La formula di Eulero

La formula di Eulero
Prof. Ing. Luigi Verolino
Dipartimento di Ingegneria Elettrica e Tecnologie dell’Informazione
Via Claudio, 21 [80125] Napoli
[email protected]
Una delle gemme del pensiero matematico, individuata anche come meta di
apprendimento per il nuovo liceo scientifico, è l’identità
e𝑗𝜋 + 1 = 0 ,
che rappresenta uno dei più affascinanti risultati dell’intera costruzione
Matematica. Si tratta di un caso particolare della formula di Eulero, di cui si
fornirà una semplice dimostrazione, che, si spera, possa contribuire a renderla
più digeribile a moltissimi studenti, i quali, quando la imparano, appaiono
increduli e stupefatti.
Leonardo Eulero
Leonardo Eulero, nato a Basilea il 15 aprile 1707, è stato uno dei più influenti e
prolifici matematici di ogni tempo e, per dirla con le parole del matematico e
fisico francese François Arago, egli calcolava senza sforzo apparente, così come
gli uomini respirano o le aquile si sostengono nel vento. La celeberrima formula
che porta il suo nome
e𝑗𝑧 = cos 𝑧 + 𝑗 sen 𝑧 ,
valida per un qualsiasi numero complesso 𝑧, venne in realtà provata per la prima
volta da Roger Cotes nel 1714 e poi riscoperta e resa celebre da Eulero nel 1748.
Nessuno dei due, tuttavia, intuì l’interpretazione geometrica della formula: la
visione dei numeri complessi come punti nel piano arrivò solo circa 50 anni
dopo, per opera di Caspar Wessel, Jean-Robert Argand e Johann Carl Friedrich
Gauss. Eulero morì, praticamente cieco, a San Pietroburgo il 18 settembre 1783.
Le dimostrazioni più diffuse sono basate sullo sviluppo in serie di Taylor della
funzione esponenziale e sulla caratteristica del numero di Nepero. Qui si
desidera proporre una dimostrazione più elementare e, proprio per questo,
fruibile da una più vasta platea studentesca, magari anche di secondaria
superiore.
Si voglia determinare una nuova rappresentazione della funzione complessa
𝐹(𝑥) = e𝑗𝑥 ,
definita ed indefinitamente derivabile per ogni valore reale di 𝑥. Si osservi
preliminarmente che
𝐹(0) = 1 , 𝐹′(0) = 𝑗 .
Inoltre, dato che
𝐹′(𝑥) = 𝑗e𝑗𝑥 , 𝐹′′(𝑥) = −e𝑗𝑥 ,
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si ricava facilmente che la funzione in esame si può esprimere mediante il
seguente problema omogeneo di Cauchy del secondo ordine
𝐹′′(𝑥) + 𝐹(𝑥) = 0 ,
{ 𝐹(0) = 1 ,
𝐹 ′ (0) = 𝑗.
Dato che l’equazione caratteristica
𝜆2 + 1 = 0
ammette le due radici complesse e coniugate
𝜆 =±𝑗,
si può scrivere che l’integrale generale vale
𝐹(𝑥) = 𝐴 cos 𝑥 + 𝐵 sen 𝑥 ,
essendo 𝐴 e 𝐵 le due costanti di integrazione, che vanno determinate imponendo
le condizioni iniziali. Risulta, allora, che
𝐹(0) = 1 → 𝐴 = 1 ,
𝐹′(0) = 𝑗 → 𝐵 = 𝑗 .
In definitiva, si conclude che
e𝑗𝑥 = cos 𝑥 + 𝑗 sen 𝑥 ,
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che era quanto si desiderava dimostrare.
Da questa formula si può immediatamente ricavare un’identità considerata tra le
più affascinanti della Matematica, nota come identità di Eulero
e𝑗𝜋 + 1 = 0 .
Ecco che la formula di Eulero, mettendo in relazione queste quantità, è come se
unisse tra loro anche le varie fasi della Storia della Matematica: si inizia con il pigreco (𝜋) della geometria greca, passando attraverso la fase indiana, che
introdusse lo zero (0), fino al Rinascimento, l’epoca dell’unità immaginaria (𝑗) e
della costante di Nepero (e): tutto è poi legato dal numero uno (1), l’unità,
l’elemento più semplice presente in tutte le epoche. Si tratta veramente della più
bella formula della Matematica, come ebbe a dire Richard Feynman, famoso
Nobel per la Fisica.
