"Ingegneria dell`Automazione" - Volume 2

Manuale di Automazione by Cosimo Bettini, Timoti Lorenzetti, Alberto Guiggiani
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allo stesso modo 3.0 Unported License (http://creativecommons.org/licenses/by-ncsa/3.0/).
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
1
Indice
I. Macchine ed azionamenti elettrici
1
1. Componenti
3
1.1. BJT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2. MOSFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3. IGBT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4. TRIAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2. Convertitori DC-DC
2.1. Convertitore BUCK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
9
2.1.1. Funzionamento continuo (CCM) . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2. Funzionamento discontinuo (DCM) . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.3. Analisi del funzionamento limite . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.4. Considerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Convertitore Boost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1. Funzionamento continuo (CCM) . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2. Funzionamento limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.3. Funzionamento discontinuo (DCM) . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.4. Dimensionamento dei componenti . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.5. Considerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3. Convertitore Cuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.1. Funzionamento continuo (CCM) . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.2. Considerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
i
Indice
2.4. Convertitore Sepic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.1. Funzionamento continuo (CCM) . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.2. Dimensionamento componenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3. Convertitori isolati
41
3.1. Convertitore flyback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2. Convertitore forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4. Analisi stazionaria dei convertitori
45
4.1. Esempio: Buck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5. Raddrizzatori
49
6. Azionamenti elettrici
65
6.1. Cenni sui trasformatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.1.1. Circuito reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.2. Motore asincrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2.1. Motore asincrono monofase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.3. Motore sincrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
II. Affidabilità e analisi dei rischi
77
7. Definizioni e concetti di base
79
7.1. Affidabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.2. Disponibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
7.3. Prove . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.3.1. Prove di affidabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8. Analisi dei rischi
89
8.1. Tecniche di analisi dei rischi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9. Modelli e meccanismi di guasto
10.Safety e Security
ii
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95
101
Indice
III. Sistemi Digitali
103
11.Conversione Analogico-Digitale (ADC)
105
11.1. Campionamento e quantizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
11.2. Convertitori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
12.Conversione Digitale-Analogico (DAC)
119
12.1. Convertitori DAC e sintesi di segnali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
13.Metastabilità e distribuzione di clock
127
13.1. Distribuzioni di clock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
14.Sistemi ad alta velocità
137
14.1. Terminazione di linee digitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
15.Rumori e circuiti ad alta velocità
147
15.1. Switching-noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
15.2. Crosstalk
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
15.3. Problematiche di Layout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
IV. Relazione di macchine elettriche
15.4. Introduzione e Misure
157
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
15.5. Obiettivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
15.6. Dati di targa del motore trifase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
15.7. Misura della resistenza statorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
15.8. Tabelle delle misure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
15.9. Dati ricavati dalle misure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
16.Prova a vuoto
163
16.1. Tabelle delle misure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
16.2. Dati ricavati dalla prova a vuoto
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
16.2.1. Separazione delle perdite nel ferro e meccaniche . . . . . . . . 165
16.3. Circuto equivalente a vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
16.4. Grafici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
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iii
Indice
16.5. Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
17.Prova in corto
169
17.1. Tabelle delle misure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
17.2. Circuito equivalente in corto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
17.3. Parametri riportati alla temperatura convenzionale . . . . . . . . . . 171
17.4. Grafici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
17.5. Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
18.Diagramma circolare
175
V. Laboratorio di automatica I
179
19.Controllo di un levitatore magnetico con PID e tecnica di taratura
automatica IFT
181
20.Modello
183
20.1. Amplificatore di transconduttanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
20.2. Elettromagnete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
20.3. Trasduttore di posizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
20.4. Modello matematico del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
20.5. Tempo di campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
21.Cenni sui regolatori PID
189
21.1. Il modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
21.2. Realizzazione dei regolatori PID
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
22.Iterative Feedback Tuning
193
22.1. Criteri di minimizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
22.1.1. Calcolo dei gradienti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
22.2. Stima del gradiente
22.3. Convergenza
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
22.4. Implementazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
22.5. Calcolo dell’Hessiana di J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
iv
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
Indice
23.Costruzione dello schema Simulink
207
23.1. Schema Simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
23.2. Primo Esperimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
23.3. Secondo Esperimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
23.4. Algoritmo di aggiornamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
23.5. Aggiornamento parametri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
23.6. Segnale di controllo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
24.Prove con riferimento a onda quadra
213
25.Prove con riferimento a dente di sega
219
26.Prove con riferimento sinusoidale
223
27.Robustezza del metodo
227
28.Conclusioni
231
VI. Laboratorio di automatica II
235
29.Controllo di un processo termico PT326 tramite PID con logica Fuzzy
tarato attraverso algoritmi genetici
237
29.1. Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
29.2. Descrizione del Processo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
29.3. Identificazione del Processo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
30.PI+D con logica fuzzy
245
30.1. Discretizzazione del PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
30.2. Controllore PI: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
30.3. Controllore D: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
30.4. Controllore PI+D: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
31.Controllo Fuzzy
251
31.1. Fuzzificazione: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
31.2. Regole d’inferenza: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
v
Indice
31.3. Defuzzificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
32.Algoritmi genetici
32.1. Introduzione agli algoritmi genetici . . . . . . .
32.2. Definizione del problema . . . . . . . . . . . . .
32.3. Operazioni genetiche . . . . . . . . . . . . . . .
32.4. Applicazioni per l’ottimizzazione del controllore
32.5. Implementazione . . . . . . . . . . . . . . . . .
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33.Prove
259
. 259
. 260
. 260
. 262
. 263
267
VII.Elaborati di stima e identificazione
283
34.Applicazioni del filtro di Benes
34.1. Introduzione . . . . . . . . .
34.2. Modello del sistema . . . . .
34.3. Filtro di Benes . . . . . . .
34.4. Filtraggio EKF . . . . . . .
34.5. Filtraggio PF . . . . . . . .
34.6. Prove Monte Carlo . . . . .
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285
. 285
. 288
. 289
. 297
. 302
. 318
35.Stima dello stato in presenza di
35.1. Modellazione . . . . . . . .
35.2. Algoritmo EKF . . . . . . .
35.3. Algoritmo UKF . . . . . . .
35.4. Conclusioni . . . . . . . . .
osservazioni binarie
. . . . . . . . . . . .
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323
. 323
. 326
. 331
. 337
vi
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Parte I.
Macchine ed azionamenti elettrici
1
1. Componenti
Iniziamo con l’analisi dei vari componenti che vengono utilizzati nei circuiti elettronici di potenza per la costruzione dei circuiti per l’azionamento delle macchine
elettriche. Si noti che in componenti elettronici attivi quali i transistor nell’elettronica di potenza vengono utilizzati nel loro funzionamento non lineare, ovvero come
interruttori.
1.1. BJT
Il BJT (bipolar junction transistor) è un particolare transistor in cui tre strati di
materiale semiconduttore drogato in cui lo strato centrale detto base è drogato in
maniera opposta agli altri due (detti collettore ed emettitore) in modo da formare
due giunzioni p-n. Si ottengono così due configurazioni di BJT: BJT p-n-p, BJT
n-p-n. Nell’analisi seguente si considera in BJT n-p-n (Figura 1.1).
Il BJT lavora come interruttore se è in condizione di interdizione/saturazione, il
comando per poter pilotare il BJT nelle due fasi è la corrente di base IB .
Quando il transistor è spento (interdetto IB = 0) la tensione VCE è pari a VCC
applicata e la corrente IC = 0 ne consegue che la potenza dissipata è pari a POF F =
VCE IC = 0.
Quando il transistor è acceso (saturazione IB > 0) la tensione VCE è circa zero
(VCE ' 0.3) e scorre una corrente IC in base al carico pilotato ne consegue che
la potenza dissipata è pari a PON = VCE IC 0, introducendo problemi di surriscaldamento del componente. Inoltre la frequenza di commutazione del BJT è
relativamente bassa (ORDINE).
3
1.2 MOSFET
Figura 1.1.: BJT
Il comportamento nella fase di ON del BJT è modellizzabile come un condensatore,
per cui per passare alla fase di OFF si deve “aspettare” che la capacità si scarichi.
Ecco perchè il BJT risente di tempi di commutazione relativamente alti (ha un
tempo di spegnimento alto).
1.2. MOSFET
Il MOSFET (metal oxide semiconductor field effect transistor) è un particolare transistor composto da un substrato di materiale semiconduttore drogato a cui sono
applicati tre terminali: source, gate, drain (Figura 1.2). In base all’applicazione di
una tensione al gate permette di controllare il passaggio di corrente tra il source e
il drain.
Quando il transistor è spento (interdetto VGS ≤ VT 0 con VT 0 tensione di soglia) non
scorre corrente tra surce e drain (ISD = 0) e quindi anche in questo caso la potenza
in condizione di interdizione è pari a zero.
Quando il transistor è acceso (saturazione VDS = VGS − VT 0 ) la corrente IDS è libera
di scorrere. Il comportamento nella fase di ON è modellizzabile come una resistenza
2
(RDSON ) ne consegue che la potenza dissipata è PON = RDSON IDS
.
4
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
1.3 IGBT
Figura 1.2.: MOSFET
Il MOSFET risulta essere sicuramente più veloce rispetto al BJT nei tempi di commutazione, infatti in generale generale i BJT vengono utilizzati nei circuiti di potenza (dissipano meno), mentre i MOSFET vengono utilizzati nei circuiti di pilotaggio
(dinamica veloce).
1.3. IGBT
L’IGBT (insulate gate bipolar transistor) è un transistor che fonde le caratteristiche
di un BJT e di un MOSFET: nell stadio di ingresso ha le caratteristiche del MOSFET
e nello stadio di uscita quelle del BJT (Figura 1.3).
Figura 1.3.: IGBT
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
5
1.4 TRIAC
1.4. TRIAC
Il TRIAC è un componete semiconduttore il cui funzionamento può essere considerato come un diodo controllato, infatti è un dispositivo con tre terminali (Figura 1.4):
due anodi tra i quali è possibile fare scorrere la corrente ed il gate che funge da
ingresso di controllo (attivazione). Infatti ciascun “diodo” conduce nel semiperiodo
dell’onda elettrica i cui è polarizzato direttamente in accordo se viene applicata una
corrente superiore alla soglia di sensibilità sul gate.
Figura 1.4.: TRIAC
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di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
2. Convertitori DC-DC
I convertitori DC-DC sono dispositivi molto utilizzati nell’elettronica di potenza e
servono a convertire un livello di tensione in continua in un altro livello. I convertitori
si dividono in due grandi famiglie: convertitori isolati e convertitori non isolati. I
convertirori isolati mantengono isolati gli stadi di ingresso e di uscita del convertitore
grazie ad un trasformatore di isolamento galvanico raggiungendo livelli di sicurezza
migliori in caso di guasto. Inoltre riescono ad ottenere rapporti di conversione più
alti rispetto ai convertirori non isolati.
Tutti i convertitori DC-DC si basano sul circuito chopper caretterizzato dal principio
di funzionamento della commutazione. Si consideri il circuito in Figura 2.1 formato
da un interruttore ed un diodo con applicata in ingresso una tensione continua.
Figura 2.1.: Chopper
In uscita dal convertitore l’andamento della tensione risulta come in Figura 2.2, il
valor medio della tesione è dato da:
7
Convertitori DC-DC
VOU T =
1
T
T
ˆON
vout (t)dt = T1 VI TON
0
Si definisce duty cicle il rapporto D =
TON
,
T
con T periodo di commutazione, quindi:
VOU T = DVI
Figura 2.2.: Andamento della tensione di uscita dal Chopper
Il valor medio della tensione di uscita risulata essere proporzionale al duty cicle,
ovvero è possibile modificare il valore della tensione di uscita modificando i tempi
di apertura o di chiusura dell’interruttore. Questo tipo di conversione, basata sullo
switching (commutazione), risulta essere molto più efficiente rispetto ad un semplice
partitore che è un convertiore statico, dissipativo e in cui non è possibile inalzare il
livello di tensione. In generale i convertitori che utilizzano questo principio di funzionamento studiando varie metodologie (filtri) per poter estrapolare la componente
in continua (valor medio) della tensione in uscita dal circuito chopper.
Per poter analizzare il funzionamento dei convertitori si fa riferimento alle seguenti
tre ipotesi:
1. funzionamento stazionario
2. alimentazione continua ideale
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di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
2.1 Convertitore BUCK
3. carico resistivo o homico-induttivo
Inoltre durante l’analisi si fa riferimento anche al modo di funzionamento, ovvero si considera il comportamento della corrente sull’induttore (o la tensione sul
condensatore) del filtro:
CCM
si dice che il convertitore è in funzionamento continuo (continuos conduction mode) se la corrente sull’induttore (o la tensione sul condensatore)
non cambia di polarità durante il ciclo di commutazione. In questo caso
la tensione di uscita non dipende dai componenti circuitali.
DCM
si dice che il convertitore è in funzionamento discontinuo (discontinuos
conduction mode) se la corrente sull’induttore (o la tensione sul condensatore) risulta essere zero per un certo tempo durante il ciclo di commutazione. In questo caso la tensione di uscita dipende dai componenti
circuitali.
2.1. Convertitore BUCK
Il convertitore Buck appartiene alla classe di convertitori non isolati. Esso permette
di ottenere un livello di tensione più basso di tensione in uscita rispetto a quello in
ingresso. Infatti viene detto anche convertitore step-down, ovvero abbassatore. Lo
schema di principio lo si può notare in Figura 2.3.
Figura 2.3.: Buck
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
9
2.1 Convertitore BUCK
2.1.1. Funzionamento continuo (CCM)
Fatte le precedenti considerazioni possiamo ricavare i circuiti equivalenti nelle fasi
di ON e di OFF rappresentati in figura Figura 2.4, mentre per quanto riguarda
l’andamento della corrente e la tensione sull’induttore è ragionevole ipotizzare un
andamento del tipo illustrato in figura Figura 2.5.
Figura 2.4.: Circuiti equivalenti del Buck in condizione rispettivamente di ON e di
OFF
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di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
2.1 Convertitore BUCK
Figura 2.5.: Curve caratteristiche di un convertitore Buck in CCM
2.1.1.1. Fase di ON: interruttore chiuso
Come si può notare in figura, durante questa fase la tensione sull’induttore è pari a:
VL = VIN − Vout
mentre la corrente IL cresce linearmente. Essendo l’interruttore chiuso, il diodo
viene polarizzato inversamente e non vi è quindi circolazione di corrente su di esso.
Il valore della corrente (IL ) è dato dalla relazione:
VL = L ·
diL
dt
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
11
2.1 Convertitore BUCK
Ne deriva così, invertendo la relazione ed integrando, l’incremento (∆IL ) di corrente
durante la fase di ON è pari a:
iˆ
max
∆ILon
=
ˆton
diL =
0
imin
VL
(VIN − Vout ) ton
dt =
L
L
2.1.1.2. Fase di OFF: interruttore aperto
Nella fase di OFF, invece, la variazione di corrente è pari a:
iˆ
max
∆ILof f
=
ˆtof f
diL =
0
imin
VL
Vout · tof f
dt = −
L
L
Assumendo che il convertitore lavori in regime stazionario, ne consegue che l’energia
immagazzinata in ciascun componente alla fine del ciclo di commutazione debba
essere uguale a quella di inizio ciclo. Questo significa che il valore della corrente iL è
lo stesso per t = 0 e t = T (dove T è il periodo di commutazione).
Possiamo quindi scrivere che:
∆ILon − ∆ILof f =
(VIN − Vout ) ton Vout · tof f
−
=0
L
L
da cui, dato:
D=
ton
, T = ton + tof f
T
si ottiene:
12
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
2.1 Convertitore BUCK
Vout = D · VIN
Da questa equazione si può osservare come la tensione di uscita del convertitore vari
linearmente con il duty cycle (il quale non può risultare maggiore dell’unità). Per
questo motivo questo convertitore è noto anche col nome di convertitore step-down.
2.1.2. Funzionamento discontinuo (DCM)
Lavorando in DCM si assiste, di fatto, alla creazione un terzo stato in cui l’interruttore è aperto e, al contempo, il diodo è interdetto (quindi la corrente IL =
0).
Figura 2.6.: Circuito equivalente del Buck in condizione del terzo stato
L’andamento della corrente e della tensione sull’induttore sarà come quella in figura:
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
13
2.1 Convertitore BUCK
Figura 2.7.: Curve caratteristiche di un convertitore Buck in DCM
in cui è possibile evidenziare i tre stati di funzionamento:
• [0 , DTS ] Fase di ON;
• [DTS , D1 TS ] Fase di OFF;
• [D1 TS , TS ] Fase di OFF dell’interruttore e diodo.
Possiamo notare che, a parità di energia trasferita, la corrente IM AX nel caso di
funzionamento DCM è più alta rispetto al caso CCM (dovendo essere le aree descritte
dall’andamento delle correnti IL equivalenti).
Nel caso discontinuo, le espressioni delle variazioni di corrente sono ricavabili dalle
curve caratteristiche riportate in figura Figura 2.7. Più precisamente:
∆IL+ 14
=
1
D (Vi − Vo ) TS
L
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
2.1 Convertitore BUCK
∆IL− =
1
Vo (D1 − D) TS
L
Il valor medio delle corrente risulta così:
1
1
1
= IM AX D1
IL = IM AX D1 TS ·
2
TS
2
La corrente sull’induttore è nulla all’inizio e cresce durante il periodo ton . Come si
può notare in figura Figura 2.7, vale:
IM AX =
Vin − Vo
DT
L
Sostituendo e assumendo che la corrente media sull’induttore è pari alla corrente
media in uscita:
Io = IL =
(Vin − Vo )DT D1
2L
Come esposto in precedenza, deve valere ∆IL+ = ∆IL− (figura Figura 2.7) e si
ottiene:
D
Vo
(Vin − Vo ) T =
(D1 − D) T
L
L
da cui:
DVin = Vo D1
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
15
2.1 Convertitore BUCK
Definendo mV come il guadagno ingresso-uscita, si ottiene:
mv =
Vo
D
=
Vin
D1
Sappiamo inoltre che nel buck I0 = IL ; quindi:
D1 =
2I0
∆I+
da cui è possibile esplicitare D1 come:
D1 =
2I0
S
(VI − V0 ) D·T
L
Quindi, riprendendo l’equazione del guadagno mV e sostituendo l’espressione di D1
appena ricavata, si ottiene:
mV =
D
D (VI − V0 ) DTS
=
=
D1
2I0 L
D2
1
mV
−1 R
2Lf
da cui, esplicitando D:
s
D = mv
2Lf
1
R 1 − mV
Si osservi infine che la relazione tra tensione di ingresso e di uscita (mv ) non è
più dipendente solo dal duty cycle (come nel caso CCM) ma anche dai componenti
del circuito, rendendo così la caratterizzazione più complessa ma, al contempo, più
varia.
16
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
2.1 Convertitore BUCK
2.1.3. Analisi del funzionamento limite
Per concludere l’analisi del convertitore Buck andiamo adesso ad analizzare cosa
accade al confine tra funzionamento CCM e DCM.
E’ possibile identificare tale zona come quella in cui vale la relazione:
D1 T = T ⇒ D1 = 1
Al contempo:
Iolimite = D1
IM AX
Vin − Vo
IM AX
=
=
DT
2
2
2L
che, considerando la relazione:
Vo = DVin
implica:
Iolimite =
Vin (1 − D)
DT
2L
Introduciamo adesso la tensione e la corrente normalizzate definendole come:
|Vo | =
Vo
L
, |Io | =
Io
Vin
Vin T
Ne consegue che in CCM:
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
17
2.1 Convertitore BUCK
|Vo | = D
mentre in DCM:
|Vo | =
1
2LIo
D2 Vin T
+1
=
D2
=
2 |Io | + D2
+1
1
2|Io |
D2
con la corrente limite Iolimite pari a:
Iolimite =
Vin
Io
D(1 − D)T =
D(1 − D)
2L
2 |Io |
Quindi, nel punto limite tra funzionamento DCM e CCM si verifica:
Iolimite = Io
da cui:
(1 − D)D
=1
2 |Io |
per comprendere meglio tali relazioni si fa riferimento alla figura Figura 2.8.
18
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
2.1 Convertitore BUCK
Figura 2.8.: Relazione tra corrente e tensione normalizzate in DCM e CCM.
2.1.4. Considerazioni
Se i componenti fossero ideali si avrebbe: PIN = POU T → VIN IL = VOU T IOU T →
VOU T
IL
= IOU
= D. In verità la relazione statica VOU T = DVIN è valida per D =
VIN
T
(0.3 ÷ 0.7) per effetto delle perdite dovute ai componenti non ideali.
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
19
2.2 Convertitore Boost
Figura 2.9.: Funzione di trasferimento del Buck
2.2. Convertitore Boost
Il convertitore Boost appartiene alla classe di convertitori non isolati. Esso permette
di ottenere un livello di tensione più alto uscita rispetto a quello in ingresso. Infatti
viene detto anche convertitore step-up, ovvero alzatore. Lo schema di principio lo
si può notare in Figura 2.10.
Figura 2.10.: Boost
2.2.1. Funzionamento continuo (CCM)
Andiamo ad analizzare i circuiti equivalenti nelle fasi di ON e di OFF rappresentati in
Figura 2.11, mentre per quanto riguarda l’andamento della corrente e della tensione
20
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
2.2 Convertitore Boost
sull’induttore si ipotizza come in Figura 2.12.
Figura 2.11.: Circuiti equivalenti nelle fasi ON/OFF del Boost
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
21
2.2 Convertitore Boost
Figura 2.12.: Tensione e corrente sull’induttore
2.2.1.1. Fase di ON: interruttore chiuso
Durante questa fase la tensione sull’induttore è pari a:
vL = VIN
quindi la corrente sull’induttore (iL ) è data dalla relazione:
diL
vL
=
L
dt
cresce linearmente con pendenza
VIN
.
L
La corrente sul condensatore invece è data dalla relazione:
22
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
2.2 Convertitore Boost
iC = −
VOU T
R
2.2.1.2. Fase di OFF: interruttore aperto
Le relazioni che si ottengono nella fase di OFF sono:
vL = VIN − VOU T = L
iC = iL −
diL
dt
VOU T
R
Come si può notare dalla Figura 2.12 per essere nel funzionamento CCM deve valere
iL (0) = iL (T ) > 0, quindi considerando le equazioni:
iL (DT ) − iL (0) =
VIN
DT
L
iL (DT ) − iL (0) = −(
VIN − VOU T
)(1 − D)T
L
si ottiene la relazione tra la tensione di ingresso e di uscita caratteristica del convertitore Boost:
VOU T =
VIN
1−D
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
23
2.2 Convertitore Boost
2.2.2. Funzionamento limite
Per prima cosa si consideri il fatto che se i componenti fossero ideali la potenza di
ingresso e di uscita sarebbero uguali:
PIN = POU T
2
IM IN + IM AX
VOU
T
VIN =
2
R
inoltre si nota che:
∆iL = IM AX − IM IN =
VIN DT
L
quindi è possibile ricavarsi le seguenti due espressioni:


IM AX
=
VIN
R(1−D)2
+
VIN DT
2L

IM IN
=
VIN
R(1−D)2
−
VIN DT
2L
(2.1)
La condizione di funzionamento limite si ha quando IM IN = 0.
Quindi la corrente limite in ingresso al conertitore è data da:
IIN,limite =
∆iL
VIN DT
=
2
2L
mentre la corrente limite in uscita è data da:
2
IOU T,limite = (1 − D) IIN,limite
24
VIN DT (1 − D)2
=
2L
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
2.2 Convertitore Boost
dato che la corrente “passa” solo nella fase di OFF dell’interruttore.
2.2.3. Funzionamento discontinuo (DCM)
Andiamo ad analizzare i circuiti equivalenti nelle fasi di ON e di OFF rappresentati
in Figura 2.11. Nel caso discontinuo (DCM) l’andamento di tensione e corrente
corrisponde a quello in Figura 2.13: la corrente si annulla in D1 T e resta zero fino
a T , quando riprende a salire. Dato che in CCM diodo e interruttore commutano
per Imin 6= 0, ciò porta alla presenza di spike di corrente dovuti alla commutazione;
in questo caso, invece,accensione e spegnimento di interruttore e diodo avvengono
in I = 0. Di contro, il picco di corrente IM AX è maggiore nel caso DCM rispetto al
CCM (e ciò va tenuto di conto nella fase di progetto).
Andiamo adesso ad analizzare la relazione tra D, corrente e tensione del boos nel
caso discontinuo. Si ottiene:
VIN D = (VOU T − VIN )(D1 − D)
da cui si ottiene:
D1
VOU T
=
VIN
D1 − D
da cui deriva:
1
1 VIN
D
IL = D1 IM AX = D1
2
2
Lf
e, di conseguenza:
D1 = 2
Lf IL
Lf
D1
=2
·
IOU T
VIN D
VIN D1 − D
con f la frequenza di funzionamento del convertitore. Si ottiene inoltre:
1
D1 − D
IOU T = ID = IM AX (D1 − D) =
IL
2
D
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
25
2.2 Convertitore Boost
e di conseguenza si definisce:
·IOU T
D + 2 L·f
VOU T
D·VIN
= Mv =
·IOU T
VIN
2 L·f
D·VIN
−1
che dipende interamente da D. Considerando D · VIN = VOU T ed R = VOU T IOU
T si
ottiene la formula finale:
D2 = 2
L·f
Mv (Mv − 1)
R
che esprime l’andamento di D in funzione di Mv .
Introducendo la notazione:
−1
• V̄ è la tensione normalizzata, definita dal rapporto VOU T VIN
e corrispondente
al guadagno in tensione del convertitore;
• I¯ è la corrente normalizzata, definita dalla relazione I¯ = T VLIN IOU T dove T VLIN è
pari all’incremento massimo della corrente dell’induttore durante un ciclo, cioè
l’incremento della corrente dell’induttore con un duty cycle D = 1, quindi in
regime stazionario del convertitore (ciò significa che è uguale a 0 per corrente
di uscita nulla e uguale ad 1 per la massima corrente che il convertitore può
fornire).
Usando queste notazioni avremo che:
• in modo continuo:
V̄ =
1
1−D
• in modo discontinuo:
V̄ = 1 +
VIN D2 T
D2
=1+ ¯
2LIOU T
2I
• nel punto limite tra modo continuo e discontinuo si ha che la corrente limite
tra modo continuo e discontinuo è data da:
Ilim =
26
VIN T
Ilim
D(1 − D) = ¯ D(1 − D)
2L
2I
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
2.2 Convertitore Boost
perciò il punto limite tra modo continuo e discontinuo è dato da:
1
D(1 − D) = 1
2I¯
Queste espressioni sono state tracciate in Figura 2.14. Le differenza di comportamento tra modo continuo e discontinuo può essere chiaramente osservata. Ciò è
molto importante dal punto di vista di un circuito di controllo.
Figura 2.13.: Funzionamento DCM del boost
2.2.4. Dimensionamento dei componenti
Considerando l’equazione Equazione 2.1 e che il funzionamento limite si ha quando
IM IN = 0 ci si può ricavare l’espressione dell’induttanza critica:
Lcrit =
RT
D(1 − D)2
2
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
27
2.2 Convertitore Boost
Figura 2.14.: Funzionamento DCM del boost
quindi se si vuole che il convertitore “funzioni” in CCM o DCM si dovrà scegliere
un’induttanza maggiore o minore a quella critica.
Per quanto riguarda il condensatore si consideri il ripple di tensione su di esso in
accordo a gli schemi in Figura 2.11 e considerando il funzionamento CCM (vedi
Figura 2.15).
Figura 2.15.: Ripple di tensione sul condensatore
28
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
2.2 Convertitore Boost
Si ha:
∆Vripple = − −
VOU T
RC
DT
quindi:
C=
VOU T
DT
R∆Vripple
In questo caso quinidi ∆Vripple è un parametro di progetto.
2.2.5. Considerazioni
Se in componenti fossero ideali per D → 1 la tensione VOU T → ∞ grazie alla
VIN
. In verità questa relazione in generale vale fino a
relazione statica VOU T = 1−D
DM AX = 0, 9 a causa della non idealità dei componenti (vedi Figura 2.16).
Figura 2.16.: Comportamento reale del Boost
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
29
2.3 Convertitore Cuk
2.3. Convertitore Cuk
Il convertitore Cuk appartiene alla classe di convertitori non isolati. Esso permette
di ottenere un livello di tensione più alto o più alto in uscita rispetto a quello in
ingresso. Infatti lo schema di principio come si può notare in FIGURACUK è una
combinazione tra gli schemi del Boost e del Buck.
Figura 2.17.: Buck
2.3.1. Funzionamento continuo (CCM)
Andiamo ad analizzare i circuiti equivalenti nelle fasi di ON e di OFF rappresentati
in Figura 2.18.
30
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
2.3 Convertitore Cuk
Figura 2.18.: Circuiti equivalenti nelle fasi ON/OFF del Cuk
2.3.1.1. Fase di ON: interruttore chiuso
Durante questa fase le tensioni sugli induttori L1 e L2 è pari a:
vL1 = VIN
vL2 = −VOU T − VC1
2.3.1.2. Fase di OFF: interruttore aperto
Le relazioni che si ottengono nella fase di OFF sono:
vL1 = VIN − VC1
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
31
2.3 Convertitore Cuk
vL2 = −VOU T
Figura 2.19.: Andamento della tensione sugli induttori
Come si può notare dalla Figura 2.19 per essere nel funzionamento CCM le due aree
si devono equivalere, quindi:
VIN D = (VIN − VC1 ) (1 − D)2
(VC1 − VOU T ) D = VOU T (1 − D)
32
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
2.4 Convertitore Sepic
si ottiene così la relazione tra la tensione di ingresso e di uscita caratteristica del
convertitore Cuk:
VOU T = −
D
VIN
1−D
come si può notare il convertitore Cuk risulta essere invertente.
2.3.2. Considerazioni
Il convertitore Cuk ha il vantaggio di avere ripple di corrente di ingreresso e di
usicta contenuti e presenta un naturale isolamento capacitivo contro i guasti dell’interruttore. Di contro il condensatore C1 ha un’elevata corrente di ripple e quinidi è
presente un’elevata tensione e corrente sull’interuttore .
2.4. Convertitore Sepic
Il convertitore Sepic appartiene alla classe di convertitori non isolati. Esso permette
di ottenere un livello di tensione più alto o più alto in uscita rispetto a quello in
ingresso. Rispetto al convertitore Cuk non è invertente.
Figura 2.20.: Buck
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
33
2.4 Convertitore Sepic
2.4.1. Funzionamento continuo (CCM)
Andiamo ad analizzare i circuiti equivalenti nelle fasi di ON e di OFF rappresentati in
Figura 2.21, mentre per quanto riguarda l’andamento della tensione sugli induttori
si ipotizza che sia come nella Figura 2.22
Figura 2.21.: Circuiti equivalenti nelle fasi ON/OFF del Sepic
2.4.1.1. Fase di ON: interruttore chiuso
Durante questa fase le tensioni sugli induttori L1 e L2 sono pari a:
vL1 = VIN
vL2 = VC1
34
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
2.4 Convertitore Sepic
Durante questa fase le correnti sui condensatori C1 e C2 sono pari a:
iC1 = −iL2
iC2 = −
VOU T
R
2.4.1.2. Fase di OFF: interruttore aperto
Le relazioni che si ottengono nella fase di OFF sono:
vL1 = VIN − VC1 − VOU T
vL2 = −VOU T
iC1 = −iL1
iC2 = −
VOU T
+ iL1 + iL2
R
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
35
2.4 Convertitore Sepic
Figura 2.22.: Andamento della tensione sugli induttori
Come si può notare dalle Figura 2.22 per essere nel funzionamento CCM le due aree
si devono equivalere, quindi:



VIN DT





VC DT
1
= (VIN − VC1 − VOU T ) (1 − D)
= −VOU T (1 − D)T



−i DT = iL1 (1 − D)T

 L2



− VOU T DT = i + i − VOU T (1 − D)T
R
L1
L2
R
risolvendo il sistema si ottiene la relazione tra la tensione di ingresso e di uscita
caratteristica del convertitore Sepik:
36
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
2.4 Convertitore Sepic
VOU T =
D
VIN
1−D
come si può notare il convertitore Cuk risulta essere invertente.
2.4.2. Dimensionamento componenti
Per considerare il dimensionamento delle induttanze ci si va sempre a ricavare l’induttanza critica, ovvero ci si ricava l’induttanza nel caso di funzionamento limite
quindi:
∆iL = IL1 M AX − IL1 M IN =


IL M AX
1


= IL1 +
VIN
DT
2L1
IL1 M IN = IL1 +
VIN
DT
2L1
VIN DT
L1
ponendo IL1 M IN = 0 si ricava:
L1crit =
R(1 − D)2
T
2D
allo stesso modo per L2 :
∆iL = IL2 M AX − IL2 M IN =
VC1
DT
L1
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
37
2.4 Convertitore Sepic


