 E
 1
− ν 12
 E1
 ν
− 13
[S ] =  E1
 0

 0


 0

ν 21
E2
1
E2
ν
− 23
E2
−
ν 31
E3
ν 32
−
E3
1
E3
−
0
0
0
0
0
0
0
0
1
G 23
0
0
0
0
1
G 31
0
0
0
0

0 

0 


0 


0 

0 

1 
G12 
dove
§
1
E1, E2, E3 sono rispettivamente i moduli di Young nelle direzioni 1, 2, 3
R. M. Jones - Mechanics of Composite Materials, Mc Graw-Hill
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Appunti di Costruzione di Macchine
§
νij è il rapporto di Poisson per dilatazione nella direzione j quando la tensione è applicata
nella direzione i, ovvero: ν ij = −
§
εj
εi
per σ i = σ e tutte le altre tensioni nulle.
G23, G31, G12 sono rispettivamente i moduli di taglio nei piani 2-3, 3-1, 1-2.
Per i materiali isotropi, invece, la matrice [S] si particolarizza in:
 1
 E
 ν
−
 E1
 ν
−
[S ] =  E
 0


 0

 0

Tenendo
presente
S 44 = S 55 = S 66 = 2 ⋅ (S11 − S12 ) =
ν
E
1
E
ν
−
E
−
ν
E
ν
−
E
1
E
−
0
0
0
0
0
0
0
0
1
G
0
0
0
0
1
G
0
0
0
0

0

0


0

0


0
1

G
S11 = S 22 = S 33 ,
che
S12 = S 23 = S13 ,
1 2 ⋅ (1 + ν )
=
, nel rispetto della circostanza che le costanti
G
E
indipendenti sono solo due. Per il materiale isotropo l’inversione del legame fornisce la matrice
delle rigidezze, una volta che sia stato posto λ =
νE
, nella forma:
(1 + ν ) ⋅ (1 − 2ν )
λ
λ
0 0 0
λ + 2G
 λ
λ + 2G
λ
0 0 0 

 λ
λ
λ + 2G 0 0 0 
[C ] = 

0
0
G 0 0
 0
 0
0
0
0 G 0


0
0
0 0 G 
 0
Ricordando che per un materiale ortotropo abbiamo 9 costanti indipendenti, poiché vale la relazione
S ij = S ji in termini di costanti ingegneristiche risulta
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ν ij
Ei
=
ν ji
Ej
con i, j = 1,2,3 .
Appunti di Costruzione di Macchine
La differenza tra ν12 e ν21 per un materiale ortotropo si può evincere grazie all’ausilio delle seguenti
figure, dove sono mostrati due casi di tensione uniassiale applicati ad un elemento quadrato.
2
σ
σ
∆L12
L
1
∆L11
L
In questo caso le deformazioni sono pari a ε 1 =
∆L11 =
ν
σ
e ε 2 = − 12 ⋅ σ ed in termini di spostamenti:
E1
E1
ν
σ ⋅L
; ∆L12 = 12 ⋅ σ ⋅ L
E1
E1
dove il primo pedice indica la direzione di applicazione del carico.
2
σ
∆L22
L
1
σ
∆L21
L
In questo secondo caso, invece, le deformazioni sono pari a ε 1 = −
analogamente in termini di spostamenti:
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ν 21
σ
⋅σ e ε 2 =
ed
E2
E2
Appunti di Costruzione di Macchine
∆L22 =
ν
σ ⋅L
; ∆L21 = 21 ⋅ σ ⋅ L
E2
E2
Ovviamente, se E1 > E 2 risulta ∆L11 < ∆L22 e indipendentementee dai valori dei moduli di Young a
causa delle relazioni di reciprocità
ν ij
Ei
=
ν ji
Ej
con i, j = 1,2,3 si ha:
∆L21 = ∆L12
Questa relazione è una logica generalizzazione della legge di Betti per materiali anisotropi: la
deformazione trasversale è la stessa quando la tensione è applicata sia nella direzione 1 sia nella
direzione 2.
Poiché le matrici di rigidezza e di flessibilità sono mutuamente inverse, per i materiali ortotropi
risulta:
S 22 ⋅ S 33 − S 232
S 33 ⋅ S11 − S132
S11 ⋅ S 22 − S122
S ⋅ S − S12 ⋅ S 33
C11 =
; C 22 =
; C 33 =
; C12 = 13 23
;
S
S
S
S
C13 =
S12 ⋅ S 23 − S13 ⋅ S 22
;
S
C 23 =
S12 ⋅ S13 − S 23 ⋅ S11
;
S
C 44 =
1
;
S 44
C 66 =
1
;
S 66
C55 =
1
;
S 55
C 23 =
S12 ⋅ S13 − S 23 ⋅ S11
;
S
dove S = S11 ⋅ S 22 ⋅ S 33 − S11 ⋅ S 232 − S 22 ⋅ S132 − S 33 ⋅ S122 + 2S12 ⋅ S 23 ⋅ S13
Nelle precedenti relazioni, i simboli C e S possono essere intercambiati ovunque per ottenere le
relazioni di conversione.
Restrizioni sulle costanti elastiche
Materiali isotropi
Per i materiali isotropi esistono alcune relazioni tra le costanti elastiche che devono essere
soddisfatte. Ad esempio, dall’espressione che definisce il modulo di taglio G =
E e G termini sempre positivi, otteniamo che ν > −1 .
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E
, essendo
2 ⋅ (1 + ν )
Appunti di Costruzione di Macchine
Allo stesso modo, se un corpo isotropo è soggetto ad una pressione idrostatica allora la
deformazione volumetrica, data dalla somma dei termini nelle tre direzioni, risulta:
θ = εx +εy +εz =
3 p ⋅ (1 − 2ν ) p
=
E
K
Il modulo di massa (bulk) K =
1
E
è positivo solo se E > 0 e ν < .
3 ⋅ (1 − 2ν )
2
Se il modulo di massa fosse negativo, una pressione idrostatica sarebbe la causa di una espansione
di un cubo di materiale isotropo. Di qui, per evitare che un taglio o un carico idrostatico producano
energia di deformazione negativa o nulla, nei materiali isotropi il rapporto di Poisson ha le seguenti
restrizioni:
−1 < ν <
1
2
Materiali ortotropi
Per i materiali ortotropi le relazioni tra le costanti elastiche sono più complesse di quelle incontrate
per i materiali isotropi. Il prodotto di una componente di tensione con la sua corrispondente
componente di deformazione rappresenta il lavoro fatto dalla tensione. La somma dei lavori fatti da
tutte le componenti di tensione e la componente di energia devono risultare positive. Questa
condizione fornisce un vincolo termodinamico sui valori delle costanti elastiche più semplicemente
dimostrabile in relazione ai materiali isotropi. Tale vincolo fu esteso ai materiali ortotropi da
Lempriere, considerando le matrici di rigidezza e cedevolezza sempre definite positive. Questa
condizione matematica può essere sostituita dalla seguente considerazione fisica: se ad un corpo è
applicata solo una tensione normale alla volta, la deformazione corrispondente è determinata dagli
elementi diagonali della matrice di cedevolezza. Da qui risulta che questi elementi devono essere
positivi e quindi:
S11 , S 22 , S 33 , S 44 , S 55 , S 66 > 0
o in termini di costanti ingegneristiche
E1 , E2 , E3 , G23 , G31 , G12 > 0
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Appunti di Costruzione di Macchine
Analogamente, considerando solo una deformazione normale alla volta, la tensione corrispondente
è determinata dagli elementi diagonali della matrice di rigidezza. Da qui risulta che tali elementi
devono risultare positivi e quindi otteniamo:
C11 , C 22 , C 33 , C 44 , C55 , C 66 > 0
mentre in termini di costanti ingegneristiche, ricavando le componenti di rigidezza invertendo la
matrice di cedevolezza, si ha
(1 − ν 23 ⋅ν 32 ), (1 − ν 13 ⋅ν 31 ), (1 − ν 12 ⋅ν 21 ) > 0
e 1 − ν 23 ⋅ν 32 − ν 13 ⋅ν 31 − ν 12 ⋅ν 21 − 2ν 21 ⋅ν 32 ⋅ν 13 > 0
poiché il determinante di una matrice definita positiva deve essere positivo.
Per la positività delle rigidezze la prima condizione si può scrivere:
S 23 < (S 22 ⋅ S 33 ) 2
1
S13 < ( S11 ⋅ S 33 ) 2
1
S12 < (S11 ⋅ S 22 ) 2
1
ed usando la condizione di simmetria delle cedevolezze
ν ij
Ei
=
ν ji
Ej
con i, j = 1,2,3
ottenendo
1
ν 21
E
<  2
 E1
2
 ;

ν 32
E
<  3
 E2
2
 ;

