metodi di verifica - Ingegneria Civile, Architettura, Territorio e Ambiente

SOLAI MISTI LEGNO CALCESTRUZZO. METODI DI VERIFICA
Piero Gelfi, Professore Associato di Tecnica delle Costruzioni, dip. Ing. Civile Architettura Territorio e Ambiente
(DICATA), Univ. Di Brescia, [email protected].
Alessandra Marini, Ricercatore di Tecnica delle Costruzioni, dip. Ing. Civile Arch. Terr. Ambiente, Univ. Di Brescia,
[email protected].
Pubblicata in due parti sui numeri 153 e 154 della rivista L’Edilizia.
1.
INTRODUZIONE
Il problema del recupero degli edifici esistenti è ormai un tema di grande attualità, sia per la scarsità di
aree edificabili, sia per la necessità di adeguare gli edifici alle nuove azioni (per esempio le azioni
sismiche) previste dalla normativa tecnica.
Nel recupero o nel rinforzo degli edifici esistenti, riveste particolare importanza il problema degli
impalcati che spesso sono lignei e non sono idonei a resistere ai carichi di progetto attuali. Interventi
sui solai lignei risultano normalmente necessari ove si intenda favorire il comportamento scatolare
degli edifici in muratura nel quale i solai devono agire come diaframmi di piano rigidi.
Esigenze estetiche attuali spingono all’utilizzo del legno anche per la realizzazione di solai nuovi, dove
è comunque necessaria la presenza di una sottile lastra collaborante (Fig. 1) per garantire la rigidezza e
la resistenza necessarie. La lastra di rinforzo può essere realizzata in calcestruzzo armato ordinario [1,
5, 19, 20, 22] o ad alte prestazioni [2], in acciaio [3], oppure in legno [4], anche se la lastra sottile di
calcestruzzo (Fig. 1) è quella che spesso si presenta come la più pratica nelle tradizioni costruttive
italiane.
Per realizzare la collaborazione tra il legno ed il calcestruzzo sono state proposte in letteratura varie
tipologie di connessione [1, 5, 6]. Nel presente lavoro viene descritto nel dettaglio il comportamento
della connessione a piolo che, oltre ad essere una tecnica di impiego facile, economico, flessibile ed
affidabile, è ben documentata in letteratura e contemplata nelle normative vigenti sulle strutture in
legno.
La deformabilità della connessione, che nelle travi composte in acciaio-calcestruzzo può essere
normalmente trascurata, influenza invece notevolmente la resistenza e soprattutto la rigidezza delle
travi in legno-calcestruzzo. L’ipotesi di connessione infinitamente rigida e sezioni piane,
frequentemente adottata dai progettisti (in quanto la connessione deformabile porta sviluppi analitici
relativamente gravosi), non risulta quindi particolarmente idonea per la verifica della sezione mista se
non si adottano opportuni fattori correttivi per una stima più accurata della rigidezza e della resistenza
della connessione [7]. Non si deve infine trascurare la forte influenza dell’umidità del legno sul
comportamento generale della trave e sulla rigidezza e resistenza della connessione in particolare.
Scopo del presente lavoro è mettere a confronto i risultati ottenuti con soluzioni che tengono conto
della rigidezza della connessione con quelli ottenuti con la teoria classica che prevede il
comportamento a sezioni piane. Vengono presentate formulazioni analitiche per il calcolo della
rigidezza e della resistenza della connessione che possono risultare particolarmente utili nei casi pratici
non previsti dalle normative, tra i quali si può citare il possibile distacco fra soletta e travetto, dovuto
per esempio alla presenza di un assito passante (Fig. 1b), che riduce notevolmente la rigidezza della
connessione.
Per il calcolo delle deformazioni e delle sollecitazioni viene illustrato l’approccio basato sul
comportamento elastico dei materiali e della connessione, noto, nell’ambito delle strutture in legno,
come metodo di Möhler [8], già illustrato in precedenza [9] e qui riproposto con simbologia di uso più
comune nell’ingegneria strutturale. Viene inoltre presentato l’approccio classico basato sull’ipotesi di
connessione perfetta e conservazione delle sezioni piane, definito nel seguito “metodo n”, che può
1
essere usato a patto di adottare opportune modifiche. Tutte le formulazioni teoriche sono anche
confrontate con i risultati sperimentali ottenuti presso il Laboratorio Prove Materiali dell’Università di
Brescia su elementi in scala reale
L’accento è inoltre posto sulle verifiche da eseguire in base ai criteri delle nuove normative
(Eurocodice 5 [10] e CNR-DT 206 [11]). Un esempio di calcolo finale, che costituirà la seconda parte
dell’articolo, verrà pubblicato in un prossimo numero della rivista. L’esempio illustrerà sia la fase di
predimensionamento che la fase di verifica e metterà a confronto i risultati teorici con quelli
sperimentali.
soletta in cls
connettore
pavimento
assito
travetto di legno
connettore
a) soletta e travetto a contatto diretto
travetto di legno
b) assito passante
Figura 1. Sezione tipo di un solaio in legno irrigidito con lastra in calcestruzzo.
2.
METODO DI PROGETTO DELLA TRAVE COMPOSTA
Il rinforzo dei solai in legno è necessario soprattutto per incrementare la rigidezza della struttura in
modo da risolvere il problema della eccessiva deformabilità in esercizio.
La progettazione del rinforzo viene condotta in esercizio, limitando la deformabilità della struttura
composta. La deformabilità è controllata attraverso il rapporto luce altezza (L/H) della trave e la
rigidezza del collegamento (Kp).
Rapporti luce altezza della trave compresi entro l’intervallo L/H=15÷25 permettono di limitare la
freccia in mezzeria (v) e le rotazioni agli appoggi (ϕ), evitando danni alle strutture portate (pavimenti,
tramezze, etc. [7]).