IL M AX
2


= IL2 +
VIN
DT
2L2
IL2 M IN = IL2 +
VIN
DT
2L2
ponendo IL2 M IN = 0 si ricava:
L2crit =
R(1 − D)
T
2
Per quanto riguarda i condensatori si consideri il ripple di tensione su di essi, in
accordo a gli schemi in Figura 2.21 e considerando il funzionamento CCM (si osservi
Figura 2.23).
Figura 2.23.: Ripple di tensione sui condensatori
38
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
2.4 Convertitore Sepic
∆VC1 ripple =
IL2
DT
C1
∆VC2 ripple =
VOU T
DT
RC2
quindi:
C1 =
C2 =
IL2
∆VC1 ripple
DT
VOU T
DT
R∆VC2 ripple
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
39
3. Convertitori isolati
Analizziamo adesso i convertitori isolati. Questi sono ottenuti ponendo un trasformatore all’interno del convertitore in modo tale da ottenere una separazione
galvanica delle cariche.
I convertitori isolati si dividono in due categorie molto differenti: convertitori simmetrici e convertitori asimmetrici. La simmetria è riferita alla posizione del punto
di lavoro magnetico del trasformatore (il piano B − H) rispetto all’origine degli assi;
sono quindi simmetrici quelli a due quadranti e asimmetrici quelli ad un quadrante.
3.1. Convertitore flyback
Il convertitore flyback è un derivato dal buck-boost ed è caratterizzato dalla presenza di un singolo interruttore (mentre, ad esempio, nei convertitori half-bridge e
push-pull sono presenti due interruttori); questo convertitore è molto usato nell’alimentazione dei personal computer in quanto adatto ad applicazioni a basso costo e
bassa potenza.
Se applichiamo il concetto di isolamento galvanico ad un convertitore buck-boost
si ottiene il risultato in Figura 3.1: il problema è che con questa configurazione è
presente una induttanza di dispersione Ld che serve a tener conto del fatto che non
tutto passa da primario a secondario; quando l’interruttore apre, l’induttanza Ld
non può (per come è stata definita) trasferire energia al secondario, provocando delle sovratensioni che vanno ad agire sulll’interruttore (che può addirittura bruciarsi).
Per sopperire a questa problematica è possibile introdurre dei diodi di ricircolo od un
apposito circuito di snubber (in Figura 3.2), considerando però che con queste confi-
41
3.2 Convertitore forward
gurazioni l’energia in eccesso viene dissipata su una resistenza e quindi il rendimento
del convertitore si abbassa (e non di poco).
Si pensa adesso di scaricare l’energia in eccesso sul primario così da rigenerarla e
mantenere comunque l’isolamento. Per fare ciò si introduce un avvolgimento di
recupero (in Figura 3.3), naturalmente con sezione minore di quella del primario e
tale che, se ben modellato, l’energia in eccesso venga re-immessa sul primario. In
questo modo sono sì presenti delle sovratensioni, però è possibile essere consapevoli
della loro entità e limitarle modellando l’avvolgimento di recupero.
Figura 3.1.: Convertitore flyback isolato
Figura 3.2.: Snubber per converitore flyback isolato
3.2. Convertitore forward
Il convertitore forward è un derivato dal buck e può essere immaginato come in
Figura 3.4. Il problema di questa configurazione è che, a causa dell’induttanza
42
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
3.2 Convertitore forward
Figura 3.3.: Convertitore flyback isolato con avvolgimento di recupero
di magnetizzazione Lm , la corrente circolante su di essa va costantemente a salire
(quando l’interruttore è chiuso, mentre è costante a interruttore aperto in quanto
VLm = 0) fino a saturare raggiungendo valori molto elevati (valori che prima della fine
fanno saltare l’interruttore). È necessario utilizzare un circuito tale che la tensione
sull’induttanza Lm sia negativa quando l’interruttore è chiuso (così da tenere limitata
la tensione iLm ); per fare ciò si può utilizzare la logica in Figura 3.5 andando ad
accoppiare l’induttanza del secondario con un terzo ramo del trasformatore così da
avere una tensione a interruttore aperto del tipo:
VLm = −
N3
Vout
N
Dato che l’andamento della tensione sull’induttanza è come quello in Figura 3.6, per
l’uguaglianza delle aree si ottiene:
N
Vout
D
=
Vin
(1 − D) N3
che ci porta alla condizione:
N3
Vin
D
>
N
Vout (1 − D)
che deve essere soddisfatta affinchè quanto detto abbia senso. Si noti inoltre il
diodo sul ramo aggiunto necessario a fare sì che l’espediente introdotto funzioni solo
quando l’interruttore è aperto (quando è chiuso perderebbe di utilità).
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
43
3.2 Convertitore forward
Figura 3.4.: Convertitore forward isolato
Figura 3.5.: Convertitore forward isolato
Figura 3.6.: Andamento della tensione su Lm in un convertitore forward isolato
44
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
4. Analisi stazionaria dei convertitori
Nell’analisi stazionaria dei convertitori è difficile capire come trattare l’interruttore
che risulta essere un dispositivo tempo variante. Vediamo come analizzare tale
componente considerato in Figura 4.1.
Figura 4.1.: Interruttore
La relazione statica dell’interruttore è data da VLD = DVSD . Per analizzare il
comportamento tempo variante dell’interruttore, si fa l’ipotesi di considerare la
variazione temporale come una perturbazione (vedi Figura 4.2).
Quindi la relazione statica diventa:
(VLD + vld ) = (D + d) (VSD + vsd )
sviluppando:
45
Analisi stazionaria dei convertitori
Figura 4.2.: Approssimazione della variazione del duty cicle come perturbazione
(VLD + vld ) = DVSD + Dvsd + dVSD + dvsd
trascurando i termini di “secondo ordine” (dvsd = 0) possiamo scomporre la tensione
in uscita all’interruttore nella parte statica (DVSD ) e nella parte alle variazioni
(Dvsd + dVSD ).
Lo stesso ragionamento viene applicato alla corrente considerando la relazione statica
IS = DIL .
(IS + is ) = (D + d) (IL + il ) = DIL + Dil + dIL + dil
trascurando il termine dil si ottiene il circuito equivalente dell’interruttore (vedi
Figura 4.3)
46
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
Analisi stazionaria dei convertitori
Figura 4.3.: Modello della cella a commutazione
Si può mettere in evidenza il comportamento stazionario (Figura 4.4) e alle variazioni (Figura 4.5) dell’interruttore.
Figura 4.4.: Modello stazionario
Figura 4.5.: Modello alle variazioni
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
47
4.1 Esempio: Buck
4.1. Esempio: Buck
Si introduce ora l’analisi stazionaria e alle variazioni del covertitore Buck.
Si ricorda che in regime stazionario l’induttore si comporta come un circuito chiuso
mentre il condensatore come un circuito aperto, quindi in accordo a quanto detto precedentemente possiamo ricavarci il modello equivalente del Buck in regime
stazionario (Figura 4.6).
Figura 4.6.: Analisi stazionaria del Buck
VOU T = DVSD = DVIN
Alle variazioni invece si ottiene il modello rappresentato in Figura 4.7.
Figura 4.7.: Analisi stazionaria del Buck
48
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
5. Raddrizzatori
In elettrotecnica ed elettronica un raddrizzatore (rectifier in inglese) è un dispositivo
che serve a raddrizzare un segnale bipolare trasformandolo in un segnale unipolare
. Il raddrizzatore, collegato ad altri componenti, è usato quindi per trasformare la
corrente alternata (AC) in corrente continua (DC). Nel fare ciò si cerca di massimizzare il rendimento e, al contempo, ottenere una uscita il più stabile possibile. Si
noti che nelle norme la tensione DC è tale per cui il suo ripple non supera il 10%
Raddizzatore a singola semionda il segnale d’ingresso, sinusoidale, viene applicato ad un diodo in serie alla resistenza di carico (Figura 5.4.a e Figura 5.5.a). Se
il catodo è rivolto verso il carico, esso consente il passaggio delle sole semionde
positive lasciando uno spazio tra semionda positiva e semionda positiva perché il
raddrizzatore a semionda non trasforma le onde negative in positive.
Notiamo che in un raddrizzatore del genere, data la tensione di ingresso:
vg = Vm sin(ωt)
si calcola la tensione di uscita raddrizzata:
VDC
1
=
T
ˆT
Vm sin(ωt)dt =
0
T
1
Vm
Vm (1 − cos(ωt))|02 =
T
π
ed il suo valore quadratico medio Vrms definito come:
2
Vrms
1
=
T
ˆT
0
Vm2 sin(ωt)2 dt =
Vm2
Vm
⇒ Vrms =
4
2
49
Raddrizzatori
Da questi valori è possibile calcolare sia la potenza in ingresso:
PAC = Vrns Irms
Vm V2m
Vm2
=
=
2 R
4R
che quella in uscita:
PDC = VDC IDC =
Vm2
π2R
ottenendo il rendimento:
η=
PAC
π2
=
PDC
4
Caso con carico R − Vx andiamo ora a vedere cosa accade se il carico è pari ad un
generatore di tensione Vx . Com’è intuitivo, fintanto che non si verifica la condizione
Vg > Vx (αin Figura 5.3) non si ha alcuna tensione sull’uscita. Si ottiene così:
α : Vx = Vm sin(α)
da cui deriva α = arcsin
VDC
IDC
1
=
2π
1
=
2π
Vx
Vm
e:
π−α
ˆ
Vm sin(ωt)dωt
α
π−α
ˆ
Vm sin(ωt) − Vx
dωt
R
α
Caso con carico induttivo R−L cosa accade se il carico invece di essere puramente
resistivo ha anche una componente induttiva? Nel caso di carico R-L, durante il
periodo in cui l’interruttore è attivo deve valere la relazione:
Vg = L ·
50
di(t)
+ R · i(t)
dt
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
Raddrizzatori
Figura 5.1.: Caso con carico R − Vx
quindi l’onda non è più regolare ma presenta un piccolo “strascico” che la fa finire
oltre il punto π (Figura 5.2). Si possono individuare tre istanti di tempo:
1. per 0 < t < α si ha Vg > VR da cui deriva il fatto che VL > 0 e, quindi,
l’induttore si carica;
2. per α < t < π si ha Vg < VR e, quindi, l’induttore si scarica;
3. per π < t < β si ha Vg < 0 ma, al contempo, l’induttore in scarica mantiene
aperto il diodo e, quindi, parte della tensione negativa passa sul carico.
Si ottiene così:
VDC
1
=
2π
π+α
ˆ
Vm
Vm
Vm sin(ωt)dωt =
(1 − cos(π + α)) 6
2π
π
0
dove l’uguaglianza si raggiunge nel caso in cui α = 0 e, di conseguenza, anche Vx = 0.
Caso con carico L − Vx analizziamo ora il caso in cui il carico sia equivalente ad
una induttanza in serie ad un generatore di tensione Vx . Deve valere:
Vg = L ·
di(t)
+ Vx
dt
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
51
Raddrizzatori
Figura 5.2.: Caso con carico R − L
da cui deriva VL = Vg − Vx dove VL è la tensione ai capi dell’induttanza. Come nel
caso precedente, il diodo è forzato a condurre fino a che l’induttore non si scarica,
però notiamo una seconda particolarità data dal generatore Vx (Figura 5.3): definito
α l’istante in cui Vg = Vx , allora si ottiene che il valore di β (precedentemente definito
nel caso di carico induttivo) è tale per cui:
β =π−α
con α = arcsin
Vx
Vm
e Vm tale che Vg = Vm sin(ωt).
Raddrizzatore a doppia semionda utilizzando un trasformatore con il secondario
dotato di una presa a metà avvolgimento (anche detto trasformatore a presa centrale)
è possibile ottenere due tensioni sfasate di 180º che possono essere singolarmente
raddrizzate per mezzo di due diodi (Figura 5.4.b e Figura 5.5.b): si noti che la
52
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
Raddrizzatori
Figura 5.3.: Caso con carico L − Vx
tensione totale del secondario deve essere doppia rispetto a quella necessaria per il
raddrizzamento ad una semionda.
Raddrizzatore a ponte adottando quattro diodi disposti in configurazione a ponte
di Graetz (dal nome del suo inventore, il fisico tedesco Leo Graetz, Figura 5.6),
è possibile ottenere un segnale che è la somma di una semionda positiva più la
semionda negativa capovolta (doppia semionda). Questa soluzione, molto usata
negli alimentatori, rende molto più semplice il successivo filtraggio e livellamento
della tensione fino ad ottenere una corrente continua, non richiedendo peraltro un
trasformatore con doppio avvolgimento a presa centrale. Principale svantaggio di
questo metodo è di avere una caduta di tensione pari a quella di due diodi in serie,
quindi anche di oltre 2V : nel raddrizzare tensioni molto piccole si ha quindi una
perdita e una distorsione eccessive.
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
53
Raddrizzatori
Figura 5.4.: Raddrizzatore a singola (a) ed a doppia (b) semionda
Analizziamo i valori di:
VDC
1
=
π
ˆπ
Vm sin(ωt)dωt =
0
2Vm
π
e di:
2
Vrms
1
=
π
ˆπ
0
Vm2 sin(ωt)2 dωt =
Vm2
Vm
⇒ Vrms = √
2
2
Una configurazione simile costituita da sei diodi permette di raddrizzare una tensione
trifase impiegando tutte e tre le fasi (anche più di tre in un sistema polifase, usando
un numero opportuno di diodi).
54
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
Raddrizzatori
Figura 5.5.: Uscita di un raddrizzatore a singola (a) ed a doppia (b) semionda
Raddrizzatore a ponte con generatore reale e carico ID analizziamo adesso il
caso in cui il raddrizzatore abbia un carico ID ed il generatore utilizzato sia modellato
come reale (quindi con una induttanza parassita L in serie). Consideriamo il circuito
semplificato relativo al primo diodo (D1 , Figura 5.7) in cui il diodo D2 è detto “diodo
di free-wheeling” in quanto consente ad ID di circolare anche quando l’interruttore
D1 è in stato di OF F . Consideriamo i vari casi:
• per t < 0 il diodo D1 è in OF F mentre D2 richiude il generatore su sè stesso;
• per 0 < t < u il diodo D1 è in ON e VL inizia a caricarsi fino ad un valore
massimo dipendente da ID1 ;
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
55
Raddrizzatori
Figura 5.6.: Raddrizzatore a ponte
• per u < t < π il diodo D1 è in ON mentre D2 è in OF F : la tensione Vout = Vg
ed Iout = ID . La corrente del circuito satura ad iL .
Si osservi Figura 5.8 per analizzare gli andamenti di tensioni e correnti nel circuito.
Come si può notare, l’induttanza porta un ritardo sulla chiusura di D1 che, a sua
volta, porta ad avere un valore medio in uscita minore del caso ideale. Con un po’
di calcoli si ottengono le relazioni:
u = arccos 1 −
ωLID
Vm
e:
VDC
1
=
2π
ˆπ
Vm sin(ωt)dωt =
0
Vm ωLID
−
π
2π
Raddrizzatore di precisione qualora il segnale da raddrizzare abbia una tensione
molto bassa, la tensione di caduta del diodo non è trascurabile. Poiché la conduzione
inizia solamente dopo il superamento del valore di soglia, segnali inferiori vengono
del tutto soppressi. Anche oltre la soglia, la caduta di tensione è sottratta al segnale.
Per ovviare a questo inconveniente, negli strumenti di misura e altri dispositivi dove
sia richiesta una rettificazione precisa del segnale, si usano diodi inseriti nel circui-
56
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
Raddrizzatori
Figura 5.7.: Raddrizzatore con generatore reale e carico ID
to di retroazione di un amplificatore operazionale (Figura 5.9). In questo circuito
l’amplificatore lavora come inseguitore, portando il valore di Vo allo stesso valore di
Vi. Perché questa condizione si verifichi occorre che:
Vi >
Vd
G
dove Vd è la caduta di tensione sul diodo e G è il guadagno dell’amplificatore operazionale. Poiché solitamente G è nell’ordine delle centinaia di migliaia, la tensione
di soglia è ridotta di un equivalente fattore rispetto alla tensione di caduta e quindi
l’errore è dato principalmente dagli errori dell’amplificatore operazionale, in particolare causato da sbilanciamento della tensione d’ingresso, dalla velocità e dalla
corrente d’ingresso del piedino invertente.
Raddrizzatore trifase gli schemi proposti precedentemente sono relativi a sistemi
monofase; per sistemi trifase, bisogna utilizzare un’altra tipologia di raddrizzatore
il cui schema è mostrato in Figura 5.10.
Il principio di funzionamento del raddrizzatore trifase è lo stesso di quello monofase;
ciascun diodo conduce quando la tensione tra l’anodo e il catodo è maggiore di zero
(nei diodi reali la tensione deve essere maggiore di 0.7V ) e risulta interdetto nel caso
contrario.
In Figura 5.11 e Figura 5.12 viene mostrato in dettaglio lo stato di ciascun diodo
in funzione delle tre tensioni di ingressoe l’andamento della tensione in uscita (tra
i punti P-N) in assenza del condensatore (che normalmente viene inserito in uscita
per livellare la tensione e il cui dimensionamento verrà trattato in seguito).
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
57
Raddrizzatori
Figura 5.8.: Uscita e andamenti di tensione e corrente in un raddrizzatore con
carico ID
Il valore medio della tensione in uscita al raddrizzatore trifase può essere calcolato
mediante la relazione:
√
2
Add
Vd = √ = √ Vpp ≈ 1.35Vpp
3
3
Dimensionamento del condensatore come si è visto precedentemente, la tensione
in uscita ad un raddrizzatore presenta delle ondulazioni che devono essere necessariamente ridotte a valori accettabili mediante l’utilizzo di un condensatore collegato
58
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
Raddrizzatori
Figura 5.9.: Raddrizzatore di precisione
Figura 5.10.: Raddrizzatore trifase
in parallelo al carico.
Nell’intervallo t0 − t1 il diodo è polarizzato direttamente, il condensatore si carica
con una costante di tempo molto bassa (τc = Rf C, dove Rf è la resistenza interna
del diodo in conduzione). All’istante t1 il catodo del diodo si trova alla tensione Vp
(tensione di picco) che è la tensione a cui si è caricato il condensatore; il diodo si
polarizza inversamente e il condensatore inizia a scaricarsi con costante di tempo
che dipende dal carico e dalla capacità (un esempio in Figura 5.13).
Si dimostra facilmente che nel caso di raddrizzatore a singola semionda, la tensione
Vrpp è data dalla relazione:
Vrpp =
VDC
f · RC
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
59
Raddrizzatori
Figura 5.11.: Stato dei diodi e uscita di un raddrizzatore trifase
Figura 5.12.: Uscita di un raddrizzatore trifase
mentre nel caso di raddrizzatore trifase si dimensiona il condensatore considerando:
C=
T
I
·
4 ∆V
che lega la capacità stessa al periodo del segnale da raddrizzare (T ), al ripple di
tensione massimo (∆V ) che si vuole ottenere ed alla corrente (I).
I condensatori che si trovano in commercio hanno in genere un limite di tensione di
450V . Ciò rappresenta un grosso limite nel caso in cui il condensatore deve essere collegato a valle di un raddrizzatore trifase. In questo caso, infatti, il valore di
60
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
Raddrizzatori
Figura 5.13.: Esempio di condensatore di carico
tensione in uscita dal raddrizzatore è di circa 513V e il problema può essere facilmente risolto utilizzando una configurazione come quella mostrata in Figura 5.14:
collegando due condensatori in serie, la tensione tra i punti P-N si ripartisce in due
parti uguali; nello stesso tempo, però, anche la capacità totale dei due condensatori
si dimezza. Per riottenere nuovamente la capacità totale richiesta è sufficiente collegare in parallelo ai due condensatori un’altra coppia di condensatori. In definitiva
si ottiene una serie di due paralleli.
Figura 5.14.: Possibile alternativa al condensatore unico
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
61
Raddrizzatori
Note e parametri un ponte raddrizzatore può essere realizzato collegando opportunamente diodi semplici, ma esiste in commercio una grande varietà di dispositivi
integrati pronti all’uso. La soluzione a diodi singoli è particolarmente indicata per
correnti elevate, poiché facilita lo smaltimento del calore. Il raddrizzatore può ricevere la corrente alternata da un trasformatore riduttore o direttamente dalla rete
elettrica. Il segnale pulsante in uscita da un raddrizzatore può essere considerato come la sovrapposizione di una componente alternata e una componente continua che
ne trasla il valore medio. Per questo, per livellare la corrente continua prodotta, si
pone all’uscita del raddrizzatore un circuito RC passa-basso in modo da sopprimere
la componente alternata. Spesso la resistenza non è aggiunta, ma costituita dalle
resistenze interne dei conduttori, dei diodi e del condensatore. Per avere un’idea di
massima della tensione livellata si usa la formula:
√
V0 = Vef f 2
dove Vef f è la tensione efficace in entrata al raddrizzatore. Sia nel caso di raddrizzatori ad una semionda che a due semionde, i parametri da considerare per la scelta
del dispositivo sono:
• tensione massima nominale: ciascun diodo deve sopportare senza guastarsi una
tensione inversa pari alla tensione di picco. Comunemente sono usati diodi con
tensioni di breakdown di oltre 1 kV.
• corrente massima nominale: questo parametro è funzione della potenza del dispositivo usato. Si tratta della corrente sopportata con continuità supponendo
che il dispositivo sia correttamente raffreddato. Sono possibili momentanee
sovracorrenti, per esempio all’accensione durante la carica dei condensatori.
Note sul rendimento energetico Ciascun diodo, quando è attraversato da corrente, presenta una caduta di potenziale ai suoi capi relativamente costante. Per i
diodi al silicio questo valore è intorno ad 0.7 ÷ 1V . La potenza dissipata da ciascun
diodo è data dalla tensione presente ai suoi capi per la corrente che lo attraversa.
Poiché in un ponte raddrizzatore, durante ogni semionda, conducono due diodi, la
potenza totale è pari al doppio di quella dissipata da un singolo diodo. Ad esempio,
62
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
Raddrizzatori
supponendo una caduta di 1V , con una corrente efficace di 10A, ciascun diodo dissipa 10W . Poiché due diodi conducono in ogni istante, la potenza totale continua
dissipata è di 20W , che vanno sottratti alla potenza in entrata per ottenere il valore
di potenza erogata in uscita. È intuitivo il fatto che i dispositivi di questo tipo debbano essere raffreddati (a meno che le correnti non siano limitate a pochi ampere),
generalmente per mezzo di alette metalliche ed eventualmente ventilatori. Nei più
grandi apparati di raddrizzamento il raffreddamento è spesso svolto da un circuito
idraulico.
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
63
6. Azionamenti elettrici
Quando si parla di azionamenti elettrici si tende a suddividere l’argomento in trasformatori e motori elettrici. Per quanto riguarda motori elettrici si deve inoltre
distinguere tra funzionamento asincrono e sincrono: nel primo caso i campi elettrici
caratterizzanti rotore e statore ruotano in modo asincrono caratterizzato da un certo
sfasamento (s), nel secondo in modo sincrono.
6.1. Cenni sui trasformatori
Il trasformatore è una macchina elettrica statica (in quanto non contiene parti in
movimento) e reversibile, che serve per variare i parametri della potenza elettrica
apparente (tensione e corrente) in ingresso rispetto a quelli in uscita (mantenendola
al contempocostante). Il rendimento di un trasformatore è molto alto e le perdite
sono molto basse (nel ferro, per effetto dell’isteresi e delle correnti parassite, e nel
rame, per effetto Joule). Il trasformatore è una macchina in grado di operare solo in corrente alternata sfruttando i principi dell’elettromagnetismo legati ai flussi
variabili.
Il trasformatore viene ampiamente usato nelle reti di trasporto dell’energia elettrica
che collegano le centrali elettriche alle utenze (industriali e domestiche) ed è stato
uno dei motivi principali della vittoria della corrente alternata di Tesla nella famosa
“guerra delle correnti” contro Edison.
Le enormi quantità di energia elettrica richieste dalla società moderna fanno sì che
questa debba essere prodotta in grandi quantità presso le centrali elettriche. Un
parametro utile per determinare la dimensione e la quantità di energia prodotta da
una centrale è la potenza, la quale può variare dalle decine di kW (per piccole centrali
65
6.1 Cenni sui trasformatori
idroelettriche o solari) alle centinaia di M W delle grandi centrali termoelettriche e
nucleari. Questa energia deve essere trasportata anche per centinaia di km. La
potenza elettrica è legata in maniera diretta ai parametri di tensione e corrente,
secondo la formula:
P = V I cos φ
dove cos φ (detto fattore di potenza) è il correttivo dovuto allo sfasamento. Ciò
significa che a parità di potenza aumentando la tensione V diminuisce la corrente
I (e si deve mantenere più vicino possibile al valore unitario). Ciò è molto importante in quanto la corrente I genera al suo passaggio nei conduttori elettrici calore
(per effetto Joule): più la corrente è alta e più calore si genera. Per ovviare a questo inconveniente bisogna aumentare la sezione dei conduttori, ma esiste un limite
economico e tecnologico nel dimensionamento delle linee elettriche (legato anche al
fenomeno della caduta di tensione delle linee stesse); al fine quindi di abbassare la
corrente I si effettua una trasformazione aumentando la tensione V (a parità di
potenza P ). Diminuendo le distanze da percorrere e la potenza da trasportare viene
anche meno l’esigenza di avere tensioni alte, se a questo si associa anche l’esigenza di
avere per l’uso domestico e industriale un livello di tensione compatibile con le esigenze di sicurezza: ne segue che dalla produzione alla distribuzione sono necessarie
un numero adeguato di trasformazioni verso tensioni via via più basse.
La macchina elettrica che si occupa di effettuare tali trasformazioni è appunto il
trasformatore. A titolo di esempio, si riporta un elenco delle tensioni tipiche di
esercizio degli impianti elettrici:
• 230 V: tensione per usi domestici;
• 400 V: tensione per uso industriale;
• 8.4/20 kV (8.400 ÷ 20.000 V): tensione di esercizio delle reti elettriche di
distribuzione secondaria (fino ad alcune decine di km);
• 132/150/230/400 kV: tensione di esercizio delle linee elettriche di distribuzione
primaria (fino a centinaia di km).
66
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
6.1 Cenni sui trasformatori
Il trasformatore più semplice è costituito da due conduttori elettrici (solenoidi) avvolti su un anello di materiale ferromagnetico detto nucleo magnetico. L’avvolgimento
al quale viene fornita energia viene detto primario, mentre quello dalla quale l’energia è prelevata è detto secondario. I trasformatori sono macchine reversibili, per
cui questa classificazione non corrisponde ad un avvolgimento fisico unico. Quando
sul primario viene applicata una tensione elettrica alternata sinusoidale, per effetto
dell’induzione magnetica si crea nel nucleo un flusso magnetico con andamento sinusoidale. Per la legge di Faraday-Neumann-Lenz, questo flusso variabile induce nel
secondario una tensione sinusoidale. La tensione prodotta nel secondario è proporzionale al rapporto tra il numero di spire del primario (NP ) e quelle del secondario
(NS ) secondo la relazione:
NP
VP
=
=k
VS
NS
Definito il valore efficace E di una tensione sinusoidale di ampiezza massima EM
come:
EM
E= √
2
da cui deriva che, trascurando le perdite, la relazione tra tensione, numero di spire,
intensità di flusso e sezione del nucleo è data dalla relazione:
ω
2π
E = √ N SB = √ f N SB = 4.44 f N SB
2
2
dove E è il valore efficace (RMS) della tensione indotta, f è la frequenza in Hertz,
N è il numero di spire dell’avvolgimento al quale si fa riferimento, S è la sezione del
nucleo (in m2 ) e B è il valore dell’induzione in Tesla.
Per trasformatore ideale si assume la convenzione degli utilizzatori dal lato primario
e quella dei generatori dal lato secondario. Questo è governato dalle equazioni
simboliche:


V1
= kV2

I1
=
I2
k
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
67
6.1 Cenni sui trasformatori
dove k è il "rapporto di trasformazione". Un trasformatore reale approssima quello
ideale quando: la riluttanza del nucleo è nulla (quindi la permeabilità magnetica del
nucleo è infinita); le perdite nel nucleo sono nulle (quindi sono nulle le perdite nel
ferro per correnti parassite ed isteresi magnetica); gli avvolgimenti hanno accoppiamento perfetto (quindi non vi sono flussi dispersi); le resistenze degli avvolgimenti
sono nulle (senza perdite per effetto Joule).
6.1.1. Circuito reale
Analizziamo adesso il circuito reale del trasformatore: dovremo considerare delle
perdite per effetto Joule negli avvolgimenti (rispettivamente R1 ed R2 ) e delle perdite di flusso (rappresentabili attraverso due induttanze L1 ed L2 ); oltre a queste
saranno presenti delle perdite nel ferro (“eddy current”) rispettivamente per effetto
Joule (rappresentabili come Rm ) e per isteresi (rappresentabili come Lm ). Si noti in
Figura 6.1 lo schema equivalente del trasformatore reale.
Figura 6.1.: Schema equivalente del trasformatore reale
Notiamo adesso come è possibile trasportare le grandezze del primario sul secondario
e viceversa. Ignorando il parallelo formato da Lm ed Rm , è possibile considerare
Z1 = R1 + L1 e Z2 = R2 + L2 tali che:
V2
= Z2 =
I2
N2
V1
N
1 N1
I
N2 1
N2
=
N1
da cui deriva, definendo n =
N2
N1
2
V1
N2
=
I1
N1
2
Z1
, la relazione:
Z2 = n2 Z1
68
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
6.2 Motore asincrono
che caratterizza la relazione tra componenti presenti sul primario e loro riflesso sul
secondario.
6.2. Motore asincrono
Il motore asincrono è un tipo di motore elettrico in corrente alternata in cui la frequenza di rotazione non è uguale o un sottomultiplo della frequenza di rete, ovvero
non è "sincrono" con essa; per questo si distingue dai motori sincroni. Sono costituiti
da uno statore su cui sono avvolti i solenoidi che costituiscono le espansioni polari.
In un motore trifase le espansioni sono in numero multiplo di tre. All’interno dello
statore si trova un rotore solidale all’albero costituito da un pacco di lamierini magneticial silicio in cui è incluso (in genere in alluminio pressofuso ) un circuito detto
a gabbia di scoiattolo, poiché è costituito da una serie di barre disposte a formare un
cilindro tra due anelli. È anche detto motore con rotore in cortocircuito. Quando lo
statore genera un campo magnetico rotante, nella gabbia si inducono forze elettromotrici elettriche per la legge di Faraday-Neumann-Lenz, e tali forze elettromotrici
sostengono correnti. La mutua interazione attraverso i relativi campi magnetici tra
le correnti di rotore e quelle di statore produce una coppia risultante netta.
Esiste una velocità n alla quale il motore non produce coppia, detta velocità di
sincronismo. Essa non viene usualmente superata ed è legata alla frequenza f di
alimentazione ed al numero di coppie polari p dalla relazione:
n = 60 ·
f
p
Per esempio, un motore con tre coppie polari (6 poli totali), alimentato a 50 Hz ha
una velocità angolare teorica di 1000 giri al minuto.
La velocità reale è sempre minore di circa il 3 ÷ 6%: è il fenomeno dello scorrimento
che consente la produzione della coppia. Dalla formula dello scorrimento è possibile
esprimere la velocità di rotazione effettiva del rotore (nr ):
s=
ns − nr
ns
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
69
6.2 Motore asincrono
dove s è lo scorrimento, a significare che il rotore scorre, cioè perde giri rispetto allo
statore, ns è la velocità in numero di giri al minuto del campo magnetico di statore
ed nr è la velovità del rotore. Ovviamente la presenza di un carico può ridurre
ulteriormente la velocità.
Se s fosse uguale a 0 vorrebbe dire che il rotore sarebbe in perfetto sincronismo, cioè
avrebbe la stessa velocità del campo magnetico rotante ns . Infatti se fosse nr = ns
allora risulterebbe ns − nr = 0. Se, invece, lo scorrimento s fosse uguale ad 1, il
rotore è fermo. Infatti, rotore fermo implica nr = 0. Quindi lo scorrimento è uguale
ad 1 quando il rotore è fermo, ovvero alla partenza.
Il rendimento η del motore asincrono trifase lo possiamo calcolare con la solita
formula:
η=
Pr
Pa
dove Pr e Pa sono rispettivamente la potenza meccanica utilizzata sul rotore e la
potenza elettrica assorbita sullo statore. La potenza sullo statore è di tipo elettrico,
quindi la si può misurare con dei wattmetri. Essendo la potenza sul rotore di tipo
meccanico la possiamo trasformare in potenza di tipo elettrico se si calcolano le
perdite, cioè la potenza perduta Pp .
Le perdite si potenza sono dovute sia al riscaldamento degli avvolgimenti di statore
e di rotore, per effetto Joule, sia alle perdite nel ferro dovute ai flussi magnetici
dispersi nello statore e nel rotore, e sia alle perdite dovute agli attriti meccanici e
alle ventole di raffreddamento. Se indichiamo con Pp la somma di tutte le perdite,
allora la potenza resa sul rotore sarà data dalla relazione:
Pr = Pa − Pp
Di conseguenza:
η=
70
P a − Pp
Pa
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
6.2 Motore asincrono
Il rendimento è basso per i piccoli motori, intorno al 77%, mentre è elevato per i
grandi motori (raggiunge il 97%).
Questi motori sono largamente utilizzati nell’industria a causa della elevatissima
affidabilità dovuta all’assenza di spazzole. Gli avvolgimenti statorici sono in genere
inglobati in resine che garantiscono un’ottima protezione dall’acqua e dagli agenti
atmosferici. Questi motori sono frequentemente alimentati per mezzo di inverter
elettronici che possono variarne la velocità variando in modo coordinato la frequenza
e la tensione di alimentazione. L’uso di inverter permette di azionare il motore anche
a partire da una corrente continua, come avviene nella trazione ferroviaria.
Gli avvolgimenti statorici trifase possono essere collegati a stella oppure a triangolo,
permettendo di alimentare lo stesso motore con tensioni trifase di 400V e 230V . In
alcuni grossi motori si preferisce avviare a stella e poi commutare a triangolo, al fine
di limitare le correnti di spunto, quando non sono utilizzati gli inverter.
Per quanto riguarda la struttura dei circuiti indotti, il tipo modello di rotore più
semplice e robusto si realizza infilando nei canali altrettante sbarre di rame, ciascuna
delle quali riempie completamente un canale. Le testate delle sbarre che sporgono
dal pacco lamellare vengono direttamente collegate fra loro, da una parte e dall’altra,
mediante un grosso anello di rame. Il rotore così costruito prende la forma e viene
indicato coi nomi di rotore a gabbia di scoiattolo (Figura 6.2) o rotore in corto
circuito.. Questi motori sono largamente utilizzati nell’industria in quanto affidabili
ed economici.
La caratteristica meccanica rappresenta l’andamento della coppia motrice C in funzione della velocità di rotazione del rotore nr . La caratteristica meccanica si può
anche rappresentare in funzione dello scorrimento s (Figura 6.3). Ricordiamo che
scorrimento s = 1 significa motore fermo, s = 0 invece che la velocità è la massima.
Per ulteriori informazioni circa lo studio e la caratterizzazione di una macchina
asincrona si fa riferimento al capitolo contenente l’esperienza relativa al corso in
questione.
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
71
6.3 Motore sincrono
Figura 6.2.: Motore a gabbia di scoiattolo in sezione
6.2.1. Motore asincrono monofase
Per le piccole potenze si costruiscono dei motori asincroni monofasi, cioè quelli che
utilizzano la comune tensione presente nelle abitazioni civili tra fase e neutro a 220V
e frequenza di 50Hz.
Un motore asincrono monofase è composto da due avvolgimenti: il primo avvolgimento, principale, è quello che funziona a regime e non è in grado di generare un
campo magnetico rotante tale da far partire il motore; di conseguenza occorre un
secondo avvolgimento detto di avviamento che ha lo scopo di far partire il motore
sotto carico. L’avvolgimento di avviamento ha in serie un condensatore, il quale ha
la funzione di sfasare di 90° la corrente dell’avvolgimento di avviamento rispetto a
quella dell’avvolgimento principale. In tal modo si genera un campo magnetico rotante in grado di far partire il motore. Una volta partito il motore, l’avvolgimento di
avviamento può essere staccato mediante un interruttore che commuta non appena
sia raggiunta la velocità di regime (a causa della forza centrifuga).
6.3. Motore sincrono
Il motore sincrono è un tipo di motore elettrico in corrente alternata in cui il periodo di rotazione è sincronizzato con la frequenza della tensione di alimentazione,
solitamente trifase.
72
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
6.3 Motore sincrono
Figura 6.3.: Andamento di coppia e scorrimento rispettivamente per: A) Motore
monofase B) Motore polifase a singola gabbia di scoiattolo C) Motore polifase a
singola gabbia di scoiattolo a barre profonde D) Motore polifase a doppia gabbia
di scoiattolo
È costituito da un rotore (parte rotante solidale all’albero) su cui sono presenti diversi poli magnetici di polarità alterna creati da magneti permanenti o elettromagneti
alimentati in corrente continua, e da uno statore su cui sono presenti gli avvolgimenti del circuito di alimentazione. Le espansioni polari dello statore creano un
campo magnetico rotante che trascina le espansioni polari del rotore. La frequenza
di rotazione è in relazione con la frequenza di alimentazione in funzione del numero
di terne di espansioni polari presenti nel motore.
L’avviamento di questo tipo di motore è relativamente complesso. A motore fermo,
l’applicazione della tensione alternata fa si che il rotore, per effetto dell’inerzia non
abbia il tempo di seguire il campo magnetico rotante, rimanendo fermo. Il motore
viene quindi inizialmente portato alla velocità di rotazione per mezzo di un motore
asincrono, quindi, dopo avere scollegato quest’ultimo, viene collegata la tensione
di alimentazione ed inserito il carico meccanico utilizzatore. Un’altra tecnica di
avviamento sfrutta la possibilità di fare funzionare temporaneamente come asincroni
motori appositamente realizzati, quindi passare al modo sincrono. Se una volta
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
73
6.3 Motore sincrono
a regime la rotazione viene frenata o accellerata oltre un certo limite, si innesca
una serie di oscillazioni che portano il motore al blocco e possono provocare forti
sovracorrenti tali da danneggiare il motore. Per questo motivo devono essere previsto
un interruttore magnetotermico di protezione.
A causa della limitata praticità del motore sincrono, il suo uso con alimentazione
diretta dalla rete è limitato a campi di applicazione ove sia richiesta una velocità
di rotazione particolarmente precisa e stabile. È invece molto usato per azionare
carichi a velocità variabile ove alimentato da convertitore statico.
Esistono anche piccoli motori sincroni ad avvio automatico ed alimentazione monofase utilizzati in meccanismi temporizzatori quali i timer delle lavatrici domestiche
e un tempo in alcuni orologi, sfruttando la buona precisione della frequenza della
rete elettrica. In alcuni casi viene anche utilizzato come sistema di rifasamento, se
provvisto di avvolgimenti rotorici.
Particolarità se un motore sincrono è provvisto di avvolgimenti rotorici, al variare
della corrente di eccitazione che circola sul rotore, la rete elettrica di alimentazione
può vedere un carico di tipo resistivo (ohmico), induttivo o capacitivo:
1. se il motore è sottoeccitato, viene visto come ohmico-induttivo;
2. se il motore è eccitato adeguatamente, viene visto come carico puramente
resistivo: in questa condizione, che è quella di normale funzionamento, si ha il
minimo assorbimento di corrente ed il massimo rendimento;
3. se il motore è sovraeccitato, viene visto come ohmico-capacitivo.
Il motore si presenta tanto più con caratteristica ohmica tanto maggiore è la coppia
resistente del carico che gli viene applicato all’albero. Se non si applica nessun
carico e si alimenta il motore per ottenere la caratteristica ohmico-capacitiva, si
otterrà un compensatore rotante o più propriamente un condensatore rotante, poiché
la caratteristica ohmica sarà ridotta al minimo. Questo è utilizzato come sistema
di rifasamento soprattutto nelle centrali di trasformazione dell’energia elettrica. La
quantità di energia reattiva che può fornire il compensatore rotante è tanto maggiore
quanto maggiore è la sovraeccitazione della macchina. Il compensatore sincrono, o
74
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
6.3 Motore sincrono
rifasatore rotante, è oggi perlopiù sostituito da gruppi di rifasamento composti da
condensatori statici.
La pulsazione di sincronismo, che è la velocità del campo magnetico rotorico e
statorico, è in relazione alle coppie di poli p:
ω
ωs = p 2
mentre il circuito equivalente è illustrato in Figura 6.4 dove Er = kBr è la tensione
indotta sul rotore (proporzionale al campo Br ) mentre Es = kBs = jXs Ia è la tensione indotta sul rotore (proporzionale al campo Bs e, di conseguenza, alla corrente
di armatura Ia ). Il campo totale è dato da:
Btot = Bs + Br
da cui deriva la coppia sviluppata definita come:
Cdev = kBs Btot sin δ
dove δ è l’angolo di sfasamento tra Br e Btot (Figura 6.5).
Figura 6.4.: Schema equivalente di un motore sincrono
Figura 6.5.: Campi magnetici in un motore sincrono
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
75
Parte II.
Affidabilità e analisi dei rischi
77
7. Definizioni e concetti di base
Conformità (conformity) si tratta di “verificare la rispondenza delle caratteristiche del prodotto alle specifiche”. Si effettua tramite l’analisi di capacità di processo, tecniche statistiche usate per conoscere la percentuale di produzione che sarà
conforme.
Affidabilità (reliability) è la conformità nel tempo, ovvero la probabilità che un
componente mantenga inalterate le prestazioni in un istante o per un determinato
intervallo di tempo fissate le condizioni di impiego.
Manutenibilità (maintainability) è la probabilità di un dispositivo ad essere riportato (o mantenuto) in una condizione in cui può svolgere la funzione richiesta.
Disponibilità (availability) è la probabilità che il dispositivo mantenga inalterate
le prestazioni nel tempo (o in un determinato intervallo) fissate le condizioni di
impiego e supponendo che siano assicurati i mezzi esterni eventualmente necessari
7.1. Affidabilità
La funzione di affidabilità:
R(t) = e−λt
è interamente caratterizzata dal tasso di guasto λ = [ore]−1 . Solitamente il tasso di
guasto dei singoli componenti è contenuto in determinate banche dati o attraverso
79
7.1 Affidabilità
specifiche prove di laboratorio. Sotto alcune ipotesi di indipendenza, il tasso di
guasto del sistema è pari alla somma dei tassi di guasto dei componenti.
È da notare una distinzione tra ambito meccanico ed ambito elettronico: nel primo
caso la formula R(t) = e−λt perde di validità e si hanno pochissime banche dati
(si usano molto spesso le sole prove di laboratorio); nel secondo caso, invece, un
componente può essere usato su un gran numero di dispositivi diversi e si hanno
quindi molti ritorni dal campo per generare banche dati consistenti.
Componenti forti e componenti deboli all’uscita dal processo di produzione i
componenti sono funzionanti (poichè conformi); entro poche ore i “componenti deboli” si guastano. Per non mettere in commercio tali componenti si possano fare
delle prove di setacciatura (screening tests) per “uccidere” i componenti deboli subito dopo il processo produttivo: ne è un esempio il “burn-in”, tecnica che attraverso
le alte temperature porta al guasto i componenti deboli.
Prove di affidabilità ad esaurimento un metodo per calcolare l’affidabilità di
un componente è quello di ricorrere a prove “ad esaurimento”: seguendo quanto
raffigurato in figura Figura 7.1, in ogni sequenza caratterizzata da un intervallo ∆ti
viene prelevato un certo numero di componenti ni0 che sarà composto da elementi
sani ed elementi guasti:
ni0 = ns (t) + ng (t)
Figura 7.1.: Prove di affidabilità ad esaurimento
Notiamo che essendo nell’ipotesi di conformità si hanno le condizioni iniziali ng (0) =
0, n0 = ns (0); si osservano più fasi (per ogni intervallo ∆ti ):
80
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
7.2 Disponibilità
1. assestamento preliminare: inizialmente si tengono tutti i componenti alla Tamb
affinchè partano tutti dalle stesse condizioni iniziali;
2. trattamento: la temperatura viene aumentata e mantenuta (prima di diminuire nuovamente) in un ambiente controllato e con specifiche maschere per un
intervallo ∆ti ;
3. ri-assestamento: si riportano i campioni alle condizioni inziali di riferimento.
A questo punto il procedimento viene ripetuto finchè tutti i pezzi non si sono
guastati, quindi n0 (tf ) = ng (tf ) e ns (tf ) = 0.
Curva a vasca Si descrive la curva a vasca in Figura 7.2:
• ZONA 1: è la zona di mortalità infantile, causata da guasti per deficienza
intrinseca. Non viene riscontrata nel processo di produzione e si tenta di
eliminarla con tecniche di screening; ha una durata che solitamente varia tra
le 100 e le 1000 ore ed è una zona che ricade nel periodo di garanzia;
• ZONA 2: è la zona di vita utile, nel caso elettronico lunga solitamente centinaia
di migliaia di ore. È caratterizzata dai guasti casuali (ad esempio spark di
corrente) e si suppone λ(t) costante;
• ZONA 3: è la zona di usura, in cui si hanno guasti per invecchiamento. Nel caso
elettronico è non interessanti poichè dopo alcuni anni l’elettronica si considera
superata e quindi perde di valore.
Ricordiamo che nel caso meccanico la ZONA 2 è molto più stretta e, quindi, si
ricorre molto più frequentemente ad azioni di manutenzione.
7.2. Disponibilità
Per definire la disponibilità si definiscono tre parametri statistici:
1. MTTF = Mean Time To Failure (il componente è non riparabile);
2. MTBF = Mean Time Between Failure (il componente è riparabile);
3. MTTR = Mean Time To Restore (il componente è riparabile).
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
81
7.2 Disponibilità
Figura 7.2.: Esempio di curva a vasca
È da notare la differenza tra “riparare” (che indica la sostituzione del componente
in seguito ad una rottura) e “restore” (che indica il riprisstino delle funzionalità di
tutto il sistema, comprensivo di diagnosi del guasto, sostituzione del componente
rotto e collaudo del sistema).
La disponibilità asintotica del sistema si calcola come:
A0 =
M T BF
M T BF + M T T R
La funzione di disponibilità è invece definita come in Figura 7.3.
Figura 7.3.: Funzione di disponibilità A(t)
Parametri stocastici di affidabilità e disponibilità se un componente non è riparabile, è possibile definire il tempo medio al guasto come valore atteso del tempo al
82
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
7.2 Disponibilità
guasto:
ˆ+∞
ˆ+∞
1
M T T F = E[tg ] =
t F (t)dt =
R(t)dt = nel caso in cui si è in ZONA 2 =
λ
0
0
La situazione cambia drasticamente nel caso di un sistema, in cui il tempo di guasto
dipende da quello dei sotto-sistemi e dai componenti. Per calcolare il tempo di guasto
di un sistema è necessario sapere se questo è in configurazione serie o parallelo:
• configurazione serie: il sistema è funzionante solo se tutti i suoi N-blocchi sono
funzionanti. Di conseguenza:
Rsistema (t) = p(e1 )p(e2 |e1 ) · ... · p(eN )p(eN |e1 , e2 , ... , eN −1 )
dove p(ei ) e p(ei |ei−1 ) rappresentano rispettivamente la probabilità di guasto
di ei e quella di ei supposti sani i precedenti componenti. Se supponiamo i
guasti indipendenti:
Rsistema (t) =
N
Y
Ri (t) =
i=1
da cui deriva che λsistema =
N
Y
e−λi t = e−(λ1 + ... +λN )t = e−λsistema t
i=1
PN
i=1
λi e vale la relazione:
Rsistema < min{Ri }
quindi l’affidabilità del sistema è minore del minor valore di affidabilità dei
singoli componenti;
• configurazione parallelo: in questo caso il sistema funziona se almeno un blocco
è funzionante. Si calcola la funzione di inaffidabilità (s̄):
p(s̄) = p(ē1 )p(ē2 |ē1 ) · ... · p(ēN )p(ēN |ē1 , ... , ēN −1 ) =
N
Y
i=1
fi =
N Y
1 − e λi t
i=1
da cui deriva che Rsistema = 1 − Fsistema > max{Ri } e, quindi, l’affidabilità del
sistema è maggiore di quella del componente ad affidabilità massima;
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
83
7.2 Disponibilità
• configurazione a ponte: sono particolari configurazioni in cui non è sufficiente
un’analisi serie o parallelo. In questi casi si ricorre ad altri metodi di analisi
(Figura 7.4):
– metodo dello spazio degli eventi: si va a vedere caso per caso tutte le
combinazioni (n) in cui i vari blocchi sono (o meno) guasti. Si calcola
poi:
Rsistema = P
(n
Y
)
ei
i=i
considerando le probabilità di intersezione nel caso in cui i guasti non
siano indipendenti.
– metodo delle unioni: si individua il minimo insieme di percorsi, ovvero
l’insieme in cui un percorso di ordine n non contiene percorsi di ordine inferiore. Nell’esempio abbiamo i percorsi D-C, A-E ed A-B-C: si calcolano
le varie p(ui ) e si ottiene:
Rsistema = P (u1 ) + P (u2 ) + ... + P (un )
– metodo dei tagli: si cerca un insieme minimo dei n tagli ti , dove il “taglio”
è definito come insieme di elementi che se guasti causano l’avaria del
sistema. In esempio si identificano i tagli A-D, A-C, C-E, B-C-E. Si
identifica così:
Rsistema = P (t1 ) + ... + P (tn )
– metodo della probabilità condizionata: si cerca la probabilità dei casi
in cui il sistema S sia funzionante dato il sottosistema A,B,C,D od E
funzionante. In questo metodo è possibile così ricavare la probabilità
inversa in cui, dato il sottosistema non funzionante, il sistema non è in
avaria.
84
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
7.2 Disponibilità
Figura 7.4.: Metodi di analisi per configurazioni a ponte
Valutazione della disponibilità la valutazione della disponibilità può essere effettuata con tecniche quantitative (che consentono di determiunare un modello matematico A(t) in modo da valutare la disponibilità asintotica A0 ) o con tecniche
qualitative, che sfruttano determinate tabelle quali FMEA, FMECA ed FTA.
• FMEA: è il Failure Modes & Effects Analysis: è una analisi di tipo “bottomup”, ovvero che parte dallo studio dei sottosistemi per ricavare poi la disponibilità del sistema. Si distinguono varie fasi:
– scelta del livello di analisi;
– scelta del componente da analizzare;
– identificazione del modo di guasto (ovvero dell’evidenza del guasto);
– determinazione del meccanismo di guasto (processo che porta al guasto);
– determinazione della causa del guasto (ad esempio vibrazioni o spike di
corrente);
– effetti del guasto, che a loro volta si distinguono in locali (come il guasto
influenza il sottosistema in cui avviene) o globali (come il guasto si riflette
sul funzionamento del sistema).
• L’analisi FMEA ha una seconda variazione, detta FMECA (C=Criticality) in
cui si prendono in considerazione altri aspetti:
– occurrance: indicatore quantitativo che caratterizza la frequenza del guasto e varia da 1 a 10;
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
85
7.2 Disponibilità
– severity: indice della pericolosità del guasto, va da un minimo di 1 (nessun
effetto) a 10 (hazardous);
– detection: indice della possibilità di diagnosticare il modo di guasto, è un
indice di prevenzione;
– RPN: è il Risk Priority Number ed è il prodotto dei tre indici precedenti.
Bisogna tener conto dei tre valori in quanto RPN uguali possono essere
generati da diverse combinazioni;
– Design Review: è un elenco di azioni correttive volte ad abbassare il
valore dell’RPN;
– costi AP/AC: è una valutazione dei costi delle azioni preventive e correttive (non è un passo obbligatorio dell’FMECA).
• FTA: è il Fault Tree Analysis: è un’analisi di tipo “top-down” previsionale,
utilizzata per stimare la probabilità di accadimento di un evento (top event)
basandosi sull’individuazione delle cause del guasto e considerando anche le
possibili relazioni di legame. Ha due fini:
– individuare tutti i possibili guasti che causano un’avaria del sistema;
– analizzare le dipendenze tra i guasti di alto e di basso livello
Nello studio FTA si disegna un diagramma caratterizzato da particolari simboli
interconnessi:
• il top event è rappresentato da un cerchio;
• con un rombo si rappresentano gli eventi non sviluppati per conseguenze non
rilevanti o informazioni instufficienti ma che dipende comunque statisticamente
da altri eventi;
• con un rettangolo si rappresentano gli eventi intermedi che si verificano come
conseguenza di una o più cause combinate attraverso porte logiche (AND, OR,
...).
86
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
7.3 Prove
7.3. Prove
La qualità di un prodotto è quantificabile attraverso la sua conformità e la sua affidabilità. Le prove di qualifica permettono di sottoporre le apparecchiature a condizioni
nominali limite simulando in laboratorio le condizioni operative dei dispositivi: sono
prove che devono essere uniformi e riproducibili, spesso basate su norme specifiche.
Le fasi di una prova sono:
1. assestamento preliminare;
2. controlli e misure iniziali;
3. trattamento;
4. riassestamento;
5. controlli e misure finali.
Queste prove si suddividono inoltre in base alla loro tipologia: si parta di prove
combinate (si applicano due o più sollecitazioni contemporanee), composite (si applicano due o più sollecitazioni in rapida successione) od in sequenza (si applicano
due o più sollecitazioni consecutive).
Spesso vengono effettuate delle “prove di sviluppo” (quindi su pochi campioni) per
ottenere più informazioni possibile sul campione prima che questo venga danneggiato.
7.3.1. Prove di affidabilità
le prove di affidabilità possono essere fatte in laboratorio (altamente riproducibili
ma costose) o in campo (che portano solitamente a risultati più realistici ma sono
poco controllabili e riproducibili). Le prove di affidabilità si distinguono in:
1. prove di conformità dell’affidabilità, in cui si verifica l’affidabilità di un dispositivo in un intervallo di tempo ben preciso;
2. prove di vita: sono prove di tipo distruttivo che a loro volta si suddividono in
prove accelerate o di lunga durata.
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
87
8. Analisi dei rischi
È un’analisi qualitativa eseguita durante le prime fasi della progettazione. Aiuta ad
identificare i rischi potenziali (e le relative conseguenze), a scegliere le misure per
trattare i rischi e garantire che i sistema sia sicuro, permette l’implementazione di
modifiche durante il progetto (quindi più facili e meno costose) e di ridurre in fase
progettuale i rischi e gli imprevisti.
Notiamo la differenza tra pericolo (che è una potenziale fonte di danno, ovvero un
insieme di condizioni che possono portare ad un incidente) ed un rischio, definito
come la combinazione della probabilità del verificarsi di un danno e la sua gravità.
Le fasi dell’analisi sono:
1. identificazione dei rischi;
2. determinazione di causa-effetto;
3. determinazione della probabilità che un rischio provochi un incidente;
4. scelta dei requisiti procedurali e di progetto per eliminare/controllare i rischi.
Dal punto di vista matematico il richio è il prodotto tra frequenza e criticità, ed
è composto da una componente deterministica (Rid ) ed una aleatoria (RN ON id ).
Ricordiamo che la stima del rischio non può essere univoca, quindi è necessario
adottare degli standard e delle convenzioni riconosciute e valutare l’accettabilità del
rischio (circa 10−6 nei paesi occidentali) e la sua percezione.
I rischi possono essere stimati con tre diversi parametri che non sono tra loro
equivalenti (bisogna scegliere di caso in caso quale parametro adottare):
1. indici di rischio: sono singoli valori numerici presentati in forma tabellare
e quindi non molto rappresentativi in quanto altamente generici. Sono un
89
Analisi dei rischi
esempio il FAR (Fatal Accidental Rate, stima degli eventi letali per 108 ore di
esposizione), l’ARD (Average Rate of Death, numero medio di decessi per unità
di tempo) e l’ESCI (Equivalent Social Cost Index, costo collettivo equivalente
che non tiene conto degli eventi catastrofici);
2. rischio puntuale: è pari al valore di frequenza con cui, in un determinato
punto geografico, si può verificare il danno di riferimento. Il rischio puntuale
è rappresentato con curve iso-rischio o con determinati profili di rischio e può
essere calcolato localmente (riferito ad un bersaglio sempre presente in un dato
punto geografico e senza possibilità di fuga o protezione) od individualmente
(riferito ad un bersaglio reale, presente in modo discontinuo e con possibilità
di protezione). In entrambi i casi si basa sull’ipotesi che i contributi di tutti
gli esiti incidentali siano additivi e tiene conto di:
a) natura del danno;
b) probabilità del danno;
c) periodo di tempo in cui il danno può manifestarsi.
3. rischio diffuso: è una misura globale del rischio a cui una collettività può essere
soggetta in una determinata area. Simile al rischio puntuale, tiene conto anche
di:
a) tipologia della popolazione;
b) presenza di bersagli particolarmente vulnerabili;
c) elementi mitigatori;
d) fluttuazione di presenza (giornaliera, settimanale, stagionale, ...).
Il rischio diffuso si calcola principalmente in due modi:
1. curve F-N: sono curve che registrano la frequenza F di incidenti che possono determinare un danno uguale o superiore ad un dato valore Nmax . Sono
diagrammi in scala logaritmica in cui è riportata la frequenza sull’asse y ed il
numero di vittime su x;
2. istogrammi I-N: complementari alle curve F-N, questi istogrammi rappresentano il numero N di persone soggette ad un certo livello di rischio individuale
90
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
8.1 Tecniche di analisi dei rischi
I. In pratica sono diagrammi nei quali la popolazione è suddivisa in classi
caratterizzate da diversi valori di rischio.
In seguito a queste definizioni è possibile definire l’accettabilità del rischio come
“il costo che si è disposti a sostenere a fronte di alcuni eventi non determinati”.
Fondamentalmente è funzione di danno probabile e vantaggi conseguiti. Per valutare
l’accettabilità si analizzano:
• rischi-costi-benefici: si analizzano i costi ed i benefici considerando un termine
correttivo negativo che rappresenta il rischio;
• preferenze rivelate: si esegue una indagine di opinione e le preferenze vengono
misurate, standardizzate ed usate come indice di accettabilità;
• preferenze espresse: si usano indici di accettabilità già usati in passato;
• standard naturali: ci si basa su studi geologici, biologici, ..., tratti da studi
scientifici ed organi internazionali.
È fondamentale durante l’analisi dell’accettabilità del rischio considerare gli aspetti
di:
• rischio oggettivo: basato su ipotesi certe e valutazioni probabilistiche, è un
concetto tecnico;
• rischio percepito: basato su ipotesi non certe e valutazioni personali, è un
concetto profano.
I fattori che influenzano accettabilità e percezione del rischio sono: numero di persone coinvolte; confronto con la mortalità naturale; obbligatorietà del rischio; irreversibilità delle conseguenze; beneficio reale (o supposto) che deriva dal rischio; livello
culturale e sociale delle persone coinvolte.
8.1. Tecniche di analisi dei rischi
• Preliminary Hazard Analysis: analisi preliminare (quindi basata su poche informazioni) a seguito della quale si opera una stima delle conseguenze dei
top-events identificati riportando pericoli, cause, effetti e categoria;
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
91
8.1 Tecniche di analisi dei rischi
• Analisi “what-if”: tecnica in brainstorming (quindi altamente dinamica) a cui
si affianca il metodo delle check-list;
• HazOp (Hazard and Operability Studies): si identificano le modalità di guasto e si valutano secondo una logica deviazione-causa-conseguenza-rimedio. Il
sistema viene diviso in blocchi (nodi) che vengono legati con parole guida tipo
“di più”, “di meno”, “invece di”, ... È una analisi che identifica le deviazioni
in modo chiaro e schematico, migliore di una FMECA ma più complessa;
• ETA (Event Tree Analysis): è un’analisi induttiva simile ad FTA anche se gli
eventi sono analizzati attraverso una analisi binaria. Ad esempio il top-event
“presenza di un incendio” si suddivide in sotto-rami ognuno caratterizzato da
una sua probabilità:
– fuoco riconosciuto?
SI ⇒L’allarme funziona?
SI ⇒ Gli innaffiatori funzionano?
SI ⇒ danno limitato
NO ⇒ danno esteso
NO ⇒ Gli innaffiatori funzionano?
SI ⇒danno limitato
NO ⇒possibile fatalità
NO ⇒ danno esteso
• FMEA\FMECA: già analizzate in precedenza, sono tecniche utili nello studio
di sistemi meccanici, elettronici o produttivi. Le analisi FMEA/FMECA sono
da utilizzarsi a inizio progettazione, durante modifiche e aggiornamenti, se il
budget è limitato oppure a sostegno ad una analisi FTA;
• FTA: già analizzata in precedenza, si usa tanto in fase di progetto quanto in
fase avanzata, nel caso in cui si verifica un guasto o per valutare determinate
modifiche. Per quanto riguarda il “dove” viene applicata, l’analisi FTA si usa
su impianti con guasti molto critici o caratterizzati da eventi ricorrenti.
92
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
8.1 Tecniche di analisi dei rischi
Confronto FMECA ed FTA Fondamentalmente FMECA è un’analisi adatta per
sistemi:
• nuovi, per i quali gli effetti dei guasti non sono noti;
• senza ridondanze;
• in cui non si considerano i guasti multipli.
Di contro, l’analisi FTA:
• necessita che gli eventi siano noti e ben definiti;
• è applicabile a sistemi ridondanti;
• considera i guasti multipli.
In generale, quindi, la soluzione ottima è quella di applicare l’analisi FTA ad i
risultati di un’analisi FMECA. In questo modo si riesce a caratterizzare in maniera completa il sistema (ed i guasti) e ad analizzare gli effetti ricorrenti (anche se
derivano da modi di guasto diversi).
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
93
9. Modelli e meccanismi di guasto
I meccanismi di guasto sono i processi fisico-chimici che portano al guasto del componente. È da notare la distinzione tra guasto (inteso come cessazione dell’attitudine
di un dispositivo di svolgere la funzione per cui è stato progettato) e guasto reale
(che è un concetto legato a “come è fatto il componente”, ovvero una correlazione
tra sollecitazione, sforzo e guasto).
I modelli che descrivono i meccanismi di guasto si suddividono in:
1. modello sollecitazione-resistenza: è un modello senza memoria tipico dei materiali come, ad esempio, una barra in acciaio od una molla;
2. modello degradazione-tollerabilità: è un modello con memoria tipico dei componenti elettrici e legato alla curva a vasca. È un sempio di modello di questo
tipo quello di Arrhenius;
3. modello richiesta-risposta: in un modello del genere non è detto che guasto e
failure avvengano insieme; una volta che si verifica un guasto ci se ne rende
conto (failure) solo quando viene richiesto il servizio relativo al guasto;
4. modello tolleranza-requisito: è un modello in cui il guasto non avviene finchè
si resta all’interno di una zona di tolleranza definita come spazio tra un limite
superiore di specifica (LSS) ed un limite inferiore di specifica (LIS).
Un’altra suddivisione dei modelli di guasto è in:
• Guasti per sovraccarico:
– duttilità-fragilità (Figura 9.1): legata al comportamento elasto-plastico
dei materiali, su un grafico tensione/deformazione si cerca il punto in cui
95
Modelli e meccanismi di guasto
il materiale arriva alla rottura analizzando un “provino”. Si definisce:
σ = tensione =
p̄
A0
con p̄ il carico applicato ed A0 l’area della sezione del provino e:
= def ormazione =
∆l
l0
con ∆l l’allungamento ed l0 la lunghezza del provino.
Notiamo nel grafico che se siamo nel tratto OA togliendo il carico il
materiale torna alle condizioni iniziali (non ha memoria) e la pendenza
della curva dipende dal modulo di Young. Poi, nel tratto AB il materiale
subisce una deformazione permanente (è una curva elasto-plastica con
memoria) che va poi a peggiorare nel tratto BC fino alla rottura del
provino (in pratica dopo il tratto AB il materiale è da buttare). Si
considera un materiale “fragile” se questo non sopporta le sollecitazioni,
ovvero se i tratti OA e BC sono di lunghezza nulla.
– carico di punta: è la tensione meccanica che si genera nei punti in cui i
coefficienti fisici sono diversi (ad esempio dove si ha una discontinuità del
materiale). Ad esempio all’interno di un chip nei punti angolosi si ha un
possibile distacco della metallizzazione che può portare ad un guasto;
– scariche elettriche distruttive: possono avere cause sia “umane” che “fisiche” (ad esempio in ambienti molto secchi), entrambe portano ad un
guasto catastrofico;
– sovratemperatura: può essere causata da agenti esterni (ad esempio spike
di corrente) o fenomeni di usura;
– sfaldamenti inferfacciali tra piani cristallografici: un piano cristallografico
ha normalmente una struttura molto compatta, ma tra piano e piano la
struttura è più debole, quindi è possibile che vi siano degli sfaldamenti
interfacciali. I materiali più soggetti a queste problematiche sono la grafite, la mica (usata molto come isolante) e tutte le deformazioni in cui si
perde l’elasticità.
96
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
Modelli e meccanismi di guasto
Figura 9.1.: Esempio di grafico tensione/deformazione
• Guasti per usura:
– corrosione:
– interdiffusione: si definisce diffusione l’attitudine di una particella atomica di “migrare in uno stato di massa di un’altra sostanza”. Mentre l’interdiffusione avviene in entrambe le direzioni, la diffusione è unilaterale.
Nei solidi la diffusione dipende principalmente dalla struttura molecolare,
quindi dalla temnperatura e dall’energia di attivazione. I meccanismi di
diffusione si classificano in:
∗ meccanismo reticolare: avviene se i due materiali hanno caratteristiche reticolari diverse. Fissata l’energia di attivazione, queste modalità dipendono fondamentalmente dalla temperatura e si suddividono
in:
· meccanismo per vacanza: l’atomo A migra in B ed occupa una
posizione vacante;
· meccanismo interstiziale: la struttura di B è allentata ed alcuni
atomi di A possono prendervi parte pur non essendoci vacanze;
· meccanismo di scambio: alcuni atomi di A si scambiano con gli
atomi di B.
∗ diffusione per linee di dislocazione: in alcuni materiali ci sono piani cristallografici compatti che danno origini a superfici di disloca-
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
97
Modelli e meccanismi di guasto
zione. Queste sono zone in cui vi è minore compattezza e possono nascere anche a causa di impurità dei materiali. La migrazione è principalmente funzione della temperatura e della densità di
dislocazioni;
∗ diffusione per contorni granulari: avviene nel caso in cui B sia un
materiale a grani grossi con legami deboli; si possono così creare
dei percorsi interessati dal passaggio di atomi di A in B (dipende
dall’energia di attivazione e dalla temperatura);
– propagazione di una spaccatura per fatica: nel caso in cui, ad esempio,
il materiale presenti una piccola crepa che si propaga a causa di fattori
climatici;
– logorio: è un problema molto sentito, ad esempio, nei connettori. Se infatti il punto di connessione si usura, la superficie di contatto diminuisce
e al contempo aumenta l’intensità di corrente (e la temperatura del materiale); in questo modo aumenta nuovamente l’usura e il pezzo alla fine
si guasta.
• In base alle sollecitazioni applicate:
– guasti meccanici;
– guasti termici;
– guasti elettrici;
– guasti per radiazioni;
– guasti chimici.
In generale i guasti per sollecitazione esterna rappresentano il 50 − 60% dei guasti
totali e si suddividono in:
• EOS (Electrical Over Stress): sono guasti per uno spike di corrente od una sovratensione, avvengono principalmente durante l’accensione o lo spegnimento;
• ESD (Electrical Static Discharge): derivano dal fenomeno della tribo-elettricità,
più accentuato in ambiente secco, che nasce quando sostanze diverse entrano
98
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
Modelli e meccanismi di guasto
in conttatto tra loro. I modelli ESD sono classificati da classe 0 (0-250V) a
classe 3B (>8000V). Si riportano due modelli ESD (Figura 9.2):
– modello human-body: simula il comportamento di un operatore che sta
lavorando ad un componente; si hanno due circuiti, quello di carica e
quello di scarica;
– modello charged-device-model: è usato per simulare un circuito integrato
carico che tocca un punto a bassa impedenza verso massa.
Figura 9.2.: Modelli ESD human body (a) e charged devide model (b)
Per quanto riguarda le protezioni contro i guasti ESD, queste si classificano in:
1. protezioni attive, ad esempio l’inserimento di diodi nel circuito per proteggerne
alcune parti, sono protezioni che riguardano il costruttuore;
2. protezioni passive, ad esempio tavoli o braccialetti elettrostatici, sono protezioni che riguardano l’operatore.
Durante l’analisi di guasti ESD, inoltre, è necessario tener conto di trasparenza,
robustezza, prontezza (data la rapidità degli eventi ESD) e compatibilità.
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
99
10. Safety e Security
Entrambe questi termini significano “salvaguardia dell’incolumità delle persone” ma
sono caratterizzati da diverse cause:
• safety è la salvaguardia da eventi indipendenti da precise volontà, quindi
accidentali;
• security è la salvaguardia da attacchi o danni contro la persona (o i beni)
perpetrati volontariamente da individui o gruppi.
Analizzando la safety si nota che non è possibile avere un sistema fisico con errori
nulli, che non esistono operazioni a rischio zero e che l’errore umano non può essere
eliminato completamente. Dal 1970 (il boom economico) ad oggi sono state definite
alcune componenti che aiutano a descrivere la safety:
• functional safety: è la parte di safety in cui sistemi o apparati operano in risposta ad input (ad esempio se aumenta la pressione un sensore indica l’evento
e spegne il sistema);
• safety function: sono funzioni adottate dal sistema strumentale di sicurezza
(SIS) per mantenere o riportare il sistema (o il processo) in sicurezza dopo un
evento pericoloso;
• safety related systems: sono i sistemi che implementano delle safety functions.
Si definisce così un indice di Safety Integrity dato dalla sottrazione di rischio esistente e rischio tollerabile. Oltre a questo sono stati opportunamente definiti dei
Safety Integrity Level (SIL), rappresentazioni statistiche dell’affidabilità di un sistema quando viene effettuata una richiesta di processo. Solitamente sono previsti solo
tre SIL (tabella Tabella 10.1), però ne è stato recentemente introdotto un quarto
(SIL4) che caratterizza i sistemi super-affidabili.
101
Safety e Security
SIL
4
3
2
1
Malfunzionamenti pericolosi / ora Malfunzionamenti su richiesta (PFD)
10−8 − 10−9
10−4 − 10−5
10−7 − 10−8
10−3 − 10−4
10−6 − 10−7
10−2 − 10−3
−5
−6
10 − 10
10−1 − 10−2
Tabella 10.1.: SIL
Solitamente si richiede un SIL1 nel caso di produzione e proprietà primaria, un SIL2
nel caso di produzione e proprietà secondaria (con possibili lesioni fisiche), un SIL3
nel caso di protezione di dipendenti/comunità ed un SIL4 nel caso di protezione da
eventi catastrofici.
Si può così definire la struttura dei Safety Instrumented System suddivisi in tre
sottosistemi:
1. rilevatori, ovvero i sensori che generano le variabili da controllare;
2. l’unità di controllo (solitamente un PLC), che gestisce le connessioni ed elabora;
3. i dispositivi di blocco, che agiscono nel caso in cui si manifesti un problema di
sicurezza.
I sistemi SIS tengono in considerazione i guasti sicuri (ovvero i casi in cui il sistema
va in blocco in modo non necessario) ed i guasti pericolosi (se il sistema è in presenza
di una situazione di pericolo e non riesce a portarsi in uno stato di sicurezza) e sono
quantificabili attraverso due indici:
• Diagnostic Coverage: è il rapporto tra guasti casuali hardware dannosi ma
rivelabili (attraverso l’auto-diagostica) e guasti casuali hardware totali;
• Safe Failure Fraction: è il rapporto tra la somma di guasti hardware sicuri e
dannosi ma rivelabili ed il totale dei guasti hardware.
102
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
Parte III.
Sistemi Digitali
103
11. Conversione Analogico-Digitale
(ADC)
11.1. Campionamento e quantizzazione
Nella teoria dei segnali il campionamento è una tecnica che consiste nel convertire
un segnale continuo nel tempo in un segnale discreto, valutandone l’ampiezza a
intervalli di tempo regolari. In questo modo, a seguito di una successiva operazione
di quantizzazione e di conversione, è possibile ottenere una stringa digitale (discreta
nel tempo e nell’ampiezza) che approssimi quella continua originaria.
In parole povere il campionamento consiste nell’andare a misurare il valore del segnale analogico in diversi istanti di tempo. Il tempo Tc che intercorre tra una valutazione e l’altra si chiama periodo di campionamento. La frequenza di campionamento
fc = Tc−1 è invece il reciproco del periodo di campionamento.
Definita fBmax la massima frequenza dello spettro del segnale da campionare, se
viene rispettata la condizione di Shannon:
fc > 2fBmax
allora è possibile ricostruire, con l’utilizzo di apposite funzioni interpolatrici, il segnale analogico senza perderne alcuna informazione; generalmente per una buona e
fedele ricostruzione del livello analogico è richiesta una frequenza di campionamento
che sia dalle 5 alle 10 volte superiore alla frequenza massima contenuta nel segnale
campionato. Qualora invece non venga rispettata tale condizione, si riscontra un
effetto conosciuto con il nome di Aliasing, che comporta una distorsione del segnale
105
11.1 Campionamento e quantizzazione
analogico ricostruito rispetto a quello originale campionato. Definendo la frequenza di Nyquist come fn = f2c , la ricostruzione di un segnale analogico costituito
da componenti in frequenza superiori alla frequenza di Nyquist porta ad ottenere
un segnale dove tali componenti hanno una frequenza detta "specchiata" rispetto la
frequenza di Nyquist (cioè simmetrica rispetto alla frequenza di Nyquist a quella
del segnale analogico originale). Ad esempio se il livello analogico è una sinusoide
di frequenza fB = 12Hz e la frequenza di campionamento è fc = 20Hz, allora si
ottiene fr = fn −(fs −fn ) = 8Hz, con fr la frequenza della sinusoide ricostruita.
Per evitare il fenomeno dell’aliasing è necessario:
1. adottare una frequenza di campionamento superiore (se non si vogliono perdere le informazioni contenute nelle componenti ad alta frequenza del segnale
analogico acquisito);
2. adottare un filtro anti-aliasing (passa-basso) in modo tale da eliminare le frequenze contenute nel segnale analogico superiori alla frequenza di Nyquist del
campionatore.
Quando si parla di sistemi di conversione Analogico-Digitale (ADC, figura Figura 11.1)
si suddivide così il problema in:
Figura 11.1.: Convertitore Analogico/Digitale (ADC)
1. campionamento, che può essere di tipo:
a) over-sampling: se fc fB , è il campionamento più usato poichè molto
comodo se a valle aggiungiamo un filtro (ad esempio un COMB+FIR) ed
un decimatore che riporta la frequenza a quella desiderata;
b) campionamento alla fsh di Shannon fc = 2fB , ideale;
106
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
11.1 Campionamento e quantizzazione
c) under-sampling: se fc fB , è usato nei segnali a “banda stretta” (se la
portante f0 è molto maggiore della banda del segnale, quindi f0 fB ).
2. conversione
a) quantizzazione: durante la quantizzazione il segnale può essere approssimato per:
i. troncamento: comporta un errore quadratico medio pari a
Q
err = √
3
con Q =passo di quantizzazione;
ii. arrotondamento: comporta un errore quadratico medio pari a
Q
err = √
12
b) digitalizzazione
Se analizziamo la conversione notiamo che il tempo di conversione Tc è tale che:
Tc 6 ∆t =
1
π2N fc
con N =numero di bit del segnale ed fc frequenza di campionamento.
Sample & Hold il sample & hold è uno strumento utilizzato per campionare il
segnale e mantenerlo costante durante il cosìddetto conversion-time. Per fare ciò,
questo apparecchio può lavorare:
• in circuito aperto: con questa configurazione (figura Figura 11.2.a) si massimizza la velocità di campionamento a discapito dell’impossibilità di riconoscere
eventuali offset o disturbi del segnale in ingressi. Ogni componente ha una capacità di accoppiamento che si fa sentire in modo maggiore all’aumentare della
frequenza;
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
107
11.1 Campionamento e quantizzazione
• in circuito chiuso: con questa configurazione (figura Figura 11.2.b) la retroazione diminuisce da un lato la banda passante (costringendoci ad adottare
frequenze di campionamento minori) massimizzando però l’accuratezza.
Figura 11.2.: Schema equivalente di un Sample & Hold
I parametri che caratterizzano un S&H si suddividono in:
• parametri statici:
– durante l’azione “sample”: sono la banda passante (analogue bandwith)
e la pendenza massima (max-slew rate);
– durante l’azione di “hold”: sono il feedthrough (il “trasudamento” dell’ingresso sul segnale di uscita, che comporta delle oscillazioni sull’uscita)
ed il droop-rate (sono delle perdite di corrente causate dai componenti
attivi, principalmente gli operazionali, che fanno sì che l’uscita non sia
%
).
costante ma tenda a decrescere con un certo valore misurato in ns
• parametri dinamici:
– durante il passaggio da “hold” a “sample”: si deve attendere un tempo
detto “acquisition-time”;
– durante il passaggio da “sample” a “hold” si definiscono tre parametri:
108
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
11.1 Campionamento e quantizzazione
∗ aperture delay: ritardo nell’apertura degli interruttori;
∗ aperture jitter: rumore di apertura proporzionale con la frequenza;
nel caso di segnali a banda stretta questa quantità implica un ritardo
descrivibile dalla formula
tAj =
1
2π N f
Bmax
con fBmax la frequenza massima del segnale (pari a f0 + fB );
∗ settling time: tempo necessario affinchè il segnale si assesti.
Limiti di un Sample & Hold analizziamo adesso i limiti di un Sample & Hold,
definendo la frequenza massima di campionamento come:
fcM AX =
t Ac
1
+ tAp + tset + th
definito il tempo di acquisizione:
taq = tAc + tAp + tset
che comprende l’apertura dello switch e la carica del condensatore, e il tempo di
hold:
tconvmin < th < thmin
La scelta del S&H implica un vincolo sulla frequenza del segnale massima raggiungibile. Questa è pari a:
fc
SRmax
1
= min
, BSH ,
,
2
2πA π2N ∆t
(
fBmax
)
con BSH pari alla banda del Sample & Hold, SRmax lo slew-rate massimo ed A
l’ampiezza del segnale.
Analizziamo nel dettaglio le grandezze (Figura 11.3):
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
109
11.1 Campionamento e quantizzazione
• acquisition time: è il ritardo tra l’attivazione del comando di sample e l’istante
in cui la tensione del condensatore è pari a quella di ingresso;
• aperture time: è l’intervallo di tempo tra l’istante di attivazione dello stato
di hold e quello in cui il condensatore risulta scollegato dall’ingresso, quindi il
valore catturato corrisponde al valore finale dell’aperture time;
• aperture jitter: intervallo di variabilità del tempo di apertura, stabilisce la
massima frequenza di campionamento consentita al Sample & Hold;
• setting time: è l’intervallo di tempo tra l’attivazione dell’hold e l’istante in cui
l’uscita si stabilizza sul valore effettivo.
Figura 11.3.: Caratteristiche e parametri di un Sample & Hold
Notiamo infine che aumentando la capacità di hold si va a limitare (da un lato) il
massimo slew-rate della fase di sample garantendo però una costante di tempo più
alta e, di conseguenza, un minor decadimento dell’uscita nella fase di hold.
Analizziamo adesso una serie di strutture di conversione partendo da sistemi semplici
fino ad arrivare a casi più complessi.
110
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
11.2 Convertitori
11.2. Convertitori
Convertitori a rampa sono convertitori (Figura 11.4) abbastanza lenti in cui la
relazione fra frequenza di clock (fck ) e frequenza di conversione massima (fc ) dipende
strettamente dal numero di bit (N ):
fc =
fck
2N
in pratica il convertitore a rampa va ad incrementare il valore della conversione
fintanto che questo è minore dell’input analogico. Quando il comparatore ci informa che siamo arrivati al giusto livello il counter viene bloccato e la conversione è
completa.
Figura 11.4.: Convertitore a rampa
Convertitori ad approssimazioni successive (SAR) sono convertitori (Figura 11.5)
in cui la frequenza di conversione massima è pari a:
fc =
fck
N
quindi più rapidi dei convertitori a rampa. Questi convertitori approssimano il valore
di conversione andando a variare i bit (dal meno significativo al più significativo) e
confrontando il segnale in uscita (digitale, convertito in analogico con un DAC) con
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
111
11.2 Convertitori
quello di riferimento. In questo modo con una sola “passata” (quindi in N-passi,
dove N è il numero di bit a disposizione) si ottiene una conversione del valore scelto.
Figura 11.5.: Convertitore ad approssimazioni successive (SAR)
Convertitore Sigma-Delta Σ∆ sono convertitori più complessi e al contempo molto utilizzati nelle applicazioni reali per il costo molto contenuto. Di base i convertitori sigma-delta assicurano alta risoluzione e basso costo a scapito di basse frequenze
d’ingresso.
Il convertitore sigma-delta (Figura 11.6) è composto da un modulatore (Figura 11.7
e Figura 11.8) e da un filtro passa-basso (solitamente un FIR, Figura 11.9) a cui
segue un decimatore (dato che la conversione viene fatta in over-sampling il decimatore ci aiuta a tornare a frequenze minori (più semplici da elaborare nel dominio
digitale).
Il modulatore sigma-delta lavora sempre sovra campionando il segnale: in questo
modo, però, il rumore è pesato in frequenza: si parla di fenomeno di noise-shaping in
quanto a basse frequenze predomina il segnale mentre a frequenze più alte predomina
il rumore di quantizzazione (per questo viene filtrato il tutto). Quindi il convertitore
sigma-delta è tale per cui:
• in uscita l’alternanza di uni e zeri dipende da Vin ;
• la frequenza (fck ), è pari alla frequenza di campionamento;
112
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
11.2 Convertitori
• la retroazione forza il valor medio del segnale logico in uscita ad eguagliare la
tensione Vin ;
• il rumore di quantizzazione è filtrato alle basse frequenze.
A seguito del filtraggio si va a decimare il segnale in modo tale da ricondursi ad una
frequenza minore e compatibile con gli apparecchi a valle del convertitore. La giusta
sequenza è quindi: oversampling - filtraggio - decimazione.
Figura 11.6.: Convertitore sigma-delta (Σ∆)
Figura 11.7.: Modulatore sigma-delta (Σ∆)
Andiamo adesso ad analizzare i convertitori ad alta velocità.