1
ν 12
E
<  1
 E2
2


ν 23
E
<  2
 E3
2


1
1
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Appunti di Costruzione di Macchine
ν 13
E
<  1
 E3
1
2
 ;

1
ν 31
 E 2
<  3 
 E1 
Per la seconda condizione (pag. preced.), invece, alla luce di quanto già scritto otteniamo:
ν 21 ⋅ ν 32 ⋅ ν 13
E 
E 
E 
1 − ν 212 ⋅  1  − ν 322 ⋅  2  − ν 132 ⋅  3 
 E1  < 1
 E3 
 E2 
<
2
2
Raggruppando


 
 
 E2
2  E2 
2  E3 
1 − ν 32 ⋅   ⋅ 1 − ν 13 ⋅   − ν 21 ⋅ 
 E1  
 E1
 E 3  





1
2
2

 E1 
+ ν 32 ⋅ν 13 ⋅   > 0
 E2 

Le precedenti restrizioni sulle costanti ingegneristiche per i materiali ortotropi sono usate per
esaminare i dati sperimentali al fine di verificare la loro consistenza fisica nella struttura del
modello matematico dell’elasticità.
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Appunti di Costruzione di Macchine
PARTICOLARIZZAZIONE
DEL
LEGAME
D’ORTOTROPIA
Stato piano di tensione
Lamina ortotropa
A causa della particolare costituzione strutturale dei materiali per i quali il legame costitutivo
presenta le caratteristiche dell’ortotropia, conviene ridursi allo studio di un problema piano, con
riferimento alle tensioni relative ad un solido con una dimensione molto ridotta rispetto alle altre
due. Indicando con 1, 2, 3 le direzioni delle simmetrie poniamo che lo stato tensionale sia piano per
avere σ 3 = τ 13 = τ 23 = 0 , per cui scrivendo il legame completo si ha:
ε 1   S11
ε  
 2   S 21
ε 3   S 31
 =
γ 23   0
γ 13   0
  
γ 12   0
S12
S 22
S13
S 23
0
0
0
0
S 32
0
S 33
0
0
S 44
0
0
0
0
0
0
0
0
S 55
0
0  σ 1 
0  σ 2 
0  0 
⋅ 
0  0 
0  0 
  
S 66  τ 12 
Elidendo le identità banali e scrivendo separatamente l’equazione ε 3 = S 31 ⋅ σ 1 + S 32 ⋅ σ 2 si può
scrivere in forma ridotta:
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Appunti di Costruzione di Macchine
ε 1   S11
  
ε 2  = S 21
γ   0
 12  
S12
S 22
0
0  σ 1 
 
0  ⋅ σ 2 
S 66  τ 12 
La relazione si può invertire ottenendo la matrice delle rigidezze ridotte
σ 1  Q11
  
σ 2  = Q21
τ   0
 12  
Q12
Q22
0
0  ε 1 
 
0  ⋅ ε 2 
Q66  γ 12 
Per i coefficienti delle matrici sussistono le relazioni [S ] = [Q ] nel caso in esame di tensione
−1
piana, per cui risulta Qij = C ij −
Q11 =
E1
;
(1 − ν 12 ⋅ν 21 )
Ci 3 ⋅ C j 3
Q22 =
C33
essendo in termini di costanti ingegneristiche:
E2
ν 12 ⋅ E2
ν 21 ⋅ E1
; Q12 =
=
; Q66 = G12
(1 − ν 21 ⋅ν 12 )
(1 − ν 12 ⋅ν 21 ) (1 − ν 12 ⋅ν 21 )
Stato piano di deformazione
Se si parte dall’ipotesi di stato piano di deformazione, ipotesi particolarmente attendibile per solidi
indefiniti, secondo una direzione (ad esempio la terza), si impone nel legame tensioni deformazioni
{σ } = [C ] ⋅ {ε } la condizione
ε 3 = γ 13 = γ 23 = 0 , ottenendo il legame ridotto:
σ 1  C11 C12
  
σ 2  = C 21 C 22
τ   0
0
 12  
0  ε 1 
 
0  ⋅ ε 2 
C 66  γ 12 
con la relazione σ 3 = C 31 ⋅ ε 1 + C 32 ⋅ ε 2 .
L’inversione del legame comporta [C ] = [R ] e risulta Rij = S ij −
−1
16/63
S i3 ⋅ S j3
S 33
.
Appunti di Costruzione di Macchine
TABELLA RIASSUNTIVA DEI LEGAMI COSTITUTIVI
3D
2D – Tensione Piana
2D – Deformazione Piana
RIGIDEZZE
C
Q
C
FLESSIBILITA’
S
S
R
Materiali ortotropi - Trasformazioni Caratteristiche
Tensioni
y
2
1
θ
x
(0; 1; 2) assi del materiale
(0; x; y) assi generici
σx
σ1
σy
σ2
τxy
τ12
17/63
Appunti di Costruzione di Macchine
1. Trasformazione OFF AXIS è ON AXIS
τ12
1 ⋅ cosθ
θ
θ
σ1
θ
σx
1
τxy
τxy
σy
1 ⋅ sin θ
1.a) equilibrio lungo x (determinazione di σ1 e τ12)
σ 1 ⋅ cosθ − τ 12 ⋅ sin θ = σ x ⋅ cosθ + τ xy ⋅ sin θ
1.b) equilibrio lungo y (determinazione di σ1 e τ12)
σ 1 ⋅ sin θ + τ 12 ⋅ cosθ = σ y ⋅ sin θ + τ xy ⋅ cosθ
risolvendo il sistema 1.a / 1.b ed essendo ∆ =
σ1 =
σ x ⋅ cosθ + τ xy ⋅ sin ϑ
− sin ϑ
σ y ⋅ sin θ + τ xy ⋅ cosϑ
cosϑ
∆
cosϑ
− sinϑ
sinϑ
cosϑ
= 1 si ha:
= σ x ⋅ cos 2 θ + σ y ⋅ sin 2 θ + 2τ xy ⋅ sin ϑ ⋅ cosϑ
cosϑ σ x ⋅ cosθ + τ xy ⋅ sin ϑ
τ 12 =
sin ϑ
σ y ⋅ sin θ + τ xy ⋅ cos ϑ
∆
(
= −σ x ⋅ sin ϑ ⋅ cosϑ + σ y ⋅ sin ϑ ⋅ cos ϑ + τ xy ⋅ cos 2 θ − sin 2 θ
18/63
)
Appunti di Costruzione di Macchine
σ2
θ
1 ⋅ sinθ
τ12
θ
σx
1
τxy
θ
τxy
σy
1⋅ cosθ
1.c) equilibrio lungo x (determinazione di σ2 e τ12)
− σ 2 ⋅ sin θ + τ 12 ⋅ cosθ = −σ x ⋅ sin θ + τ xy ⋅ cosθ
1.d) equilibrio lungo y (determinazione di σ2 e τ12)
σ 2 ⋅ cosθ + τ 12 ⋅ sinθ = σ y ⋅ cos θ − τ xy ⋅ sinθ
Dalle relazioni 1.c / 1.d si trae:
σ2 =
σ x ⋅ sin θ − τ xy ⋅ cos ϑ
− cos ϑ
σ y ⋅ cosθ − τ xy ⋅ sin ϑ
sin ϑ
∆
= σ y ⋅ cos 2 θ + σ x ⋅ sin 2 θ − 2τ xy ⋅ sin ϑ ⋅ cosϑ
e τ12 con espressione identica alla già sopra determinata.
2. Trasformazione ON AXIS è OFF AXIS
2.a) equilibrio lungo x (determinazione di σ x e τ xy)
σ x ⋅ cos θ + τ xy ⋅ sinθ = σ 1 ⋅ cos θ − τ 12 ⋅ sinθ
2.b) equilibrio lungo y (determinazione di σx e τxy)
σ y ⋅ sinθ + τ xy ⋅ cosθ = σ 1 ⋅ sinθ + τ 12 ⋅ cosθ
2.c) equilibrio lungo x (determinazione di σ y e τ xy)
σ x ⋅ sinθ − τ xy ⋅ cos θ = σ 2 ⋅ sinθ − τ 12 ⋅ cosθ
19/63
Appunti di Costruzione di Macchine
2.d) equilibrio lungo y (determinazione di σy e τxy)
σ y ⋅ cosθ − τ xy ⋅ sinθ = σ 2 ⋅ cosθ + τ 12 ⋅ sinθ
risolvendo il sistema 2.a / 2.c ed essendo ∆ =
σ 1 ⋅ cos θ − τ 12 ⋅ sinϑ
σ ⋅ sinθ − τ 12 ⋅ cos ϑ
σx = 2
∆
τ xy =
sinϑ
− cos ϑ
cosϑ
σ 1 ⋅ cosθ − τ 12 ⋅ sin ϑ
− sin ϑ
− σ 2 ⋅ sin θ + τ 12 ⋅ cosϑ
∆
σy =
cos ϑ
− sinϑ
∆
sinϑ
sinϑ
− cosϑ
= −1 si ha:
= σ 1 ⋅ cos 2 θ + σ 2 ⋅ sin2θ − 2τ 12 ⋅ sinϑ ⋅ cos ϑ
(
= σ 1 ⋅ sin ϑ ⋅ cosϑ − σ 2 ⋅ sin ϑ ⋅ cosϑ + τ 12 ⋅ cos 2 θ − sin 2 θ
Dalle relazioni 2.b / 2.d ed essendo ∆ =
σ 1 ⋅ sinθ + τ 12 ⋅ cos ϑ
σ 2 ⋅ cosθ + τ 12 ⋅ sinϑ
cosϑ
sinϑ
cos ϑ
cosϑ
− sinϑ
= −1 si trae:
= σ 1 ⋅ sin 2θ + σ 2 ⋅ cos 2 θ + 2τ 12 ⋅ sinϑ ⋅ cos ϑ
e τxy con espressione identica alla già sopra determinata.
In definitiva:
OFF AXIS è ON AXIS
2
σ 1   cos θ
  