La rigidezza del collegamento influenza in modo determinante la deformabilità della trave composta
[12-14]. In [14] si dimostra che l’incremento di freccia (Δv) dovuto alla deformabilità della
connessione è proporzionale allo scorrimento (δ) tra la lastra di calcestruzzo ed il travetto di legno
(Fig. 2). In fase di progettazione è pertanto necessario limitare lo scorrimento δ in modo da non
incrementare eccessivamente la deformabilità del sistema [7].
Inoltre è importante controllare il tasso di lavoro del legno teso sotto carichi permanenti che condiziona
l’incremento di freccia viscosa [15-17]. Le deformazioni anelastiche accumulate nel legno, dovute
principalmente a significative variazioni delle condizioni igrotermiche, diventano rilevanti quando il
2
tasso di lavoro supera il 50% della tensione caratteristica di rottura [15]. Viceversa quando le
sollecitazioni generate dal carico permanente sono inferiori ad 1/4÷1/5 della tensione di rottura, le
deformazioni viscose risultano modeste [15]. La limitazione della tensione del legno sotto carico
permanente entro σwg=6÷7 MPa, consente di evitare l’accumulo di deformazioni viscose importanti.
3. METODI DI VERIFICA DELLO STATO TENSIONALE E DEFORMATIVO
Il comportamento della trave mista in legno-calcestruzzo non è lineare a causa soprattutto del legame
taglio slittamento della connessione. Tuttavia, nelle applicazioni correnti, per una trave ben progettata,
il comportamento non si discosta troppo dalla linearità e si possono quindi adottare metodi di calcolo
approssimati basati sull’ipotesi lineare.
Nel seguito vengono illustrati due metodi per il calcolo dello stato di sforzo e di deformaizone della
trave composta. Il primo metodo, noto come metodo di Möhler, ipotizza una connessione deformabile
con legame lineare. Il secondo metodo, che chiameremo metodo n “modificato”, parte dall’ipotesi di
connessione infinitamente rigida della teoria classica e ne corregge i risultati per tener conto della sua
deformabilità.
Entrambi i metodi permettono una valutazione sufficientemente accurata, per le applicazioni pratiche,
della resistenza e della rigidezza della trave mista.
L’incremento di deformazione nel tempo, dovuto alla viscosità e alle variazioni igrotermiche, può
essere valutato forfettariamente o calcolato a partire da valori ridotti dei moduli elastici e della
rigidezza della connessione.
Nel caso di travi di dimensioni notevoli sarà opportuno ricorrere ad analisi più approfondite, mettendo
in conto almeno la non linearità di comportamento della connessione, come illustrato nell’esempio di
calcolo riportato al paragrafo 5 .
3.1
Metodo di Möhler
Il metodo approssimato di Möhler [8] è l’estensione al legno della teoria delle sezioni miste sviluppata
da Newmark [18]. Il metodo è utilizzato, con simbologia diversa, nell’Appendice B dell’Eurocodice 5
per il calcolo delle travi composte con giunti meccanici.
Il metodo si basa sulle seguenti ipotesi:
- conservazione delle sezioni piane per le due sezioni parziali (soletta e travetto) ma non per la
sezione composta;
- comportamento elastico lineare dei materiali e della connessione;
- piccoli spostamenti e uguaglianza degli abbassamenti e delle curvature;
- connessione uniformemente distribuita lungo l’asse della trave.
Se il passo s dei connettori non è costante lungo l’asse della trave, per seguire l’andamento del taglio,
ma varia fra un minimo smin e un massimo smax (comunque non superiore a 4 smin) si potrà adottare nei
calcoli un passo equivalente:
s eq = 0,75s min + 0,25s max
Il metodo si basa sul calcolo della rigidezza flessionale efficace della trave composta, ricavata con le
ipotesi sopra esposte.
Con riferimento alla trave mista semplicemente appoggiata e soggetta a carico uniformemente
distribuito, il momento di inerzia efficace della sezione composta omogeneizzata al legno si ottiene
dalla formula:
3
(1)
I eff = I 0 + γ (I id − I 0 )
E (I − I ) s
con:
1/γ = 1 + π 2 w id2 0
dG
K P L2
e con il seguente significato dei simboli:
- γ = coefficiente di efficacia;
- Ew e Ec = moduli elastici del legno e del calcestruzzo;
- Iid = momento d’inerzia della sezione ideale omogeneizzata al legno (mm4);
- I0 = Iw + nIc (mm4) = momento d’inerzia della sezione priva di connessione omogeneizzata al
legno;
- n=Ec/Ew coefficiente di omogenizzazione;
- dG = distanza fra i baricentri della soletta e del travetto (mm);
- s = passo dei connettori (mm);
- KP = rigidezza del singolo connettore (N/mm);
- L = luce della trave (mm).
dG
Mc
ϕ
N
N
Mw
dN/dx
N
Mc
N+dN
M c+ dM c
Mw
N+dN
Mw+ dMw
N
dx
Figura 2. Azioni interne nella soletta e nel travetto.