Convertitori flash sono convertitori (Figura 11.10) in cui il segnale viene codificato
in un singolo colpo di clock: per fare ciò vengono sfruttati un numero di comparatori pari alla risoluzione massima (nell’esempio 2N = 28 = 256) che tramite delle
partizioni resistive vanno a determinare i bit del segnale. In questo modo è possibile arrivare a frequenze di conversione nell’ordine dei 5M Sps (5 MegaSamples per
second) ma si è vincolati a un numero di bit abbastanza basso (per problemi legati
al costo ed allo spazio).
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
113
11.2 Convertitori
Figura 11.8.: Modulatore sigma-delta (Σ∆)
Figura 11.9.: Struttura di un filtro FIR
Convertitori subranging sono convertitori (Figura 11.11) che hanno in ingresso
un Sample & Hold (S&H) che diminuisce notevolmente la banda passante (e quindi
la velocità di conversione). Di base i convertitori subranging sono composti da due
convertitori flash tali che il primo codifica in bassa risoluzione ed il secondo effettua
un secondo passaggio in modo tale da avere risoluzione maggiore. In questo modo
con due convertitori flash da 4 bit (24 = 16 comparatori) si riesce a codificare un
numero a 8 bit (che altrimenti necessiterebbe di 28 = 256 comparatori).
Convertitori pipeline sono (Figura 11.12) formati da una cascata di convertitori
subranging separati da Sample & Hold.
Prestazioni di un ADC le prestazioni di un convertitore analogico-digitale sono
condizionate principalmente da:
1. rumore dei circuiti analogici, filtrabile con un filtro passa-basso;
114
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
11.2 Convertitori
Figura 11.10.: Convertitore Flash
2. rumore dell’ADC, non filtrabile ma comunque limitabile con accorgimenti di
progetto (l’equivalente del “noise shaping” per il converitore Σ∆);
3. jitter di apertura;
4. non linearità dei circuiti analogici;
5. qualità del clock.
Dato che per un generico convertitore a N bit si ha un rapporto segnale/rumore:
SN R = 6N + 1.8
è possibile definire il numero effettivo di bit (ENOB, quello che poi si può usare
come riferimento per le specifiche) come:
EN OB =
SIN AD − 1.8
6
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115
11.2 Convertitori
Figura 11.11.: Convertitore Subranging
dove il SIN AD (Signal-to-Noise And Distortion Ratio) è il parametro che rappresenta la qualità del segnale uscente da un dispositivo.
Solitamente quando si deve scegliere il numero di bit che il nostro convertitore deve
avere per soddisfare le specifiche si considera un +2 sulle specifiche stesse (quindi se
sono richiesti 10 bit si usa un convertitore a 12 bit).
116
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
11.2 Convertitori
Figura 11.12.: Convertitore Pipeline
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
117
12. Conversione Digitale-Analogico
(DAC)
Prima di studiare la conversione digitale-analogico è necessario introdurre il funzionamento e le caratteristiche in frequenza degli interruttori.
Interruttori analogici NMOS i primi interruttori che analizzeremo sono quelli
basati su un NMOS (Figura 12.1). Questi interruttori sono caratterizzati da una
relazione ingresso-uscita:
Vout =
Rs
Rs + Rl + Req
dove Req è la resistenza equivalente del transistor NMOS caratterizzata da un
andamento come quello in Figura 12.2: parte da un valore in condizione di ON
i−1
h Ron = 2k W
(V
−
V
)
dove k, W, L sono costanti e dimensioni caratteristiche
dd
t
L
del transistor, e tende (in condizione di OFF) ad una
Rof f =
1
2k
W
L
(Vgs − Vt )
Ricordiamoci di prestare attenzione al fatto che nell’istante di switching Req (e, di
conseguenza, Vout ) non ha alcun comportamento lineare.
Interruttori analogici CMOS analizziamo adesso gli interruttori CMOS (Figura 12.3):
questi non sono altro che un NMOS accoppiato ad un PMOS e, di conseguenza, la
resistenza equivalente è data (Figura 12.4) da quella di un NMOS unita a quella
119
Conversione Digitale-Analogico (DAC)
Figura 12.1.: Interruttore basato su NMOS
Figura 12.2.: Resistenza equivalente per interruttori NMOS
di un CMOS (che è un NMOS “ribaltato”). Si ottiene così un andamento come in
Figura 12.4 in cui al variare di V la Req è più o meno costante. Inoltre un interruttore CMOS essendo un parallelo tra un NMOS ed un PMOS è caratterizzato da una
resistenza equivalente che è il parallelo tra due resistenze simili (e quindi all’incirca
la metà).
Analisi in frequenza andiamo ora ad analizzare in frequenza il comportamento di
un interruttore. Iniziamo dalla condizione di ON, Figura 12.5.a
Notiamo subito che saranno presenti due capacità di accoppiamento: una Cin tra
source e terra, l’altra Cout tra terrae drain. In generale Cout è maggiore e, quindi,
120
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
Conversione Digitale-Analogico (DAC)
Figura 12.3.: CMOS
Figura 12.4.: Resistenza equivalente per interruttori CMOS
comanda la frequenza di taglio in condizione di ON (Figura 12.6.a) è pari a:
ωON =
1
Req Cout
Al contrario in condizione di OFF (Figura 12.5.b) prevale il comportamento capacitivio dell’interruttore, quindi si ottiene una Cof f molto piccola che porta ad avere
una frequenza di taglio in condizione di OFF (Figura 12.6.b) definita come:
ωOF F ≈
1
ωON
10
Si determina così la risposta in frequenza di un interruttore che si comporta da filtro
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
121
Conversione Digitale-Analogico (DAC)
passa-basso in fase di ON e in filtro passa-alto in fase di OFF.
Figura 12.5.: Circuito equivalente per interruttori
Figura 12.6.: Risposta in frequenza di un interruttore
Test funzionamento dinamico ADC Per il test dinamico di un ADC si può misurare il rapporto tra Potenza del Segnale, Ps , e Potenza di Rumore, PN , valutando
separatamente i 2 contributi nello spettro. Per fare ciò (in frequenza) occorre fare
riferimento ad un segnale sinusoidale. Tale segnale deve essere:
• coerente, quindi fin =
fsegnale
k
. Il risultato può però dipendere da k;
• far rientrare un numero primo di cicli nella finestra di FFT.
Se non si dispone di sorgenti con le necessarie accuratezza e stabilità in frequenza si
può:
• per evitare i problemi del campionamento coerente, si possono usare frequenze
“incoerenti” aggiungendo una finestra di pesaggio che abbassi i lobi laterali;
• individuare quanti punti contribuiscono alla potenza del segnale, in base all’SNR previsto.
122
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
12.1 Convertitori DAC e sintesi di segnali
12.1. Convertitori DAC e sintesi di segnali
Data una Vref di riferimento, un convertitore DAC segue lo schema in Figura 12.7.
Principalmente questa tecnica è soggetta a quattro limitazioni:
1. la tensione Vref ha un limite sulla massima frequenza poichè gli switch hanno
una caratteristica capacitiva che li fa lavorare in frequenza come dei filtri
passa-basso;
2. lo slew-rate massimo è legato al settling-time, che dipende a sua volta sia dal
DAC che dalla rete analogica (AO) a valle del convertitore. Solitamente si
definisce il settling-time ts come:
ts =
q
t2sDAC + t2sAO
3. è possibile che si abbiano degli spike sull’uscita (detti “glitch” di corrente)
in corrispondenza di variazioni massive di bit (ad esempio da 0001 a 1110);
questi sono dovuti principalmente al fatto che gli interruttori al momento della
commutazione (simultanea soprattutto) immettono dei piccoli spike di corrente
sul circuito che si sommano e influenzano il comportamento del convertitore;
4. è presente inoltre un fenomeno di frequency-roll-off dovuto alla natura di tipo
S&H del DAC. Questo porta ad avere variazioni di ampiezza del segnale in
funzione della frequenza, ed è possibile risolverlo con tecniche di pre-enfasi e
di post-moltiplicazione.
Sintesi di segnali andiamo adesso ad analizzare come è possibile sintetizzare un
segnale usando un DAC. Se utilizziamo una struttura come quella in Figura 12.8 è
semplice ricavare la frequenza massima del segnale in uscita come:
fout =
fck
2N
quindi per variare fout è necessario variare fck .
Per sintetizzare un segnale digitale è possibile utilizzare una configurazione come
quella in Figura 12.9. Tale configurazione è caratteristica del DDS (Direct Digital
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
123
12.1 Convertitori DAC e sintesi di segnali
Figura 12.7.: Principio di funzionamento di un DAC
Synthesizer) che è caratterizzato dal fatto che:
fout = K
fck
2N
quindi per variare fout basta variare l’indice K.
Per sintetizzare un segnale con un DSS si procede come segue:
1. si ipotizza il valore massimo di fck compatibile con la temporizzazione;
2. si valuta 2N =
fck
;
∆f
se risulta eccessivo, ridurre fck ;
3. si valuta il rapporto tra frequenze armoniche e fondamentali;
4. si valuta il rapporto tra ampiezze fondamentali e armoniche ottenibile col filtro
di ordine assegnato. Se eccessivo, aumentare Fck.
Facciamo un esempio: data una EPROM da 8Kx8, ovvero con N = 13 (213 =
8192 = 8K) ed m = 8 (deriva dal x8 dato che la EPROM ha in ingresso n = 13 ed
in uscita m = 8), si desidera fout ∈ [1 ÷ 100] KHz, tAA = 50ns ed un SNR>50dB.
Dalla definizione della fout si ricava che ∆f 6 1KHz da cui:
∆f =
124
fck
6 1KHz ⇒ fck 6 8M Hz = fckM AX
2m
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
12.1 Convertitori DAC e sintesi di segnali
Figura 12.8.: Sintesi di segnali tramite DAC
Figura 12.9.: Sintesi di segnali avanzata tramite DAC
Ipotizziamo ora di applicare un filtro LPF del terzo ordine (che guadagna quindi
18dB per raddoppio di frequenza) con una frequenza di taglio a 500KHz. Avremo:
500KHz → 1M Hz18dB → 2M Hz36dB → 4M Hz54dB
quindi per fck = 4M Hz (che è una frequenza minore di fckM AX ) si soddisfa il requisito
sull’SNR.
Andiamo adesso ad analizzare il vincolo su:
fckM AX 6
1
tckmin
dove tckmin è dato da una serie di contributi:
tckmin = tcq + tsu + tAA
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
125
12.1 Convertitori DAC e sintesi di segnali
dove tcq e tsu è plausibile ipotizzarli pari a 10ns e tAA è una specifica nota. Quindi
tckmin = 70ns da cui deriva il vincolo:
fckM AX 6 12.5M Hz
Modulazione e sintesi di segnali in quest’ultimo esempio (Figura 12.10) si vanno
ad analizzare le tecniche di modulazione per segnali sintetizzati tramite DAC. È
infatti possibile applicare una modulazione in frequenza (FM), una modulazione
in fase (PM) oppure una in ampiezza (AM) a seconda di dove si fanno entrare
determinati ingressi (additivi, nel caso FM e PM, e moltiplicativi, nel caso AM).
Figura 12.10.: Sintesi di segnali modulata tramite DAC
126
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
13. Metastabilità e distribuzione di
clock
La metastabilità riguarda tutti quei problemi a livello di registro dovuti ad asincronie
nel sistema digitale. Di norma, infatti, il registro funziona se vengono rispettati i
tempi di setup e di hold durante i quali i dati devono essere disponibili.
Come si può notare in Figura 13.1, nell’istante in cui si accede ad un dato nel registro
è necessario tenere conto di un ritardo td (a sua volta comprensivo del tempo di
setup tsu , l’intervallo piccolo in figura) e di un tempo di hold th . Più precisamente,
la somma tsu + th determina una zona proibita entro la quale il dato non può (o,
meglio, non deve) interrompersi.
La metastabilità si inizia a notare se facciamo diminuire td fino ad entrare nella
zona proibita: è così possibile determinare un tempo critico tale che, per td < tcrit , la
variazione dell’ingresso viene ignorata in uscita con conseguente piena metastabilità.
Si noti che solitamente la zona proibita è nell’ordine del nanosecondo ed è specificata
nei datasheet dei componenti; è possibile inoltre ricavare (sperimentalmente) la zona
critica (entro la quale siamo certi di avere metastabilità): questa è solitamente
nell’ordine dei 100 ps e non viene fornita dal costruttore all’interno del datasheet.
Figura 13.1.: Caratteristiche temporali della metastabilità
127
Metastabilità e distribuzione di clock
Infatti la metastabilità può manifestarsi in diversi modi (Figura 13.2). Più precisamente si nota:
• l’uscita non affetta da metastabilità (Figura 13.2.1);
• una leggera perdita del bordo quando ci si avvicina allo stato metastabile
(Figura 13.2.2);
• una perdita più consistente del bordo avvicinandoci ancora alla criticità (Figura 13.2.3);
• un primo stadio in cui si hanno delle failure (rare) alternate a frequenti stati
ben rilevati (Figura 13.2.4);
• lo stato metastabile caratterizzato da failure frequenti (Figura 13.2.5);
• metastabilità piena: nessuno stato viene rilevato (Figura 13.2.6).
Figura 13.2.: Fasi della metastabilità
MTBF e metastabilità per ogni componente è possibile definire un indice di
MTBF (Maximum Time Between Failure) dato da:
M T BF =
eT ·td
fck · fin · T0
dove T, T0 sono caratteristici dell’interruttore.
Si riporta in Figura 13.3 l’andamento dell’MTBF per vari componenti al variare del
parametro td (su scala logaritmica). Normalmente le logiche più rapide e ad alta
128
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
Metastabilità e distribuzione di clock
tecnologia sono quelle con pendenza più elevata (nel grafico sulla sinistra) mentre
quelle standard sono quelle più “piane” (si noti la 74Standard).
Figura 13.3.: Esempio di MTBF per vari componenti al variare di td
Rimedi alla metastabilità un possibile rimedio alla metastabilità è quello di utilizzare un circuito a doppia sincronizzazione (Figura 13.4). In questo modo non si
ha metastabilità in quanto la risposta di QF F 2 è decisa e non metastabile (però può
essere errata, e qua è un po’ difficile metterci una pezza): in parole povere non si
hanno stati metastabili ma si può comunque incorrere in errori.
Definite le frequenze fin1 ed fin2 come in figura, il valore dell’MTBF diventa:
M T BF (2) =
eT ·td
fin2 · fck · T0
dove:
fin2 =
1
fin1 · T0 · fck
=
T 1
M T BF (1)
e fck
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
129
Metastabilità e distribuzione di clock
quindi la relazione tra M T BF (2) (del doppio sincronizzatore) ed M T BF (1) (della
logica singola) è:
M T BF (2) ≈ 3M T BF (1)
Figura 13.4.: Circuito a doppia sincronizzazione
Rilevare la metastabilità per rilevare la metastabilità è possibile porre il DUT
(Device Under Test) in un circuito come quello in Figura 13.5: se l’uscita è 0 non vi
è metastabilità; quando l’uscita diventa 1 viene rilevato uno stato metastabile. In
questo modo è possibile contare gli stati metastabili e ricavare l’MTBF della logica.
Figura 13.5.: Circuito a utilizzato per rilevare la metastabilità
130
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
13.1 Distribuzioni di clock
13.1. Distribuzioni di clock
Tipicamente il clock deve essere distribuito a diversi ricevitori dello stesso sistema
ed arrivare a tutti simultaneamente. Si definisce così “clock skew” l’incertezza nel
tempo di arrivo del clock.
Possibili cause dello skew sono le tolleranze delle logiche, la temperatura di funzionamento e la tensione di alimentazione dal punto di vista fisico. Per quanto riguarda
le cause legate alle interconnessioni si elencano la differente lunghezza dei percorsi
di clock ed il diverso ritardo di propagazione nonchè le variazioni del tipo di linea
(strisce, microstrisce,...) o delle costanti dielettriche.
Alcune tecniche per sopperire a questi problemi sono:
1. utilizzo di buffer: questa tecnica però porta con sè le problematiche legate ai
buffer; i buffer, infatti, anche se uguali (almeno su carta) sono caratterizzati
da ritardi output-to-output differenti che introducono comunque uno skew;
2. allungamento delle piste, cosa fattibile ma per piccoli ritardi (Figura 13.6);
3. disposizione di clock “a stella” (Figura 13.7) rispetto ad un generatore di clock
centrale al circuito;
4. utilizzo di generatori di clock (Figura 13.8) in aggiunta ai quali può comunque
essere utile utilizzare la tecnica di allungamento delle piste.
Figura 13.6.: Esempio di allungamento variabile delle piste
Generazione di un clock stabile il problema fondamentale resta comunque quello
di riuscire a generare un clock stabile e la cui frequenza sia variabile a piacere. Per
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
131
13.1 Distribuzioni di clock
Figura 13.7.: Esempio di allungamento delle piste e distribuzione di clock a stella
fare ciò si ricorre al PLL (Phase Locked Loop), Figura 13.9. Si noti che a valle
del PLL è presente un “programmable delay” che varia lo skew dei segnali di clock
generati.
Analizzando un PLL internamente (Figura 13.10) si nota che la frequenza di uscita
Fout è data da:
Fout =
P
· Fin
Q
Tutto ciò è realizzato grazie ad una retroazione che assicura la stabilità del clock e
ad un filtro passa basso (LPF) che assicura un clock pulito.
Si noti in Figura 13.12 una possibile realizzazione fisica del phase-detector che altro
non fa se non identificare lo sfasamento tra i due segnali A e B.
Infine, in Figura 13.12, si mostra una possibile realizzazione fisica del VCO, l’oscillatore controllato dalla tensione Vc e che va a generare l’uscita out.
Si riporta in Figura 13.13 un esempio di “programmable delays”: mentre il PLL
genera un clock stabile, questo secondo componente deve applicare uno skew alle
varie fck del generatore. Il modello Roboclock (in Figura 13.13) fu sviluppato alla
fine degli anni ’80 ed è un dispositivo multi-output che attraverso dei buffer ritarda i
132
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
13.1 Distribuzioni di clock
Figura 13.8.: Esempio di clock-generator
Figura 13.9.: Esempio di PLL
segnali di clock (generando un clock-skew programmabile che ci permette di risolvere
i problemi di sincronizzazione).
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
133
13.1 Distribuzioni di clock
Figura 13.10.: Interno di un PLL
Figura 13.11.: Realizzazione di un phase-detector
Figura 13.12.: Realizzazione del VCO
134
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
13.1 Distribuzioni di clock
Figura 13.13.: Roboclock
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
135
14. Sistemi ad alta velocità
Andiamo adesso ad introdurre i sistemi ad alta velocità. Analizziamo prima di tutto
la risposta in frequenza di un segnale digitale, e notiamo che questo si comporta come
un filtro passa-basso (Figura 14.1) in cui:
f1 =
1
1
e f2 =
πtw
πtr
Figura 14.1.: Analisi in frequenza di segnali digitali
Linee di trasmissione analizziamo adesso le linee di trasmissione più utilizzate e
le loro caratteristiche:
137
Sistemi ad alta velocità
1. microstriscia (Figura 14.2.a): è tale per cui valgono le relazioni
87
5.96h
Z0 = √
ln
0.8w + t
r + 1.41
!
≈ 50Ω
e:
√
τp = 1.016 0.475r + 0.67 [ns/f t]
2. strip-line (Figura 14.2.b): in questo caso valgono
60
4b
Z0 =
ln
r
0.67π (0.8w + t)
!
3. bus-line (Figura 14.3): sono da analizzare in modo un po’ più accurato.
Figura 14.2.: Microstriscia (a) e strip-line (b)
Figura 14.3.: Esempio di Bus-line
Analizziamo adesso cosa succede su una generica linea di trasmissione (Figura 14.4)
dal punto A al punto B, considerata la resistenza interna del generatore (solitamente
138
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
Sistemi ad alta velocità
RG ≈ 50Ω) e quella del carico (RL ) dipendente dal tipo di quest’ultimo: se il segnale
entra in un MOS, ad esempio, la sua resistenza interna è assimilabile ad RL = ∞.
Nel tragitto A → B l’onda parte da A in t = 0 ed arriva in B nell’istante t = τp .
A questo punto da B parte un’inda riflessa verso A caratterizzata da un coefficiente
di riflessione:
ρB =
RL − Z0
RL + Z0
dove Z0 è l’impedenza equivalente della linea. Allo stesso modo nell’istante t = 2τp
l’onda riflessa di B arriva in A producendo una seconda onda riflessa (verso B)
caratterizzata da un coefficiente di riflessione:
ρA =
RG − Z0
RG + Z0
Figura 14.4.: Generalizzazione di una linea di trasmissione
Quindi in ogni istante rispettivamente per t = 0, τp , 2τp , 3τp , ... su ogni estremo
(rispettivamente A e B) sono presenti (Figura 14.6):
• onda incidente;
• onda riflessa;
• onda pre-esistente;
il tutto partendo da determinate condizioni iniziali in cui si considera che la tensione
VA è pari a:
VA |t=0 = VG
Z0
RG + Z0
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
139
Sistemi ad alta velocità
Figura 14.5.: Esempio di analisi di linee di trasmissione
e dalle condizioni a regime in cui, non essendoci più riflessioni, scompare il termine
Z0 e si ottiene:
VA |t=∞ = VB |t=∞ = V̄ = VG
RL
RG + RL
Si può così utilizzare il metodo grafico di Bergeron calcolando i punti di partenza
VA (0) e di arrivo VA (∞) e facendo “rimbalzare” l’onda (con coefficiente angolare Z0 )
sulla curva del generatore (caratterizzata da un coefficiente angolare −RG ) e sulla
curva del carico (con coefficiente angolare RL ) fino a raggiungere V̄ (un esempio
in Figura 14.6). Si noti che se il carico è una logica (RL = ∞) la retta del carico
coincide con l’asse y mentre se il carico è un cortocircuito la retta di carico coincide
con l’asse x (ed ha poco senso).
Naturalmente a seconda del rapporto in cui sono RG , Z0 ed RL avremo diversi
grafici. Analizziamo in Figura 14.7 il caso in cui RL = ∞ (quindi plausibilmente sul
140
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
14.1 Terminazione di linee digitali
Figura 14.6.: Esempio di analisi con i diagrammi di Bergeron
carico abbiamo delle porte logiche) e in Figura 14.8 altri casi interessanti.
Andiamo adesso ad analizzare un metodo per la misura dell’impedenza di linea
(Figura 14.9): data R0 = 25 in quanto pari al parallelo tra la resistenza dell’oscilloscopio (solitamente 50Ω) e del generatore di impulsi (50Ω), si può calcolare:
Z0 =
R0
−1
V0
VA
estrapolando i dati mancanti dal grafico, e τ · Z0 = L e
τ
Z0
= C.
14.1. Terminazione di linee digitali
Le riflessioni si possono combattere terminando una linea, azione che può essere
compiuta in parallelo (al termine della linea) od in serie (all’inizio della linea). Le
terminazioni di tipo parallelo sono tendenzialmente più “power consuming”; proprio
per questo le terminazioni di tipo serie sono preferite nella maggior parte dei casi,
eccetto che nel controllo di bus (poichè con queste terminazioni il circuito è altamente corrotto da fenomeni di metastabilità). Consideriamo la generica porta logica
(Figura 14.11) e analizziamo gli effetti che una terminazione avrebbe sull’uscita:
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
141
14.1 Terminazione di linee digitali
Figura 14.7.: Dipendenza tra RG e Z0 con RL = ∞
• una terminazione serie (adattando con R = Z0 + RG , Figura 14.10) è generalmente preferita nelle linee porta-porta ma non può essere applicata ai bus
poichè porta alla metastabilità;
• una terminazione parallelo come quella in Figura 14.12 ha come contro un alto
consumo di potenza; inoltre, considerata la struttura della logica (Figura 14.11),
una terminazione di questo tipo fa si che i due transistor non lavorino allo
stesso modo (in pratica il transistor alto lavora di più e, quindi, si scalda).
Per sopperire a questo problema è possibile utilizzare una terminazione con
R = 2Z0 , così da avere un mismatch del 50% (accettabile) ed un minor dispendio di potenza (comunque i transistor della logica continuano a lavorare
in modo errato);
• una terminazione parallelo con partitore (detta rete di Thevenin, Figura 14.13),
se è tale che il parallelo tra R1 ed R2 è circa 2Z0 (con R2 > R1 così da essere
meno dispersivo) allora la logica lavora in modo simmetrico. Resta comunque
il problema delle perdite di potenza;
• una terminazione parallelo con carico R-C (Figura 14.14) è tale per cui non si
rischia più la metastabilità poichè a regime il condensatore equivale ad un gene-
142
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
14.1 Terminazione di linee digitali
Figura 14.8.: Dipendenza tra RG , RL e Z0
ratore di tensione (di V2 ). Sulla resistenza scorrono gli altri V2 così da dimezzare
la potenza dissipata (anche per questo è uno dei metodi di terminazione più
usati). Vige la regola pratica secondo cui R · C = 4τp .
n
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
143
14.1 Terminazione di linee digitali
Figura 14.9.: Esempio di misura dell’impedenza di linea
Figura 14.10.: Terminazione serie
Figura 14.11.: Porta logica
144
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
14.1 Terminazione di linee digitali
Figura 14.12.: Terminazione parallelo 1
Figura 14.13.: Terminazione parallelo con partitore
Figura 14.14.: Terminazione parallelo R-C
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
145
15. Rumori e circuiti ad alta velocità
Andiamo adesso ad analizzare le problematiche relative ai circuiti ad alta velocità.
Nello specifico, cerchiamo di studiare i disturbi di commutazione (switching noise),
l’accoppiamento tra le linee (crosstalk) e gli approcci al “buon progetto” di una
scheda a circuiti stampati (PCB).
15.1. Switching-noise
Lo switching noise è un fenomeno di scarica che avviene nella commutazione dei
transistor interni alle logiche nel passaggio alto-basso. Se ciò avviene in modo
non perfettamente sincrono, infatti, è possibile che si generi un glitch (picco) in
corrispondenza della commutazione (Figura 15.1).
Se consideriamo il fatto che l’uscita, all’istante di commutazione, si scarica su una
capacità parassita C tale che:
∆i = C
dV
dt
ad esempio per C = 25pF , V = 5V e dt = trise = 2ns si ottiene un ∆i ≈ 60mA
che comunque va considerato come un valore medio. Essendo un valore medio, se
consideriamo che uno spike di corrente ha una forma d’onda triangolare, ne deriva
che il valore massimo di tale spike (imax ) è circa 120mA (non poco).
Se adesso si considerano le induttanze parassite della linea, si ottiene una relazione
del tipo:
∆V = L
di
dt
147
15.1 Switching-noise
che aumenta all’aumentare della velocità della logica (quindi della frequenza di switching) per diminuire con il “power consumption” (la potenza della logica). Se riprendiamo i 120mA calcolati in precedenza, considerata una induttanza media della
linea (L0 in Figura 15.2) di 5nH/cm si ottiene un ∆V compreso tra 0.5V ed 1V che,
su una logica che lavora a 5V , è un disturbo assolutamente non trascurabile (che fra
l’altro va a spostare la tensione di riferimento a massa, Figura 15.3, e può portare
a fenomeni di metastabilità sulle “uscite quiescenti”).
Alcune soluzioni per prevenire lo switching noise sono:
1. aumentare la velocità e, quindi, la tecnologia della logica (ma non troppo
poichè come visto aumentando la velocità cresce ∆V );
2. ottimizzare il progetto in modo da avere bus non flottanti e pin non disconnessi;
3. non utilizzare i “socket” che vanno ad aumentare la capacità parassita;
4. progettare in modo corretto i piani di alimentazione e di massa in modo da
minimizzare gli accoppiamenti;
5. limitare quanto più possibile la capacità del carico.
Figura 15.1.: Analisi dello switching noise
148
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
15.2 Crosstalk
Figura 15.2.: Rappresentazione della linea con la sua induttanza caratteristica (L0 )
Figura 15.3.: Esempio di switching noise accentuato dalle commutazioni simulanee
di più logiche
15.2. Crosstalk
un altro fenomeno che, assieme allo switching noise, caratterizza i problemi dei circuiti ad alta velocità, è l’accoppiamento tra le piste (o crosstalk). Questo fenomeno,
come il precedente, è prevenibile in fase di progetto adottando buone tecniche di
progetto del layout delle schede digitali.
Il crosstalk avviene quando una linea di trasmissione (detta “linea killer”) si accoppia ad una seconda (“linea vittima”) con la quale non dovrebbe avere niente a che
fare. Ciò avviene in quanto una linea di trasmissione è sempre rappresentabile a parametri concentrati attraverso un insieme di induttanze e capacità di accoppiamento
(Figura 15.4 e Figura 15.7).
Il crosstalk può essere di due tipi a seconda di chi è l’ingresso (killer) e di chi è
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
149
15.2 Crosstalk
l’uscita (vittima):
• forward-crosstalk (Figura 15.5): in questo caso vi è un ritardo fisso (pari a τp )
in cui arrivano i disturbi indipendentemente dal percorso. Ne derivano così due
componenti (una capacitiva ed una induttiva) che si sommano annullandosi
tra loro (data la loro natura, Figura 15.7) se i componenti sono omogenei;
• reverse-crosstalk (Figura 15.6): in questo caso il problema è più complesso in
quanto i disturbi arrivano in istanti che dipendono dal cammino intrapreso,
quindi vanno a sommarsi tra loro introducendo un bel disturbo.
Ma come si misura il crosstalk? Idealmente è misurabile facendo il rapporto tra
segnale di disturbo sulla linea vittima e segnale sulla linea killer. In realtà ci viene
in aiuto una formula empirica:
vnoise
k
=
2
D
∆vkiller
1− H
dove D è la distanza tra killer e vittima, H la distanza tra vittima e massa e k
caratteristica della struttura della linea.
Se andiamo ad analizzare il reverse-crosstalk (Figura 15.8) si va a definire una
lunghezza critica della linea Lc tale che:
• per L < Lc (Figura 15.8.a): solo pochi impulsi (di durata tr ) contribuiscono
all’integrale (di durata tr + 2τp ) (tutti gli impulsi che contribuiscono sono
parzialmente sovrapposti);
• per L = Lc (Figura 15.8.b): l’integrale raggiunge il valore massimo e subito
dopo inizia a decrescere (tutti gli impulsi che contribuiscono sono parzialmente
sovrapposti, eccetto l’ultimo);
• per L > Lc (Figura 15.8.c): l’integrale raggiunge il valore massimo e lo mantiene per 2τp − tr (non tutti gli impulsi che contribuiscono sono parzialmente
sovrapposti). Si noti che il reverse crosstalk è massimo in questo caso e, al
contempo, che il caso L > Lc impone anche che tr < 2τp (cosa da tenere in
conto al momento della progettazione).
Per quanto riguarda i metodi di prevenzione per il crosstalk si osserva che:
150
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
15.2 Crosstalk
1. il piano di massa deve essere il più integro possibile;
2. è bene utilizzare delle linee di guardia per minimizzare i fenomeni di accoppiamento;
3. è bene minimizzare gli accoppiamenti tra la linea che porta il clock (il killer
per antonomasia) e le altre linee;
4. è bene non porre ingressi ed uscite vicini (così da limitare i casi di reverse
crosstalk).
Figura 15.4.: Rappresentazione di una linea di trasmissione a parametri
concentrati
Figura 15.5.: Forward crosstalk
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
151
15.3 Problematiche di Layout
Figura 15.6.: Reverse crosstalk
Figura 15.7.: Caratteristiche del crosstalk
15.3. Problematiche di Layout
Analizziamo adesso il fatto che, ad ogni commutazione, si possono avere elevati
di
valori di dt
e di dv
i quali„ coinvolgendo induttanze e capacità parassite, possono
dt
di
dar luogo a notevoli fenomeni di disturbo. Un modo approssimato per stimare dt
,
dove dt = tr , è il seguente. Considerato che:
∆i = C
152
dv
dt
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
15.3 Problematiche di Layout
Figura 15.8.: Analisi del reverse crosstalk
possiamo sostituire in:
∆v = L
dove
d2 v
dt2
di
∆i
d2 v
=L
=L·C · 2
dt
tr
dt
ha un andamento come in Figura 15.9. Si noti che è possibile approssimare:
(
di
max
dt
)
d2 v
= C · max
dt2
(
)
= 1.5 · C ·
∆V
t2r
che per dei valori plausibili di C = 50pF , ∆V = 3.7V e tr = 2ns porta a picchi
massimi di 70mA/ns che non possiamo ignorare.
Figura 15.9.: Analisi dell’andamento di un disturbo ∆v
Ci si chiede adesso quale sia il percorso di “richiusura” delle correnti di disturbi. Si
individuano due casi:
1. se la natura del circuito è di tipo DC (o comunque a frequenze molto basse)
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
153
15.3 Problematiche di Layout
predomina la natura resistiva della linea ed il loop si richiude sul percorso a
resistenza minima (quindi sul più breve);
2. se la natural del circuito è di tipo AC (e ciò avviene sempre nel caso di circuiti
ad alta frequenza) predominano le caratteristiche induttive sulla linea ed il
loop si richiude sul percorso a minima induttanza (e, quindi, ad area minima).
Proprio per questo è dannoso togliere integrità al piano di massa: in tal modo
vi è la possibilità che le correnti si richiudano al di sotto del piano di massa.
Notiamo ora che l’induttanza parassita di un circuito aumenta con la lunghezza e
diminuisce con la sezione, limitandosi nel caso in cui sia presente anche un piano di
massa. Per porre un freno a queste problematiche è possibile applicare una capacità
di bypass (Cb , in parallelo alle logiche) in modo tale da ridurre l’induttanza parassita
andando a limitare l’area del loop (un esempio applicativo è quello di utilizzare una
PCB a quattro strati due dei quali sono massa ed alimentazione; in questo modo si
ha all’incirca 100pF/inch).
Riprendendo:
i(t) = C ·
dv
dt
e considerando dt = tr ed i(t) = i0 costante, si ottiene la condizione:
Cb > Cmin = i0 ·
tr
dvmax
Allo stesso modo è possibile applicare, in serie alla linea (a monte quindi), una
induttanza di blocco che va a filtrare il rumore uscente (verso l’alimentazione) e
parte di quello entrante (alle alte frequenze).
Di conseguenza sono possibili soluzioni di progetto:
1. mantenere il piano di massa il più integro possibile;
2. controllare in fase di progetto i percorsi di ritorno;
3. seguire le regole per ridurre switching noise e crosstalk (che comunque influenzano in modo pesante il funzionamento della scheda);
4. usare più Cb piccoli anzichè un unico Cb di elevato valore;
154
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
15.3 Problematiche di Layout
5. separare le alimentazioni applicando delle induttanze di blocco.
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
155
Parte IV.
Relazione di macchine elettriche
157
15.4 Introduzione e Misure
15.4. Introduzione e Misure
15.5. Obiettivi
L’obiettivo della presente relazione è la caratterizzazione di un motore asincrono
trifase e la costruzione del relativo diagramma circolare. Per poter ricavare i dati
necessari, bisogna eseguire tre prove sulla macchina:
• Misura delle resistenze statoriche;
• Prova a vuoto (rotore senza carico);
• Prova in corto circuito (rotore bloccato).
15.6. Dati di targa del motore trifase
Pn
Vn
5,5 kW 380 V
In
cos ϕ
η
n1
classe d’isolamento
11,7 A 0,83 88,3 % 1500
B
Tabella 15.2.: Dati di targa
15.7. Misura della resistenza statorica
Per determinare la resistenza di fase statorica si esegue una prova in corrente continua andando ad usare l’inserzione volt-amperometrica con il voltmetro a valle.
La corrente applicata deve essere inferiore al 10% della corrente nominale al fine
di ridurre al minimo il riscaldamento degli avvolgimenti. Si determina così la resistenza delle fasi concatenate come media delle tre resistenze rilevate sulle tre coppie
di morsetti. La resistenza di fase, essendo i morsetti collegati a stella, viene infine
ottenuta come Rmedia/2.
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
159
15.8 Tabelle delle misure
15.8. Tabelle delle misure
Misure delle resistenze
morsetti I [A] V [V] R [Ω] ∆R%
1-2
0,98 1,27
1,30 ±0, 3%
1-3
0,99 1,29
1,30 ±0, 3%
2-3
0,98 1,27
1,30 ±0, 3%
Tabella 15.4.: Misure effettuate
15.9. Dati ricavati dalle misure
Nel nostro caso i valori ottenuti sono stati:
Rmedia =
Rstat =
1, 30 + 1, 30 + 1, 30
= 1, 30Ω ± 0, 3%
3
Rmedia
= 0, 65Ω ± 0, 3%
2
Si riporata quindi il valore della Rstat alla temperatura di riferimento convenzionale
Tr = 75°dipendente dalla classe d’isolamento della macchina (B).
Il fattore di riporto in temperatura si ottiene dalla seguente formula:
KT =
234, 5 + Tr
234, 5 + Tp
quindi la resistenza riportata alla temperatura convenzionale è:
T
Rstat
= K T Rstat
160
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
(15.1)
15.9 Dati ricavati dalle misure
I risultati sono riportati in Tabella 15.6.
Temperatura di prova
Tp
21°C ±0, 5%
Temperatura convenzionale
Tr
75°C
Fattore di temperatura
KT
1,21 ±0, 5%
T
Resistenza statorica a
Tr
Rstat
0,79 ±0, 8%
Tabella 15.6.: Resistenza riportata alla temperatura convenzionale
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
161
16. Prova a vuoto
La prova a vuoto consiste nel far funzionare il motore alla tensione nominale senza
applicare nessun carico al rotore, quindi misurare la potenza a vuoto (P0 ), la corrente
a vuoto (I0 ) e il fattore di potenza (cos ϕ0 ).
La prova viene effettuata inizialmente alimentando il motore ad un voltaggio pari
al 110% della tensione nominale; a questo punto si va a decrementare la tensione
applicata al motore fino ad arrivare al 25% circa di Vn .
16.1. Tabelle delle misure
prova n°
V0 [V]
I0 [A]
P0 [W]
cos ϕ0
1
2
398,6 381
5,328 4,796
451,3 403,2
0,123 0,127
Tabella
3
4
5
6
7
8
9
10
343,7 297,1 264,7 221,3 182,5 159,7 138 121,2
3,961 3,21 2,759 2,241 1,855 1,628 1,486 1,357
334,8 275,6 243,1 202,5 175,6 158,1 142,3 130,3
0,142 0,167 0,192 0,236 0,299 0,351 0,401 0,457
16.2.: Dati ricavati dalle misure a vuoto
16.2. Dati ricavati dalla prova a vuoto
Nella prova a vuoto le perdite nel ferro e nel rame rotoriche possono essere trascurate
poichè le correnti indotte nel rotore sono molto ridotte. Quindi:
P0 ' Pj0 + Pf m = 403.2 ± 1, 1%
163
16.2 Dati ricavati dalla prova a vuoto
Ovvero la potenza assorbita a vuoto è la somma delle potenze perse nel rame (e nel
ferro) statorico e delle potenze meccaniche. Le perdite nel rame statorico possono
essere espresse come:
3
Pj0 = Rstat I02 = 22, 40W ± 2%
2
Quindi le perdite nel ferro e meccaniche si ricavano dalla relazione:
Pf m = P0 − Pjo = (380, 80 ± 4, 89)W
prova n°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
V0 [V]
I0 [A]
P0 [W]
cosϕ0
S0 [VA]
Q0 [VAR]
Pj0 [W]
Pf m [W]
121,2
1,36
130,3
0,46
284,9
225,3
1,79
128,5
138,0
1,49
142,3
0,40
355,2
298,2
2,15
140,2
159,7
1,63
158,1
0,35
450,3
394,8
2,58
155,6
182,5
1,86
175,6
0,30
586,4
533,8
3,35
172,3
221,3
2,24
202,5
0,24
858,9
811,2
4,89
197,6
264,7
2,8
243,1
0,19
1264,9
1218,2
7,4
235,7
297,1
3,21
275,6
0,17
1651,8
1605,9
10,0
265,6
343,7
3,96
334,8
0,14
2358,0
2310,5
15,3
319,5
381,0
4,80
403,2
0,13
3164,9
3113,6
22,4
380,8
398,6
5,33
451,3
0,12
3678,4
3623,0
27,6
423,7
Table 16.4.: Caratteristiche a vuoto
Nella tabella sono state riportate anche le potenze apparenti e reattive:
So =
164
√
3Vo Io
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
16.3 Circuto equivalente a vuoto
Q0 = So sin ϕ0
16.2.1. Separazione delle perdite nel ferro e meccaniche
Le perdite Pf m sono proporzionali a V 2 . Considerando costanti con la tensione le
perdite meccaniche e dipendenti da V 2 le perdite nel ferro, si ottiene la seguente
relazione:
Pf m = Pf + Pm = KV 2 + Pm
Tale relazione non è altro che un’equazione di una retta dove Pm è l’intercetta.
Si ottiene quindi che le perdite meccaniche, identificabili nel punto in cui la retta
interseca l’asse y, sono pari a 105 W (Figura 16.1).
Figura 16.1.: Grafico delle perdite ferro-meccaniche in funzione di V 2
16.3. Circuto equivalente a vuoto
Trascurando le perdite per effetto Joule nel rame statorico e osservando che per lo
scorrimento s → 0 ⇒ R(s) → ∞, è possibile calcolare i valori del circuito equivalente
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
165
16.4 Grafici
a vuoto, tenendo conto dei dati letti nella prova effettuata alla tensione nominale.
Si ottiene così il circuito in Figura 16.2.
Figura 16.2.: Circuito semplificato a vuoto
Rm =
3Vo2
= 1080Ω ± 2, 1%
Po
Xm =
3V02
= 140Ω ± 2, 1%
Q0
16.4. Grafici
In Figura 16.3, Figura 16.4 e Figura 16.5 sono riportati i grafici ottenuti dalle misure
effttuate nella prova a vuoto.
16.5. Conclusioni
Osservando i grafici si nota che:
• la potenza Pf m ha un andamento parabolico dovuto alle perdite nel ferro (vedi:
Separazione delle perdite nel ferro e meccaniche);
166
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
16.5 Conclusioni
Figura 16.3.: Andamento delle potenze rispetto alla tensione nella prova a vuoto
• il fattore di potenza diminuisce in quanto all’aumentare della tensione aumenta il comportamento reattivo del motore trifase (le perdite nel ferro sono
preponderanti rispetto a quelle per effetto Joule).
Confrontando le grandezze nominali del motore con quelle ricavate a vuoto alla
tensione nominale si nota che:
• Potenza nominale assorbita a vuoto: P0n = 403, 2W ; Pon % = 7, 3%
• Corrente nominale assorbita a vuoto I0n = 4, 8A ;
I0n % = 41%
• Perdite meccaniche Pm = 105W ± 1, 5%
• Perdite nel ferro nominali Pf n = 275, 8W
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
167
16.5 Conclusioni
Ϭ͕ϱ
Ϭ͕ϰϱ
&ĂƚƚŽƌĞĚŝWŽƚĞŶnjĂ;ĐŽƐφ
φͿ
Ϭ͕ϰ
Ϭ͕ϯϱ
Ϭ͕ϯ
Ϭ͕Ϯϱ
Ϭ͕Ϯ
Ϭ͕ϭϱ
Ϭ͕ϭ
Ϭ͕Ϭϱ
Ϭ
Ϭ
ϱϬ
ϭϬϬ
ϭϱϬ
ϮϬϬ
ϮϱϬ
ϯϬϬ
ϯϱϬ
ϰϬϬ
ϰϱϬ
sŽ
Figura 16.4.: Andamento del fattore di potenza rispetto alla tensione nella prova
a vuoto
ϲ
ϱ
/Ž;Ϳ
ϰ
ϯ
Ϯ
ϭ
Ϭ
Ϭ
ϱϬ
ϭϬϬ
ϭϱϬ
ϮϬϬ
ϮϱϬ
ϯϬϬ
ϯϱϬ
ϰϬϬ
ϰϱϬ
sŽ
Figura 16.5.: Andamento della corrente rispetto alla tensione nella prova a vuoto
168
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
17. Prova in corto
La prova in corto circuito è da effettuarsi a rotore bloccato alimentando il motore
inizialmente con un valore di corrente pari al 110% circa della nominale ed andando
a decrementarla fino ad arrivare a circa il 25% . La prova serve a misurare la Pcc che
si può considerare con una certa approsimazione pari alle perdite nel rame. Essendo
il rotore bloccato ne deriva che lo scorrimento (s) è unitario.
17.1. Tabelle delle misure
prova n°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Vcc [V]
Icc [A]
Pcc [W]
cosϕcc
Qcc [VAR]
Scc [VA]
102,80
13,40
998,60
0,419
1968,9
2385,9
98,00
12,53
883,20
0,415
1760,1
2126,9
91,20
11,67
716,30
0,389
1565,1
1843,4
83,43
10,01
497,60
0,344
1275,3
1446,5
72,36
8,20
362,10
0,352
899,9
1027,5
68,36
7,59
338,70
0,370
771,4
899,0
58,88
6,14
224,4
0,358
546,2
626,6
51,99
5,14
158,3
0,342
408,2
462,4
44,34
4,04
99,32
0,320
278,2
310,0
39,35
3,34
69,06
0,304
206,5
227,4
Table 17.1.: Dati ricavati dalle misure in corto circuito
Nella tabella sono state riportate anche le potenze apparenti e reattive, ricavate
come:
Scc =
√
3Vcc Icc
169
17.2 Circuito equivalente in corto
Qcc = Scc sin ϕcc
Nella prova in corto circuito le perdite nel ferro possono essere trascurate, in quanto
la tensione durante la prova assume valori molto inferiori rispetto a Vn , mentre le
perdite meccaniche sono nulle. Quindi:
2
Pcc = Pj1 + Pj2 = 3Reqcc Icc
dove Pj1 e Pj2 sono le perdite per effetto Joule nel rame rispettivamente dello statore
e del rotore ed Reqcc è la resistenza equivalente riportata allo statore.
17.2. Circuito equivalente in corto
Nella prova in corto lo scorrimento è s = 1, quindi la resistenza fittizia R(s) è nulla.
Con una certa approssimazione si può trascurare l’ammettenza Zm dato il ridotto
valore di tensione della prova. Quindi si ottiene il seguente circuito semplificato in
Figura 17.1 dove:
Vccn
Zeqcc = √
3In
Reqcc = Zeqcc cos ϕcc
Xeqcc = Zeqcc sin ϕcc
170
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
17.3 Parametri riportati alla temperatura convenzionale
sono le grandezze equivalenti riportate allo statore essendo Vccn la tensione di corto
circuito riferita alla corrente nominale.
Figura 17.1.: Circuito equivalente in corto circuito (semplificato)
17.3. Parametri riportati alla temperatura
convenzionale
I parametri caratteristici della prova in corto circuito vanno riportati alla temperatura convenzionale di Tr = 75°; è importante notare che la reattanza non dipende
dalla temperatura, quindi:
T
Reqcc
= K T Reqcc
T
= Xeqcc
Xeqcc
T
Zeqcc
=
q
T )2 + (X T )2
(Reqcc
eqcc
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
171
17.4 Grafici
dove K T si trova con la formula ??eq:riporto a pagina 160.
Il fattore di potenza alla temperatura di riferimento è pari a:
cos ϕTcc =
T
Reqcc
T
Zeqcc
(17.1)
mentre la potenza persa in corto circuito alla temperatura di riferimento è:
PccT = K T 3Reqcc In2 = K T Pcc = 859W ± 1, 9%
Tp = 23, 5° [Ω] Accuracy
Tr = 75°
T
Reqcc
1,85 ±4, 4%
Reqcc
T
Xeqcc
3,76 ±4, 4%
Xeqcc
T
Zeqcc
4,51 ±1, 1%
Zeqcc
Tabella 17.3.: Parametri in corto
[Ω] Accuracy
2,21 ±4, 9%
3,76 ±4, 4%
4,36 ±4, 5%
circuito
17.4. Grafici
In Figura 17.2, Figura 17.3 e Figura 17.4 sono riportati i grafici delle misure effettuate nella prova in corto circuito.
17.5. Conclusioni
Andando ad osservare i grafici, si nota che:
• La Vcc ha un andamento lineare rispetto alla corrente in quanto il comportamento è legato alla caduta di tensione sull’impedenza equivalente secondo la
√
relazione lineare Vcc = 3Zeqcc Icc ;
172
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
17.5 Conclusioni
T
Figura 17.2.: Andamento della tensione rispetto alla corrente in corto circuito
• Le perdite nel rame Pcc hanno un andamento parabolico essendo dipendenti
dal quadrato della corrente;
• Il fattore di potenza cos ϕcc si mantiene quasi costante in quanto non è dipen
eqcc
dente dalla corrente cos ϕcc = R
.
Zeqcc
Confrontando le grandezze nominali del motore con quelle ricavate in corto circuito
(alla corrente nominale) si nota che:
• Potenza nominale assorbita in corto circuito: Pcc = 716, 3W ; Pccn % = 13%
• Corrente nominale assorbita in corto circuito Vccn = 91, 2V ;
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
Vccn % = 24%
173
17.5 Conclusioni
Figura 17.3.: Andamento delle perdite nel rame rispetto alla corrente in corto
circuito
Figura 17.4.: Andamento del fattore di potenza rispetto alla corrente in corto
circuito
174
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
18. Diagramma circolare
Dalle prove effettuate possiamo ricavare i dati necessari per la costruzione del
diagramma circolare.
Il diagramma circolare è un diagramma polare che mostra il variare della corrente
assorbita in funzione dello scorrimento supponendo la tensione di alimentazione
costante.
Inoltre è possibile anche determinare le potenze, assorbite e rese, con le relative
perdite e la coppia in funzione dello scorrimento. Per ottenere questi paramentri è
necessario calcorare le intersezioni fra le relative rette:
• L’asse delle ordinate rappresenta la potenza assorbita dal motore;
• La retta “a” rappresenta le potenze rese all’asse del motore;
• La retta “b” rappresenta le coppie trasmesse.
Prendendo come esempio un punto di lavoro con scorrimento s = 0, 033, possiamo
ricavarci i parametri valutando i seguenti segmenti:
AB
Potenza assorbita
BD
Potenza persa nello statore
DE
Potenza dissipata nel rotore
AD
Potenza trasmessa al rotore
AE
Potenza resa
Quindi il rendimento del motore nel punto di riferimento è dato da;
η=
AE
AB
=
Pr
Pa
175
Diagramma circolare
Dal grafico (Figura 18.1 e Figura 18.2) si ricavano le seguenti misure:
AB = 8, 7
AE = 7, 27
AD = 7, 72
BD = 0, 98
DE = 0, 45
n2 = 1500 − (1500 · 0, 033) = 1450rpm
Per ricavare i valori delle potenze è necessario moltiplicare i segmenti per il fattore
√
di scala 3Vn . Si ottiene:
AB = 5, 726kW =Potenza assorbita
AE = 4, 785kW =Potenza resa
AD = 5, 081kW =Potenza trasmessa al rotore
BD = 645W =Potenza dissipata nello statore
DE = 296W =Potenza dissipata nel rotore
Ne deriva un rendimento pari a:
η=
176
AE
AB
' 83, 57%
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
Diagramma circolare
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
Figura 18.1.: Diagramma circolare con s = 0, 033
177
Diagramma circolare
Figura 18.2.: Particolare del diagramma circolare del caso in esame (s = 0, 033)
178
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
Parte V.
Laboratorio di automatica I
179
19. Controllo di un levitatore
magnetico con PID e tecnica di
taratura automatica IFT
Nella seguente relazione è trattata l’applicazione di un controllo iterativo non model
based ad un levitatore magnetico.
Il sistema in oggetto è descritto all’interno del Capitolo 2 ed è composto da un
elettromagnete che agisce su una sfera metallica inducendo una forza su di essa. Il
nostro scopo è quello di riuscire a controllare il suddetto sistema inseguendo varie
tipologie di riferimento.
Il sistema a disposizione è comandato da una macchina con scheda di acquisizione
ed elaborazione Real Time, quindi è stato necessario lavorare in tempo discreto.
Per controllare il sistema è stato utilizzato un controllore di tipo PID il quale è stato
tarato tramite l’algoritmo IFT (Iterative Feedback Tuning). L’IFT è un metodo
di taratura iterativo che cerca di migliorare le prestazioni del sistema andando a
minimizzare un determinato funzionale di costo.
Per calcolare i parametri ottimi del controllore PID, l’IFT presuppone l’esistenza
di due esperimenti durante i quali vengono acquisiti i segnali di uscita, controllo ed
errore che verranno poi elaborati dall’algoritmo.
La problematica affrontata è stata quindi quella di riuscire a temporizzare lo schema Simulink Real-Time in modo tale da poter eseguire gli esperimenti non solo in
modo iterativo ma anche in modo consequenziale; infatti lo schema Simulink deve
implementrare due esperimenti sul sistema in anello chiuso: il primo con in ingresso
il segnale di riferimento ed il secondo con ingresso l’errore del primo esperimento.
181
Controllo di un levitatore magnetico con PID e tecnica di taratura automatica IFT
Inoltre ad ogni iterazione è necessario effettuare un aggiornamento dei parametri
(opportunamente inizializzati) secondo la relazione:
pi+1 = pi − ∆p
in cui l’incremento ∆p è calcolato in base alla minimizzazione di una determinata
funzione di costo nel nostro dipendente dai segnali di errore e di uscita del sistema
in anello chiuso.
Al termine dell’analisi sono stati ricavati dei PID ottimi per i diversi segnali di
riferimento presi in esame.
182
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
20. Modello
In questo capitolo si cerca di definire ed identificare il modello fisico del processo
partendo da un’analisi diretta delle forze che agiscono sul sistema.
Tutto ciò è atto ad ottenere un modello matematico sufficientemente coerente con
quello reale in modo da poter valutare in fase di simulazione le prestazioni del
controllore PID che andremo a migliorare.
Il modello matematico complessivo che descrive il processo è composto dall’unione
dei comportamenti dei singoli dispositivi del sistema: un amplificatore di transconduttanza, un elettromagnete ed un sensore di posizione.
20.1. Amplificatore di transconduttanza
L’amplificatore di transconduttanza è un attuatore, ovvero un elemento che fornisce un segnale di potenza (nel caso specifico la corrente di eccitazione nelle spire dell’elettromagnete) proporzionale al segnale di controllo in tensione inviato in
ingresso.
Ipotizzeremo che nel nostro caso esso abbia (indipendentemente dalle condizioni di
lavoro) banda infinita; ciò significa che l’amplificatore è considerato a tutti gli effetti
ideale e caratterizzato da un tempo di risposta nullo.
Inoltre, visto che la forza magnetica è solo attrattiva (dato che il magnete è posizionato sopra alla sfera), nella caratteristica statica dell’amplificatore troveremo
un valore di corrente nullo per tensioni di ingresso negative mentre - per ragioni di
sicurezza - è presente un circuito di protezione che azzera la corrente in ingresso
all’elettromagnete quando questa supera la soglia di 3 A.
183
20.2 Elettromagnete
Questo permette di descrivere il comportamento dell’amplificatore attraverso l’espressione:
Im = Ka Vin + i0
∀ 0 ≤ Im ≤ 3
(20.1)
in cui si ha:
Im =corrente in uscita dell’amplificatore
Ka = 0.4087[S] =guadagno dell’amplificatore
Vin =tensione di ingresso
i0 = 0.0944[A] =corrente di offset corrispondente a Vin = 0
20.2. Elettromagnete
L’elettromagnete è costituito da un nucleo sagomato ad E sul cui elemento centrale
sono avvolte le spire che percorse da corrente generano il campo magnetico indotto.
Dalle formule fondamentali dell’elettromagnetismo si ottiene l’equazione dell’energia
accumulata nel traferro:
ˆ
ˆ
W =
H
!
B dH dV
V
0
(20.2)
mentre la forza di attrazione magnetica è pari a:
F =−
dW
dz
(20.3)
dove:
V =volume al traferro
184
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
20.2 Elettromagnete
H =intensità del campo magnetico
B =induzione magnetica
z =coordinata spaziale in cui si calcola la forza
quindi, logicamente, a parità di corrente nell’elettromagnete l’intensità del campo
magnetico H (e di conseguenza della forza F ) varia in funzione della posizione z
della sfera.
Per sistemi a geometria molto semplice, ipotizzando per semplificare che la permeabilità del nucleo sia infinitamente più grande di quella del vuoto, la forza con cui
viene attratta la sfera è derivabile dalle equazioni:
N I = 2lH
B = µ0 H
W = µ0 H 2 Sl =
F = µ0 SN 2
1
µ0 SN 2 I 2
4l
I2
I2
=
K
(2l)2
(2l)2
dove:
µ0 =permeabilità magnetica del vuoto
N =numero di spire dell’avvolgimento
I =corrente nelle spire dell’avvolgimento
S =sezione del traferro
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
185
20.3 Trasduttore di posizione
2l = lunghezza totale del traferro
Dato che la permeabilità del nucleo viene considerata infinitamente più grande di
quella del vuoto, allora si può ipotizzare che la forza magnetomotrice NI sia concentrata completamente nel traferro e che non sia presente flusso disperso (ovvero
tutte le linee di flusso passano per il traferro).
L’aver supposto di considerare elettromagneti con geometria semplice non toglie
validità alle considerazioni già fatte; risulta infatti ragionevole ipotizzare che tra la
forza magnetica Fm , la corrente Im e la distanza z esista una relazione esprimibile
come:
2
Im
(t)
Fm (t) = Km 2
z (t)
(20.4)
con:
Km = 1.6284 · 10−4
h
N m2
A2
i
= costante elettromagnetica
Tenendo conto che sulla sfera agiscono sia la forza magnetica Fm sia la forza peso e
trascurando i fenomeni di attrito viscoso, si può facilmente trovare l’equazione che
descrive la dinamica del moto:
ms z̈(t) = ms g − Fm (t) = ms g − Km
2
(t)
Im
2
z (t)
(20.5)
con ms pari alla massa della sfera e g all’accelerazione gravitazionale.
20.3. Trasduttore di posizione
Il trasduttore di posizione è un dispositivo di tipo ottico realizzato in configurazione differenziale, cioè in modo tale da discriminare i movimenti verticali da quelli
orizzontali della pallina.
186
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
20.4 Modello matematico del sistema
Il segnale luminoso emesso dai fotodiodi non è a intensità costante ma costituito
da una portante a 50 kHz ed ampiezza costante. I segnali in uscita dal ricevitore,
anch’essi sinusoidali a 50 kHz, sono modulati in ampiezza dalla quantità d’ombra
proiettata dalla sfera e successivamente demodulati prima di essere opportunamente
elaborati al fine di produrre il segnale di uscita Vout . Tale realizzazione è stata scelta
al fine di rigettare i disturbi luminosi provenienti dall’ambiente circostante.
Nonostante la sua complessità, il trasduttore può essere considerato statico in quanto la sua velocità di risposta è di alcuni ordini di grandezza superiore a quella
delle restanti parti del sistema con un comportamento non lineare man mano che ci
avviciniamo agli estremi del suo campo di azione.
Nell’intervallo di linearità questo dispositivo può essere adeguatamente descritto
dalla equazione:
Vout = Kt z + V0
(20.6)
dove:
Kt = 529.9527
h i
V
m
=guadagno di transconduttanza
V0 = −12.0715[V ] =tensione di offset
20.4. Modello matematico del sistema
Dalle equazioni (Equazione 21.1), (Equazione 21.3) e (Equazione 21.2)si ricava il
modello matematico del sistema:



(t)+i0 )
ms z̈(t) = ms g − Fm (t) = ms g − Km (Ka Vin
z 2 (t)


Vout = Kt z + V0
2
(20.7)
rappresentato dal diagramma a blocchi in Figura 34.1.
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
187
20.5 Tempo di campionamento
Figura 20.1.: Schema Simulink del processo tempo-discreto
Tutti i valori delle costanti caratterizzanti il modello sono state ricavate in modo
empirico da uno studio precedente del sistema fisico.
20.5. Tempo di campionamento
Occorre adesso scegliere il tempo di campionamento Ts da utilizzare per implementare il controllore in tempo discreto.
La scelta di Ts non è particolarmente problematica in quanto la scheda di acquisizione usata consente la possibilità di lavorare con frequenze di campionamento molto
elevate rispetto a quella che è la velocita di risposta dell’impianto con cui si ha a
che fare. La scelta ritenuta più opportuna è stata quella di imporre Ts = 0.001[s] al
fine di apprezzare le dinamiche più veloci del processo senza alcun problema di ricostruibilità dei segnali campionati risultando molto affini al corrispondente segnale
in tempo continuo.
188
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
21. Cenni sui regolatori PID
Iniziamo con il descrivere il funzionamento dei regolatori lineari con più ampia applicazione in ambito industriale: i PID (Proporzionale-Integrativo-Derivativo). Un
così ampio successo è dovuto a ragioni molteplici:
• Il loro impiego consente di controllare una ampia gamma di processi;
• Semplice costruzione: questa peculiarità permette ai PID di essere realizzati con le tecnologie più varie (meccanica, idraulica, elettronica digitale o
analogica, ecc);
• Negli anni sono state sviluppate diverse tecniche di taratura automatica che
permettono di controllare il sistema di interesse senza conoscerne l’esatto
modello matematico.
21.1. Il modello
Come si intuisce dal nome, la variabile di controllo u generata da regolatore di tipo
PID sarà composta da tre contributi:
Proporzionale: è un contributo proporzionale rispetto all’errore (e) tra il segnale
di riferimento in ingresso r e l’uscita y. Tale contributo non influisce sulla
stabilità, ma migliora le prestazioni statiche del sistema da controllare.
Integrativo: è un contributo proporzionale all’integrale di e. Esso può essere interpretato come una azione ritardatrice sul sistema, che va a soddisfare i requisiti
sull’errore a transitorio esaurito in risposta ad un riferimento a gradino.
Derivativo: è un contributo proporzionale alla derivata di e. Esso viene interpretato
come una azione anticipatrice, utile in quei casi in cui sia necessario ottenere
189
21.1 Il modello
più banda passante possibile, andando quindi a migliorare le prestazioni del
transitorio del sistema.
La legge di controllo che ne deriva è la seguente:
ˆ
u(t) = Kp e(t) + Ki
e(τ )dτ + Kd
de(t)
dt
(21.1)
Dove Kp , Ki e Kd sono rispettivamente i coefficienti dell’azione proporzionale, integrale e derivativa. Si dimostra facilmente che per i PID, almeno nella loro forma
ideale, sono verificate tutte quelle ipotesi che ci garantiscono la correttezza dell’uso della trasformata di Laplace. Da ciò ne deriviamo quindi la forma di più facile
utilizzo:
CP ID (s) = KP +
KI
+ Kd s
s
(21.2)
La forma che useremo noi, forse anche la più usata è la seguente :
CP ID (s) = KP
1
1+
+ Td s
Ti s
(21.3)
dove Ti = Kp /Ki è il tempo integrale e Td = Kd /Kp è il tempo derivativo.
La funzione di trasferimento del PID nella sua forma ideale è un sistema improprio, in
quanto avente un numero di zeri maggiore ai poli a causa del termine derivativo. Per
questo motivo, nella pratica viene utilizzata la seguente funzione di trasferimento:
CP ID (s) = KP
Td
1
1+
+
Ti s 1 + TNd s
!
(21.4)
Dove la costante N viene scelta propriamente in modo che il polo aggiunto s = − TNd
sia fuori dalla banda di controllo.
190
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
21.2 Realizzazione dei regolatori PID
Le tipiche rappresentazioni di Bode dei PID sono le seguenti (sia reale che ideale):
Figura 21.1.: Diagrammi di Bode asintotici ed effettivi di un PID ideale e reale
21.2. Realizzazione dei regolatori PID
Lo schema di partenza di un controllore PID può essere visto come un parallelo di
tre blocchi corrispondenti alle tre azioni (proporzionale, derivativo, integrale) del
tipo rappresentato in Figura 21.2.
Figura 21.2.: Schema di controllo con regolatore PID a derivazione dell’errore
Sì può notare però che applicando direttamente l’azione derivativa sull’errore può
accadere che, mettendo particolari segnali in ingresso (per esempio un gradino) al
sistema, si ottenga una azione di controllo u di natura impulsiva. Questa brusca
reazione va contro il requisito di moderazione del controllo e può provocare la saturazione dell’attuatore e l’allontanamento del sistema dalla linearità. Quindi viene
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
191
21.2 Realizzazione dei regolatori PID
usato uno schema alternativo riportato in Figura 21.3, dove l’azione derivativa viene applicata sull’uscita e non sull’errore, poiché è giusto ritenere che il processo
abbia una caratteristica di un filtro passa-basso assicurando un’uscita senza brusche
variazioni (e quindi la sua derivata non ha una caratteristica impulsiva).
Figura 21.3.: Schema di controllo con regolatore PID a derivazione dell’uscita
Per quanto riguarda il parametro N il progettista deve cercare di aumentare N per
mettere il polo aggiunto s = − TNd fuori banda di controllo avvicinandosi così al comportamento ideale del PID. D’altra parte, deve scegliere anche un valore di N sufficientemente basso per cui i disturbi in alta frequenza non vengano eccessivamente
amplificati. Valori tipici di N vanno da 5 a 20.
192
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
22. Iterative Feedback Tuning
Generalmente, soluzioni esplicite di obiettivi di controllo richiedono una completa
conoscenza del sistema dalle caratteristiche frequenziali e/o probabilistiche, dei disturbi e la possibilità di lavorare con controllori arbitrariamente complessi. Nella
pratica spesso il modello del processo e le perturbazioni non sono noti e si preferisce
lavorare con controllori di prestabilita complessità, come i PID. Per raggiungere le
migliori prestazioni, ci si affida a metodi iterativi basati sulla minimizzazione di una
funzione di costo. Il problema principale quindi con queste tecniche è relazionare il
gradiente della funzione di costo ai parametri del controllore, poiché se il modello e
i disturbi non sono conosciuti non è chiaro come il gradiente possa essere calcolato.
In primo luogo sì cercò di determinare metodi di identificazione ad anello chiuso che
garantissero buone prestazioni. Questo fu possibile solo su modelli complessi (fullorder models) utilizzando controllori complessi, situazione ideale però irrealistica.
Usando questi modelli è stato così possibile dimostrare che attraverso questo tipo di
identificazione si ottiene le prestazioni ottime sul sistema.
Nel caso di controllori semplici (low-order controllers) sono stati riportati numerosi
successi, seguendo gli schemi sopracitati basati sull’identificazione del modello. Si
notò però che in alcuni casi non si ottiene la convergenza, per cui si pensò che la strada migliore da seguire fosse la determinazione diretta dei parametri del controllore
(piuttosto che del modello del sistema). Comunque sia, come è stato detto precedentemente, le prime prove in questa direzione si sono scontrate contro la difficoltà
di calcolare il gradiente del costo rispetto ai parametri del controllore.
Dagli studi si è concluso che il metodo migliore per stimare il gradiente deriva dalla
rielaborazione dei segnali ottenuti da esperimenti ad anello chiuso utilizzando il
sistema dato e il controllore. Il numero degli esperimenti dipende strettamente dalla
193
Iterative Feedback Tuning
complessità del controllore. Per controllori a due gradi di libertà, sono sufficienti tre
esperimenti dove il primo e il terzo servono a registrare semplicemente l’evoluzione
dei segnali; mentre il secondo (che è il vero e proprio esperimento) utilizza come
riferimento di ingresso i dati raccolti dal primo esperimento.
Proprio su questi esperimenti si basa l’Iterative Feedback Tuning (IFT), presentato
la prima volta nel 1994, dove è parso chiaro, data la semplicità dello stesso, il vasto
potenziale applicativo. In particolare l’attrattiva di tale metodo in ambito ingegneristico è dovuta alla possibilità di ottimizzare i parametri del controllore osservando
il comportamento del sistema ad anello chiuso. Inoltre con questo schema, la regolazione dei parametri con reiezione dei disturbi è guidata dai disturbi stessi, rendendo
molto semplice quindi l’operare in presenza di processi stocastici.
Consideriamo un sistema sconosciuto descritto da un modello a tempo continuo:
Figura 22.1.: Sistema con un controllore a due gradi di libertà
y = Gu + v
(22.1)
dove G è un sistema LTI, v è un disturbo (processo) aleatorio, y l’uscita del sistema
e u l’ingresso del sistema LTI. Inoltre assumiamo che il sistema sia controllato da
un controllore a due gradi di libertà :
u = Cr (r)r − Cy (r)y
194
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
(22.2)
Iterative Feedback Tuning
dove Cr (r) e Cy (r) sono funzioni di trasferimento LTI parametrizzate da un vettore
di parametri r Rn e r è un segnale di riferimento deterministico indipendente dai
disturbi. Sia y d l’uscita desiderata ottenuta applicando il segnale di riferimento r
al sistema ad anello chiuso che abbia una funzione di trasferimento desiderata Td
ovvero:
y d = Td r
(22.3)
Quindi l’errore è definito come:
e(r) = y(r)–y d =
1
Cr (r)G
r − yd +
v
1 + Cy (r)G
1 + Cy (r)G
(22.4)
oppure se il modello di riferimento Td è definito si può scrivere anche:
Cr (r)G
1
–Td r +
v
1 + Cy (r)G
1 + Cy (r)G
!
e(r) =
(22.5)
L’errore è dato da due contributi:
• dal non corretto inseguimento del segnale di riferimento r;
• dalla componente di disturbo.
L’Iterative Feedback Tuning (IFT) affronta il problema del controllo ottimo come
un problema di minimizzazione del gradiente di una funzione di costo, nel nostro
caso dipendente dall’errore e(r) e dal controllo u(r). Consideriamo la seguente forma
quadratica:
J(r) = E
(ˆ T
0
2
2
)
e (t) + lu (t) dt
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
(22.6)
195
22.1 Criteri di minimizzazione
I parametri ottimi r sono quelli che minimizzano tale funzione di costo.
r∗ = arg min J(r)
(22.7)
ρ
Il primo termine nella funzione di costo J(ρ) è proporzionale all’errore del sistema,
mentre il secondo, pesato su l, è proporzionale ai controlli.
22.1. Criteri di minimizzazione
Vediamo ora la minimizzazione della funzione di costo J(r) (Equazione 22.6) rispetto
al vettore dei parametri r di un controllore con una struttura già preimpostata.
Appare evidente a partire dalla (Equazione 22.4), che J(r) dipende in un modo
abbastanza complicato da r, dal sistema sconosciuto G e dallo spettro sconosciuto
di v. Per ottenere una soluzione di minimo di J(r) dobbiamo trovare una soluzione
alla seguente espressione:



∂J
(r) = E 2

∂r

ˆT
!
e(t)
0



∂e
∂u
+ lu(t)
dt = 0

∂r
∂r

(22.8)
Supponendo di poter calcolare il gradiente ∂J
(r), sarebbe possibile risolvere la
∂r
(Equazione 22.8) attraverso un algoritmo iterativo in cui il vettore dei parametri
è aggiornato ricorsivamente secondo la relazione:
ri+1 = ri − gi Ri−1
∂J
(r )
∂r i
(22.9)
dove Ri è una matrice definita positiva, tipicamente una approssimazione GaussNewton della matrice Hessiana di J; mentre gi è uno scalare reale e positivo che
196
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
22.1 Criteri di minimizzazione
determina il passo di iterazione. La sequenza gi deve rispettare dei vincoli perché
l’algoritmo converga ad un minimo locale della funzione di costo J.
(ri ) è intrattabile a meno che non si ricorra ad un
Il problema del calcolo di ∂J
∂r
algoritmo di approssimazione stocastica come suggerito da Robbins e Monro[?]. Il
modo per risolvere questo problema è il seguente:
1. Memorizzare e(ri ) e u(ri );
2. Stimare il gradiente
∂e
(r )
∂r i
e
∂u
(r );
∂r i
3. Determinare le stime dei prodotti e(ri ) ∂∂er (ri ) e u(ri ) ∂u
(r ).
∂r i
La stima dei due gradienti è sempre stato l’ostacolo per risolvere il problema. Tuttavia, come si vedrà in seguito queste quantità possono essere stimate facendo degli
esperimenti sul sistema ad anello chiuso con i controllori Cr (r) e Cy (r).
22.1.1. Calcolo dei gradienti
Dalla (Equazione 22.4) nella pagina 195 è chiaro che e(r) è ottenuto dalla differenza
tra la risposta con il controllore C(r) = {Cr (r), Cy (r)} e quella desiderata. Si può
(r). Quindi:
notare anche che ∂∂er (r) = ∂y
∂r
G
∂Cr
Cr (r)G2 ∂Cy
G
∂Cy
∂e
(r) =
(r)r −
(r)r −
(r)v
2
2
∂r
1 + Cy (r)G ∂ r
1 + Cy (r)G) ∂ r
(1 + Cy (r)G) ∂ r
(22.10)
∂y
1 ∂Cr
1 ∂Cy
(r) =
(r)T r–
(r)(T 2 r + T Sv)
∂r
Cr (r) ∂ r
(Cr (r) ∂ r
(22.11)
In questa espressione le quantità 1/Cr (r), ∂Cr /∂ r e∂Cy /∂ r sono funzioni conosciute,
mentre T e S sono funzioni di un sistema incognito e quindi non sono calcolabili.
Per calcolare il segnale ∂y/∂ r si ricorre a degli esperimenti sul sistema ad anello
chiuso.
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
197
22.1 Criteri di minimizzazione
Ora osserviamo che l’ultimo termine può essere riscritto come:
T 2 (r)r + T (r)S(r)v = T (r)y
(22.12)
Quindi la (Equazione 22.11) si può scrivere così:
∂y
1
(r) =
∂r
Cr (r)
"
!
#
∂Cr
∂Cy
∂Cy
(r) −
(r) T (r)r +
(r)T (r)(r − y)
∂r
∂r
∂r
(22.13)
L’ultimo termine può essere ottenuto sottraendo il segnale di uscita dal segnale di
riferimento ottenuto dall’esperimento, usando questo segnale d’errore come segnale
di riferimento nell’esperimento successivo. Questa osservazione ci induce a suggerire
la seguente procedura. In ogni iterazione i-esima dell’algoritmo faremo due esperimenti della stessa durata. Prendiamo un segnale di riferimento rij (con j =1,2 che
indica il numero dell’esperimento e i la i-esima iterazione) e il corrispondente segnale
di uscita y j (r). Avremo che :
I esperimento ri1 = r
y 1 (r) = T (r)r + S(r)vi1
II esperimento ri2 = r − y 1 (r)
y 2 (r) = T (r)(r − y 1 (r)) + S(r)vi2
I disturbi possono essere considerati mutuamente indipendenti, venendo da differenti
esperimenti.
Quindi, sostituendo possiamo ora scrivere una stima del gradiente:
∂y
1
est[ (r)] =
∂r
Cr (r)
198
"
!
#
∂Cr
∂Cy
∂Cy
(r) −
(r) y 1 (r) +
(r)y 2 (r)
∂r
∂r
∂r
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
(22.14)
22.1 Criteri di minimizzazione
Ora vediamo come si arriva al calcolo della stima del gradiente dei controlli :
u(r) =
Cr (r)
Cy (r)
r+
v
1 + Cy (r)G
1 + Cy (r)G
(22.15)
∂u
∂Cr
∂S
∂Cy
∂S
(r) =
(r)S(r)r −
(r)Cr (r)r −
(r)S(r)v −
(r)Cy (r)v (22.16)
∂r
∂r
∂r
∂r
∂r
1
∂Cy
∂S
(r) =
S(r)T (r)
(r)
∂r
Cr (r)
∂r
Sostituendo :
"
#
∂Cr
∂Cy
∂u
(r) = S(r)
(r)r −
(r)(T (r)r − S(r)v)
∂r
∂r
∂r
(22.17)
T (r)r + S(r)v = y
(22.18)
"
∂u
∂Cr
∂Cy
(r) = S(r)
(r)r −
(r)y
∂r
∂r
∂r
Aggiungendo e togliendo
"
#
(22.19)
∂Cy
(r)r:
∂r
∂u
∂Cr
∂Cy
∂Cy
(r) = S(r)
(r)r −
(r)r +
(r)(r − y)
∂r
∂r
∂r
∂r
#
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
(22.20)
199
22.2 Stima del gradiente
Come in precedenza in questa espressione le quantità ∂Cr/∂ r(r) e ∂Cy/∂ r(r) sono
funzioni conosciute, mentre S è una funzione incognita, quindi per calcolare il segnale
∂u/∂ r(r) si ricorre ai due esperimenti sul sistema ad anello chiuso.
I esperimento ri1 = r
u1 (r) = S(r) [Cr (r)r − Cy (r)vi1 ]
II esperimento ri2 = r − y 1 (r)
u2 (r) = S(r) [Cr (r)ri2 − C(r)vi2 ]
Sostituendo si può ottenere una stima del gradiente :
∂u
1
est
(r) =
∂r
Cr (r)
"
#
"
!
#
∂Cr
∂Cy
∂Cy
(r) −
(r) u1 (r) +
(r)u2 (r)
∂r
∂r
∂r
(22.21)
22.2. Stima del gradiente
Partendo dalla (Equazione 22.8) nella pagina 196, possiamo stimare la derivata del
gradiente della funzione di costo, ottenendo:
#
"
∂J
est
(r) = 2
∂r
ˆT (
0
"
#
"
∂y
∂u
e(t)est
(r) + lu(t)est
(r)
∂r
∂r
#)
dt
(22.22)
Perché l’approssimazione stocastica dell’algoritmo funzioni, è necessario che la stima
del gradiente non sia polarizzata, e cioè:
(
"
#)
∂J
E est
(r)
∂r
=
∂J
(r)
∂r
(22.23)
Si verifica che tale condizione è rispettata, poiché gli errori usati per la stima del
gradiente sono incorrelati (venendo da esperimenti, come detto prima, con disturbi
mutuamente indipendenti).
200
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
22.3 Convergenza
22.3. Convergenza
In questo paragrafo discuteremo le condizioni di convergenza dell’algoritmo. Prendiamo in considerazione un sottoinsieme di Rn convesso e compatto D. Le condizioni
per cui l’IFT converga ad un punto stazionario sono:
1. In ogni esperimento il segnale di disturbo v è un processo casuale e limitato per
tutta la durata dell’esperimento |v| ≤ C ∀t. La costante C e le statistiche del
secondo ordine del segnale v sono uguali in tutti gli esperimenti, ma i segnali
dai differenti esperimenti sono mutuamente indipendenti.
2. Deve esistere un intorno ō di D tale che il controllore C(r) sia due volte
differenziabile rispetto ai parametri r in ō.
3. Tutti gli elementi delle funzioni di trasferimento Cr (r) e Cy (r) e le loro derivate
parziali hanno i poli e gli zeri con parte reale uniformemente minore di zero in
D.
4. Il sistema LTI in anello chiuso è stabile e ha i poli con parte reale uniformemente minore di zero in D.
5. Gli elementi della sequenza gi devono essere positivi e devono rispettare i
P∞ 2
P
seguenti vincoli: ∞
i=1 gi < ∞.
i=1 gi = ∞ ;
Teorema: Supponiamo le condizioni sopra elencate vere. Supponiamo Ri sia una
matrice generata da un esperimento alla iterazione i che soddisfa 1/dI ≥ Ri ≥ dI
con d > 0. Allora per i → ∞, ρi converge con probabilità 1 a un punto dell’insieme:
(
)
∂J
(r) = 0
Dc , r :
∂r
(22.24)
22.4. Implementazione
Per implementare il controllo abbiamo deciso di usare il regolatore PID. Tale controllore come è noto dipende da tre parametri: Kp , Ti e Td dove la relativa funzione
di trasferimento è :
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
201
22.4 Implementazione
CP ID (s) = KP
1
sTd
1+
+
Ti s 1 + TNd s
!
La struttura del sistema in retroazione da noi usata è la seguente:
Figura 22.2.: Schema del sistema con il controllore PID con derivazione sull’uscita
dove l’azione derivativa è posta sull’uscita per avere una moderazione del controllo
rispetto a certi segnali di riferimento impulsivi, come il gradino.
Tuttavia, uno schema di questo tipo per i nostri scopi è poco maneggevole in quanto non corrisponde al modello considerato nella trattazione teorica. Considerando
quindi che il controllore trattato è a due gradi di libertà, possiamo scrivere:
u = (r − y)CP I − yCD = rCP I − yCP I − yCD
(22.25)
u = rCP I − y(CP I + CD ) = rCP I − yCP ID
(22.26)
Si può quindi vedere che lo schema in Figura 22.2 è equivalente a quello in Figura 22.3.
Questo schema è di più semplice implementazione e ci permette di usare direttamente le formule già viste in precedenza. Inoltre il controllore sul riferimento non
202
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
22.4 Implementazione
Figura 22.3.: Schema con controllore a due gradi di libertà
contiene l’azione derivativa, così in presenza del gradino, come segnale di riferimento,
il segnale di controllo u rispetta i requisiti di moderazione del controllo.
Le funzioni di trasferimento dei due controllori sono le seguenti:
CP I (s) = KP
1
1+
Ti s
Td
1
+
1+
Ti s 1 + TNd s
CP ID (s) = KP
(22.27)
!
(22.28)
Dove Kp ,Ti e Td sono i parametri di controllo quindi il vettore r è costituito da
K
 p 


ρ =  Ti 


Td
Come già accennato nel capitolo precedente, la stima del gradiente è il punto focale
dell’algoritmo, ed è definita come:
"
#
∂J
est
(r) = 2
∂r
#
ˆT "
∂y
∂u
−e(t)est[ (r)] + lu(t)est[ (r)] dt
∂r
∂r
(22.29)
0
Come si può notare, la stima del gradiente dipende dalle stime delle derivate parziali,
sia di y e di u, rispetto ai parametri. Nel nostro caso abbiamo un controllore a tre
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
203
22.4 Implementazione
parametri, per cui la stima del gradiente diventa:
i
 ´T h

∂y
∂u
∂J
2
−e(t)est[
(
r
)]
+
l
u(t)est[
(
r
)]
dt
est[
(
r
)]
∂KP
∂KP
∂KP



i
´0 T h
∂J



∂y
∂u
∂J
(r) =  est[ ∂Ti (r)]  =  2 0 −e(t)est[ ∂Ti (r)] + lu(t)est[ ∂Ti (r)] dt
est



i
∂r
´T h
∂y
∂J
∂u
est[ ∂T
(
r)]
(
r
)]
+
l
u(t)est[
(
r
)]
dt
2
−e(t)est[
∂Td
∂Td
0
d

#
"





Da questa formula appare chiara la necessità di calcolare quindi tutte le stime delle
derivate parziali.
Quindi sostituendo otteniamo le stime dei gradienti sull’uscita e sul controllo:

"
est
#

∂y
(r) = 


∂r
∂y
est[ ∂K
(r)]
P
∂y
est[ ∂Ti (r)]
∂y
est[ ∂T
(r)]
d







 −

−
=


∂CP I
(r)
∂KP
∂CP I
(r)
∂Ti
∂CP I
(r)
∂Td
 ∂u
PI
(r) −
est[ ∂K
(r)]   ∂C
∂KP
P

∂u



∂u
PI
est
(r) =  est[ ∂T
=  ∂C
(r) −
(r)] 
i


 ∂Td
∂r
∂u
∂CP I
est[ ∂Td (r)]
(r) −
∂Td
"
#
−
∂CP ID
(r) y 1 (r)
∂KP
∂CP ID
(
r
)
y 1 (r)
∂K
∂CP ID
(r) y 1 (r)
∂K
∂CP ID
(r) u1 (r)
∂KP
∂CP ID
(
r
)
u1 (r)
∂K
∂CP ID
(r) u1 (r)
∂Td
+
+
+
+
+
+
∂CP ID
(r)y 2 (r)
∂KP
∂CP ID
(r)y 2 (r)
∂Ti
∂CP ID
(r)y 2 (r)
∂Td
∂CP ID
(r)u2 (r)
∂KP
∂CP ID
(r)u2 (r)
∂Ti
∂CP ID
(r)u2 (r)
∂Td





Da questi sviluppi, appare evidente che bisogna calcolare anche le derivate parziali
di CP ID (s) e di CP I (s) rispetto ai parametri del controllore.
Costante derivativa :
∂CP ID
(r)
∂Td
=
=0
∂CP I
(r)
∂Td
= − TK2Ps
KP s
(1+Td /N s)2
Costante Integrativa :
∂CP ID
∂Td
∂CP I
(r)
∂Td
i
Costante proporzionale :
∂CP ID
(r)
∂KP
204
i
= − TK2Ps
=
Ti s+1
Ti s
+
∂CP I
(r)
∂KP
=
Ti s+1
Ti s
Td s
T
1+ Nd s
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti





22.5 Calcolo dell’Hessiana di J
22.5. Calcolo dell’Hessiana di J
Ci sono varie possibilità di scelta per la matrice Ri presente nella formula iterativa
per l’aggiornamento dei parametri. La scelta più semplice è la matrice di identità,
che ci dà la direzione negativa del gradiente. In alternativa si può usare:
ˆ
Ri =
T

"
est
0
#
"
∂y
∂y
(r) est
(r)
∂r
∂r
#T
"
+ lest
#
"
∂u
∂u
(r) est
(r)
∂r
∂r
#T 
(22.30)
 dt
che ci dà una stima non polarizzata Gauss-Newton della matrice Hessiana di J.
Sostituendo :

Ri =

ˆT 
0



est 


∂y
(r)
∂KP
∂y
(r)
∂Ti
∂y
(r)
∂Td






 est 


∂y
(r)
∂KP
∂y
(r)
∂Ti
∂y
(r)
∂Td
T






+ λest 


∂u
(r)
∂KP
∂u
(r)
∂Ti
∂u
(r)
∂Td






 est 


∂u
(r)
∂KP
∂u
(r)
∂Ti
∂u
(r)
∂Td
T 






 dt

Da ora omettiamo est[] per alleggerire la notazione:

Ri =
ˆT 
0




∂y 2
∂K2P ∂y
∂KP 2∂Ti ∂y
∂KP ∂Td
2
∂u
∂KP 2 λ ∂K∂u
P ∂Ti λ ∂K∂u2
P ∂Td
+λ
+
+
2
∂y 2
+ λ ∂K∂u
∂KP ∂Ti
∂T
2
P 2i
∂y
∂u
+
λ
∂KP2 T ∂Ti2 ∂y
+ λ ∂T∂u
∂Ti ∂Td
i ∂Td
∂y 2
∂KP ∂Td
∂y 2
∂Ti ∂Td
∂y 2
∂Td
+λ
+
+

∂u2
∂KP2∂Td
λ ∂T∂u
i ∂T
2d
∂u
λ ∂T
d
Come si può notare è una matrice simmetrica quindi le componenti della matrice
da calcolare si riducono. Passando al dominio di s si ottiene:

1
Ri = 
s


∂y 2
∂K2P ∂y
∂KP 2∂Ti ∂y
∂KP ∂Td
2
∂u
∂KP 2 λ ∂K∂u
P ∂Ti λ ∂K∂u2
P ∂Td
+λ
+
+
2
∂y 2
+ λ ∂K∂u
∂KP ∂Ti
∂Ti
P
2
2
∂y
∂u
+
λ
∂KP2 T ∂Ti2 ∂y
+ λ ∂T∂u
∂Ti ∂Td
i ∂Td
∂y 2
∂KP ∂Td
∂y 2
∂Ti ∂Td
∂y 2
∂Td
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
+λ
+
+