2
σ 2  =  sin θ
τ   − sin θ ⋅ cosθ
 12  
sin 2 θ
cos 2 θ
sin θ ⋅ cosθ
σ x 
2 sin θ ⋅ cosθ  σ x 


 

− 2 sin θ ⋅ cosθ  ⋅ σ y  = [T ] ⋅ σ y 
 
cos 2 θ − sin 2 θ  τ xy 
 
τ xy 
ON AXIS è OFF AXIS
20/63
)
Appunti di Costruzione di Macchine
σ x   cos 2 θ
  
2
σ y  =  sin θ
  sinθ ⋅ cosθ
τ xy  
− 2 sinθ ⋅ cosθ  σ 1 
σ 1 
  

−1 
2 sinθ ⋅ cosθ  ⋅ σ 2  = [T ] ⋅ σ 2 
τ 
cos 2 θ − sin2θ  τ 12 
 12 
sin2θ
cos θ
− sinθ ⋅ cosθ
2
Deformazioni
y’
y
y
y’
x’
x
θ
O
θ
x
x’
O
Detto (O, x, y) un sistema di riferimento cartesiano e (O, x’, y’) il medesimo sistema ruotato di un
angolo θ intorno ad O, le relazioni tra le ascisse e le ordinate di un generico punto P nei due sistemi
di riferimento sono:
x ' = x ⋅ cosθ + y ⋅ sin θ
//
x = x ' ⋅ cosθ − y ' ⋅ sin θ
y ' = − x ⋅ sin θ + y ⋅ cosθ
//
y = + x ' ⋅ sin θ + y ' ⋅ cosθ
∂x '
∂x '
∂y '
∂y '
= cosθ ;
= sin θ ;
= − sin θ ;
= cosθ
∂x
∂y
∂y
∂x
Il legame tra deformazioni e spostamenti
εx =
∂u
∂v
∂v ∂u
; ε y = ; γ xy = +
∂x
∂y
∂x ∂y
21/63
Appunti di Costruzione di Macchine
u = u ' ⋅ cosθ − v ' ⋅ sin θ
//
u ' = u ⋅ cosθ + v ⋅ sin θ
v = +u ' ⋅ sin θ + v ' ⋅ cosθ
//
v ' = −u ⋅ sin θ + v ⋅ cosθ
∂u ∂x ' ∂u ∂y '
εx = ' ⋅
+
⋅
∂x ∂x ∂y ' ∂x
essendo
∂u
∂ '
∂y '
∂u
∂
∂x '
'
= cosθ ; ' = ' u ⋅ cos θ − v ⋅ sin θ ;
= − sin θ ;
= ' (u ' ⋅ cosθ − v ' ⋅ sin θ )
'
∂x
∂x
∂x
∂x
∂y
∂y
(
)
otteniamo:
ε x = ε x ' ⋅ cos 2 θ + ε y ' ⋅ sin 2 θ − γ x ' y ' ⋅ sin θ ⋅ cosθ
Analogamente
εy =
∂v ∂x ' ∂v ∂y '
⋅
+
⋅
∂x ' ∂x ∂y ' ∂x
ε y = ε x ' ⋅ sin 2 θ + ε y ' ⋅ cos 2 θ + γ x ' y ' ⋅ sin θ ⋅ cosθ
γ xy =
γ xy
∂v ∂x ' ∂v ∂y ' ∂u ∂x ' ∂u ∂y '
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
∂x ' ∂x ∂y ' ∂x ∂x ' ∂y ∂y ' ∂y
= +ε x' ⋅ sin θ ⋅ cos θ − ε y ' ⋅ sin θ ⋅ cos θ +
2
γ x ' y'
2
[
⋅ cos 2 θ − sin 2 θ
]
y
2
y
σy
2
1
σ2
σ1
2
1
ε2
ε1
θ(x)
σx
1
2
εy
θ(-x)
εx
x
x
τxy
τ12
[T]
1
à
γ12
[Sij]
22/63
à
γxy
[T]-1
Appunti di Costruzione di Macchine
TRASFORMAZIONE 1 – TENSIONI / DEFORMAZIONI
DETERMINAZIONE DELLA MATRICE DELLE CEDEVOLEZZE [S]
y
2
y
εy
2
1
ε2
ε1
σ2
2
1
σ1
1
θ(x)
εx
2
σy
θ(-x)
σx
x
x
γ xy
γ12
[T]
1
à
τxy
τ12
[T]-1
à
[Qij]
TRASFORMAZIONE 2 – DEFORMAZIONI / TENSIONI
DETERMINAZIONE DELLA MATRICE DELLE RIGIDEZZE [Q]
RELAZIONI TRA TENSIONI E DEFORMAZIONI PER
GENERICHE
ORIENTAZIONI
DELLE
DIREZIONI
D’ORTROTOPIA DELLA LAMINA
In quanto precede si è determinata la matrice che consente l’espressione delle tensioni e delle
deformazioni secondo direzioni generiche in relazione a quelle principali d’ortotropia della lamina.
Assumiamo ora
σ x 
σ 1 
 
 
σ 2  = [T ] ⋅ σ y  ;
τ 
 
 12 
τ xy 
 
 
ε 
ε 1 
 x 
 
ε 2  = [T ] ⋅ ε y 
γ 
γ 
 12 
 xy 
 2 
 2 
in cui [T] è desumibile dalle considerazioni prima svolte ed è pari a:
23/63
Appunti di Costruzione di Macchine
 cos 2 θ
[T ] =  sin2θ
 − sinθ ⋅ cosθ

sin 2θ
cos θ
sinθ ⋅ cosθ
2
2sinθ ⋅ cosθ 

− 2 sinθ ⋅ cosθ 
cos 2 θ − sin2θ 
Introducendo la matrice di Reuter
1 0 0
[R] = 0 1 0
0 0 2
si può opportunamente riportare la scrittura delle deformazioni alle seguenti relazioni
 
ε 1 
ε 1 
 
 
ε 2  = [R] ⋅ ε 2  ;
γ 
γ 
 12 
 12 
 2 
 
ε 
ε x 
 x 
 
ε y  = [R] ⋅ ε y 
γ 
γ 
 xy 
 xy 
 2 
Pertanto possiamo procedere alle operazioni di trasformazione partendo dal legame descritto con
riferimento agli assi d’ortotropia in termini di matrice delle rigidezze
σ 1 
ε 1 
 
 
σ 2  = [Q ] ⋅ ε 2 
τ 
γ 
 12 
 12 
σ x 
σ 1 
ε 1 
 

 
−1 
−1
σ y  = [T ] ⋅ σ 2  = [T ] ⋅ [Q ] ⋅ ε 2 
τ 
γ 
 
 12 
 12 
τ xy 
proseguendo in successione si ottiene
 
 
ε 
ε x 


ε1
ε 1 
x


 


[T ]−1 ⋅ [Q]⋅ ε 2  = [T ]−1 ⋅ [Q]⋅ [R ]⋅ ε 2  = [T ]−1 ⋅ [Q]⋅ [R] ⋅ [T ]⋅ ε y  = [T ]−1 ⋅ [Q]⋅ [R ]⋅ [T ]⋅ [R]−1 ⋅ ε y 
γ 
γ 
γ 
γ 
 12 
 xy 
 12 
 xy 
 2 
 2 
essendo [T ]
−T
= [R ] ⋅ [T ] ⋅ [R ] in definitiva si può scrivere
−1
24/63
Appunti di Costruzione di Macchine
[]
σ x 
 
−1
−T
σ y  = [T ] ⋅ [Q ] ⋅ [T ]
 