Le aliquote Mc e Mw (Fig. 2) del momento flettente esterno M, portate per flessione rispettivamente
dalla soletta di calcestruzzo e dal travetto, si possono calcolare con le formule:
I
nI
(2)
M c = c M;
Mw = w M
I eff
I eff
L’aliquota rimanente del momento flettente, che chiameremo MN, è equilibrata dalla coppia NdG,
essendo N la forza di scorrimento (taglio longitudinale) trasmessa dalla connessione. Pertanto l’azione
assiale N diviene:
M
M − Mc − Mw
(3)
N= N =
dG
dG
N=
M
dG
⎛
I
⎜⎜1 − 0
⎝ I eff
⎞ M I id − I 0
⎟⎟ =
γ
I eff
⎠ dG
Le tensioni nella soletta e nel travetto si calcolano con le formule note della pressoflessione:
N Mc
N Mw
σc = −
m
σw =
m
A c Wc
A w Ww
Il flusso di taglio all’interfaccia (q) è pari a:
1 I id − I 0
dN
1 I id − I 0 dM
=
=
V
γ
q=
γ
I eff
I eff dx d G
dx d G
4
(3’)
(4)
(5)
La forza Vp di taglio nel connettore più sollecitato risulta:
I −I
S
(6)
Vp = q s = γ id 0 s Vmax = γ c s Vmax
d G Ieff
I eff
Essendo Sc il momento statico della soletta, omogeneizzata al legno, rispetto al baricentro della sezione
ideale. L’Equazione 6 fornisce tuttavia valori eccessivamente a favore di sicurezza perché non tiene
conto della deformabilità della connessione, che ridistribuisce la forza di scorrimento. Una stima più
accurata può essere ottenuta a partire dalla relazione “esatta” riportata in [14] fra l’incremento di
rotazione Δϕ sull’appoggio e lo slittamento massimo δ fra soletta e travetto:
I
Δϕ = δ/d * con d * = id
(7)
Sc
L’incremento di rotazione Δϕ può essere espresso in funzione dell’incremento di freccia Δv in
mezzeria, dovuto alla deformabilità della connessione, dalla relazione Δϕ = α Δv / L con α = 3,2 nel
caso di trave in semplice appoggio con carico uniformemente distribuito. Si può scrivere quindi:
α Δv d*
(6’)
Vp = K p δ = K p
L
3.2
Metodo n
Nella pratica professionale il calcolo della sezione mista in legno-calcestruzzo è stato spesso condotto,
in analogia al calcolo della sezione mista in acciaio-calcestruzzo, trascurando la deformabilità della
connessione, ipotizzando quindi la conservazione delle sezioni piane ed adottando il valore del
momento d’inerzia della sezione ideale omogeneizzata in base al rapporto n dei moduli elastici del
calcestruzzo e del legno (Fig. 3a).
δ1
a)
K P1
δ2
b)
K P2 KP1
δ3
c)
Figura 3. Distribuzione delle tensioni in funzione della rigidezza del collegamento: a) connessione
rigida; b) connessione deformabile; c) nessuna connessione.
La sottostima dello stato tensionale (Fig. 3a e 3b) è in genere coperta dall’uso di valori prudenziali
della tensione ammissibile. L’ipotesi di connessione rigida comporta invece la sottovalutazone delle
deformazioni.
Per tener conto della deformabilità della connessione e continuare ad utilizzare il metodo nelle
applicazioni correnti, qualora si ritenga troppo oneroso l’impiego del metodo di Möhler per il calcolo
della rigidezza efficace, si può procedere nel modo che segue.
5
In [7] e [14] si è dimostrato che l’incremento Δv di freccia dovuto alla deformabilità della connessione
è legato al massimo slittamento δ (Fig. 2 e 3) fra soletta e travetto dalla semplice relazione
approssimata:
Δv = 10 δ
(9)
Fissato il valore dell’incremento di freccia e quindi dello slittamento, nota la rigidezza KP del
connettore, si ricava la resistenza VP ad esso richiesta:
Vp = K P δ
Per definire il passo s dei connettori si può assumere, in modo conservativo, che la forza di scorrimento
unitaria da affidare ai pioli sia quella della teoria classica data dalla formula di Jourawski:
S
Vp /s = c Vmax
Iid
essendo Sc il momento statico omogeneizzato al legno della soletta rispetto al baricentro della sezione
ideale e Vmax il valore massimo del taglio provocato dai carichi. In presenza di un carico
uniformemente distribuito i pioli potranno essere posati con passo costante s per un quarto della luce
verso gli appoggi; il passo potrà essere raddoppiato nella zona centrale.
Noto l’incremento di freccia Δv, si calcola il valore approssimato del momento d’inerzia efficace:
v id
I eff =
Iid
v id + Δv
con il quale si può procedere al calcolo delle sollecitazioni con le Equazioni 3 e 4.
3.3
Confronto tra metodo n e teoria di Möhler: studio parametrico
Nel seguito è riportato uno studio parametrico volto a chiarire le differenze tra la teoria classica e il
metodo di Möhler. Lo studio è condotto per un solaio di luce L=4,4m, interasse dei travetti di 50 cm,
spessore della soletta di 5 cm, rapporto tra l’altezza e la larghezza del travetto hw/bw=1,5, spessore
dell’assito t=22mm.
In Figura 4 si osserva come, in funzione della rigidezza della connessione (Kp), il momento d’inerzia
efficace della sezione composta calcolato con il metodo di Möhler (Ieff), pur maggiore del momento
d’inerzia della sezione del travetto di legno (Iw), possa essere significativamente inferiore al momento
d’inerzia ideale della teoria classica (Iid). Il rapporto Ieff/ Iid tende asintoticamente all’unità per valori di
rigidezza che tuttavia non sono comuni per le connessioni correnti (vedi paragrafo 4).
Ieff/Iid
Ieff/Iw
1.0
14
12
0.8
10
0.6
8
0.4
6
4
0.2
2
hw=1,5 bw
0.0
0
10
20
hw=1,5 bw
0
30
0
10
20
KP [kN/mm]
KP [kN/mm]
6
30
Figura 4. Rapporto tra la rigidezza Ieff e la rigidezza Iid in funzione della rigidezza KP del connettore.
