Ogni successione {an} convergente è limitata

Ogni successione monotona limitata converge.
Supponendo che {an} sia crescente,poiché limitata avrà per il 10 assioma l’estremo superiore.Sia L
tale estremo,segue an≤ L per ogni intero positivo n. Vogliamo provare che la successione converge a
L. ∀e>0 esiste almeno un indice v tale che L – e < av. Ciò è vero poiché se fosse L – e > an allora L
–e sarebbe un altro maggiorante e questo va in contraddizione con la definizione di estremo
superiore.Quindi segue che L - e<av<an<L<L +e ⇒an - L< e per ogni n>v. Ciò dimostra che la
successione converge a L.
Ogni successione {an} convergente è limitata
An →l per n→∞. In corrispondenza di ε =1 esiste un indice v tale che an-L<1,quando n>v da cui
segue an<1+L,quando n>v . Abbiamo dunquean≤ max{a1,a2,…..av,1+L} per
ogni intero positivo n, e ciò mostra che la successione {an} è limitata.
Ogni successione monotona non limitata diverge.
Sia {an}una successione crescente che non ha l’estremo superiore. Cmq scelto M>0, esiste un indice
v, tale che av>M. Ma la successione {an} è per ipotesi crescente e quindi a maggior ragione
abbiamo an> M per ogni n>v. E ciò significa proprio che la successione diverge positivamente.Ok!
Fermat
Sia f una funzione definita in un intervallo aperto I e sia c un punto di massimo relativo o di minimo
relativo di f. Allora o la funzione non è derivabile nel punto c, o la funzione è derivabile nel punto c
e risulta f’(c) =0 . Per dimostrare la prima basta prendere in considerazione f(x) = xche ha un
minimo relativo in x=0 ma che non è derivabile nel punto. Per dimostrare la seconda parte
prendiamo in considerazione G(x)=(f(x)-F(c))/(x-c) se x≠c e G(x) =f’(x) se x = c. E’ immediato
verificare che g(x)→g(c) per x→c,il che significa che g è continua in c.Per dimostrare che f’(c)=0
ragioniamo per assurdo e diciamo che f’(c)≠0,allora può essere > o < di 0. Però se è >0 segue che
per il teorema della permanenza del segno esiste un intorno di c,in ogni x del quale g assume valori
positivi.Abbiamo pertanto (f(x) – f(c))/(x-c)>0, per ogni x di Ic, da cui f(x)<F(c) per x<c e f(x)>f(c)
per x>c. Ma è una contraddizione perché c doveva essere un massimo o un minimo relativo.
Rolle
Sia f continua in [ a,b] e derivabile in (a,b), sia inoltre f(a)=f(b).Allora esiste un punto c interno
all’intervallo (a,b) tale che f’(c)=0 . Poiché f è continua in [ a,b] per il teorema di Weierstrass f
ammette in [ a,b] un massimo assoluto M e un minimo assoluto m,tale che m≤f(x)≤M per ogni x
∈[a,b] . Se M=m=f(x) allora segue che f(x) è costante e quindi f’(x)=0. se invece m<M esistono in
[ a,b] due valori distinti nei quali f assume i valori m e M. Inoltre poiché mM e f(a)=f(b) almeno
uno di questi due valori non coincide né con a né con b, ma è compreso tra essi..Sia c questo valore.
Per il teorema di Fermat segue che f’(c)= 0 e ciò prova il teorema.
Lagrange
Sia f continua in [ a,b] e derivabile in (a,b),allora esiste in (a,b) un punto c tale che f’(c) = (f(b)-f(a))/
(b-a). Consideriamo la funzione g così definita : g(x)=f(x) – f(a) – [ (f(b)-f(a)) / (b-a)] (x-a).Si vede
subito che g è continua in [ a,b] e derivabile in (a,b) e che g(a)=g(b)=0.Possiamo perciò applicare il
teorema di Rolle. Esiste dunque un punto c in (a,b) tale che g’(x)=0, cioè f’(x)= (f(b)-f(a)) / (b-a) =
0 . Dimostrato
Teorema della permanenza del segno
Sia f continua in c e sia f(c)≠0.Allora esiste un intorno del punto c per ogni x del quale la funzione
mantiene lo stesso segno di f(c). Poiché f è continua in c, ∀e>0 esiste un intorno Ic per ogni x del
quale f(c) - e<f(x)<f(c) +e con x∈Ic
Se f(c)>0 assumiamo e=f(c)/2.Abbiamo allora che f(c)/2<f(x)<3/2 f(c) .Ciò dimostra che f(x) è
positiva ∀x∈Ic. Se f(c) <0 assumiamo e=-f(c)/2 e allora abbiamo 3/2 f(c) <f(x) <f(c)/2. In entrambi i
casi è dimostrato.