τ xy 
in cui la matrice Q = [T ] ⋅ [Q ] ⋅ [T ]
−1
−T
ε x 
 
⋅ ε y 
 
γ xy 
è la matrice “ridotta trasformata” delle rigidezze.
A conti fatti i coefficienti di rigidezza sono i seguenti:
Q 11 = Q11 ⋅ cos 4 θ + 2 ⋅ (Q12 + 2Q66 ) ⋅ sin 2θ ⋅ cos 2 θ + Q22 ⋅ sin 4θ
(
Q 12 = (Q11 + Q22 − 4Q66 ) ⋅ sin 2θ ⋅ cos 2 θ + Q12 ⋅ sin 4θ + cos 4 θ
)
Q 22 = Q11 ⋅ sin 4θ + 2 ⋅ (Q12 + 2Q66 ) ⋅ sin 2θ ⋅ cos 2 θ + Q22 ⋅ cos 4 θ
Q 16 = (Q11 − Q12 − 2Q66 ) ⋅ sin3θ ⋅ cosθ + (Q12 − Q22 + 2Q66 ) ⋅ sinθ ⋅ cos 3 θ
Q 26 = (Q11 − Q12 − 2Q66 ) ⋅ sinθ ⋅ cos 3 θ + (Q12 − Q 22 + 2Q66 ) ⋅ sin3θ ⋅ cosθ
(
Q 66 = (Q11 + Q 22 − 2Q12 − 2Q66 ) ⋅ sin2θ ⋅ cos 2 θ + Q66 ⋅ sin4θ + cos 4 θ
)
Poiché sono presenti tutti e nove i termini di rigidezza, il legame appare come anisotropo pur
nascondendo il fondamentale comportamento ortotropo (lamina generalmente ortotropa). Questo
perché i nove termini dipendono da sole quattro costanti materiali indipendenti Q11, Q22, Q12, Q66.
L’opportuno orientamento del riferimento della lamina riporta alle caratteristiche visibilmente
ortotrope oltre a facilitare notevolmente le sperimentazioni atte a definirne le proprietà meccaniche.
In maniera analoga si può procedere per individuare il legame inverso a partire da
ε 1 
σ 1 
 
 
ε 2  = [S ] ⋅ σ 2 
γ 
τ 
 12 
 12 
In successione
 
ε 1 
σ 1 
ε 1 
 

 
−1 
−1
ε 2  = [R] ⋅ ε 2  = [R] ⋅ [S ] ⋅ σ 2 
γ 
γ 
τ 
 12 
 12 
 12 
 2 
25/63
Appunti di Costruzione di Macchine
 
 
ε 
ε 1 
σ 1 
 x 

 
−1 
−1
−1
ε y  = [T ] ⋅ ε 2  = [T ] ⋅ [R ] ⋅ [S ] ⋅ σ 2 
γ 
τ 
 
 12 
 12 
γ xy 
 2 
 2 
 
ε  ε 
σ 1 
 x   x 
−1
−1
[R ]⋅ ε y  = ε y  = [R ]⋅ [T ] ⋅ [R ] ⋅ [S ]⋅ σ 2 
   
τ 
 12 
 γ xy  γ xy 
 2 
Trasformando le tensioni si ha
σ x 
ε x 
 
 
−1
−1
ε y  = [R ] ⋅ [T ] ⋅ [R ] ⋅ [S ] ⋅ [T ] ⋅ σ y 
 
 
τ xy 
γ xy 
Infine, posto [T ] = [R] ⋅ [T ] ⋅ [R]
T
[S ] = [T ]
T
−1
−1
ed introducendo la matrice di flessibilità “ridotta trasformata”
⋅ [S ] ⋅ [T ] si può scrivere:
σ x 
ε x 
 
 
ε y  = S ⋅ σ y 
 
 
γ xy 
τ xy 
[]
I termini della matrice di flessibilità risultano essere i seguenti:
S 11 = S11 ⋅ cos 4 θ + (2S12 + S 66 ) ⋅ sin2θ ⋅ cos 2 θ + S 22 ⋅ sin4θ
(
S 12 = (S11 + S 22 − S 66 ) ⋅ sin 2θ ⋅ cos 2 θ + S12 ⋅ sin4θ + cos 4 θ
)
S 22 = S11 ⋅ sin4θ + (2S12 + S 66 ) ⋅ sin 2θ ⋅ cos 2 θ + S 22 ⋅ cos 4 θ
S 16 = (2S11 − 2S12 − S 66 ) ⋅ sinθ ⋅ cos 3 θ − (2S 22 − 2 S12 − S 66 ) ⋅ sin3θ ⋅ cosθ
S 26 = (2 S11 − 2S12 − S 66 ) ⋅ sin3θ ⋅ cos θ − (2 S 22 − 2 S12 − S 66 ) ⋅ sinθ ⋅ cos 3 θ
26/63
Appunti di Costruzione di Macchine
(
S 66 = 2 ⋅ (2S11 + 2S 22 − 4 S12 − S 66 ) ⋅ sin 2θ ⋅ cos 2 θ + S 66 ⋅ sin 4θ + cos 4 θ
)
Come si è accennato prima, la presenza di tensioni Q12 e Q26 ovvero S12 e S26 fa apparire le matrici
in tutto simili a quelle dei materiali anisotropi. In questo caso, ritornando a scrivere in termini di
costanti ingegneristiche i coefficienti ad esempio della matrice di flessibilità, si ha in anisotropia:
S11 =
1
;
E1
S12 = −
S16 =
η12,1
E1
ν 12
ν
1
= − 21 ; S 22 =
;
E1
E2
E2
=
η1,12
G12
S 26 =
;
η12, 2
E2
=
S 66 =
1
;
G12
η 2,12
G12
Le costanti ηij,i e ηi,ij sono state introdotte da LEKHNITSKI e si definiscono nel modo seguente:
ηi ,ij =
εi
γ ij
Coefficiente di mutua influenza di prima specie che caratterizza le
deformazioni normali in direzione i per effetto di scorrimento unitario nel
piano i, j con τ ij = τ e tutte le rimanenti tensioni nulle.
η ji,i =
γ ij
εi
Coefficiente di mutua influenza di seconda specie che caratterizza lo
scorrimento nel piano i, j per effetto di tensione normale in direzione i
σ i = σ con tutte le rimanenti tensioni nulle.
Esplicitando il legame costitutivo, utilizzando la solita convenzione circa la normalizzazione, si ha:
 1

ε 1   E1
   ν 12
ε 2  = −
γ   E1
 12 
 η12,1
 E1
ν 21
E2
1
E2
η12,2
−
E2
27/63
η1,12 

G12  σ 
1
η 2,12   
σ
⋅
 2
G12   
 τ
1   12 
G12 
Appunti di Costruzione di Macchine
Ulteriori costanti in anisotropia sono state introdotte da CHENTSOV e sono definite come:
ηij,kl
Coefficiente di Chentsov che caratterizza lo scorrimento nel piano i, j dovuto
alla tensione di recisione nel piano k, l in presenza di τ k l = τ con tutte le
rimanenti tensioni nulle.
La seguente definizione e le condizioni di simmetria consentono di scrivere:
η ij ,kl =
γ ij
per
γ kl
τ kl = τ e ∀σ ,τ = 0
η ij ,kl
Gkl
=
η kl ,ij
Gij
Pertanto le matrici di ortotropia generale e di anisotropia in cui esplicitamente compaiono le
costanti introdotte sono desumibili dalle tabelle seguenti:
σ1
σ2
τ12
ν 21
E2
η1,12
1
E2
η 2,12
η12,1
η12, 2
E1
E2
1
G12
1
E1
ε1
ε2
γ12
−
−
ν 12
E1
28/63
G12
G12
Appunti di Costruzione di Macchine
σ1
τ12
η 1, 23
η1,13
η1,12
G23
G13
G12
1
E2
−
ν 23
E3
η 2,23
η 2 ,13
η 2,12
G 23
G13
G12
ν 32
E2
1
E3
η 3,23
η 3,13
η 3,12
G 23
G13
G12
η 23,1
η 23, 2
η 23,3
η 23,13
η 23,12
E1
E2
E3
1
G 23
G13
G12
η13,1
η13,2
η13,3
η13,23
η13,12
E1
E2
E3
G 23
1
G13
η12,1
η12, 2
η12,3
η12 ,23
η12,13
E1
E2
E3
G 23
G13
1
G12
ν 12
E1
ε3
−
ν 13
E1
γ12
τ13
ν 31
E3
−
γ13
τ23
−
ε2
γ23
σ3
ν 21
E2
1
E1
ε1
σ2
−
−
G12
Inoltre, servendosi delle relazioni di trasformazione a pag. 25 (?) è possibile ricavare le costanti
ingegneristiche apparenti in termini di moduli elastici e coefficienti di Poisson e Lekhnitski per una
lamina ortotropa sollecitata in generiche direzioni x, y.
 1
1
1
ν 
1
=
⋅ cos 4 θ + 
− 2 12  ⋅ sin 2 θ ⋅ cos 2 θ +
⋅ sin 4 θ
E x E1
E1 
E2
 G12
ν