0.4
Δσc/σc,id
Δσw/σw,id
In Figura 5 è riportato il rapporto tra l’incremento di tensione nel legno e nel calcestruzzo dovuto alla
deformabilità della connessione (Δσw=σw-σwid, Δσc=σc-σcid) e gli sforzi valutati con la teoria classica
(σwid, σcid) al crescere dell’altezza della sezione e per differenti valori della rigidezza della connessione.
Dal diagramma è evidente come il metodo n sottostimi le tensioni nel legno e nel calcestruzzo.
L’incremento di tensione del legno (Δσw) è relativamente modesto (Δσw=10÷25%σwid) nell’intervallo
di valori correnti di rigidezza delle connessioni a piolo (Kp =8÷17.5kN/mm) e di altezza dei travetti.
0.3
0.2
0.1
0.0
120
140
160
180
200 120
140
160
180
200
1/22,7
1/20,6
1/18,8
1/17,3
1/16.1
, 1/22,7
1/20,6
1/18,8
1/17,3
1/16,1
hw
[mm]
H/L
Figura 5. Incrementi di sollecitazione nel legno e nel calcestruzzo in funzione della rigidezza KP del
connettore.
4. PROGETTO DELLE CONNESSIONI
Il comportamento sperimentale di singoli connettori soggetti ad azioni di taglio puro lungo l’interfaccia
tra la soletta di calcestruzzo e il travetto di legno mostra un andamento marcatamente non lineare [19,
20], caratterizzato dal valore della rigidezza iniziale (KP) e del carico ultimo (Vu).
La rigidezza KP e la capacità portante Vu della connessione possono essere determinate tramite prove
sperimentali (UNI-EN 26891 [21]) oppure sulla base di modellazioni analitiche disponibili in
letteratura [1, 10, 11, 20].
L’approccio teorico è di particolare interesse anche applicativo in quanto un’indagine sperimentale
rappresentativa delle varie soluzioni progettuali risulterebbe particolarmente onerosa a causa dei
numerosi parametri in gioco.
Nel seguito l’analisi è limitata alle connessioni ottenute mediante pioli ricavati da barre lisce di acciaio,
infissi a secco entro fori calibrati.
Con riferimento al modello teorico presentato in [20] in presenza di un distacco t tra gli elementi,
normalmente pari allo spessore dell’assito interposto (Fig. 6), è possibile calcolare analiticamente i
valori della resistenza e della rigidezza di unioni trave-soletta per le quali risultino verificate le seguenti
condizioni:
L w , tot ≥ 6d
L c, tot ≥ 3d
7
dove L w , tot è la lunghezza di affondamento dello spinotto nell’elemento in legno, L c, tot è la lunghezza
di affondamento dello spinotto nel calcestruzzo e d è il diametro del connettore.
Il connettore è modellato come una trave su suolo elastico di lunghezza illimitata (Fig. 6a). La sua
rigidezza KP è data dalla relazione [20]:
12(α c α w ) 3 E S J P
(14)
KP =
Z
con:
α c = 4 k c /( 4E S J P ) ; α w = 4 k w /( 4E S J P ) ;
(
)(
)
(
)
Z = 3 ⋅ α c2 + α 2w ⋅ α c + α w + 3 ⋅ tα c α w (α c + α w )2 + 3 ⋅ t 2 α c2 α 2w α c + α w + t 3α 3cα 3w
dove:
-
kc è la rigidezza del calcestruzzo;
kw è la rigidezza del legno, variabile in funzione del contenuto d’acqua;
ES è il modulo di Young del connettore;
JP = πd4/64 è la momento d’inerzia del piolo;
t è il distacco tra la soletta in calcestruzzo e la trave in legno, eventualmente pari allo spessore
dell’assito interposto
d è il diametro del connettore.
È possibile usare una formula semplificata se, oltre alle condizioni poste sulla lunghezza di
affondamento nel legno e nel calcestruzzo, risultano soddisfatte le seguenti disuguaglianze:
1000< kw< 1400 N/mm2; 12< d <20 mm; 0 < t < 50mm.
In tal caso la (14), attraverso uno sviluppo in serie, si può approssimare nella seguente relazione:
d
(14’)
K P = 124000
(4.34 + t / d ) 3
Assumendo che la rottura avvenga con la formazione di due cerniere plastiche all’interno del gambo
del connettore (Fig. 6b), possibile con i valori di L w , tot e L c, tot ipotizzati in precedenza, la capacità
portante Vu della connessione si può assumere pari a:
Vu =
2β
1+ β
β (f hw td )
β
−
f hw td
1+ β
2
1+ β
2
2M y f hw d +
con β =
f hc
f hw
(15)
dove:
- fhw è la resistenza a rifollamento del legno variabile in funzione del contenuto d’acqua;
- fhc è la resistenza a rifollamento del calcestruzzo;
- My è il momento resistente plastico del piolo che può essere posto pari My= fyd3/6 o determinato
sperimentalmente secondo EN409 [23];
- fy è la tensione di snervamento del connettore;
L’applicazione del modello richiede la conoscenza della rigidezza e della resistenza a rifollamento del
calcestruzzo (kc, fhc) e del legno (kw, fhw).
In assenza di dati sperimentali, per la rigidezza del calcestruzzo, la cui variabilità ha un’influenza
modesta sulla rigidezza della connessione, si può assumere il valore kc = 10000 MPa.
Il valore della resistenza a rifollamento fhc del calcestruzzo può essere posto pari a circa 4-5 volte il
valore della resistenza a compressione.
8
I valori di kw ed fhw possono essere ricavati con prove di rifollamento (UNI EN 383:1994, [24]) e sono
funzione del contenuto d’acqua del legno (MC). In mancanza di dati sperimentali si può adottare il
valore conservativo proposto dalla normativa [10, 11] f hw ,k = 0,082(1 − 0,01d ) ρ k .