∂u2
∂KP2∂Td
λ ∂T∂u
i ∂T
2d
∂u
λ ∂Td





205


 dt


22.5 Calcolo dell’Hessiana di J
(22.31)
206
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
23. Costruzione dello schema
Simulink
Il processo in esame è controllato ed osservato tramite una scheda di acquisizione di tipo Real-Time che lavora su dati campionati. Quindi si è reso necessario
discretizzare il metodo precedentemente trattato in tempo continuo.
Per passare dal dominio di Laplace alla trasformata Zeta si può fare riferimento al
seguente ragionamento: data una funzione di trasferimento
F dT =
Ti s + 1
y(s)
=
u(s)
Ti s
si può ricavare:
y (Ti s) = u (Ti s + 1)
e, quindi:
y =u+u
1
sTi
che riportato nel dominio Zeta equivale a
207
23.1 Schema Simulink
y(z) = u + u
1 Ts
Ti z − 1
23.1. Schema Simulink
In Figura 23.1 si riporta lo schema Simulink del sistema di controllo dove possiamo
notare i sottoblocchi temporizzati:
• dal sottosistema “Primo_Esperimento” si ricavano i segnali di errore e uscita;
• nel sottosistema “Secondo_Esperimento” si esegue il secondo esperimento e si
determinano i parametri dell’Hessiana e il gradiente del costo;
• fra i due blocchi sono presenti dei blocchi “delay” al fine di eseguire in sequenza temporale i due esperimenti riportando come riferimento del secondo
esperimento l’errore del primo;
(ri ))
• il sottosistema “Algoritmo_di_aggiornamento” esegue il calcolo (gi Ri−1 ∂J
∂r
necessario per l’aggiornamento dei parametri (vedi ??eq:algoritmo a pagina 196);
• il sottosistema “Aggiornamento_parametri” aggiorna i parametri necessari
all’iterazione e li mantiene fino all’iterazione successiva.
Riportiamo di seguito in dettaglio i sottoblocchi appena descritti con le relative
temporizzazioni. Il periodo di esecuzione di ogni iterezione è stato scelto pari a 12
secondi.
23.2. Primo Esperimento
Il sottosistema “Primo_Esperimento” (Figura 23.2) è composto dal controllore PID
collegato direttamente al sistema reale ed attivo nei primi 8s.
208
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
23.3 Secondo Esperimento
Figura 23.1.: Diagramma a blocchi completo del controllore
Figura 23.2.: Schema del primo esperimento
23.3. Secondo Esperimento
Il sottosistema “Secondo_Esperimento” (Figura 23.3) comprende l’esecuzione della
seconda prova (con il controllore PID) ed il relativo calcolo dei parametri necessari
all’algoritmo di aggiornamento. Il blocco è attivo tra gli 8s ed i 12s.
Ricordiamo che in ingresso al secondo esperimento si trova l’errore (e = y−rif erimento)
realtivo al primo esperimento e ritardato temporalmente di 8 secondi.
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
209
23.4 Algoritmo di aggiornamento
Figura 23.3.: Schema del blocco Secondo Esperimento comprensivo del calcolo dei
parametri
23.4. Algoritmo di aggiornamento
Il blocco “Algoritmo_di_aggiornamento” è composto da un primo sottosistema che
calcola la matrice inversa e da un parallelo di tre sottosistemi che calcolano gli
incrementi (4K, 4Ti , 4Td ) dei parametri del PID (Figura 23.4).
Figura 23.4.: Schema simulink del blocco “Algoritmo di Aggiormento” per il
calcolo degli incrementi
23.5. Aggiornamento parametri
Il blocco “Aggiornamento_parametri”, infine, è strutturato in modo tale da aggiornare alla fine di ogni periodo (più precisamente un campione prima della fine
dell’iterazione) i parametri sfruttando un trigger e mantenendoli per tutto il periodo
successivo (Figura 23.5).
Figura 23.5.: Schema Simulink per l’aggiornamento parametri
210
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
23.6 Segnale di controllo
23.6. Segnale di controllo
Per quanto riguarda il segnale di controllo, facendo riferimento al diagramma a
blocchi illustrato in Figura 23.1, si nota che il primo esperimento genera un segnale
di controllo per i primi 8 secondi del ciclo mentre il secondo ne genera uno per i
restanti 4 secondi.
Oltre a ciò, l’errore in uscita dal primo esperimento è stato temporalmente filtrato
(sfruttando le proprietà dei sottosistemi “enable”) in modo da avere in ingresso al
secondo esperimento solo la parte riguardante l’errore relativo ai primi 4 secondi
per evitare di introdurre segnali di errore non necessari per la corretta esecuzione
dell’algoritmo.
Inoltre il segnale di errore è ridotto di un fattore 1/2 per ovviare a problemi di
esecuzione dell’esperimento.
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
211
24. Prove con riferimento a onda
quadra
In questo capitolo andremo ad analizzarere il metodo iterativo IFT.
Per analizzare l’algoritmo abbiamo deciso di applicare diversi segnali di riferimento
al sistema variando i parametri inizializzati.
Inizialmente il sistema dovrà inseguire un riferimento ad onda quadra; in seguito
saranno implementati anche riferimenti a dente di sega e sinusoidali.
E’ stata infine analizzata la robustezza del metodo IFT quando il sistema è sottoposto a disturbi esterni.
Il riferimento è stato scelto come un’onda quadra avente periodo 12 e un duty-cicle
di 1/3. Per quanto riguarda l’errore, il diagramma Simulink è stato temporizzato
in modo che esso fosse introdotto dopo 8 secondi (sempre con periodo pari a 12
secondi).
Come primo esperimento è stato scelto un insieme di parametri che fosse sub-ottimo
per quanto riguarda le prestazioni del sistema. Dopo ciò, è stata testata l’efficienza
dell’algoritmo allontanandoci dalla zona di ottimalità dei parametri.
E’ possibile osservare in Figura 24.1 l’andamento dell’uscita e dei parametri, inizializzati K = 1, T i = 1, T d = 0.04. Come si può notare, ad ogni passo il tempo di
assestamento si riduce a scapito però di un aumento della sovraelongazione.
In questo esempio il passo di iterazione è stato scelto pari a 0.04.
Andiamo adesso a vedere cosa accade se viene incrementato del 50% il valore della
costante derivativa (T d = 0.06).
213
Prove con riferimento a onda quadra
Figura 24.1.: Uscita e parametri nel caso in cui K=1, Td=0.04, Ti=1, passo=0.04.
Come si può notare in Figura 24.2 e Figura 24.3 l’uscita del sistema ed il segnale di
controllo sono molto oscillanti anche se si nota comunque un miglioramento ad ogni
iterazione.
Figura 24.2.: Uscita nel caso in cui K=1, Td=0.06, Ti=1, passo=0.04.
La simulazione appena descritta potrebbe far credere che l’algoritmo non lavori in
modo corretto; incrementando però il passo, più precisamente raddoppiandolo, si
nota un netto miglioramento rappresentato in Figura 24.4.
Come si osserva in Figura 24.4, un passo più grande fa sì che si giunga abbastanza
214
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
Prove con riferimento a onda quadra
Figura 24.3.: Controllo nel caso in cui K=1, Td=0.06, Ti=1, passo=0.04.
rapidamente in una zona in cui i parametri sono ottimi per poi allontanarci da essa
a causa della struttura dell’algoritmo che non riesce a convergere sul minimo locale
essendo il passo troppo elevato (Figura 24.5).
Andiamo ora ad analizzare in Figura 24.6 il comportamento dell’uscita se i parametri
sono inizializzati a K = 1, T i = 0.3, T d = 0.04 e con un passo = 0.06.
Anche in questo caso, ad ogni iterazione si assiste ad una diminuzione dell’errore
(sia in ampiezza che in durata) che viene riportato sull’uscita dopo i primi 8 secondi
e, successivamente, con periodo 12 secondi.
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
215
Prove con riferimento a onda quadra
Figura 24.4.: Uscita e segnale di controllo nel caso in cui K=1, Td=0.06, Ti=1,
passo=0.08.
Figura 24.5.: Parametri relativi al caso precedente
216
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
Prove con riferimento a onda quadra
Figura 24.6.: Uscita nel caso in cui K=1, Ti=0.3, Td=0.04, passo=0.06.
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
217
25. Prove con riferimento a dente di
sega
Analizziamo adesso il metodo IFT con un riferimento a dente di sega che varia da
−1V a −3V con periodo 6 secondi.
Dato che - per nostra scelta - la temporizzazione dello schema Simulink è invariata,
ne consegue che l’errore verrà applicato una volta ogni due segnali.
Osserviamo in Figura 25.1 il segnale d’uscita e l’andamento dei parametri (inizializzati K = 1, T d = 0.04, T i = 0.4 con passo = 0.03) mentre nella Figura 25.2 è
raffigurato il segnale di controllo.
Anche in questo caso si assiste ad un miglioramento e ad un affinamento del controllo
che si manifesta nella riduzione dell’errore sia in ampiezza che in durata.
Proviamo infine a rilassare l’esperimento precedente andando a variare Ti , più precisamente inizializzando K = 1, T d = 0.04, T i = 0.1 e ponendo il passo =
0.03.
Oltre a ciò è stato aumentato il periodo del riferimento a dente di sega portandolo
a 12 secondi in modo da avere una iterazione ogni ciclo.
Si noti in particolare in Figura 25.4 quanto il segnale di controllo sia più moderato
rispetto a quello mostrato in Figura 25.2.
219
Prove con riferimento a dente di sega
Figura 25.1.: Uscita e parametri del sistema con riferimento a dente di sega e K=1,
Td=0.04, Ti=0.4, passo=0.03.
Figura 25.2.: Controllo ed il relativo ingrandimento
220
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
Prove con riferimento a dente di sega
Figura 25.3.: Uscita con riferimento a dente di sega e K=1, Td=0.04, Ti=0.1,
passo=0.03.
Figura 25.4.: Segnale di controllo relativo all’esperimento precedente.
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
221
26. Prove con riferimento sinusoidale
Analizziamo infine l’efficacia del metodo finora descritto con un riferimento sinusoidale.
Affinchè l’errore sia indotto in una parte del riferimento tale da eseguire correttamente gli esperimenti è stata scelta una sinusoide con periodo pari a 12 secondi ed
ampiezza variabile tra −1V e −3V .
Come vederemo all’interno di questo paragrafo, nel caso in cui il riferimento da
inseguire è una sinusoide l’ottimizzazione è più efficiente in quanto questo tipo di
segnali sono più compatibili con i regolatori PID.
Osserviamo in Figura 26.1 l’andamento dell’uscita inizializzando i parametri a K =
1, T d = 0.04, T i = 0.17 e passo = 0.08.
Analizziamo ora il caso in cui la costante integrativa viene aumentata portandola a
T i = 0.8 (Figura 26.3).
Per motivi di convergenza è stato dimezzato il passo di iterazione rispetto al caso
precedente (passo = 0.04).
Quest’ultimo caso è la prova che, pur partendo da parametri iniziali non buoni (quasi
al limite dell’instabilità), il metodo iterativo IFT riesce comunque ad ottimizzare in
un numero limitato di passi il controllo del sistema.
223
Prove con riferimento sinusoidale
Figura 26.1.: Caso con ingresso sinusoidale e parametri K=1, Td=0.04, Ti=0.17,
passo=0.08.
Figura 26.2.: Parametri relativi al caso in cui l’ingresso è sinusoidale e vengono
inizializzati K=1, Td=0.04, Ti=0.8, passo=0.04.
224
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
Prove con riferimento sinusoidale
Figura 26.3.: Caso con ingresso sinusoidale e parametri K=1, Td=0.04, Ti=0.8,
passo=0.04.
Figura 26.4.: Segnale di controllo e parametri relativi all’esperimento precedente.
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
225
27. Robustezza del metodo
In questo paragrafo andremo ad analizzare la robustezza del metodo introducendo
un disturbo esterno nel sistema durante l’esecuzione dell’algoritmo iterativo.
Effettuiamo un primo test durante il quale il disturbo è indotto spostando la pallina
con una penna.
Si noti che, nel caso il riferimento sia di tipo sinusoidale come in Figura 27.1 e
Figura 27.2, il sistema torna a seguire il riferimento non appena il disturbo cessa.
Figura 27.1.: Caso in cui viene introdotto un disturbo esterno con riferimento
sinusoidale.
Vediamo ora in Figura 27.3 il comportamento del sistema nel caso in cui il disturbo
sia indotto quando il riferimento è a dente di sega.
227
Robustezza del metodo
Figura 27.2.: Caso in cui viene introdotto un disturbo esterno marcato con
riferimento sinusoidale.
Anche in questo caso il metodo iterativo si dimostra robusto a disturbi esterni.
Analizziamo infine il caso in cui il segnale da inseguire è un’onda quadra: anche
stavolta, come si nota in Figura 27.4, il disturbo viene reiettato.
Andiamo adesso ad analizzare il comportamento del sistema nel caso in cui la pallina
venga tolta dalla sua sede e quindi il disturbo si presenterà come molto accentuato.
Come si può notare in Figura 27.5, il disturbo non intacca la robustezza del sistema
sia nel caso il riferimento sia un’onda quadra, che nel caso in cui il riferimento sia
una sinusoide.
In entrambi i casi, infatti, una volta rimessa la pallina nella sede il sistema torna
stabile e continua ad ottimizzare i parametri.
228
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
Robustezza del metodo
Figura 27.3.: Caso in cui viene introdotto un errore con riferimento a dente di
sega.
Figura 27.4.: Caso in cui viene introdotto un disturbo esterno con riferimento a
onda quadra.
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
229
Robustezza del metodo
Figura 27.5.: Caso in cui viene introdotto un disturbo esterno con riferimento a
onda quadra.
230
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
28. Conclusioni
In questo capitolo sono illustrate le conclusioni derivanti dal lavoro svolto in laboratorio.
Di seguito sono mostrati i segnali di controllo, riferimento ed uscita del sistema una
volta implementati i PID aventi i parametri ottimi ricavati grazie al metodo IFT.
In ognuno dei seguenti esperimenti è stata implementata una rampa necessaria
a portare la pallina dalla posizione iniziale (2.3V ) all’inseguimento del segnale di
riferimento.
Nel caso in Figura 28.1 è raffigurato l’inseguimento di un’onda quadra implementando il PID con i parametri ottimi K = 1.1298, T i = 0.4328, T d = 0.0409.
In Figura 28.2, invece, è stato implementato un PID caratterizzato dai parametri
ottimi K = 1.0458, T i = 0.3545, T d = 0.0398 nel caso di riferimento a dente di
sega.
Infine in Figura 28.3 si può osservare l’inseguimento di una sinusoide implementato
un PID avente i parametri ottimi K = 1.5171, T i = 0.1365, T d = 0.0369.
In conclusione possiamo affermare che il metodo IFT si è dimostrato efficace nella
taratura di un PID ottimo pur non avendo una modellazione esatta del sistema.
La potenzialità di questo metodo, infatti, non essendo model based, è il riuscire ad
ottimizzare un controllore che di per sè stabilizza il sistema senza aver conoscenza
del sistema stesso.
231
Conclusioni
Figura 28.1.: Segnale di controllo e di uscita implementando il PID ottimo per
riferimento a onda quadra.
Figura 28.2.: Segnale di controllo e di uscita implementando il PID ottimo per
riferimento a dente di sega.
232
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
Conclusioni
Figura 28.3.: Segnale di controllo e di uscita implementando il PID ottimo per
riferimento sinusoidale.
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
233
Parte VI.
Laboratorio di automatica II
235
29. Controllo di un processo termico
PT326 tramite PID con logica
Fuzzy tarato attraverso algoritmi
genetici
29.1. Introduzione
All’interno di questa relazione è esaminato l’inseguimento del set point da parte
di un processo termico (PT326) controllato con un PID la cui uscita è pesata con
regole Fuzzy. Questa scelta è stata presa in quanto i PID che implementano la logica
fuzzy riescono a controllare una più ampia gamma di sistemi rispetto ai classici PID
industriali, ad esempio sistemi non lineari, di ordine elevato e con ritardo consistente.
La potenza del fuzzy consta nel fatto che, come vedremo, non applicando un controllo
lineare si riesce ad ottenere migliori prestazioni rispetto al caso classico. Il controllore
esaminato ha una struttura PI+D in cui l’azione derivativa agisce sull’uscita e non
sull’errore. Si ha così un doppio segnale di controllo (uPI e uD) il quale, prima
di essere posto in ingresso al sistema, viene pesato da due blocchi fuzzy. Lo scopo
principale del presente elaborato non è tanto il controllo di tale processo il quale,
come vedremo, presenta problematiche di ritardo risolvibili solamente tramite l’uso
di predittori, quanto lo studio di algoritmi genetici attraverso cui ottimizzare i sette
parametri del sistema. Come vedremo, infatti, il controllore PI+D pesato fuzzy è
abbastanza complesso e caratterizzato da sette parametri difficili da accordare tra
loro. Per far ciò si è ricorso ad algoritmi genetici, metodi di ottimizzazione che
si basano sul concetto di evoluzione e mutazione. Questi non sono algoritmi che
237
29.2 Descrizione del Processo
ricercano un ottimo basandosi sulla minimizzazione di una funzione di costo ma
creando una popolazione (scelta almeno all’inizio in modo casuale) che si evolve
in modo tale da essere composta sempre da individui migliori (ovvero da individui
che, nel nostro caso, migliorano le prestazioni del sistema) senza convergere (grazie
alle operazioni di crossover e mutazione). È questa la differenza fondamentale tra
algoritmi classici, che convergono ad un certo punto di minimo (locale o globale), e
genetici, che si evolvono verso soluzioni sempre migliori esplorando in modo più
completo lo spazio delle soluzioni. Una volta identificato l’impianto e tarato il
controllo con gli algoritmi genetici in Matlab, andremo ad implementare fisicamente
i parametri ottimi sul processo (controllabile tramite un VI Labview) notando infine
come le risposte dei due ambienti di simulazione siano molto simili tra loro.
29.2. Descrizione del Processo
Il processo termico PT326 modella situazioni in cui si ha la necessità di controllare
la temperatura di un condotto (o più in generale di un ambiente) in presenza di
disturbi esterni e di una funzione di trasferimento con ritardo. Il processo (illustrato
in figura) consiste in un ventilatore centrifugo che preleva aria dall’esterno la quale
viene riscaldata da una resistenza e poi incanalata attraverso un condotto al termine
del quale è presente una termocoppia (Bead Thermistor). La velocità del ventilatore
è costante mentre è possibile variare l’apertura del parzializzatore (Throttle) da cui
si preleva l’aria. Ci troveremo così di fronte a diverse funzioni di trasferimento
caratterizzate da risposte differenti.
Dal punto di vista di ingresso ed uscita il sistema è rappresentabile come:
238
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
29.2 Descrizione del Processo
Figura 29.1.: Processo termico PT326
Figura 29.2.: Schematizzazione ingresso-uscita del processo
dove n(t) caratterizza il disturbo, u(t) l’ingresso ed y(t) l’uscita misurata dalla termocoppia. A seguito di prove empiriche si dimostra che la funzione di trasferimento
del processo termico tra ingresso e uscita è parametrizzabile nel dominio di Laplace
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
239
29.3 Identificazione del Processo
come una funzione di trasferimento del primo ordine con ritardo:
P (s) = K
e−τ s
s−p
Dove il guadagno K, il polo p e il ritardo t sono variabili a seconda dell’apertura
del parzializzatore e della temperatura esterna. Per quanto riguarda le specifiche
di ingresso, il segnale di controllo è limitato ad essere compreso tra 0V e 10V . Nel
nostro caso siamo andati ad identificare la funzione di trasferimento del processo
con parzializzatore aperto rispettivamente a 30°, 60°, 90°, 100°, 120°, 160°.
29.3. Identificazione del Processo
Per identificare il processo è stato anzitutto necessario raccogliere i dati riguardanti
la sua risposta. Nel caso in esame è stato creato un VI in Labview in cui in ingresso al
processo è applicata un’onda quadra. I dati acquisiti sono stati poi salvati attraverso
un secondo VI in un file di testo e rielaborati tramite Matlab sfruttando il metodo
del simplesso flessibile per poter così identificare al meglio il processo. Con la tecnica
del simplesso flessibile si cerca di minimizzare un funzionale d’errore:
E(P ) =
Nexp
1 X
kYexp − Ym k2
Nexp i=1
Ricercando una stima:
P̄ = arg min{E(P )} . P̄ ∈ RNp
P
Il simplesso flessibile è un metodo di ricerca diretta basato sulla conoscenza per punti
del funzionale d’errore E(P). Questo viene valutato negli n+1 vertici del simplesso
(dove n è il numero di parametri) e, ad ogni passo, viene scartato l’elemento peggiore
(ovvero quello con E(P) massimo). È da notare che tutti gli elementi sono pesati con
probabilità uniforme. L’elemento selezionato viene quindi sostituito da uno migliore
240
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
29.3 Identificazione del Processo
sfruttando l’algoritmo di Fibonacci in modo da localizzare i minimi locali per il
funzionale d’errore. Il metodo si considera concluso quando tutti i valori di E(P) sono
simili. Usando i dati ricavati dal processo fisico (avente in ingresso un’onda quadra
di ampiezza 3) ed implementando il tutto nell’algoritmo si ottengono i risultati
illustrati nelle figure seguenti e ricapitolati nella tabella successiva. Durante la
fase sperimentale è stato notato che i dati raccolti sono influenzati anche dalla
temperatura esterna. Come vedremo è risultato difficile ottenere un modello preciso
del processo poiché esso è soggetto a numerosi disturbi esterni.
Figura 29.3.: Modello con parzializzatore a 30°
Figura 29.4.: Modello con parzializzatore a 60°
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
241
29.3 Identificazione del Processo
Figura 29.5.: Modello con parzializzatore a 90°
Figura 29.6.: Modello con parzializzatore a 100°
Dato il modello in forma:
P (s) = K
e−sτ
+ of f set
s+p
A questo punto è stato necessario discretizzare la funzione di trasferimento del processo. Per fare ciò è stato utilizzato il comando Matlab “c2d” che fornisce direttamente il modello in tempo discreto (dato un certo tempo di campionamento che nel
nostro caso è posto pari a 0.1 secondi). Ne derivano le funzioni di trasferimento,
rispettivamente a 30°, 60°, 90°, 100°, 120° e 160°:
G30° (z) = z −4
242
0.1732
(z − 0.7655)
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
29.3 Identificazione del Processo
Figura 29.7.: Modello con parzializzatore a 120°
Figura 29.8.: Modello con parzializzatore a 160°
G360° (z) = z −3
G90° (z) = z −3
0.138
(z − 0.7338)
0.1129
(z − 0.7291)
G100° (z) = z −3
0.1105
(z − 0.7183)
G120° (z) = z −2
0.09483
(z − 0.7305)
G160° (z) = z −2
0.09368
(z − 0.698)
Si noti che il tempo di campionamento scelto è di 0.1 secondi, il quale è risultato un
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
243
29.3 Identificazione del Processo
Figura 29.9.: Dati relativi ai modelli considerate le diverse parzializzazioni
buon compromesso tra dinamica del processo e disturbi.
244
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
30. PI+D con logica fuzzy
E’ noto che i PID convenzionali non lavorano bene con sistemi non lineari, di ordine
elevato o con ritardi incisivi. Per far sì che queste caratteristiche siano migliorate, è
possibile usare un controllore PID adattativo impiegando una logica fuzzy. Questo
controllore fuzzy ha delle caratteristiche interessanti in quanto:
1. Ha la stessa struttura lineare di un PID convenzionale ma con guadagni adattativi; i guadagni proporzionale, integrale e derivativo sono infatti funzioni
non lineari del segnale di ingresso;
2. Il controllore è costruito sulla base di un PID discreto da cui vengono originate
le leggi di controllo fuzzy;
3. Le funzioni-membro sono tutte funzioni triangolari e le regole sono solo quattro (tutte IF-THEN); ne deriva una legge di controllo semplice e comunque
performante.
Per quanto riguarda la stabilità di questi controllori PID, essa non è trattata all’interno di questa relazione. È però possibile fare riferimento alle letture in bibliografia
per maggiori informazioni. Nel caso in esame il controllore scelto è del tipo PI+D,
un controllore in cui l’azione derivativa viene applicata sull’uscita del processo e
Figura 30.1.: Struttura di un controllore PI+D
245
30.1 Discretizzazione del PID
30.1. Discretizzazione del PID
Andiamo ora a trattare la discretizzazione prima del controllore PI e poi del controllore D.
30.2. Controllore PI:
L’uscita del controllore PI è esprimibile nel dominio di Laplace come:
uP I (s) =
Kpc
Kc
+ i e(s)
s
Dove Kpc e Kic sono i guadagni, proporzionale ed integrativo, mentre e(s) è il segnale
di errore. Questa equazione può essere riportata in tempo discreto applicando la
trasformazione bilineare:
2
s=
Ts
z+1
z−1
in cui Ts è il tempo di campionamento. Ne deriva:
uP I (z) =
Kpc
K c Ts
Kic Ts
− i +
e(z)
2
1 − z −1
Imponendo:
Kp =
Kpc
Kic Ts
−
2
Ki = Kic Ts
e passando dal dominio Zeta ai dati campionati, si ottiene:
uP I (nTs ) − uP I (nTs − Ts ) = Kp [e(nTs ) − e(nTs − Ts )] + Ki Ts e(nTs )
246
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
30.3 Controllore D:
da cui:
uP I (nTs ) = uP I (nTs − Ts ) + Ts ∆uP I (nTs )
con:
∆uP I (nTs ) = Kp ev (nTs ) + Ki ep (nTs )
ev (nTs ) =
e(nTs ) − e(nTs − Ts )
Ts
ep (nTs ) = e(nTs )
Dove ∆uP I (nTs ) è il controllo incrementale del controllore PI, ep (nTs ) è il segnale
di errore ed ev (nTs ) caratterizza la variazione dello stesso. A questo punto si può
applicare una azione di controllo fuzzy al posto del termine . Si ottiene quindi:
uP I (nTs ) = uP I (nTs − Ts ) + KuP I ∆uP I (nTs )
30.3. Controllore D:
Per quanto riguarda l’azione derivativa, il segnale di controllo è dato da:
uD (s) = sKdc y(s)
con Kdc pari al guadagno derivativo e y(s) al segnale di uscita. Usando nuovamente
la trasformazione bilineare si ottiene:
uD (z) = Kdc
2 1 − z −1
y(z)
Ts 1 + z −1
da cui:
uD (nTs ) + uD (nTs − Ts ) =
2Kdc
[y(nTs ) − y(nTs − Ts )]
Ts
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
247
30.3 Controllore D:
Passando ai dati campionati:
uD (nTs ) = −uD (nTs − Ts ) + KuD ∆uD (nTs )
Dove KuD è un guadagno costante del controllore che dovrà essere determinato e:
∆uD (nTs ) = Kd ∆y(nTs )
con:
∆y(nTs ) =
y(nTS ) − y(nTs − Ts )
Ts
pari alla variazione dell’uscita e:
Kd =
2Kdc
Ts
Per ottenere migliori prestazioni del controllore derivativo è possibile modificare
sommandoci il segnale yd (nTs ):
yd (nTs ) = y(nTs ) − r(nTs ) = −e(nTs )
così da ottenere:
∆uD (nTs ) = Kd ∆y(nTs ) + Kd y(nTs )
Si noti che il coefficiente K serve per poter pesare anche yd (nTs ) in ingresso al
regolatore Fuzzy.
248
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
30.4 Controllore PI+D:
30.4. Controllore PI+D:
Sommando il controllo PI al fuzzy D ne deriva il controllore PI+D che ha seguente
legge di controllo:
uP ID (nTs ) = uP I (nTs ) + KuP I ∆uP I (nTs ) + uD (nTs − Ts ) − KuD ∆uD (nTs )
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
249
30.4 Controllore PI+D:
Figura 30.2.: Schema del controllore PI+D con logica fuzzy
250
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
31. Controllo Fuzzy
Andiamo ora ad analizzare i passi per costruire il modello Fuzzy.
Figura 31.1.: Schema generico del sistema inferenziale fuzzy
31.1. Fuzzificazione:
Le componenti PI e D del controllore PI+D vengono fuzzificate in modo individuale.
Per quanto riguarda il controllore fuzzy PI, esso è caratterizzato da due ingressi:
aaa
aaa
Allo stesso modo il controllore fuzzy D ha in ingresso:
bbb
251
31.1 Fuzzificazione:
bbb
Per quanto riguarda le uscite, il controllore PI genera un segnale mentre il controllore D genera un segnale . Come si può notare dalle regole Fuzzy osservabili
in Figura 31.2 e Figura 31.3, viene utilizzata una sola costante (L) per le funzioni
d’appartenenza. Gli ingressi sono pesati con le costanti Kp , Ki , Kd e K mentre le
uscite con le costanti Ku P I e Ku D.
Figura 31.2.: Funzioni membro del componente PI
Figura 31.3.: Funzioni membro del componente D
252
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
31.2 Regole d’inferenza:
31.2. Regole d’inferenza:
Le regole d’inferenza fuzzy per il controllore PI sono quindi definite come: Allo
stesso modo per il controllore D si ha che:
IF ep = negativo AN D ev = negativo T HEN P Ioutput = negativo
IF ep = negativo AN D ev = positivo T HEN P Ioutput = zero
IF ep = positivo AN D ev = negativo T HEN P Ioutput = zero
IF ep = positivo AN D ev = positivo T HEN P Ioutput = positivo
Allo stesso modo per il controllore D si ha che:
IF ỹd = negativo AN D ∆ỹ = negativo T HEN P Ioutput = zero
IF ỹd = negativo AN D ∆ỹ = positivo T HEN P Ioutput = positivo
IF ỹd = positivo AN D ∆ỹ = negativo T HEN P Ioutput = negativo
IF ỹd = positivo AN D ∆ỹ = positivo T HEN P Ioutput = zero
Per capire meglio le regole appena descritte vediamo come viene interpretata la
prima regola del controllore PI. Se l’errore e la sua variazione sono negativi allora
l’uscita (y) si trova al di sopra del setpoint e sta crescendo (perché l’errore a derivata
negativa implica l’uscita con derivata positiva dato che e = ysp −y ed ysp è costante);
quindi l’azione ∆uP I (nTs ), vista nelle formule precedenti, che riguarda il controllo
PI contenente l’integratore viene posta negativa mentre la componente derivativa
∆uD (nTs ) è zero.
31.3. Defuzzificazione
Il concetto impiegato per defuzzificare gli incrementi dei controllori PI e D è descritto
dalla formula:
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
253
31.3 Defuzzificazione
∆u(t) =
P
(valori d0 ingresso × uscita corrispondente al valore d0 ingresso)
P
valori d0 ingresso
Mettendo insieme le funzioni di appartenenza di ẽp ed ẽv rispettivamente sull’asse
delle ascisse e sull’asse delle ordinate si ottiene una funzione in tre dimensioni dove
le proiezioni della terza dimensione sul piano x, y creano 20 regioni. Prendendo
ad esempio la regione IC1 (in Figura 31.4) possiamo notare i domini ep ∈ [0, L] ed
ev ∈ [0, L].
L’insieme tra le regole d’inferenza del controllore Fuzzy con le funzioni d’appartenenza e le regioni serve a valutare le appropriate leggi di defuzzificazione.
Quindi considerando ed nella regione IC1 notiamo che:
ẽv negativo > 0.5 > ẽp negativo
Facendo riferimento alla regola 1 del fuzzy PI (considerando che l’operatore AND
prende il minimo) si ottiene:
regola1 =


se l0 ingresso selezionato (ẽp ) e0 negativo allora
 il corrispondente valore d0 uscita e0 negativo
Seguendo lo stesso ragionamento per le altre tre regole si ottiene:
regola2 =
regola3 =
254


se l0 ingresso selezionato (ẽp ) e0 positivo allora

il corrispondente valore d0 uscita e0 zero


se l0 ingresso selezionato (ẽv ) e0 negativo allora

il corrispondente valore d0 uscita e0 zero
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
31.3 Defuzzificazione


se l0 ingresso selezionato (ẽv ) e0 positivo allora
regola4 =
 il corrispondente valore d0 uscita e0 positivo
Si può verificare che queste affermazioni sono valide anche per la regione IC2;
applicando la formula di defuzzificazione si ottiene:
∆u(t) =
ẽp negativo × outn + ẽp negativo × outz + ẽv negativo × outz + ẽv positivo × outp
ẽp negativo + ẽp negativo + ẽv negativo + ẽv positivo
In cui outn = −L, outz = 0 ed outp = L corrispondono ai relativi valori d’uscita.
Figura 31.4.: Defuzzificazione del controllo PI (a) e del controllo D (b)
Data la struttura geometrica delle funzioni membro (illustrata in Figura 31.2 e
Figura 31.3) si ottiene:
ẽp positivo =
Ki ep (nTs ) + L
2L
ẽp negativo =
−Ki ep (nTs ) + L
2L
ẽv positivo =
Kp ev (nTs ) + L
2L
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
255
31.3 Defuzzificazione
ẽv positivo =
−Kp ev (nTs ) + L
2L
Quindi, riferendosi alla formula precedente che definiva , si ottiene:
∆uP I (nTs ) =
L [Ki ep (nTs ) + Kp ev (nTs )]
2 (2L − Ki ep (nTs ))
Si può notare che ep (nTs ) > 0 è verificata per le regioni IC1 e IC2 mentre per le
regioni IC5 e IC6 si ottiene:
∆uP I (nTs ) =
L [Ki ep (nTs ) + Kp ev (nTs )]
2 (2L + Ki ep (nTs ))
con ep (nTs ) < 0. Quindi è possibile adottare un’unica formula di defuzzificazione
per queste quattro regioni (IC1,2,5,6):
uP I (nTs ) =
L [Ki ep (nTs ) + Kp ev (nTs )]
2 (2L + Ki |ep (nTs )|)
Seguendo gli stessi ragionamenti per le altre regioni si ottengono le regole (illustrate
in seguito) di defuzzificazione che generano le due uscite ∆uP I (nTs ) e ∆uD (nTs ).




















∆uP I (nT ) = 


















256
L[Ki ep (nT )+Kp ev (nT )]
in IC1, 2, 5, 6
2[2L−Ki ep (nT )]
L[Ki ep (nT )+Kp ev (nT )]
in IC3, 4, 7, 8
2[2L−Kp ev (nT )]
1
[Kp ev (nT ) + L] in IC9, 10
2
1
[Ki ep (nT ) + L] in IC11, 12
2
1
[Kp ev (nT ) − L] in IC13, 14
2
1
[Ki ep (nT ) − L] in IC15, 16
2
L in IC17
−L in IC19
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
31.3 Defuzzificazione
∆uP I (nT ) = 0 in IC18, 20
∆uD (nT ) =







































L[Kyd (nT )+Kd ∆y(nT )]
in IC1, 2, 5, 6
2[2L−Kyd (nT )]
L[Kyd (nT )+Kd ∆y(nT )]
in IC3, 4, 7, 8
2[2L−Kd ∆y(nT )]
1
[−Kd ∆y(nT ) + L] in IC9, 10
2
1
[yd (nT ) + L] in IC11, 12
2
1
[−Kd ∆y(nT ) − L] in IC13, 14
2
1
[yd (nT ) − L] in IC15, 16
2
−L in IC18
L in IC20
∆uD (nT ) = 0 in IC17, 19
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
257
32. Algoritmi genetici
32.1. Introduzione agli algoritmi genetici
Gli algoritmi genetici (GA) sono algoritmi di ricerca basati sui principi genetici della
selezione naturale e dell’evoluzione: in essi si fondono i concetti di sopravvivenza
degli elementi migliori, di riproduzione e di mutazione.
In modo iterativo, partendo da una popolazione iniziale, un algoritmo genetico genera una nuova popolazione utilizzando gli elementi migliori della precedente ed
applicandoci delle variazioni. Ad ogni elemento della popolazione viene poi associata una misura “prestazionale” relativa ad una funzione di fitness in modo tale che,
alla fine di ogni ciclo, le stringhe con più alta affinità (fitness) si possono riprodurre.
Gli algoritmi genetici per il loro modo di operare forniscono così un compromesso
fra prestazioni ed esplorazione: ogni popolazione va a migliorare (sopprimendo gli
esemplari più deboli) da un lato generando però in modo pseudocasuale (tramite la
tecnica di crossover e la mutazione) dei figli che potrebbero portare (o meno) ad un
miglioramento della specie.
Le differenze fondamentali tra algoritmi genetici e metodi di ottimizzazione tradizionale sono riconducibili al fatto che gli algoritmi genetici:
1. lavorano con parametri codificati;
2. compiono la ricerca su una popolazione di punti e non considerando un dato
alla volta;
3. utilizzano direttamente il valore della funzione oggetto (fitness) senza ricorrere
ad informazioni aggiuntive come segni o derivate;
4. usano regole di transizione probabilistiche e non deterministiche.
259
32.2 Definizione del problema
Oltre a ciò, negli algoritmi genetici non si va alla ricerca di un valore di minimo o di
massimo come nel caso dell’ottimizzazione tradizionale: un GA non corre il rischio
di fermarsi su un minimo locale ma, anzi, continua ad esplorare zone nuove e diverse
(sebbene col rischio di andare incontro a soluzioni non ottimali). Quando si trattano
gli algoritmi genetici è bene tenere a mente alcune definizioni:
• Cromosoma: stringa, elemento della popolazione;
• Gene: bit, elemento della stringa;
• Locus: posizione della stringa;
• Fitness: valore della funzione oggetto;
• Genotipo: popolazione, insieme di tutti gli esemplari;
• Fenotipo: parametro decodificato.
32.2. Definizione del problema
Per poter applicare un algoritmo genetico occorre anzitutto codificare la popolazione;
in genere la codifica adottata è la rappresentazione binaria, quindi ogni gene ha un
valore 0 o 1. In seguito si dovrà definire un’opportuna funzione di fitness.
32.3. Operazioni genetiche
Definite la popolazione, la codifica e la funzione di fitness, è possibile far evolvere la
popolazione tramite gli operatori fondamentali degli algoritmi genetici:
1. Riproduzione
2. Crossover
3. Mutazione
Durante la riproduzione ogni stringa viene duplicata in accordo con il suo valore
della funzione oggetto (fitness) per generare la popolazione successiva: stringhe con
valori alti di fitness hanno probabilità maggiore di riprodursi.
260
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
32.3 Operazioni genetiche
Il crossover, invece, procede in due passi: nel primo vengono accoppiati due cromosomi della popolazione, nel secondo si seleziona con probabilità uniforme un intero
k compreso nell’intervallo [1, L] (dove L è la lunghezza della stringa) e si scambiano
i geni tra i due genitori compresi nell’intervallo [k+1, L].
Ad esempio se si hanno due cromosomi di lunghezza L=5 con k=3, l’operazione di
crossover avviene nel seguente modo:
Prima del crossover:
A = 100|10
B = 110|11
Dopo il crossover:
A0 = 1 0 0 | 1 1
B0 = 1 1 0 | 1 0
Figura 32.1.:
La mutazione, infine, consiste nel modificare casualmente il valore di uno o più bit
della matrice contenente la popolazione. La presenza di questo operatore è giustificata dal fatto che l’alterazione casuale di un bit porta all’esplorazione di regioni
completamente nuove dello spazio verso possibili soluzioni migliori. La frequenza
con cui viene riscontrata la mutazione è stimata essere nell’ordine di una mutazione
su mille bits.
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
261
32.4 Applicazioni per l’ottimizzazione del controllore
32.4. Applicazioni per l’ottimizzazione del
controllore
Dalla lettura del paragrafo precedente si evince quanto gli algoritmi genetici, oltre ad
essere innovativi, riescano a lasciare un’ampia libertà di scelta per quanto riguarda
funzioni di fitness e codifica dei dati. Nel nostro caso i parametri di controllo sono
sette; questi devono innanzitutto essere codificati in una stringa binaria di n bits. Il
cromosoma è così definito:
I = (Kp Ki Kd L KuP I KuD K)
La codifica è fatta facendo convertendo in binario tali parametri, specificando una
precisione ed una risoluzione in bit uguale per tutti. La funzione di fitness è stata
scelta in modo tale da minimizzare una serie di parametri.
Tale funzione è una combinazione lineare dei parametri da minimizzare pesati opportunamente.
I parametri scelti sono:
• il valore di overshoot (os);
• il tempo di salita (tr);
• il tempo di assestamento (ts);
• il valore di undershoot (us);
• il valore dell’energia dell’errore (en).
F = [os tr ts us en]
L’energia dell’errore viene calcolata tramite la formula:
ˆT
en =
[y(t) − ysp (t)]2 dt
0
262
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
32.5 Implementazione
Quindi la funzione di fitness diventa:
f = w1 os + w2 tr + w3 ts + w4 en + w5 us
Dove i pesi possono essere assegnati in modo casuale o preimpostato (per la trattazione dei pesi si rimanda al capitolo successivo).
A questo punto si vanno a eseguire le simulazioni riportando in decimale ogni cromosoma e ricavando i dati per calcolare i parametri di fitness (opportunatamente
pesati) a cui verranno associati.
L’operazione di riproduzione avviene mediante la tecnica della roulette polarizzata.
Con questa tecnica si associa ad ogni esemplare una certa probabilità a seconda
del valore di fitness: in particolare nel nostro caso viene assegnata una probabilità
maggiore per la riproduzione agli elementi che presentano un valore di fitness minore
(e, quindi, sono caratterizzati da migliori prestazioni). In questo modo si crea una
nuova popolazione riproducendo i cromosomi in base alla probabilità assegnata.
L’operazione di crossover viene eseguita un numero di volte pari al 5% (arrotondato)
del numero di esemplari appartenenti allla popolazione prendendo ciascuna volta una
coppia casuale di cromosomi.
La mutazione, infine, viene eseguita variando un bit dell’intera popolazione in maniera casuale con una frequenza di 1 su 1000 bits.
32.5. Implementazione
In questo capitolo andremo a descrivere soluzioni ed accorgimenti messi in atto
durante l’implementazione dell’algoritmo.
È stata inizialmente generata una popolazione in modo casuale ed è stata fatta
evolvere fino al raggiungimento di un esemplare che stabilizzasse il sistema.
In un secondo momento da questo esemplare è stato codificato il primo cromosoma
mentre gli altri sono stati codificati partendo dai parametri della soluzione stabilizzante, perturbandoli con un valore casuale al fine di generare una popolazione
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
263
32.5 Implementazione
nell’intorno della zona di stabilità. Questo ci permette di arrivare ad una soluzione
psedudo-ottima in un numero inferiore passi.
Come detto nel capitolo precedente i pesi della funzione di fitness possono essere
calcolati secondo un’assegnazione casuale o preimpostata:
1. Assegnazione casuale: I pesi dei parametri della fitness sono: osi, tri, tsi,
eni, usi. Ad essi viene assegnato un valore casuale (attraverso la funzione rand) e
vengono calcolati i coefficienti della funzione oggetto normalizzati come:
w1 =
osi
;
osi+tri+tsi+en+usi
w2 =
tri
;
osi+tri+tsi+en+usi
w4 =
en
;
osi+tri+tsi+en+usi
w5 =
usi
osi+tri+tsi+en+usi
w3 =
tsi
osi+tri+tsi+en+usi
2. Assegnazione preimpostata: Nell’assegnazione preimpostata i pesi vengono
scelti dall’utente, quindi:
w1 = osi; w2 = tri; w3 = tsi; w4 = en; w5 = usi
Tra le due opzioni la scelta è ricaduta sulla seconda in quanto in questo modo si ha
un maggiore controllo sulle caratteristiche che si desidera minimizzare. Nel primo
caso, invece, avendo i pesi casuali si vanno ad esplorare molteplici soluzioni non
avendo una precisa direzione di ricerca.
È da notare che per la ricerca della soluzione ottima non è stato impostato nessun
criterio d’arresto ma semplicemente viene eseguito l’algoritmo in un ciclo for che si
ferma dopo un definito numero di passi al fine di valutare la soluzione trovata ed,
eventualmente, ri-inizializzarla per un nuovo ciclo.
Per effettuare la simulazione del sistema di controllo si è costruito una schema Simulink, quindi è stato necessario caricare tutti i parametri riportandoli da binario
264
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
32.5 Implementazione
in decimale. Per poter modificare il punto di break-point L delle regole d’inferenza
sono state usate le funzioni Matlab readfis e writefis.
Un problema riscontrato è stato quello di ricavare i dati della risposta al gradino.
Il sistema da controllare presenta un offset, quindi una simulazione Simulink che va
a valutare le prestazioni sulla risposta ad un gradino unitario sarebbe errata. Per
ovviare a ciò è stato implementato un generatore di onda quadra andando a valutare
le prestazioni del sistema sul fronte di salita del secondo ciclo (così da evitare la parte
caratterizzata dall’offset).
Per poter calcolare l’energia dell’errore solo sul secondo fronte di salita abbiamo
implementato un subsystem-enable con in ingresso il segnale d’errore che attiva
l’uscita con un comando di enable opportunamente temporizzato.
I segnali di tempo, uscita, riferimento ed energia dell’errore sono stati elaborati grazie
ad un secondo m-file (RispostaGrad.m) da noi creato il quale calcola overshoot,
tempo di salita, tempo di assestamento ed undershoot per ogni esemplare della
popolazione.
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
265
32.5 Implementazione
Figura 32.2.:
266
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
33. Prove
In questa parte finale della relazione andremo ad analizzare i risultati ottenuti applicando una serie di controllori ricavati attraverso gli algoritmi genetici appena
descritti.
E’ da notare che l’intero sistema è altamente variabile in funzione della temperatura
esterna (e, inoltre, di un offset manuale). Si è quindi reso necessario modellare
nuovamente il sistema ed effettuare le prove in un arco di tempo abbastanza ristretto
poichè i modelli ricavati in precedenza non sarebbero stati esatti.
Fortunatamente gli algoritmi appena descritti sono stati completamente automatizzati permettendoci di effettuare l’ottimizzazione in modo abbastanza rapido.
Per quanto riguarda il modello, è stato preso in esame il sistema con parzializzatore
a 100°. Ne è derivata una funzione di trasferimento nel dominio della frequenza:
P (s) =
1.223 −0.25s
e
s + 3.169
La quale, riportata nel dominio Zeta, equivale a:
P (z) =
z2
0.1048
(z − 0.7284)
Caratterizzata da un offset pari a 2.6091.
A questo punto è stato fatto partire l’algoritmo inizializzando una popolazione di
quelle ricavate nei capitoli precedenti.
Ne è derivata una prima popolazione avente:
267
Prove
Figura 33.1.: Modellazionedel processo con parzializzatore a 100°
kp = 10
ki = 38, 7
kd = 0
kud = kupi = 0, 01
k = 1, 2
L = 58
La quale, implementata nell’algoritmo come popolazione iniziale, dopo cinque iterazioni da origine a:
In questo esempio i pesi della fitness sono scelti in modo da minimizzare l’overshoot,
risulta quindi che la risposta al gradino scelta come “migliore” sia la seguente:
Il caso appena illustrato è caratterizzato da una tolleranza minima all’overshoot
(pesando osi con un valore molto alto) a discapito di quella relativa al tempo di
salita (che è pari a 0,9 secondi) avente peso minore.
Se decidessimo quindi di cercare un controllo avente tempo di salita migliore a fronte
di un piccolo overshoot, potremmo variare i parametri-peso (osi, tri, tsi, eni, usi)
andando a diminuire quello relativo all’overshoot.
268
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
Prove
Figura 33.2.: Rappresentazione della popolazione (10 esemplari) dopo 5 cilci
Ne deriva una diversa scelta della risposta migliore caratterizzata dai parametri:
kp = 11
ki = 35
kd = 0
kud = kupi = 0, 01
k = 0, 8
L = 75
I quali danno origine ad una risposta al gradino con un tempo di salita migliore
(circa 0,7 secondi) e un “leggerissimo” overshoot.
A questo punto è stato possibile riportare tutto il controllo ottimizzato implementandolo in un VI Labview. Ne deriva lo schema in pagina seguente.
A seguito di ulteriori iterazioni dell’algoritmo genetico sono stati ricavati dei parametri in cui nelle simulazioni Simulink era presente dell’overshoot:
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
269
Prove
Figura 33.3.: migliore esemplare senza overshoot
kp = 17, 9
ki = 71, 3
kd = 0, 01
kud = kupi = 0, 01
k=0
L = 157
La risposta del processo reale è molto simile a quella Simulink in Figura 33.7.
caratterizzata da un overshoot del 16% e da un tempo di salita di 0,4 secondi metre
il tempo di assestamento è pari a 1,4 secondi. Si noti inoltre come il processo sia
di per sé abbastanza rumoroso e che il ritardo non può essere eliminato con questo
tipo di controllo.
A questo punto abbiamo cercato di ottimizzare un controllo che non presentasse
nessun overshoot. A seguito dell’ottimizzazione genetica ne derivano i parametri:
270
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
Prove
Figura 33.4.: Migliore esemplare con leggero overshoot
kp = 18.7
ki = 51, 3
kd = 0, 01
kud = kupi = 0, 01
k = 0, 01
L = 87
I quali danno una risposta in Simulink come quella in Figura 33.9 mentre la risposta
del processo reale è illustrata in Figura 33.10.
Si noti la differenza di risposta tra fronte di salita e fronte di discesa (in cui è
presente un undershoot). Ciò è dovuto a una diversa risposta del sistema tra salita e
discesa che potrebbe essere risolvibile tramite l’utilizzo di due modelli diversi (quindi
controlli diversi). Il tempo di salita è pari a 0,8 secondi e il tempo di assestamento
è minore rispetto al caso precedente (Figura 33.11).
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
271
Prove
Se si implementa nuovamente l’algoritmo genetico si ottiene, dopo alcune iterazioni:
kp = 11, 3
ki = 35, 9
kd = 0
kud = k = 0, 01
k = 0.5
L = 86
I quali in Simulink danno luogo alla risposta in Figura 33.12 che ha un corrispettivo
nel processo reale con un andamento illustrato in Figura 33.13 ed in Figura 33.14.
Notiamo in questa simulazione rispetto alla precedente l’assenza di undershoot e
una migliore reiezione ai disturbi, il tempo di salita risulta essere pari a 0,8 secondi.
Andiamo adesso a testare la robustezza di questo controllo: prendiamo i parametri
ottimi dell’ultima simulazione (che sono anche quelli con il miglior compromesso
overshoot-tempo di salita-tempo di assestamento) e andiamo a disturbare l’impianto aprendo e chiudendo il parzializzatore (prima aumentandolo fino a 160° e poi
richiudendolo fino a 60°).
Come possiamo notare in Figura 33.15 il sistema riesce comunque a controllare
l’impianto.
Notiamo inoltre in Figura 33.16 come al diminuire dell’apertura (quindi diminuendo
l’afflusso d’aria) il segnale di controllo tende a decrescere.
Proviamo adesso a chiudere ancora di più il parzializzatore (arrivando fino a 10°):
ne deriva il risultato in Figura 33.17 con un segnale di controllo come quello in
Figura 33.18.
Come si può notare dalle figure, più il parzializzatore è chiuso più il controllo tende ad
abbassarsi (data il minore afflusso di aria). Essendo il segnale di controllo costretto
tra 0 e 10 V, si ha che nella parte finale del grafico il segnale di controllo (quando
il parzializzatore è posto a 10°) porta in saturazione l’attuatore (Figura 33.19); non
riuscendo ad inseguire il set point il segnale di controllo tende a divergere (poiché
non è stata implementata alcuna tecnica di anti windup).
272
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
Prove
Si noti (in Figura 33.20) inoltre che chiudendo il parzializzatore le caratteristiche del
sistema (tempo di salita, di assestamento ed overshoot) restano perlopiù invariate.
Possiamo quindi concludere che il controllo progettato stabilisce un buon compromesso tra le caratteristiche analizzate (overshoot, undershoot e tempo di salita e di
assestamento) risultando anche robusto a disturbi esterni, fino ad un limite dettato
da cause fisiche non controllabili (si veda il caso in cui il parzializzatore è a meno di
30° ed il segnale di controllo cerca di diventare negativo).
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
273
Prove
274
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
Figura 33.5.: VI Labview del sistema di controllo
Prove
Figura 33.6.: Risposta Simulink con overshoot
Figura 33.7.: Risposta reale con overshoot
Figura 33.8.: Caratteristiche della risposta reale
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
275
Prove
Figura 33.9.: Rispsosta Simulink senza overshoot
Figura 33.10.: Rispsosta reale senza overshoot
276
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
Prove
Figura 33.11.: Caratteristica della reale
Figura 33.12.: Risposta ottima in Simulink
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
277
Prove
Figura 33.13.: Rispsosta reale
Figura 33.14.: Risposta reale (particolare)
278
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
Prove
Figura 33.15.: Rispsosta con disturbo (nei cerchi sono presenti i disturbi dettati
dalla chiusura del parzializzatore)
Figura 33.16.: Controllo con disturbo (nei cerchi sono presenti i disturbi dettati
dalla chiusura del parzializzatore)
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
279
Prove
Figura 33.17.: Risposta con disturbo (nei cechi sono presenti i disturbi dettati
dalla chiusura del parzializzatore)
Figura 33.18.: Controllo con disturbo (nei cechi sono presenti i disturbi dettati
dalla chiusura del parzializzatore)
280
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
Prove
Figura 33.19.: Saturazione del segnale di controllo per valori di tensione negativi
Figura 33.20.: Particolare con parzializzatore a 80°
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
281
Parte VII.
Elaborati di stima e identificazione
283
34. Applicazioni del filtro di Benes
34.1. Introduzione
In questo elaborato si analizzano le prestazioni di tre differenti tecniche per risolvere
il problema di filtraggio di un sistema stocastico non lineare.
In particolare vengono analizzati i filtri:
1. Filtro di Benes
2. Extended Kalman Filter (EKF)
3. Particle Filter
Il confronto delle prestazioni viene eseguito tramite le simulazioni Monte Carlo
analizzando la deviazione standard dell’errore di stima.
Dato un generico sistema stocastico non lineare con rumori additivi in forma:


ẋ
= f (xt , ut ) + wt

y
= h(xt ) + vt
con:
x0 ⊥ (wt ⊥ vt )
wt ∼ wn (0, Qt )
285
34.1 Introduzione
vt ∼ wn (0, Rt )
È noto che il problema di filtraggio Bayesiano per tale sistema ammette soluzione
sotto forma di filtro a dimensione finita nei casi:
• caso lineare Gaussiano;
• caso TD;
• caso di Benes, in cui l’equazione di uscita h(xt ) è lineare, i disturbi wt , vt sono
Gaussiani e la funzione non lineare f (xt ) soddisfa:
"
#
af
0
0
0
+ f (xt ) f (xt ) = x Ax + b x + c
tr
ax
con ARnxn , bRn e cRn con n pari alla dimensione del vettore di stato x.
Si noti che nel caso scalare la relazione diventa:
df
+ f 2 (x) = ax2 + bx + c
dx
soddisfatta dalla funzione:
f (x) = tanh(x) =
ex − e−x
ex + e−x
poste a = b = 0 e c = 1.
Si va così a descrivere il sistema dinamico non lineare in studio:
286


ẋ
= tanh(xt ) + wt

y
= xt + v t
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
(34.1)
34.1 Introduzione
Si noti che la stima migliore di xt , nel senso del minimo errore quadratico medio
(MEQM), è data da:
ˆ
x̂t/τ = E {xt |Yτ } =
x p(xt , t | Yτ ) dx
dove Yτ rappresenta le osservazioni {y0 , y1 , ..., yτ } e la funzione p(·) è la densità di
probabilità di x data dalle osservazioni Yτ .
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
287
34.2 Modello del sistema
34.2. Modello del sistema
Lo schema Simulink del sistema Equazione 34.1 è mostrato in Figura 34.1:
Figura 34.1.: Schema Simulink del sistema dinamico non lineare
Nelle figure Figura 34.2 e Figura 34.3 si analizza l’andamento dello stato e della
sua derivata in assenza di rumori a partire da diverse condizioni iniziali dello stato (x0 ). Si noti inoltre come la derivata rappresenti una saturazione e il diverso
comportamento del sistema alle condizioni iniziali.
288
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
34.3 Filtro di Benes
Figura 34.2.: Andamento dello stato del sistema in assenza di rumori
34.3. Filtro di Benes
La struttura del problema di Benes è data dalle equazioni:


 dxt
dt

yt
= f (xt ) + wt
= xt + vt
con wt , vt rumori bianchi Gaussiani a media nulla e varianza rispettivamente q, r > 0.
Se la funzione f (·) soddisfa la condizione:
f˙ + f 2 = ax2 + bx + c
considerati a, b, c costanti ed a ≥ 0, allora la stima ottima nel senso MMSE x̂t/τ =
E [xt |Yτ ] esiste e dipende da un numero finito di elementi della funzione densità di
probabilità di x̂t/τ .
Si dimostra che almeno una di queste funzioni esiste ed è esprimibile come:
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
289
34.3 Filtro di Benes
Figura 34.3.: Andamento della derivata dello stato in assenza di rumori
f (x) =
Aex − Be−x
Aex + Be−x
e che, inoltre, nel caso particolare in cui A = B, si ottiene:
f (x) = tanh(x)
che è la funzione in studio tipicamente utilizzata nella modellazione di saturazioni in
apparaecchi elettronici. Si ottiene così un’applicazione del filtro di Benes al sistema
appena descritto come in Figura 34.4.
Per quanto riguarda lo studio del filtro di Benes si consideri il sistema a tempo
disreto (TD).
290
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
34.3 Filtro di Benes
Figura 34.4.: Diagramma a blocchi del filtro di Benes
Per discretizzare si fa riferimento all’approssimazione di Eulero del sistema, quindi:


xk+1

yk
= fk (xk ) + w̄k
= xk + vk
(34.2)
dove w̄k = Ts wk ∼ wn (0, Ts2 Q)
wk , vk sono mutualmente indipendenti con distribuzioni gaussiane a media nulla e
varianza rispettivamente Qk ed Rk .
Per quanto riguarda la funzione non lineare, essa si traduce come:
fk (xk ) = xk + Ts · f (xk )
dove f (xk ) è la funzione non lineare calcolata in xk e Ts è il tempo di campionamento
adottato.
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
291
34.3 Filtro di Benes
Si ha così che la stima ottima nel senso MMSE è data (in accordo a [?]) dalla
relazione:
x̂k/k = E {xk |Yk } = mk + Pk f (mk )
dove Yk sono le uscite fino all’istante k mentre Pk ed mk sono date dalle due equazioni
ricorsive calcolate in accordo al diagramma in Figura 34.5.
Figura 34.5.: Schema del filtro di Benes
Quindi:
2
P¯k
¯
Pk = Pk − ¯
Pk + Rk
292
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
34.3 Filtro di Benes
mk = m̄k +
Pk
(yk − m̄k )
Rk
Per quanto riguarda la predizione, questa si può effettuare ponendo:
dm̄(t)
=0
dt
dP̄ (t)
=1
dt
che, per tk−1 < t < tk rende:
P¯k = (tk − tk−1 ) + Pk−1 = Ts + Pk−1
m̄k = mk−1
Il filtro appena descritto è inizializzato con due valori m0 , P0 che sono rispettivamente la media e la varianza dello stato iniziale avente distribuzione gaussiana:
x0 v N (m0 , P0 )
Caso ideale
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
293
34.3 Filtro di Benes
Si va adesso ad analizzare le prestazioni del filtro di Benes nel caso relativamente
ideale, ovvero ponendo le varianze associate ai rumori q ed r, pari a:
q = 0.02
r = 0.02
Si ottengono così le prestazioni riportate in Figura 34.6 e seguenti.
Figura 34.6.: Stima con filtro di Benes
Rumore sullo stato
Si va adesso ad analizzare le prestazioni del filtro di Benes nel caso in cui si è in
presenza di un accentuato disturbo di processo. Si pone in simulazione le varianze
associate ai rumori q ed r, rispettivamente rumore di processo e di misura, pari a:
q=1
294
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
34.3 Filtro di Benes
Figura 34.7.: Errore quadratico medio con filtro di Benes
r = 0.02
Si analizzano in Figura 34.8 e seguenti le prestazioni del filtro di Benes.
Figura 34.8.: Stato e uscita nel caso di rumore sullo stato a elevata varianza
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
295
34.3 Filtro di Benes
Figura 34.9.: Stima e stato reale nel caso di rumore sullo stato a elevata varianza
Rumore sull’uscita
Si consideri adesso la situazione opposta: un rumore di misura molto elevato ed uno
sullo stato minore. Si pone così:
q = 0.02
r=1
e si osservi le prestazioni del filtro in Figura 34.11 e seguenti.
296
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
34.4 Filtraggio EKF
Figura 34.10.: Errore quadratico medio nel caso di rumore sullo stato a elevata
varianza
34.4. Filtraggio EKF
La logica del filtraggio EKF si basa sull’applicazione del filtro di Kalman al sistema
linearizzato nel punto di interesse.
Definito il vettore xk caratteristico dello stato all’istante k, si va a discretizzare il sistema. Nel caso generale considerato il sistema precedentemente esposto
Equazione 34.1 si calcola:



xt+1


yt
= f (x̂(t|t), ut ) +
= h(x̂(t|t − 1)) +
df (x,ut ) dx
x=x̂(t|t)
dh(x) dx x=x̂(t|t−1)
xet/t + o(xn ) + wt
xet/t−1 + o(xn ) + vt
con x̂(t|t) pari alla stima dello stato basata su y t e si definisce l’errore di predizione:
xe(t|t) = x(t) − x̂(t|t)
Quindi considerata la funzione:
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
297
34.4 Filtraggio EKF
Figura 34.11.: Stato e uscita nel caso di rumore di misura a elevata varianza
ex − e−x
f (x) = tanh(x) = x
e + e−x
si calcola:
df (x)
= Ak = 1 + tanh(x)2
dx
dh(x)
= Ck = 1
dx
Algoritmo
Per quanto riguarda l’inizializzazione, si pongono le variabili (x1/0 ; P1/0 ).
L’algorimo si suddivide in due fasi: correzione e predizione ( Figura 34.14).
Correzione
298
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
34.4 Filtraggio EKF
Figura 34.12.: Stima e stato reale nel caso di rumore di misura a elevata varianza
Ck =
∂hk
(x̂k/k−1 )
∂x
0
Sk = Rk + Ck Pk/k−1 Ck
0
Lk = Pk/k−1 Ck Sk−1
ek = yk − hk x̂k/k−1
x̂k/k = x̂k/k−1 + Lk ek
0
Pk/k = Pk/k−1 − Lk Sk Lk
Predizione
Ak =
∂fk
x̂
∂x k/k−1
x̂k+1/k = fk (x̂k/k , uk )
0
Pk+1/k = Ak Pk/k Ak + Qk
dove fk (x̂k/k , uk )è la funzione discretizzata col metodo di Eulero Equazione 34.2.
Caso ideale
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
299
34.4 Filtraggio EKF
Figura 34.13.: Errore quadratico medio nel caso di rumore di misura a elevata
varianza
Figura 34.14.: Passi caratterizzanti il filtraggio EKF
Si va adesso ad analizzare le prestazioni dell’EKF nel caso relativamente ideale,
ovvero ponendo le varianze associate ai rumori q ed r, pari a:
q = 0.02
r = 0.02
Si ottengono così le prestazioni riportate in Figura 34.15 e seguenti.
300
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
34.4 Filtraggio EKF
Figura 34.15.: Stima nel caso di filtraggio EKF
Rumore sullo stato
Come nel caso del filtraggio di Benes, analizziamo il problema con rumori di processo
molto incisivi. Posti q = 1 e r = 0.02 osserviamo in Figura 34.17 e successive le
prestazioni del filtraggio EKF.
Rumore sull’uscita
Si osservino infine in Figura 34.20 e successive le prestazioni del filtro EKF nel caso
opposto: rumore di processo poco intenso (q = 0.02) e rumore di misura molto
incisivo (r = 1).
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
301
34.5 Filtraggio PF
Figura 34.16.: Errore quadratico medio nel caso di filtraggio EKF
34.5. Filtraggio PF
Il filtro PF (particle filter) equivale ad una implementazione campionata del filtro
Bayesiano sfruttando il metodo Monte Carlo per l’integrazione (IMC ). Invece di una
soluzione analitica o di una approssimazione numerica, infatti, il filtro PF considera
una grossa mole di dati al fine di stimare al meglio la densità di probabilità (ddp)
dello stato.
L’idea che sta alla base del metodo è quella di rappresentare la ddp con una serie di
campioni casuali (da qui il nome particles) tali che, incrementandone il numero, sia
possibile ottenere una rappresentazione stimata della ddp desiderata.
Algoritmo
Inizializzazione: Si inizializzano i campioni di xi e i pesi w̄i come :
xi (0) ∼ N (x(0); P (0))
302
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
34.5 Filtraggio PF
Figura 34.17.: Stato e uscita nel caso di rumore sullo stato a elevata varianza
w̄i (0) =
1
M
calcolati rispettivamente per i = 1, ... , M , dove M è il numero di particelle scelte
dal progettista.
Esecuzione: per t > 1..... e per i = 1, ... , M si calcolano i campioni:
xi (t) v q(x(t)|xi (t − 1), y(t))
ed i pesi:
wi (t) = wi (t − 1)
p(y(t)|xi (t)) p(xi (t)|xi (t − 1))
q(xi (t)|xi (t − 1), y(t))
Si vanno a normalizzare i pesi considerando:
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
303
34.5 Filtraggio PF
Figura 34.18.: Stima e stato nel caso di rumore sullo stato a elevata varianza
wi (t)
w̄i (t) = PM
j=1 wj (t)
Si va a calcolare la stima dello stato:
x̂(t) =
M
X
w̄i (t) xi (t)
i=1
Si stima la covarianza come:
P̂ (t) =
M
X
0
w̄i (t) [xi (t) − x̂(t)] [xi (t) − x̂(t)]
i=1
Si noti che nell’algoritmo il progettista deve scegliere la funzione di importanza
q(x(t)|x(t − 1), y(t)), la scelta più semplice è porre:
q(x(t)|x(t − 1), y(t)) = p(xi (t)|xi (t − 1))
304
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
34.5 Filtraggio PF
Figura 34.19.: Errore quadratico medio nel caso di rumore sullo stato a elevata
varianza
L’unico vincolo sulla funzione di importanza è che il suo supporto contenga quello
di p(x(t)|y t ); si sceglie così q(·) come una distribuzione Gassiana.
Ricampionamento
Il fenomeno della degenerazione dei pesi, che è causato dalla fattorizzazione della
funzione di importanza, è quantificabile valutando il numero dei campioni effettivi
Nef f i cui pesi sono significativi:
1
Nef f = PN
i=1
w̄i2
La degenerazione degrada l’accuratezza della stima e non utilizza in modo efficiente
le risorse di calcolo. Si devono, infatti, sprecare risorse di calcolo per propagare
campioni con pesi nulli che, non contribuiscono alla stima. Tale fenomeno può
essere contrastato effettuando un ricampionamento. Con un ricampionamento si
vanno a re-impostare i valori dei pesi con una certa logica. Nel nostro caso si è
scelto di porre, se vale la condizione di ricampionamento, i pesi:
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
305
34.5 Filtraggio PF
Figura 34.20.: Stato e uscita nel caso di rumore di misura a elevata varianza
wi (t) ∼ N (0, q)
ovvero distribuendo i pesi in modo Gaussiano con varianza q.
Caso ideale
Si va adesso ad analizzare le prestazioni del PF nel caso relativamente ideale, ovvero
ponendo le varianze associate ai rumori q ed r, pari a:
q = 0.02
r = 0.02
Si ottengono così i risultati mostrati in Figura 34.23 e seguenti. Si noti in Figura 34.25
l’andamento dei campioni dell’algoritmo PF in uso.
306
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
34.5 Filtraggio PF
Figura 34.21.: Stima e stato reale nel caso di rumore di misura a elevata varianza
Rumore sullo stato
Anche in quest’ultimo caso si analizzano prima le prestazioni del filtro con rumore
di processo molto elevato (q = 1, r = 0.02), poi nel caso di rumore di misura incisivo
(q = 0.02, r = 1).
Essendo il filtraggio tramite filtro particellare caratterizzato anche dal numero di
campioni utilizzati, si riportano i risultati ( Figura 34.26 e successive) per N = 10,
N = 250 ed N = 5000. Si noti infine che per N = 10 è necessario applicare
il ricampionamento (evidenziato in rosso) a causa della degradazione della stima,
osservando come si comporta l’errore, sopratutto dopo il primo ricampionamento.
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
307
34.5 Filtraggio PF
Figura 34.22.: Errore quadratico medio nel caso di rumore di misura a elevata
varianza
Figura 34.23.: Stima nel caso di filtraggio PF
308
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
34.5 Filtraggio PF
Figura 34.24.: Errore quadratico medio nel caso di filtraggio PF
Figura 34.25.: Evoluzione dei campioni nell’algoritmo PF, caso N = 250
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
309
34.5 Filtraggio PF
Figura 34.26.: Stato e uscita nel caso di rumore sullo stato a elevata varianza N
= 10
Figura 34.27.: Stima e stato reale nel caso di rumore sullo stato a elevata varianza
N = 10
310
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
34.5 Filtraggio PF
Figura 34.28.: Errore quadratico medio nel caso di rumore sullo stato a elevata
varianza N = 10
Figura 34.29.: Stima e stato reale nel caso di rumore sullo stato a elevata varianza
N = 250
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
311
34.5 Filtraggio PF
Figura 34.30.: Errore quadratico medio nel caso di rumore sullo stato a elevata
varianza N = 250
Figura 34.31.: Stima e stato reale nel caso di rumore sullo stato a elevata varianza
N = 5000
312
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
34.5 Filtraggio PF
Figura 34.32.: Errore quadratico medio nel caso di rumore sullo stato a elevata
varianza N = 5000
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
313
34.5 Filtraggio PF
Rumore sull’uscita
Si riporta in Figura 34.33 e successive l’ultimo caso, in cui il rumore sull’uscita
(caratterizzato da una varianza r = 1) è più incisivo rispetto a quello di processo
(q = 0.02).
Figura 34.33.: Stato e uscita nel caso di rumore di misura a elevata varianza N =
10
314
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
34.5 Filtraggio PF
Figura 34.34.: Stima e stato reale nel caso di rumore di misura a elevata varianza
N = 10
Figura 34.35.: Errore quadratico medio nel caso di rumore di misura a elevata
varianza N = 10
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
315
34.5 Filtraggio PF
Figura 34.36.: Stima e stato reale nel caso di rumore di misura a elevata varianza
N = 250
Figura 34.37.: Errore quadratico medio nel caso di rumore di misura a elevata
varianza N = 250
316
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
34.5 Filtraggio PF
Figura 34.38.: Stima e stato reale nel caso di rumore di misura a elevata varianza
N = 5000
Figura 34.39.: Errore quadratico medio nel caso di rumore di misura a elevata
varianza N = 5000
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
317
34.6 Prove Monte Carlo
34.6. Prove Monte Carlo
Le prestazioni dei filtri presentati sono valutate attraverso l’analisi dell’errore quadratico medio di stima con il metodo Monte Carlo.
Il metodo Monte Carlo si basa sull’effettuare M prove indipendenti tra loro in termini
di condizione iniziale e rumore.
L’indipendenza del rumore tra una prova e l’altra è garantita dall’aver impostato randseed come nel campo Initial seed del blocco Simulink che genera i rumori
gaussiani.
Date M prove la deviazione standard (σet ) dell’errore di stima è così definita:
σet =
v
u
u
t
M
1 X
(xt − x̂t/t )2
M t=1
Posto M = 500, si riporta di seguito le prestazioni dei filtri in termini di deviazione
standard dell’errore di stima calcolate attraverso il metodo Monte Carlo al variare
della varianza q (caratteristica del rumore di processo) e della varianza r (relativa
al rumore di misura).
Nelle simulazioni il filtro PF è considerato con un numero di campioni N pari a 250.
Le simulazioni di durata 30s sono inizializzate con uno stato iniziale dei filtri definito
come:
x0 ∼ N (15; 5)
mentre lo stato iniziale vero è impostato pari a x0 = 5
Caso ideale q = 0.2
318
r = 0.2
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
34.6 Prove Monte Carlo
Figura 34.40.: EQM - caso ideale
Figura 34.41.: EQM - caso ideale
Rumore sullo stato q = 1
r = 0.2
Figura 34.42.: EQM - rumore sullo stato
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
319
34.6 Prove Monte Carlo
Figura 34.43.: EQM - rumore sullo stato
Rumore sull’uscita q = 0.2
r=1
Figura 34.44.: EQM - rumore sull’uscita
Figura 34.45.: EQM - rumore sull’uscita
320
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
34.6 Prove Monte Carlo
Come si può notare dalla lettura delle figure, il filtro di Benes ha ottime prestazioni
in tutte le casistiche prese in considerazione, da notare che nel caso di forti disturbi sull’uscita si ha un EQM più alto. Il PF normalmente ha un comportamento
peggiore rispetto agli altri filtri, ma nel caso di forti rumori sull’uscita, a fronte di
una maggiore onerosità computazionale, si comporta meglio dell’EKF (il quale si
comporta peggio nel caso di forti disturbi in uscita). Inoltre è evidente come il PF
ha una convergenza più lenta rispetto agli altri filtri.
Si riporta di seguito altre simulazioni considerando un numero di campioni del PF
pari a 2000.
Figura 34.46.: EQM - caso ideale
Figura 34.47.: EQM - rumore sullo stato
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
321
34.6 Prove Monte Carlo
Figura 34.48.: EQM - rumore sull’uscita
322
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
35. Stima dello stato in presenza di
osservazioni binarie
L’elaborato si incentra sull’implementazione di algoritmi di filtraggio ricorsivo applicati ad un sistema fisico reale non lineare, per stimare lo stato dell’impianto non
direttamente accessibile.
Il processo oggetto dello studio è composto dalla cascata di due vasche di differenti
dimensioni e portate. La portata di ingresso della prima vasca è regolata da un
segnale non costante generato in modo che il livello d’acqua di entrambe non superi
mai un valore massimo prefissato. L’ingresso della seconda invece è determinato
dalla portata di uscita della prima.
L’impianto reale è stato modellato tramite l’utilizzo di Simulink e discretizzato in
modo tale da poter implementare in Matlab gli algoritmi EKF ed UKF necessari alla
stima del suo stato. Il primo si basa sul Filtro di Kalman Esteso mentre il secondo
si basa sulla Trasformazione Unscented.
L’impianto presenta in uscita un sensore che fornisce i dati necessari all’elaborazione
della stima. Inizialmente ‘e stato implementato un sensore a due livelli; il problema
‘e stato poi generalizzato utilizzando un sensore con un numero finito di livelli.
In conclusione dell’elaborato ‘e stato effettuato il confronto tra gli algoritmi utilizzati
tramite la valutazione dell’errore quadratico medio basata su analisi MonteCarlo.
35.1. Modellazione
Il sistema è descritto dalle equazioni non lineari:
323
35.1 Modellazione
√
= Ku − A1 2gx1 + w1
√
√

S2 ẋ2 = A1 2gx1 − A2 2gx2 + w2


S1 ẋ1
le quali descrivono la relazione tra l’ingresso u di alimentazione ed i livelli dell’acqua
nelle due vasche. E’ stato necessario ricavare uno schema Simulink ( Figura 35.1) in
grado di simulare il sistema dinamico reale tenendo conto di un errore di processo
riguardante lo stato ed un errore di misura riguardante l’uscita. L’ingresso scelto
è di tipo sinusoidale ed è stato ricavato a seguito di una serie di test sul sistema
dinamico simulato in modo tale che gli stati x1 ed x2 siano compresi tra un livello
minimo nullo ed un livello massimo unitario h e che l’altezza della seconda vasca
oscilli intorno al valor medio h2 .
Figura 35.1.: Modello Simulink delle due vasche
I parametri del sistema dinamico sono:
324
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
35.1 Modellazione
S1 = 0.5 = Area di base della prima vasca;
S2 = 0.25 = Area di base della seconda vasca;
A1 = 0.019 = Superficie della prima sezione di scarico;
A2 = 0.016 = Superficie della seconda sezione di scarico;
K = 0.035 = Costante di proporzionalità caratteristica della pompa;
g = 9.81 = Accelerazione di gravità;
h = 1 = Altezza massima del livello dell’acqua;
v = 0.01 = deviazione standard del rumore di misura;
w1 , w2 = 0 = errore di processo.
L’uscita y del sistema è definita come lo stato della seconda vasca a cui si somma
un rumore di misura v:
y = x2 + v
Per quanto riguarda il modello del sensore lineare a due livelli, esso fornisce tramite
un comparatore misure binarie bk pari a:
bk =


0,
se y <
h
2

1,
se y >
h
2
Successivamente è stato associato al valore booleano bk un valore yk così definito:
yk =
h


h,
0 1 xk + vk =  4
 3h
i
4
se bk = 0
, se bk = 1
dove vk rappresenta il rumore additivo introdotto dal comparatore:
δ2
var (vk ) = σ +
3
2
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
325
35.2 Algoritmo EKF
dove δ = 2lh , con h pari all’altezza massima ed l pari al numero di livelli del
comparatore.
35.2. Algoritmo EKF
Il primo algoritmo di filtraggio non lineare utilizzato per la stima dello stato del
sistema dinamico è EKF.
Formalmente l’algoritmo EKF è così definito:
per k = 1, 2, ...
Correzione:
Ck =
∂hx ∂x x=x̂
k|k−1
0
Sk = Rk + Ck Pk|k−1 Ck
0
Lk = Pk|k−1 Ck Sk−1
x̂k|k = x̂k|k−1 + Lk ek
0
Pk|k = Pk|k−1 − Lk Sk Lk
Predizione:
Ak =
∂fk ∂x x=x̂
k|k−1
Dk = gk x̂k|k
x̂k+1|k = fk x̂k|k , uk
0
0
Pk+1|k = Ak Pk|k Ak + Dk Qk Dk
Per implementare l’algoritmo è necessaria la discretizzazione del sistema e la ricerca
di una matrice Ak definita come il giacobiano della dinamica discretizzata dello stato
assumendo un tempo di campionamento δk = 0.1.
Definito il vettore di stato:
xk =
326
h
xk (1) xk (2)
i0
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
35.2 Algoritmo EKF
tramite la discretizzazione di Eulero si ottiene:
√

2gxk (1)
x
(1)
+
δ
Ku
−
A
k
k
1

S1
√
√
xk+1 = 

2gxk (1)
2gxk (2)
− A2 S2
xk (2) + δk A1 S1




Discretizzando è opportuno considerare un disturbo di processo (dovuto all’approssimazione introdotta dal metodo) di cui si tiene conto attraverso:


10−4
0 
Q=
0
10−4
Si può quindi ricavare la matrice Ak :
√

1
Ak = 

2gxk (1)
+ δk
√ S1
A g 2gx (1)
δk 1 S1 k
A1 g
0
1 − δk
A2 g

√
2gxk (2)
S2


Le condizioni iniziali per questo specifico sistema sono definite in modo tale da avere
uno stato di partenza prossimo a zero ed una varianza molto elevata data la scarsa
quantità di informazioni inerenti lo stato. A tale proposito si ‘e posto:
x1|0 =
P1|0
h
0.01 0.01


i0
0.5 0 
=
0 0.5
Data la linearità del sensore in uso, la matrice Ck definita nell’algoritmo non va
ricavata poichè costante e più precisamente pari a:
Ck =
h
0 1
i
L’algoritmo EKF è stato implementato in tre programmi diversi che si differenziano
nel modo in cui viene trattato il segnale di ingresso all’algoritmo.
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
327
35.2 Algoritmo EKF
Nel primo programma viene utilizzato un comparatore a due livelli implementato
direttamente in Simulink. L’associazione tra misura binaria bk uscente dal comparatore e misura continua yk è effettuata a livello Matlab.
Il secondo programma implementa un comparatore a l-livelli al cui ingresso è posto
il segnale Simulink y a cui si associa in uscita il segnale yk .
Il terzo, implementato anch’esso completamente in Matlab, realizza il caso l = ∞
ponendo in ingresso all’algoritmo direttamente l’uscita y del sistema non comparata.
Dalle simulazioni effettuate si ottengono i risultati mostrati in Figura 35.2 e seguenti.
Figura 35.2.: Stati x1 ed x2 reali e loro stima filtrata nel caso di comparatore a
due livelli
Figura 35.3.: Stati x1 ed x2 reali e loro stima filtrata nel caso di comparatore a
quattro livelli
328
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
35.2 Algoritmo EKF
Figura 35.4.: Stati x1 ed x2 reali e loro stima filtrata nel caso di comparatore a
otto livelli
Figura 35.5.: Stati x1 ed x2 reali e loro stima filtrata nel caso di comparatore a
sedici livelli
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
329
35.2 Algoritmo EKF
Figura 35.6.: Stati x1 ed x2 reali e loro stima filtrata nel caso di comparatore a
2048 livelli
Figura 35.7.: Stati x1 ed x2 reali e loro stima filtrata nel caso di comparatore a
infiniti livelli
330
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
35.3 Algoritmo UKF
35.3. Algoritmo UKF
Il secondo algoritmo di filtraggio non lineare utilizzato è UKF, basato sulla Trasformazione Unscented, che inizializza dei campioni aggiornati in modo ricorsivo al fine
di stimare lo stato del sistema.
Inizialmente viene definito il parametro na = nx + nw + nv pari alla somma delle
dimensioni di stato, sistema ed errori (di processo e di misura). Nel caso in esame,
essendo i rumori additivi e gaussiani, na è pari alla dimensione dello stato (quindi
na = 2).
Definiamo le condizioni iniziali ponendo lo stato nullo e la varianza elevata:
x1|0 =
h
0 0
i0

P1|0

0.5 0 
=
0 0.5
Inizializziamo poi i parametri necessari all’algoritmo: w0 = 1 − n30 , pari al peso del
q
nx
0
campione centrale; wi = 1−w
pari
al
peso
degli
altri
campioni;
s
=
.
2nx
1−w0
Formalmente l’algoritmo UKF è così definito:
per k = 1, 2, ...




x̂a = 




P̂ a = 
x̂t−1|t−1
0nw
0nv





Pt−1|t−1 0 0
0
Q 0
0
0 R





di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
331
35.3 Algoritmo UKF
dove Q, R sono le varianze dei rumori rispettivamente di processo e di misura. Nel
nostro caso particolare, essendo i rumori additivi e gaussiani, si ha che:
x̂a = x̂t−1|t−1
P̂ a = Pt−1|t−1
Calcoliamo così i campioni:
χa0 = x̂a
χa1 = x̂a + sTia
χa2 = x̂a − sTia
χa =
h
χ
x
χ
w
χ
v
i0
= χx nel nostro caso
Predizione:
χxi = ft (χxi , χw
i , ut )
x̂t|t−1 =
n
X
wi χxi
i=0
Pt|t−1 =
n
X
wi x̂t|t−1 − χxi
x̂t|t−1 − χxi
0
i=0
ζi = ht (χxi , χvi )
ŷt|t−1 =
n
X
wi ζi
i=0
Correzione:
332
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
35.3 Algoritmo UKF
St =
Pn
i=0 wi ŷt|t−1 − ζi
Ptxy =
Pn
x
i=0 wi x̂t|t−1 − χi
ŷt|t−1 − ζi
0
ŷt|t−1 − ζi
0
Lt = Ptxy St−1
x̂t|t = x̂t|t−1 + Lt yt − ŷt|t−1
0
Pt|t = Pt|t−1 − Lt St Lt
Analogamente al caso EKF l’algoritmo è stato implementato in Matlab sfruttando
il modello discretizzato del sistema dinamico.
Le simulazioni sono state effettuate in primo luogo sfruttando un sensore a due livelli
ed in secondo luogo generalizzando il problema fino ad arrivare al caso di infiniti
livelli. I risultati ottenuti sono riportati in Figura 35.8 e seguenti.
Figura 35.8.: Stati x1 ed x2 reali e loro stima filtrata nel caso di comparatore a
due livelli
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
333
35.3 Algoritmo UKF
Figura 35.9.: Stati x1 ed x2 reali e loro stima filtrata nel caso di comparatore a
quattro livelli
Figura 35.10.: Stati x1 ed x2 reali e loro stima filtrata nel caso di comparatore a
otto livelli
334
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
35.3 Algoritmo UKF
Figura 35.11.: Stati x1 ed x2 reali e loro stima filtrata nel caso di comparatore a
sedici livelli
Figura 35.12.: Stati x1 ed x2 reali e loro stima filtrata nel caso di comparatore a
2048 livelli
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
335
35.3 Algoritmo UKF
Figura 35.13.: Stati x1 ed x2 reali e loro stima filtrata nel caso di comparatore a
infiniti livelli
336
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
35.4 Conclusioni
35.4. Conclusioni
Le prestazioni dei due algoritmi sono state valutate attraverso l’analisi dell’MSE con
il metodo MonteCarlo.
Date M prove, si indica con i la i-esima realizzazione e si ricava l’MSE per ogni
istante temporale t come:
M SEt =
M 0
1 X
xi − x̂it|t xi − x̂it|t
M i=0
Per implementare questo metodo di analisi è stato scelto di eseguire un’unica simulazione del sistema dinamico prelevando lo stato vero x2 a cui è stato aggiunto, a
livello Matlab, un rumore gaussiano a media nulla (con v = 10−2 ) generato in modo
indipendente per ognuna delle 50 realizzazioni.
Si è così realizzato un quarto file Matlab grazie al quale è possibile analizzare l’evoluzione temporale dell’MSE dei due algoritmi (rispettivamente per 2, 4, 8 e 16
livelli) come mostrato in Figura 35.14 e Figura 35.15.
Dai risultati ottenuti si evince che l’MSE diminuisce sensibilmente all’aumentare dei
livelli per entrambi gli algoritmi ma in modo più marcato nel caso EKF.
Le prestazioni dei due algoritmi sono state inoltre confrontate attraverso l’analisi
temporale dell’errore quadratico medio definito come:
M SE =
N 0
1 X
xt − x̂t|t xt − x̂t|t
N t=0
I risultati ottenuti, per ogni algoritmo da l = 2 ad l = ∞, sono riportati nella tabella
Tabella 35.1.
Anche in questo caso si può notare come l’algoritmo EKF sia migliore rispetto a
quello UKF e come per entrambi l’MSE diminuisca all’aumentare dei livelli.
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
337
35.4 Conclusioni
Figura 35.14.: Andamento dell’errore quadratico medio calcolato tramite analisi
MonteCarlo; algoritmo EKF, comparatore a 2 (a), 4 (b), 8 (c) e 16 (d) livelli
Tabella 35.1.: Errore Quadratico Medio temporale calcolato nei due metodi
utilizzati
338
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
35.4 Conclusioni
Figura 35.15.: Andamento dell’errore quadratico medio calcolato tramite analisi
MonteCarlo; algoritmo UKF, comparatore a 2 (a), 4 (b), 8 (c) e 16 (d) livelli
di C.Bettini, A.Guiggiani e T.Lorenzetti
339