 1
1
1 
 ⋅ sin 2 θ ⋅ cos 2 θ 
ν xy = E x ⋅  12 ⋅ sin 4 θ + cos 4 θ −  +
−
 E1 E 2 G12 
 E1

(
)
 1 ν 12 
1
1
1
 ⋅ sin 2 θ ⋅ cos 2 θ +
= ⋅ sin 4 θ + 
−
⋅ cos 4 θ
E y E1
E2
 G12 E1 
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Appunti di Costruzione di Macchine
 2
ν
1
2
1 
1
 ⋅ sin 2 θ ⋅ cos 2 θ +
= 2 ⋅  +
+ 4 12 −
⋅ sin 4 θ + cos 4 θ
G xy
E1 G12 
G12
 E1 E 2
(
)

 2
 2
ν
1 
ν
1 
 ⋅ sin θ ⋅ cos 3 θ −  + 2 12 −
 ⋅ sin 3 θ ⋅ cos θ 
η xy ,x = E x ⋅  + 2 12 −
E1 G12 
E1 G12 
 E2

 E1

 2
 2
ν
1 
ν
1 
 ⋅ sin 3 θ ⋅ cos θ − 
 ⋅ sin θ ⋅ cos 3 θ 
η xy, y = E y ⋅  + 2 12 −
+ 2 12 −
E1 G12 
E1 G12 
 E2

 E1
In figura possiamo vedere l’andamento dei moduli normalizzati per il materiale composito
glass/epoxy. La normalizzazione viene fatta per permettere una conveniente comparazione della
maggior parte dei moduli in una singola figura.
30/63
Appunti di Costruzione di Macchine
31/63
Appunti di Costruzione di Macchine
DETERMINAZIONE DEI PARAMETRI TENSILI DEI
MATERIALI ORTOTROPI IN LAMINA
La caratterizzazione dei materiali ortotropi risulta più laboriosa di quella relativa ai materiali
isotropi, in quanto risulta maggiore il numero di costanti di elasticità e caratteristiche di resistenza
da determinare e dei quali verificare oltretutto la compatibilità in relazione alle simmetrie ed alla
definizione positiva della matrice costitutiva.
Le notazioni correnti prevedono l’uso della seguente simbologia per indicare le tensioni limite
sopportabili dai materiali in oggetto:
Xt
resistenza longitudinale a trazione
Xc
resistenza longitudinale a compressione
Yt
resistenza trasversale a trazione
Yc
resistenza trasversale a compressione
S
resistenza alla recisione
Queste resistenze devono essere definite nelle direzioni materiali principali.
2
Y
S
σ 1 = σ x ⋅ cos 2 θ
X
σ 2 = σ x ⋅ sin 2 θ
1
τ 12 = −σ x ⋅ sin θ ⋅ cosθ
Il valore massimo della tensione di recisione sopportabile dal materiale risulta lo stesso sia che si
abbia taglio positivo che negativo nelle direzioni principali di materiale.
32/63
Appunti di Costruzione di Macchine
TAGLIO
+
2
2
1
TAGLIO
-
1
Questa circostanza è evidenziata dalla precedente figura in cui si vede che le tensioni principali a
45° di trazione e compressione, uguali tra loro se indotte da un taglio nelle direzioni di materiale,
provocano una sollecitazione nel caso di taglio positivo speculare rispetto a quella relativa al taglio
negativo.
La situazione risulta invece differente nel caso di taglio applicato in direzioni non principali, come
evidenziato in figura seguente per il caso di angolazione di 45°:
33/63
Appunti di Costruzione di Macchine
2
2
TAGLIO
+
TAGLIO
-
1
1
Se il comportamento a trazione e compressione del materiale risulta differente, diverso sarà anche il
comportamento sotto taglio positivo e negativo applicato in direzioni non principali di materiale.
Determinazione sperimentale delle caratteristiche elastiche e della
resistenza di una lamina di materiale ortotropo
Le caratteristiche elastiche che vanno determinate attraverso prove meccaniche sono costituite dai
moduli elastici E1 ed E2, dai coefficienti di contrazione laterale ν12e ν21 e dal modulo di elasticità
trasversale G12. Di questi parametri solo quattro sono indipendenti per le proprietà di simmetria.
Caratteristiche elastiche:
34/63
Appunti di Costruzione di Macchine
E1; E2; ν 12 = −
σ 1 = σ
rimanenti
ε

; ν 21 = − 1

ε2
tensioni
nulle
ε2
ε1
σ 2 = σ
rimanenti

; G12

tensioni
nulle
Il campo preso in considerazione è quello lineare fino all’insorgere di fenomeni di plasticizzazione.
I sistemi di carico monoassiale nei provini isotropi sono più semplici da realizzare, mentre in quelli
anisotropi presentano difficoltà per l’accoppiamento che può riscontrarsi ottenendo effetti
indesiderati. Infatti, può verificarsi che tensioni normali inducano tagli, ovvero inflessioni e che
tagli inducono tensioni normali.
1
P
σ1
2
ε2
σ1 =
P
A
X=
ε1
ν 12 = −
tgα = E1 =
εult1
P
Consideriamo, ora, solo una fetta di questo elemento:
35/63
Pult
A
ε2
ε1
σ1
ε1
ε1
Appunti di Costruzione di Macchine
1
P
P
σ2
ν 21 = −
σ2 =
ε1
ε2
P
A
Y=
ε1
2
ε2
tgβ = E 2 =
εult2
Si osservi che deve verificarsi la relazione di simmetria
Pult
A
σ2
ε2
ε2
ν 12 ν 21
=
e che il mancato verificarsi della
E1 E 2
suddetta condizione indica errore di chiusura, ovvero comportamento non lineare dei materiali.
Servendosi delle relazioni che esprimono le costanti ingegneristiche in funzione dell’orientazione, si
può procedere ad una prova su lamina tagliata a 45° rispetto alle direzioni principali.
36/63
Appunti di Costruzione di Macchine
x
45°
P
1
σx
y
tgα = E x =
σx
εx
εx
2
P
Particolarizzando con θ = 45° , la relazione che esprime il modulo elastico in direzione x è:
ν
1
1  1
1
1 

= ⋅  − 2 12 +
+
E x 4  E1
E1 G12 E 2 
(vedi pag. 28??)
Da questa espressione si può trarre il modulo di elasticità trasversale una volta noti gli altri
parametri:
G12 =
1
 4
1
ν
1 