Per il legno d’abete con un contenuto d’acqua standard MC=12% i valori tipici sono compresi negli
intervalli: 800 < kw < 1400MPa; 22 < fhw < 36MPa.
In Figura 7 si evidenzia la significativa riduzione di rigidezza (KP; Eq. 14) e di carico ultimo (Vu; Eq.
15) della connessione al crescere del distacco t tra soletta e travetto. In presenza di un assito passante la
deformabilità della connessione aumenta in modo significativo perché il contributo irrigidente del
tavolato, sollecitato normalmente alla fibratura, va trascurato. La soluzione dell’assito passante, è
comunque quasi sempre preferita perchè semplifica notevolmente le operazioni di messa in opera. In
questo caso è necessario adottare connettori di maggior diametro oppure diposti ad interassi inferiori.
c
M
d f hc
s p
c
V
d
w
Lc
A
c
t
w
B
Lw
w
d f hw
M
30
ABETE
40
ABETE
25
MC=12%
kw=1300 N/mmq
fhw = 35 MPa
30
MC=12%
kw=1300 N/mmq
fhw = 35 MPa
20
15
Vu [kN]
KP [kN/mm]
a)
b)
Figura 6: Modello per il calcolo: (a) della rigidezza; (b) della capacità portante della connessione [20].
10
5
0
d20
20
d20
d16
d12
d20 EC5
d16_EC5
d12_EC5
d16
d12
10
d20_EC5
d16_EC5
d12_EC5
0
0
10
20
30
40
50 t [mm]
0
10
20
30
40
50 t [mm]
Figura 7. Variazione della rigidezza (KP, Eq. 14) e della capacità portante (Vu, Eq. 15) della
connessione in funzione dello spessore dell’assito passante (t).
9
4.1 Confronto del modello analitico proposto con le formulazioni dell’Eurocodice
In mancanza di più approfondite determinazioni sperimentali, l’EC5 e la CNR-DT 206 propongono la
seguente espressione approssimata per il calcolo del modulo di scorrimento istantaneo sotto l’azione
dei carichi di esercizio (K ser ) , corrispondente alla rigidezza del singolo connettore (K P ) :
K P = K ser = 2ρ1m.5d / 23 [N/mm]
(16)
dove:
- ρ m è il valore medio della massa volumica del legno in Kg/m3
- d è il diametro del connettore in mm.
Per le verifiche allo stato limite ultimo si adotta una rigidezza ridotta pari a:
K u = 2 / 3K ser .
È importante osservare che l’Equazione 16 non contempla il caso di soletta distaccata dal travetto, ad
esempio per la presenza di un assito passante. In tale circostanza, peraltro frequente, l’eurocodice
fornisce valori di rigidezza non sempre a favore di sicurezza (Fig. 7).
Viceversa, si osserva che nel caso di contatto diretto tra travetto e soletta (t=0) l’ Equazione 16 fornisce
valori conservativi. Valori ben superiori possono essere adottati con sperimentazione diretta della
connessione secondo la UNI-EN 26891 [21] oppure, disponendo dei valori della rigidezza e della
resistenza a rifollamento del legno (kw e fhw), adottando la formulazione teorica riportata
precedentemente (Eqq. 14 e 15). È opportuno segnalare che i risultati sperimentali, ottenuti con prove
con carichi monotonici e di breve durata, sono spesso falsati dall’incollaggio iniziale tra lastra di
calcestruzzo e travetto, il cui rilevante contributo irrigidente è perso dopo pochi cicli igrotermici e di
carico e non deve essere considerato.
Per la resistenza caratteristica FVR,k del singolo spinotto l’eurocodice fa riferimento al caso di trave
composta con legname di caratteristiche meccaniche diverse e al meccanismo di rottura con due
cerniere plastiche. La formulazione sostanzialmente coincide con l’Equazione 15 per t=0. Nella
formula dell’eurocodice è presente un coefficiente moltiplicatore 1,15 e il momento resistente plastico
è sostituito con il momento di snervamento, che può essere determinato sperimentalmente con
riferimento alla EN 409 [23] o calcolato con l’espressione:
M y,Rk = 0,3f u ,k d 2,6
(17)
dove f u ,k è la resistenza a rottura del materiale in MPa. Non è contemplato il caso della presenza di un
assito passante. Si osserva che la formulazione dell’EC5 porta a valori non conservativi per t>0
(Fig. 7).
4.2 Confronto dei risultati analitici e sperimentali
Il modello analitico è stato ampiamente verificato sperimentalmente. In Figura 8 sono riportate le curve
relative a connessioni tra soletta in calcestruzzo e legno lamellare con spinotti di diametro pari a 12
mm, con assito passante e interrotto. Le caratteristiche meccaniche del legno fhw e kw introdotte nel
modello sono indicate nel grafico e sono state misurate sperimentalmente.
Le curve teoriche sono in buon accordo con i risultati sperimentali. In particolare si evidenzia la
consistente perdita di rigidezza e resistenza della connessione in presenza di assito passante. Nel
grafico è riportata per confronto la curva proposta dall’eurocodice che non tiene conto della presenza
dell’assito.
10
Taglio connettore, Vp [KN]
20
MC = 10,5±0,2%
kw = 953 N/mmq
fhw = 27,3 MPa
15
_____ Curve sperimentali
__ __ Modello Gelfi e al. 2001
......... EC5 (ρm=380kg/mc)
assito interrotto (t=0)
10
5
MC = 12,0±0,5%
kw = 833 N/mmq
fhw = 24,8 MPa
assito passante (t=22mm)
0
0
1
2
3
Scorrimento, δ [mm]
4
5
d=12mm
Figura 8. Curve taglio-scorrimento: valori sperimentali e teorici.