La formula di Eulero ha avuto un’applicazione matematica nella dimostrazione
della trascendenza di 𝜋, la cui dimostrazione si basa sulla trascendenza della
finzione exp(𝑥), quando 𝑥 è algebrico, dimostrata da Carl Louis Ferdinand von
Lindemann nel 1882. Ora, dato che exp(𝑗𝜋) è algebrico, essendo pari a −1, per la
dimostrazione di von Lindemann, 𝑗𝜋 è non algebrico. Poiché 𝑗 è algebrico,
essendo soluzione dell’equazione algebrica 𝑥 2 + 1 = 0, 𝜋 deve essere
sicuramente non algebrico, cioè trascendente.
Un numero algebrico è un qualsiasi numero, reale o complesso, che soddisfi
un’equazione algebrica polinomiale a coefficienti interi. Ad esempio, √2 è un
numero algebrico, dato che soddisfa l’equazione 𝑥 2 − 2 = 0. Non tutti i numeri
reali sono algebrici: esistono, in verità, numeri come il numero di Nepero oppure
𝜋 che non soddisfano alcuna equazione algebrica e, pertanto, vengono detti
trascendenti.
Ora, se si pone 𝑧 = 𝑥 + 𝑗𝑦, la formula trovata si può anche generalizzare ad un
qualsiasi numero complesso
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e𝑧 = e𝑥 ∙ e𝑗𝑦 = e𝑥 (cos 𝑦 + 𝑗 sen 𝑦) .
È proprio vero ciò che pensava Lord Kelvin che la nostra conoscenza è povera e
insoddisfacente, quando non è possibile esprimerla con i numeri.
La genesi della formula di Eulero è sicuramente collegata alla formula di
Abraham De Moivre della potenza nel campo complesso
𝑧 𝑛 = [𝑅 , 𝜑]𝑛 = 𝑅𝑛 [cos(𝑛𝜑) + 𝑗 sen(𝑛𝜑)] ,
che, nel caso particolare di numero complesso di modulo unitario 𝑅 = 1, diventa
(cos 𝜑 + 𝑗 sen 𝜑)𝑛 = cos(𝑛𝜑) + 𝑗 sen(𝑛𝜑) .
Questa formula si può interpretare come un caso particolare di quella di Eulero
(cos 𝜑 + 𝑗 sen 𝜑)𝑛 = e𝑗𝑛𝜑 = cos(𝑛𝜑) + 𝑗 sen(𝑛𝜑) .
De Moivre era un buon amico di Newton e, nel 1698, scrisse che la formula era
nota a Newton perlomeno già nel 1676. La fama di De Moivre è legata senza
alcun dubbio al fatto che egli riuscì a prevedere esattamente il giorno della
propria morte, servendosi di un calcolo matematico: si era accorto che dormiva
quindici minuti in più ogni giorno ed allora suppose che sarebbe morto quando
il sonno avesse coperto per intero le ventiquattro ore, precisamente il 27
novembre 1754. Mai calcolo fu più esatto!
Non è affatto detto che tutti gli ingegneri o gli scienziati esercitino
effettivamente la loro professione; alcuni si dedicano, con alterne fortune, anche
ad attività completamente diverse da quelle studiate all’università. Tuttavia, la
loro formazione si riversa immancabilmente nelle loro opere, che finiscono per
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avere un taglio differente dalle altre. Così, ad esempio, l’ingegnere austriaco
Robert Edler von Musil, nato a Klagenfurt in Carinzia il 6 novembre 1880 è stato
uno dei più grandi scrittori del Novecento. La sua opera principale è il romanzo
incompiuto L’uomo senza qualità, un vero capolavoro, unanimemente
riconosciuto. Musil morì a Ginevra il 15 aprile 1942.
Ebbene, nel 1906 il giovane Törless, protagonista del racconto di formazione I
turbamenti del giovane Törless (Die Verwirrungen des Zöglings Törleß) di Musil,
assiste ad una lezione sui numeri complessi. In principio è perplesso per
l’intangibilità di questi enti, ma poi ne è attratto per la profondità dei risultati
che consentono di ottenere. Per questo decide di approfondirne lo studio. Ai
giorni nostri i numeri complessi, entrati a buon diritto nelle aule, non hanno
smesso di suscitare curiosità ed interesse nelle giovani menti. Ma il fascino dei
numeri complessi è legato all’alone di mistero che li circonda. Del resto, fascino e
mistero appaiono sovente come due aspetti indissolubili della percezione
umana, come due facce della medesima medaglia. A chi insegna spetta il compito
di diradare il mistero o almeno di sollevarne delicatamente qualche velo.
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