−
+ 2 12 −
E
E
E
E
 x
1
1
2 
Grande influenza hanno gli effetti distorsivi e di bordo; il rischio di errore è che, qualora si operi su
provini non molto lunghi, essi siano significativi e anziché operare con la relazione σ x = E x ⋅ ε x si
cada nell’altra σ x = Q 11 ⋅ ε x essendo pure ε y = γ xy = 0 e la sola σ x ≠ 0 .
37/63
Appunti di Costruzione di Macchine
Per ottenere la validità della σ x = E x ⋅ ε x bisogna operare su provini con elevato rapporto
lunghezza / larghezza e non provocare effetti distorsivi.
Per ricavare il modulo trasversale G12 si può pensare ad una prova condotta su un provino
cilindrico in parete sottile per il quale si può anche trarre il valore limite della sollecitazione di
recisione come evidenziato in figura.
τxy
S = τ 12ult
G12 =
τ 12
γ 12
τ 12 =
Mt
Mt
=
2 Aδ 2πr 2 t
γxy
Il tubo è realizzato con pochi strati equiorientati in quadratura con le direzioni assiali e
circonferenziali, con i bordi rinforzati. Le relazioni che si utilizzano sono quelle relative alla
torsione dei cilindri in parete sottile.
38/63
Appunti di Costruzione di Macchine
CRITERI DI RESISTENZA
Criterio di Massima Tensione
Le tensioni nelle direzioni materiali principali devono essere inferiori alle rispettive resistenze,
altrimenti si verifica la rottura:
σ1 < X t
σ 2 < Yt
nel caso di trazione
τ12 < S
σ 1 > xc
σ 2 > yc
nel caso di compressione
E’ possibile trovare le trasformazioni che forniscono le espressioni delle tensioni nelle direzioni
materiali principali
θ
A⋅σ x
A⋅σ x
che in forma compatta diventano:
{σ }1, 2 = [T ] ⋅ {σ }x, y
Dall’accoppiamento delle precedenti relazioni, la massima tensione uniassiale σx è la più piccola
delle seguenti:
39/63
Appunti di Costruzione di Macchine
σx <
Xt
;
cos 2 θ
σx <
Yt
;
sin 2 θ
σx <
−S
S
e σx >
sin θ ⋅ cos θ
sin θ ⋅ cosθ
Criterio di Massima Deformazione
La teoria della massima deformazione è del tutto analoga a quella della massima tensione: in questo
caso, le limitazioni sono imposte alle deformazioni. Specificatamente, il materiale si trova in
condizioni di rottura se una o più delle disuguaglianze di seguito riportate non sono soddisfatte.
ε 1 < X εt
ε 2 < Yεt
tensione
γ 12 < Sε
ε 1 > xεc
ε 2 > y εc
compressione
I termini Xεt e xεc rappresentano la massima deformazione normale a tensione e compressione lungo
la direzione 1, i termini Yεt e yεc rappresentano la massima deformazione normale a tensione e
compressione lungo la direzione 2, mentre Sε è il massimo scorrimento nel piano 1, 2.
40/63
Appunti di Costruzione di Macchine
Dalle relazioni tensione / deformazione
ε1 =
1
⋅ (σ 1 − ν 12 ⋅σ 2 )
E1
ε2 =
1
⋅ (σ 2 − ν 21 ⋅ σ 1 )
E2
γ 12 =
τ 12
G12
sostituendo i termini delle tensioni principali ottenute dalle seguenti trasformazioni
σ 1 = σ x ⋅ cos 2 θ
σ 2 = σ x ⋅ sin 2 θ
τ 12 = −σ x ⋅ sin θ ⋅ cos θ
si ottengono le espressioni delle deformazioni:
ε1 =
(
ε2 =
1
⋅ σ x ⋅ (sin 2 θ − ν 21 ⋅ cos 2 θ )
E2
γ 12 = −
X εt =
σx <
)
1
⋅ σ x ⋅ cos 2 θ −ν 12 ⋅ sin 2 θ < X εt
E1
Xε
;
E1
1
⋅ σ x ⋅ sin θ ⋅ cos θ
G12
Yε t =
Yε
;
E2
Sε =
S
G12
Xt
Yt
S
; σx <
; σx <
2
2
2
cos θ − ν 12 ⋅ sin θ
sin θ − ν 21 ⋅ cos θ
sin θ ⋅ cos θ
2
41/63
Appunti di Costruzione di Macchine
Criterio di TSAI – HILL
La relazione di TSAI – HILL (criterio di snervamento per materiali anisotropi), nella sua forma
estesa, si può scrivere:
(G + H )⋅ σ 12 + (F + H ) ⋅σ 22 + (F + G )⋅σ 32 − 2 H ⋅ σ 1 ⋅σ 2 − 2G ⋅σ 1 ⋅ σ 3 − 2 F ⋅ σ 2 ⋅σ 3 +
+ 2 L ⋅ τ 232 + 2M ⋅ τ 132 + 2 N ⋅ τ 122 = 1
dove F, G, H, L, M, N sono i parametri di resistenza a rottura di Hill.
E’ possibile particolarizzare la suddetta relazione:
1. se agisse solo τ12 avremmo:
2 N ⋅τ 122 = 1 che al limite diventa 2 N =
1
S2
2. se agisse solo σ1 avremmo:
(G + H ) ⋅ σ 12
= 1 che al limite diventa (G + H ) =
42/63
1
X2
Appunti di Costruzione di Macchine
3. se agisse solo σ2 avremmo:
(F + H ) ⋅ σ 22 = 1 che al limite diventa (F + H ) =
1
Y2
4. se agisse solo σ3 avremmo:
(F + G ) ⋅ σ 32 = 1 che al limite diventa (F + G ) =
1
Z2
Otteniamo così il sistema di equazioni:
(G + H ) =
1
X2
(F + H ) =
1
Y2
(F + G ) =
1
Z2
Combinando opportunamente le tre equazioni è possibile separare i termini in F, G, H:
2F =
1
1
1
+ 2 − 2
2
Y
Z
X
2G =
1
1
1
+ 2 − 2
2
X
Z
Y
2H =
1
1
1
+ 2 − 2
2
X
Y
Z
Con Y = Z e per σ1, σ2, τ 12 ≠ 0 la relazione di TSAI – HILL, alla luce delle precedenti espressioni,
diventa:
σ 12 σ 1 ⋅ σ 2 σ 22 τ 122
−
+ 2 + 2 =1
X2
X2
Y
S
Infine, dalle seguenti note espressioni
43/63
Appunti di Costruzione di Macchine
σ 1 = σ x ⋅ cos 2 θ ;
σ 2 = σ x ⋅ sin 2 θ ;
τ 12 = −σ x ⋅ sin θ ⋅ cos θ
otteniamo
1
cos4 θ  1
1 
sin 4 θ
2
2
=
+  2 − 2  ⋅ sin θ ⋅ cos θ +
σ x2
X2
X 
Y2
S
Per un materiale isotropo risulta valido il criterio di TSAI – HILL a causa della sua invarianza
rispetto all’angolo θ (cosa che non si verifica nel criterio di massima tensione):
X =Y = 3 ⋅ S
⇒
σx < X
Criterio di TSAI – WU
In forma tensionale la superficie di crisi viene espressa da TSAI – WU come:
Fi ⋅ σ i + Fij ⋅ σ i ⋅ σ j = 1
con i, j = 1,..., 6 nel caso generale
dove Fi e Fij sono rispettivamente i tensori resistenza del secondo e quarto ordine.
Particolarizzando l’espressione di TSAI – WU nel caso di una lamina ortotropa sottoposta ad uno
stato piano di tensione, otteniamo:
44/63
Appunti di Costruzione di Macchine
F1 ⋅ σ 1 + F2 ⋅ σ 2 + F6 ⋅ σ 6 + F11 ⋅ σ 12 + F22 ⋅ σ 22 + F66 ⋅ σ 62 + 2 F12 ⋅ σ 1 ⋅ σ 2 = 1
dove σ 6 = τ 12 e F12 è un coefficiente che tiene conto dell’interazione tra le tensioni nelle due
diverse direzioni.
Seguendo il procedimento già visto in precedenza si possono determinare i coefficienti Fi e Fij
In direzione 1 abbiamo
F1 ⋅ X t + F11 ⋅ X t2 = 1 nel caso di trazione
F1 ⋅ x c + F11 ⋅ x c2 = 1 nel caso di compressione
Dal sistema di due equazioni in due incognite otteniamo facilmente le espressioni dei coefficienti:
F1 =
1
1
+ ;
X t xc
F11 = −
1
X t ⋅ xc
Similmente, in direzione 2 abbiamo
F2 ⋅ Yt + F22 ⋅ Yt 2 = 1 nel caso di trazione
F2 ⋅ y c + F22 ⋅ y c2 = 1 nel caso di compressione
e quindi le espressioni dei coefficienti sono:
F2 =
1
1
+
;
Yt y c
F22 = −
1
Yt ⋅ y c
Poiché la resistenza al taglio è indipendente dal segno dello stesso si ha:
F66 =
F6 = 0 ;
1
S2
Il termine F12 non può essere determinato sulla base di prove monoassiali, ma bisogna riferirsi
necessariamente a prove biassiali.
45/63
Appunti di Costruzione di Macchine
Ponendosi quindi in condizioni tali che si abbia σ 1 = σ 2 = σ e σ6=0, l’equazione di partenza si
particolarizza in questo caso come:
(F1 + F2 ) ⋅ σ + (F11 + F22
+ 2 F12 ) ⋅ σ 2 = 1
Sostituendo i valori già ottenuti per F1, F2, F11, F22 si ottiene:
F12 =
 1
1   1
1
1
1 
1  2
 ⋅ σ 



⋅
+
+
⋅
1
−
+
+
+
σ

X ⋅x
⋅
Y
y
2σ 2   X t x c Yt y c 
t
c 
 t c

Tests su boron – epoxy
Pipes e Cole eseguirono molte prove sperimentali sul materiale boron / epoxy riscontrando un buon
accordo tra la teoria tensoriale di TSAI – WU ed i dati sperimentali trovati.
Si nota una certa insensibilità al variare di F12 (anche con rapporto 1:10). Viene riscontrato un
migliore accordo con i risultati sperimentali rispetto a TSAI – HILL che si riflette sul fatto che la
teoria fa riferimento a stati tensionali multiassiali.
Criterio quadratico di TSAI
F1 ⋅ σ 1 + F2 ⋅ σ 2 + F11 ⋅ σ 12 + F22 ⋅ σ 22 + F66 ⋅ τ 122 + 2 F12 ⋅ σ 1 ⋅ σ 2 = 1
46/63
Appunti di Costruzione di Macchine
> 0

∆ = F11 ⋅ F22 − F12 = 0
< 0

Ellisse
Rette parallele
2
Iperbole
Normalizzando i coefficienti e le variabili
F12* =
F12
F11 ⋅ F22
F1* =
;
x = F11 ⋅ σ 1 ;
F1
F11
F2* =
;
y = F22 ⋅ σ 2 ;
F2
F22
z = F66 ⋅ τ 12
è possibile scrivere
x 2 + 2F12* ⋅ x ⋅ y + y 2 + z 2 + F1* ⋅ x + F2* ⋅ y = 1
Il discriminante e le relative condizioni diventano
*2
∆ = 1 − F12
> 0