5. ESEMPIO APPLICATIVO
Figura 9. Caratteristiche geometriche e meccaniche della trave composta.
L’esempio applicativo è condotto assumendo le caratteristiche geometriche e meccaniche della trave
testata sperimentalmente in [19] (Fig. 9), in modo da poter operare utili confronti con i risultati teorici.
La trave è rappresentativa di un solaio con luce netta di 4 m, luce di calcolo di 4,37 m, interasse dei
travetti di 0,50 m. La soletta in calcestruzzo ha una lunghezza pari alla luce netta. Le due teste in
acciaio che prolungano la trave di legno non sono a contatto con la soletta per non ostacolarne lo
scorrimento.
Il solaio è progettato per un carico totale di esercizio di 5,5 kN/m2, cui corrisponde un carico sul
travetto q = 2,75 kN/m e un momento in mezzeria di 6,565kNm, calcolato considerando q applicato
11
sull’intera luce di calcolo. Nella prova sperimentale i quattro carichi concentrati indicati in figura
provocano lo stesso momento del carico distribuito q.
I pioli φ16, in acciaio Fe 510, sono passanti attraverso l’assito e sono stati infissi in fori calibrati di
diametro leggermente inferiore. L’interasse per un quarto della luce è pari a 100 mm e raddoppia nella
zona centrale. La profondità di infissione nel legno è di quattro diametri, valore leggermente inferiore a
quello consigliato dalle normative. La rigidezza e la resistenza, misurate sperimentalmente, sono Kp =
17 kN/mm e Vu = 13 kN.
La soletta è armata con rete elettrosaldata φ6 maglia 10x10 cm.
In Figura 9 sono riportate le caratteristiche geometriche e meccaniche della trave mista.
5.1 Progetto della connessione
In fase di predimensionamento, per il progetto della connessione si può utilizzare la classica teoria di
Jourawski applicata alla sezione ideale omogeneizzata al legno. Si ottiene la forza di scorrimento da
affidare a ciascun connettore con passo s = 100 mm:
V Sc
4,74 ⋅ 1594 ⋅ 103
s=
100 = 3,21 kN
I id
23540 ⋅ 10 4
essendo Sc il momento statico omogeneizzato al legno della soletta rispetto al baricentro della sezione
ideale e V = 4,74 kN il valore massimo del taglio in esercizio.
La resistenza sperimentale ultima della connessione viene raggiunta con scorrimenti di oltre 3 mm (Fig.
12). Se si considera però la forza corrispondente ad uno scorrimento convenzionale ultimo δ = 1 mm,
che è pari a circa 10 kN, il piolo risulta sollecitato in esercizio a circa 1/3 della sua resistenza, con uno
scorrimento di circa 0,2 mm.
I valori della rigidezza e della resistenza ricavati analiticamente con le Equazioni 14 e 15 risultano
rispettivamente Vu = 12.9kN e Kp =11.6kN/mm, avendo assunto fhw=35MPa, kw=1300MPa,
fhc=120MPa, kc=10000MPa, fy=350MPa. Mentre vi è buon accordo tra il valore teorico e quello
sperimentale della resistenza (Fig. 12), il valore sperimentale della rigidezza (17 kN/mm) è
notevolmente superiore al valore teorico a causa dell’effetto irrigidente dell’assito che non è
considerato, a favore di sicurezza, nell’eq. 14.
Vp =
5.2. Confronti con i risultati sperimentali
Per l’applicazione alla trave sperimentale del metodo di Möhler, che ipotizza connettori equidistanti su
tutta la luce, si deve usare un valore ridotto della rigidezza. Poiché nella prova sperimentale la soletta
non si estende su tutta la luce e quindi mancano i connettori nel tratto vicino agli appoggi, non è
possibile adottare il passo equivalente descritto al punto 3.1. Si può invece adottare una rigidezza
equivalente tale per cui la connessione manifesti la stessa resistenza globale a scorrimento. Ipotizzando,
per semplicità, che l’andamento della forza di scorrimento sia lineare, la rigidezza dei connettori, a
passo costante (s = 100 mm), può essere ridotta nel rapporto fra l’area tratteggiata di Figura 10 e l’area
totale del triangolo. Si ottiene Kp= 17·0,733 = 12,4 kN/mm.
12
Figura 10. Calcolo della rigidezza equivalente.
I parametri per l’applicazione del metodo di Möhler sono i seguenti (vedi Figura 9):
- momento d’inerzia della sezione omogeneizzata al legno e priva di connessione:
I0 = Iw + nIc = 2795 + 3,263·520,8 = 4494 cm4
- momento d’inerzia della sezione ideale omogeneizzata al legno e con connessione perfetta:
Iid = 23540 cm4
- ordinata dell’asse neutro della sezione ideale:
yG = 4,454 cm
- distanza fra i baricentri della soletta e del travetto:
dG = 11,95 cm
- coefficiente di efficacia:
4
E (I − I ) i
100
2 9500( 23540 − 4494) ⋅ 10
1 / γ = 1 + π2 w id2 0
=
1
+
π
= 1,528
2
2
dG
KL
119,5
12400 ⋅ 43702
- momento d’inerzia efficace della sezione composta:
23540 − 4494
= 16960 cm4
Ieff = I0 + γ (Iid − I0 ) = 4494 +
1,528
La deformabilità della connessione riduce quindi il momento d’inerzia al 72% del valore ideale, ma è
comunque pari a sei volte il valore del momento d’inerzia del solo travetto di legno.
La freccia istantanea è data da:
5 qL4
f=
= 8,11 mm
384 E w Ieff
In Figura 11 la curva sperimentale carico-freccia è confrontata con le curve teoriche ottenute
applicando il metodo di Möhler, considerando la sezione ideale con connessione perfetta ed eseguendo
un’analisi non lineare agli elementi finiti.