Teorema di Bolzano-Chauchy
Sia f continua in [ a,b] e f(a)×f(b)<0 allora esiste almeno un punto c in (a,b) tale che f(c)
=0.Supponiamo f(a)<0 e f(b)>0, e sia S l’insieme di tutti i punti dell’intervallo [ a,b] in cui f(x)<0.
Poiché S non è vuoto ed è limitato poiché gli elementi di S sono contenuti in [ a,b] ,per il 10 assioma
esiste un punto c tale che c = sup S. Dico che f(c)=0.Supponiamo per assurdo che f(c)≠0 allora f(c) è
o < o > di 0. Se f(c)>0 allora per il teorema della permanenza del segno esiste un δ tale che c-δ <x<
δ+c.Ma questo è impossibile poiché ammette l’esistenza di un maggiorante più piccolo di c.Se f(c)
<0 allora per il teorema della permanenza del segno esiste un Ic ∀x del quale f(x)<0 quindi segue δc<x<δ+c.Ciò dimostra che esistono punti a destra di c nei quali f assume valori negativi.Ma questo
contraddice l’ipotesi che c sia un maggiorante nell’insieme S. Così anche in questo caso siamo
giunti a una contraddizione.Nella dimostrazione abbiamo assunto c≠a e c≠b.Se c=b occorre limitarsi
a considerare nella dimostrazione un intorno sinistro di c, mentre se c=a occorre considerare un
intorno destro di c.
Teorema dei valori intermedi delle funzioni continue
Sia f continua in [ a,b] e siano x1 e x2 con x1<x2 due punti in [ a,b] e con f(x1)≠f(x2), allora f
assume in (x1,x2) tutti i valori compresi tra x1 e x2. Sia L un qualsiasi valore compreso tra f(x1) e f
(x2) ⇒ f(x1)<L<f(x2) . Facciamo vedere che f assume il valore L per qualche c in (x1,x2). Posto g
(x)=f(x)-L osserviamo che g è continua su [ x1,x2] .Inoltre poiché g(x1)=f(x1)-L < 0 , g(x2)=f(x2)L > 0 possiamo applicate il teorema di Bolzano-Chauchy alla funzione g sull’intervallo
[ x1,x2] .Deve allora esistere un punto c in (x1,x2) tale che g(c)=0.Resta provata l’esistenza di un
punto c in cui f(c) = L
Teorema di Weierstrass
Sia f continua in [ a,b] , allora esistono in [ a,b] due punti c e d tali che f(c)=sup f e f(d)=inf f. Sia
sup f=M.Supponiamo per assurdo che non è un valore assunto dalla funzione.Allora la funzione g(x)
= 1/(M-f(x)) è continua su [ a,b] e perciò limitata su [ a,b] . Esiste perciò un numero K tale che g(x)
= 1/(M-f(x)) < K ∀x in [ a,b] . Da questa disuguaglianza si ricava M-f(x) > 1/K e successivamente
f(x)< M- 1/K ∀x in [ a,b] , ma questa è una contraddizione perché l’estremo superiore è il più
piccolo dei maggioranti, ma poiché ne abbiamo trovato uno ancora più piccolo non può essere.,
questo ammette che f assume sup f per qualche c.
Unicità del limite
lim x→c f(x)=l e lim x→c f(x)=m allora l=m
∀ε>0 |l-m|<ε ∃ δ1,δ2>0 t.c.
|f(x)-l|<ε /2 per 0<|x-c|<δ1
|f(x)-m|<ε /2 per 0<|x-c|<δ2
∀ε>0 posto δ=min(δ1,δ2) allora 0<|x-c|<δ inoltre
|l-m|=|l-f(x)+f(x)-m|≤|l-f(x)|-|f(x)-m|<ε /2+ε /2=ε
quindi |l-m|<ε concludendo l=m.
Confronto
g(x)≤f(x)≤h(x) ∀x ∈Ix0 con x≠x0
se lim x→0 g(x)=lim x→0 h(x)=l allora lim x→0 f(x)=l
∀ε>0 ∃δ1=δ1ε ⇒0<|x-x0|<δ1 ⇒l-ε <g(x)<l+ε
∀ε>0 ∃δ2=δ2ε ⇒0<|x-x0|<δ2 ⇒l-ε <h(x)<l+ε
scegliendo δ=min(δ1, δ2, δ3)
∀ε>0 ∃δ=δ(ε ) ⇒0<|x-x0|<δ ⇒l-ε <g(x)≤f(x)≤h(x)<l+ε
l-ε <f(x)<l+ε ⇒|f(x)-l|<ε .