= 0
< 0

Ellisse
Rette parallele
Iperbole
ed in particolare
− 1 < F12* < 1 Ellisse
F12* = ±1
Rette parallele
F12* < −1 ; F12* > 1
F12* =
1
2
⇒
Iperbole
Hencky
Calcolo intercette sugli assi x, y:
x = F11 ⋅ σ 1 ;
y = F22 ⋅ σ 2
Ponendo y = 0 si ha con z = 0 (piano di taglio nullo) abbiamo
x 2 + F1* ⋅ x − 1 = 0
e risolvendo in x risulta
47/63
Appunti di Costruzione di Macchine
2
F1*
F1*
x=−
±
+1
2
4
Le due soluzioni sono
x1 =
Xt
;
xc
x2 =
xc
Xt
Intersecando analogamente con x = 0 e ricordando z = 0 si ha
y1 =
COMPORTAMENTO
Yt
;
yc
y2 =
yc
Yt
MICROMECCANICO
DI
UNA
LAMINA IN UN COMPOSITO
L’analisi del legame costitutivo è stata svolta ritenendo il materiale omogeneo e compendiando gli
effetti dei componenti sulle proprietà apparenti mediate nei coefficienti delle matrici dei moduli di
rigidezza o di cedevolezza (macromeccanica della lamina).
Lo studio del comportamento micromeccanico prende in considerazione i singoli componenti e
ricostruisce, attraverso le loro proprietà, la risposta dell’insieme.
I modi con cui si affronta usualmente il problema sono fondamentalmente quelli della meccanica
dei materiali, ovvero quelli della teoria dell’elasticità; essi si possono classificare secondo lo
schema riportato.
Meccanica dei
materiali
Soluzioni limite
Soluzioni Esatte
Upper band
Energia potenziale
Lower band
Energia complementare
Soluzioni approssimate
In ogni caso, con riferimento ai componenti o all’insieme, le ipotesi sono le seguenti:
48/63
Appunti di Costruzione di Macchine
LAMINA: macroscopicamente omogenea, linearmente elastica, macroscopicamente ortotropa,
senza pretensioni.
FIBRE: omogenee, isotrope, linearmente elastiche, disposte regolarmente ed allineate.
MATRICE: omogenea, isotropa e linearmente elastica.
Approccio della meccanica dei materiali alle rigidezze
Caratteristica dell’approccio della meccanica dei materiali è l’utilizzo di assunzioni semplificate
riguardo il comportamento meccanico di un materiale composito.
L’assunzione più importante consiste nel considerare le deformazioni nella direzione delle fibre di
un composito fibroso unidirezionale uguali a quelle della matrice nella stessa direzione. Poiché le
deformazioni nelle direzioni delle fibre sono le stesse per fibre e matrice, risulta evidente che la
sezione piana normale alla direzione 1 resta piana anche dopo l’applicazione delle sollecitazioni.
Determinazione di E1
Il primo modulo da determinare è quello nella direzione 1, ovvero nella direzione delle fibre.
FIBRE
MATRICE
2
σ1
σ1
1
∆L
L
Dalla figura abbiamo
ε1 =
∆L
L
49/63
Appunti di Costruzione di Macchine
dove ε1 è la deformazione applicata sia per le fibre sia per la matrice costituente il composito, come
derivato dall’assunzione che ad elementi elastici in parallelo corrispondono deformazioni uguali. Se
i costituenti del materiale hanno un comportamento elastico, le tensioni sono
σ f = E f ⋅ ε1
σ m = E m ⋅ ε1
Il carico risultante è:
P = σ 1 ⋅ A = σ f ⋅ A f + σ m ⋅ Am
In apparenza risulta σ 1 = E1 ⋅ ε 1 per cui
E1 ⋅ A ⋅ ε 1 = E f ⋅ A f ⋅ ε 1 + Em ⋅ Am ⋅ ε 1
da cui si ricava il modulo elastico nella direzione delle fibre
E1 = E f ⋅
Af
A
+ Em ⋅
Am
A
Definendo i rapporti volumetrici
Vf =
L ⋅ Af
L⋅ A
e Vm =
L ⋅ Am
L⋅ A
si ha
E1 = E f ⋅ V f + E m ⋅ Vm
che costituisce la legge delle misture per i moduli elastici ed il cui andamento in funzione della
frazione di volume di fibre è lineare ed è rappresentato in figura.
50/63
Appunti di Costruzione di Macchine
E1
Ef
Em
0
1
Vf
Determinazione di E2
Il modulo di Young apparente E2 è quello nella direzione trasversale alle fibre. Nell’approccio della
meccanica dei materiali gli elementi elastici in serie hanno cimenti uguali.
2
σ2
MATRICE
FIBRE
Lm1
W
Lf
1
Lm2
∆W
σ2
51/63
Appunti di Costruzione di Macchine
εf =
σ2
Ef
εm =
σ2
Em
Potendo scrivere la dimensione W come
W = L m1 + Lm 2 + L f = Vm ⋅ W + V f ⋅ W
L’allungamento risulta
∆W = ε 2 ⋅ W = V f ⋅ W ⋅ ε f + Vm ⋅ W ⋅ ε m
sostituendo le relazioni suscritte
ε2 =Vf ⋅
σ2
σ
+ Vm ⋅ 2
Ef
Em
per cui moltiplicando ambo i membri per E2
Vf
V 
ε 2 ⋅ E2 = σ 2 = 
+ m  ⋅ E2 ⋅ σ 2
 E f Em 


Infine, si ha
E2 =
E f ⋅ Em
V f ⋅ E m + Vm ⋅ E f
oppure
E2
=
Em
1
Vm + V f ⋅
Em
Ef
52/63
Appunti di Costruzione di Macchine
10
9
8
7
6
E2/Em 5
4
3
2
1
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Vf
Determinazione di ν 12
Si procede alla determinazione del coefficiente “maggiore” di Poisson con un approccio simile a
quello usato per l’analisi di E1.
FIBRE
MATRICE
2
∆W/2
σ1
σ1
W
1
∆W/2
Il coefficiente “maggiore” di Poisson è definito come:
ν 12 = −
ε2
ε1
53/63
Appunti di Costruzione di Macchine
considerando lo stato di tensione σ 1 = σ e tutte le altre sollecitazioni nulle.
La deformazione trasversale ∆W è
∆W = W ⋅ ε 2 = −W ⋅ν 12 ⋅ ε 1
ma è anche pari a
∆W = ∆W m + ∆W f
Successivamente utilizzando la solita approssimazione
∆Wm = −W ⋅ Vm ⋅ν m ⋅ ε 1
∆W f = −W ⋅V f ⋅ν f ⋅ ε 1
Sostituendo nella precedente relazione otteniamo
ν 12 = Vm ⋅ν m + V f ⋅ν f
che rappresenta la legge delle misture per il rapporto “maggiore” di Poisson.
ν12
νf
νm
0
Vf
54/63
1
Appunti di Costruzione di Macchine
Determinazione di G12
MATRICE
FIBRE
2
τ
τ
W
∆Wm/2
∆W f
1
τ
∆Wm/2
τ
MATRICE
FIBRE
2
τ
τ
W
∆Wm/2
∆W f
1
τ
∆Wm/2
τ
La determinazione del modulo di taglio di una lamina G12 è condotta assumendo uguali le tensioni
di taglio sulle fibre e sulla matrice. Di qui, considerando τ 12 = τ e σ 1 = σ 2 = 0 , risulta:
γ =
τ
G12
e con l’assunzione base
γm =
τ
Gm
γf =
τ
Gf
La deformazione totale di taglio è definita da
55/63
Appunti di Costruzione di Macchine
∆ = γ ⋅W
e utilizzando la solita approssimazione
∆W m = γ m ⋅ W ⋅ Vm
∆W f = γ f ⋅ W ⋅ V f
otteniamo
∆ = γ ⋅W =
τ
τ
τ
⋅W = γ m ⋅ W ⋅ Vm + γ f ⋅ W ⋅ V f =
⋅ W ⋅ Vm +
⋅ W ⋅V f
G12
Gm
Gf
e semplificando
G12 =
Gm ⋅ G f
V f ⋅ G m + Vm ⋅ G f
10
9
8
Gf/Gm=10
Gf/Gm=100
Gf/Gm=1
G12 /Gm
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0,2
0,4
0,6
Vf
56/63
0,8
1
Appunti di Costruzione di Macchine
COMPOSITI STRATIFICATI
Un laminato è costituito da due o più lamine incollate insieme, con lo scopo di realizzare un
elemento strutturale il cui comportamento sia assimilabile a quello di un materiale integro
(unico).Le direzioni principali delle lamine sono orientate per produrre un elemento strutturale
capace di resistere a carichi applicati in diverse direzioni. La rigidezza dei compositi stratificati
deriva dalle proprietà delle lamine costituenti.
I laminati in generale e quelli simmetrici in particolare vengono individuati attraverso un codice che
indica ordinatamente le orientazioni delle singole lamine a partire dalla prima, quella
corrispondente al più basso valore della coordinata z (vedi figura) nella direzione dello spessore
(normale alla superficie della lamina). Se t è lo spessore complessivo dello stratificato, il valore più
basso corrisponde a z = −
t
per cui si osserva che il piano z = 0 costituisce il piano medio.
2
z
0
0
30
45
45
45
90
90
90
45
45
45
30
0
0
O
z =+
t
2
z=0
z=−
t
2
Ad esempio, la scrittura relativa ad un laminato come quello rappresentato in figura è
convenzionalmente:
[0 2 / 30 / 45 3 / 90 2 ]s
avendosi, per un laminato simmetrico θ ( z ) = θ (− z ) e Qij ( z ) = Qij (− z ) .
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Appunti di Costruzione di Macchine
Comportamento dei laminati
Una volta studiato il comportamento delle singole lamine con le loro caratteristiche elastiche
variabili con l’orientazione scritte in termini di matrici di elasticità (di rigidezza o di flessibilità) si
presenta in quanto segue la teoria che, sotto ben precise ipotesi di base, esprime il comportamento
complessivo di strati sovrapposti di lamine.
Le relazioni, valide per il generico strato k, tra deformazioni e tensioni sono state già ottenute in
precedenza e sono esprimibili come:
{σ }k
[]
= Q k ⋅ {ε }k
L’ipotesi di base, Kirchhoff per i laminati e Kirchhoff – Love per i gusci, è di linearità dello
spostamento (le sezioni rimangono piane). In tal modo gli spostamenti possono essere espressi dalle
relazioni:
u = u0 − z ⋅
∂w0
∂x
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Appunti di Costruzione di Macchine
v = v0 − z ⋅
∂w0
∂y
Nell’ipotesi di piccoli spostamenti, le deformazioni risultano:
 ∂u 