Nell’analisi agli elementi finiti il travetto e la soletta sono stati modellati con elementi beam a
comportamento lineare. Il piolo è stato modellato con molle non lineari inserite fra i nodi della soletta e
link rigidi collegati ai nodi del travetto (Fig. 12). I nodi del travetto e della soletta sono inoltre collegati
con link tipo biella per impedire gli spostamenti relativi verticali. In Figura 12 sono rappresentate anche
la curva taglio-scorrimento sperimentale del piolo, la curva adottata per l’analisi non lineare e la curva
teorica (Eqq. 14 e 15).
I digrammi di Figura 11 mostrano un buon accordo fra il comportamento analitico, numerico e quello
sperimentale. In particolare si osserva che il metodo di Möhler fornisce risultati accurati fino a valori
del carico superiori al doppio del carico di esercizio.
Si noti che il comportamento marcatamente non lineare della trave composta, con una freccia a rottura
elevatissima (pari a L/41) ed uno scorrimento agli appoggi di 7 mm, è dovuto alla non comune
resistenza a flessione manifestata dal travetto che ha raggiunto tensioni dell’ordine dei 70 MPa. Nel
13
caso in esame, a causa della grande deformazione, la connessione si è quasi completamente
plasticizzata.
Diagramma Carico-Freccia
70
60
Carico Q (kN )
50
40
30
20
Sperimentale
Conn. perfetta
Carico di esercizio
Möhler
10
Analisi FEM
0
0
20
40
60
80
100
120
140
Freccia f ( mm )
Figura 11. Confronto fra risultati sperimentali e teorici.
Figura 12. Schematizzazione del piolo per l’analisi agli elementi finiti.
5.3 Verifica allo Stato Limite Ultimo (SLU)
Nella verifica allo stato limite ultimo consideriamo per semplicità un unico valore γF = 1,5 del
coefficiente parziale di sicurezza sia per il carico permanente che per quello variabile. Si assume quindi
il valore qSd = 1,5·2,75 = 4,125 kN/m per il carico distribuito di progetto, cui corrisponde il momento
MSd = 9,847 kNm e il taglio VSd = 9,013 kN. La verifica viene eseguita con il metodi di Möhler.
Per il calcolo dello stato tensionale si può assumere, in accordo L’EC5 [10], un modulo di scorrimento
ridotto (modulo secante):
Kpu= K u = 2 / 3K ser = 2 / 3 ⋅ 12,4 = 8,27 kN/mm
14
Gli effetti della viscosità sullo stato tensionale sono nulli, se si considerano riduzioni nella stessa
proporzione dei moduli elastici del legno e del calcestruzzo e del modulo di scorrimento. Anche i
risultati sperimentali, seppur scarsi, non indicano variazioni nel tempo della resistenza ultima.
Il coefficiente di efficacia (Eq. 1), calcolato con il valore di Kpu, vale γ = 0,558 e il momento d’inerzia
efficace vale Ieff = 15130 cm4 (Ieff/Iid = 0.64; Ieff/Iw=5.41).
La soletta e il travetto sono soggetti ai seguenti valori del momento flettente:
nI
3,263 ⋅ 520,8
I
2795
Mc = c M =
9,847 = 1,106 kNm
Mw = w M =
9,847 = 1,819 kNm
Ieff
15130
I eff
15130
La forza di scorrimento N (taglio longitudinale) trasmessa dalla connessione vale:
M Iid − I 0 9,847
23540 − 4494
N=
γ
=
0,558
= 57,9 kN
dG
I eff
0,1195
15130
Le tensioni nella soletta e nel travetto valgono quindi (positive le trazioni):
− 7,628
N Mc
σc = −
m
= −2,317 m 5,311 =
MPa
+ 2,994
A c Wc
− 1,089
N Mw
MPa
σw =
m
= 3,631 m 4,720 =
+ 8,351
A w Ww
Si noti che, in assenza di connessione, cioè con il solo travetto portante, la tensione massima nel legno
sarebbe di ben 25,5 MPa, mentre nell’ipotesi di connessione perfetta, essa sarebbe di 7,2 MPa. La
deformabilità della connessione induce quindi un aumento del 16% della tensione massima nel legno.
Il valore di progetto della resistenza di calcolo a flessione fm,0,d si ricava da quello caratteristico
indicato nei profili prestazionali della UNI-EN 338 [25] in base alla classe di resistenza. Ipotizzando la
classe di resistenza C24 (valore medio per il legno massiccio), la classe di durata del carico “media” e
la classe di servizio 1, si ha:
f
24
f m , 0, d = k mod m , 0, d = 0,8 = 14,77
γM
1,3
essendo kmod il coefficiente di correzione della resistenza e γM il coefficiente parziale per la resistenza.
La verifica di resistenza del legno è ampiamente soddisfatta.
Poiché nel calcolo delle sollecitazioni si tiene conto del contributo flessionale della soletta, essa va
verificata allo stato limite ultimo come sezione in calcestruzzo armato, soggetta all’azione assiale N di
compressione e al momento flettente Mc. Nel caso in esame la rete elettrosaldata φ6 10x10 soddisfa
ampiamente la verifica.
Per la verifica della connessione si può calcolare la forza Vp di taglio nel piolo più sollecitato con la eq.