ε x   ∂x 
   ∂v 
ε y  = 

γ   ∂y 
 xy   ∂v ∂u 
 ∂x + ∂y 


sono le sole che rimangono sulla base dell’ipotesi di Kirchhoff – Love, che implica
ε 2 = γ zx = γ yz = 0 .
Derivando gli spostamenti corrispondenti alle relazioni scritte si hanno le deformazioni
εx =
∂u 0
∂ 2 w0
−z⋅
∂x
∂x 2
εy =
∂ 2 w0
∂v 0
−z⋅
∂y
∂y 2
γ xy =
∂ 2 w0
∂ v0 ∂ u 0
− 2z
+
∂x∂y
∂y
∂x
che, introducendo le curvature della superficie media
kx = −
∂ 2 w0
∂ 2 w0
∂ 2 w0
;
k
=
−
;
k
=
−
2
y
xy
∂x∂y
∂x 2
∂y 2
possono essere espresse in forma di vettori
 ε x   ε 0x 
 kx 
   0
 
ε y  =  ε y  + z ⋅  k y 
γ  γ 0 
k 
 xy   xy 
 xy 
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Appunti di Costruzione di Macchine
[]
Poiché per ogni lamina la matrice Q può risultare diversa, se non altro per la differente
orientazione, si hanno le tensioni relative al generico strato k:
Q 11
σ 1 

 
σ 2  = Q 21
τ 

 12  k Q 61
Q 16 

Q 26 
Q 66 
k
Q 12
Q 22
Q 62
  ε 0x 
 k x 
 
 
⋅   ε 0y  + z ⋅  k y  
  0 
k  
 xy  
 γ xy 
k
Forze e momenti distribuiti
y
z
Ny
N yx
x
Nxy
Nx
Si definiscono le forze risultanti dalle condizioni di equilibrio delle forze e dei momenti per il
laminato
t
2
N x = ∫ σ x ⋅ dz ;
−
t
N y = ∫ σ y ⋅ dz ;
−
2
t
2
N xy = ∫ τ xy ⋅ dz ;
−
t
2
t
2
t
t
2
M x = ∫ σ x ⋅ z ⋅ dz ;
−
2
t
2
M xy = ∫ τ xy ⋅ z ⋅ dz ;
−
t
2
t
2
t
2
M y = ∫ σ y ⋅ z ⋅ dz
−
t
2
in cui Nij e Mij sono forze e momenti per unità di lunghezza. Nella successiva figura viene
evidenziato che il generico strato k-esimo evolve tra le ascisse z k-1 e zk.
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Appunti di Costruzione di Macchine
Pertanto, per ottenere le condizioni di equilibrio relative al laminato, si sommano i contributi di tutti
gli N strati presenti per cui si ha per le forze
σ x 
 N x  2t σ x 
N zk
 
 


 N y  = ∫ σ y  ⋅ dz = ∑ ∫ σ y  ⋅ dz
k =1 zk −1 

N  − t τ 
2  xy 
τ xy 
 xy 
k
e per i momenti
 M y  2t σ x 
σ x 
N zk


 
 
 M x  = ∫ σ y  ⋅ z ⋅ dz = ∑ ∫ σ y  ⋅ z ⋅ dz
k =1 z k −1 

M  − t τ 
 xy  2  xy 
τ xy 
k
Considerando che, a meno di effetti dovuti a variazioni di temperatura lungo lo spessore della
lamina, i termini di rigidezza risultano costanti per ognuna di esse si possono portare fuori dal segno
d’integrazione.
Sostituendo alle tensioni le loro espressioni tratte dal legame costitutivo si può scrivere:
Q 11 Q 12
 Nx 
N



 N y  = ∑ Q 21 Q 22
N  k =1 Q
 xy 
 61 Q 62

 kx 
Q 16   zk  ε x0 
zk

   0
 
Q 26  ⋅  ∫  ε y  ⋅ dz + ∫  k y  ⋅ z ⋅ dz 


zk −1 
Q 66   z k −1 γ xy0 
k xy 


k
 Q11
My 

 N 
 M x  = ∑ Q 21
M  k =1 Q
 xy 
 61

kx 
Q 16   zk  ε x0 
zk

   0
  2
Q 26  ⋅  ∫  ε y  ⋅ z ⋅ dz + ∫  k y  ⋅ z ⋅ dz 


z k −1 
Q 66   z k −1 γ xy0 
k xy 


k
Q 12
Q 22
Q 62
Indicando rispettivamente con
N
[ ]
Aij = ∑ Q ij
k =1
⋅ ( z k − z k −1 )
rigidezza estensionale
k
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Appunti di Costruzione di Macchine
Bij =
[ ] ⋅ (z
1 N
⋅ ∑ Q ij
2 k =1
− z k2−1
)
rigidezza d’accoppiamento
3
k
− z k3−1
)
rigidezza flessionale
k
[ ] ⋅ (z
1 N
Dij = ⋅ ∑ Q ij
3 k =1
2
k
k
in termini delle matrici [A], [B] e [D] si può unificare la scrittura nella forma
 N   A B  ε 
 = 
⋅ 
M   B D  k 
ovvero, in forma estesa, con conseguente significato dei termini A, B, D nell’altra:
 N x   A11
N  
 y   A12
 N xy   A16

=
 M y   B11
 M x   B12

 
M xy   B16
A12
A16
B11
B12
A22
A26
A26
A66
B12
B16
B22
B26
B12
B22
B16
B26
D11
D12
D12
D22
B26
B66
D16
D26
B16   ε x 
 
B26   ε y 
B66  γ xy 
⋅ 
D16   k x 
D26   k y 
  
D66  k xy 
Nella relazione compaiono le matrici introdotte precedentemente rappresentanti rispettivamente:
•
[A] è la rigidezza nel piano o rigidezza estensionale
•
[D] è la rigidezza flessionale
•
[B] è la rigidezza d’accoppiamento
Con riferimento alla figura seguente un utile esercizio è quello di scrivere i termini dell’integrazione
in z facendo comparire il generico spessore t k = z k − z k −1 e la posizione del piano medio di
ciascuno strato z k =
z k + z k −1
.
2
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Appunti di Costruzione di Macchine
Per le ordinate al quadrato si può scrivere
(z
2
k
)
− z k2−1 = 2 ⋅ ( z k − z k −1 ) ⋅
(z k + z k −1 )
2
= 2t k ⋅ z k
Si può dimostrare, infine, che vale la decomposizione
(z
3
k
)
2
− z k3−1
(z + z k −1 ) (z k − z k −1 )
t3
= ( z k − z k −1 ) ⋅ k
+
= tk ⋅ z k + k
3
4
12
12
2
3
63/63