6:
S
1594 ⋅ 103
Vp = γ c s V = 0,558
100 ⋅ 9,013 = 5,30 kN
I eff
15130 ⋅ 104
oppure, per una stima più accurata che tiene conto della deformabilità della connessione, con la eq. 6’:
Vp = Kδ = 8,270 ⋅ 0,527 = 4,36 kN
α Δv d * 3,2 ⋅ 4,87 ⋅ 147,7
=
= 0,527 mm
L
4370
nella quale Δv = 13,63 – 8,76 = 4,87 mm è la differenza fra i valori della freccia calcolati con Ieff e con
Iid. Si noti che l’incremento di freccia Δv dovuto alla deformabilità della connessione è circa uguale a
dieci volte lo slittamento massimo δ fra soletta e travetto.
con: δ =
15
Il valore del taglio sollecitante del piolo va confrontato con il valore di progetto della resistenza,
ottenuto applicando al valore caratteristico, dato dall’eq. 15, il coefficiente di correzione della
resistenza kmod e il coefficiente parziale per la resistenza γM:
V
12,9
Vp = 4,36 < FV ,Rd = k mod u = 0,8
= 7,94 kN
γM
1,3
La formula dell’eurocodice non è applicabile perché non considera la presenza dell’assito.
5.4 Verifica allo Stato Limite di Esercizio (SLE)
La verifica allo stato limite di esercizio va eseguita considerando gli effetti della viscosità e delle
variazioni di umidità.
Con il carico totale di esercizio nellacombinazione rara (qk = 2,75 kN/m), la luce di calcolo di 4,37 m,
le caratteristiche meccaniche iniziali di Figura 9 e Kser = 12,4 kN/mm, si hanno i seguenti valori della
freccia istantanea in mezzeria:
vid,inst = 5,84 (calcolata con Iid) veff,inst = 8,11 mm = L/539 (calcolata con Ieff)
Per effetto della viscosità del calcestruzzo e del legno e delle variazioni di umidità, la freccia aumenta
nel tempo. I pochi dati sperimentali disponibili [15, 17, 26] indicano che le deformazioni sotto carichi
di esercizio possono raddoppiare per strutture all’interno degli edifici e quadruplicare all’esterno. Il
fenomeno si stabilizza normalmente dopo due-tre anni. Il calcolo può essere eseguito adottando i
seguenti valori ridotti delle rigidezze [10]:
Ew
K ser
E
;
K ser, fin =
E w , fin =
E c, fin = c ;
1+ ϕ
1 + 2k def
1 + k def
Adottando per il coefficiente di deformazione kdef il valore 0,6 (classe di servizio 1) e per il coefficiente
di viscosità ϕ il valore 2, applicando il metodo di Möhler con il carico di esercizio (combinazione
rara), si ottiene un valore della freccia a tempo infinito veff,fin = 15,83 mm, valore quasi doppio rispetto
a quello istantaneo.
Il calcolo dell’incremento di freccia andrebbe però eseguito considerando la combinazione di carico
quasi permanente q = 1,75 + 0,2·1,00 = 1,95 kN/m, con la quale risulta veff,fin = 11,23 mm e quindi un
incremento di freccia per viscosità vcreep = 11,23 – 1,95/2,75·8,11 = 5,48 mm = L/797. Incrementi di
freccia dell’ordine di L/500 possono ritenersi compatibili anche in presenza di tramezze o pavimenti
fragili.
5.5 Verifica col metodo n
Con il valore del carico allo stato limite ultimo e le caratteristiche meccaniche iniziali di Figura 9, la
tensione massima del travetto è pari a:
M
9,847 ⋅ 106
σ w = yid =
(217 − 44,5) = 7,22 MPa
Iid
23540 ⋅ 104
Il valore della tensione, rispetto a quello calcolato col metodo di Möhler, è sottostimato di:
Δσ w = 8,35 − 7,22 = 1,13 MPa (15%)
La tensione in esercizio per il solo carico permanente, ipotizzando un carico variabile di 2 kN/m2, è di
soli 3,1 MPa. Sono pertanto da escludere fenomeni viscosi rilevanti.
Il valore massimo della forza di taglio sul connettore, calcolato con la teoria classica e con il carico di
esercizio, è:
16
Vp =
Sc
1594 ⋅ 103
Vmaxs =
6,009 ⋅ 100 = 4,069 kN
Iid
23540 ⋅ 104
Lo scorrimento massimo vale:
δ=
Vp
Kp
=
4,069
= 0,328 mm
12,4
e l’incremento di freccia diviene
Δv = 10 δ = 3,28 mm.
Dal valore della freccia totale veff,inst = 5,84 + 3,28 = 9,12 mm si ricava il momento d’inerzia efficace
Ieff = 5,84·23540/9,12 = 15070 cm4, valore in buon accordo con quello calcolato col metodo di Möhler
(15130 cm4). Il calcolo delle sollecitazioni si esgue poi con le eq. 2, 3 e 4.
OSSERVAZIONI CONCLUSIVE
La deformabilità della trave composta dipende fortemente dalla rigidezza della connessione. La
valutazione della freccia può effettuarsi a partire dal calcolo della rigidezza efficace (metodo di
Möhler) oppure della rigidezza ideale (metodo n) aggiungendo l’incremento di freccia dovuto allo
scorrimento.
Lo sforzo di trazione nel legno aumenta come conseguenza della deformabilità della connessione. Il
metodo di Möhler consente di stimare con buona approssimazione lo stato tensionale. Per valori
comuni della rigidezza della connessione (Kp = 8÷17.5 kN/mm) e per normali rapporti H/L,
l’incremento di tensione è comunque modesto, pari a circa il 10÷25% della tensione calcolata con la
teoria classica nell’ipotesi di connessioni infinitamente rigide.
Le formulazioni teoriche proposte per la valutazione della rigidezza e della resistenza delle connessioni
a piolo permettono di utilizzare i criteri di verifica delle nuove normative anche nel caso di presenza di
distacco fra soletta e travetto, normalmente causato dalla presenza di un assito passante, che risulta
particolarmente utile per ragioni costruttive e di sicurezza del cantiere.
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