Esercizio 1 Esercizio 2

Esercizio 1
Due sbarrette sottili di materiale isolante, lunghe l = 0.5 m sono disposte
perpendicolarmente tra loro. La distanza dal punto P dalle estremità delle
due sbarrette è d = 0.1 m. Determinare il valore del campo elettrostatico
in P se su ciascuna sbarretta è distribuita uniformemente la carica q =
0.5 · 10−9 C.
y
+ + + +
l
d
+ + + +
P
d
l
x
Soluzione
Per il calcolo del campo in P , considerazioni sulla geometria del problema
suggeriscono che il campo risultante sia diretto lungo la bisettrice del terzo
quadrante. Per il calcolo analitico e quantitativo:
l+d
Z d+l
q/l
l
q
1 q
1
dx
=
=−
Ex =
4πǫ0 d
x2
4πǫ0 l x d
4πǫ0 l d(l + d)
l+d
l
q/l
q
1 q
dy
=
=−
2
y
4πǫ
l
y
d(l
+
d)
4πǫ0 l
0
d
d
q
p
√
Il modulo di E sarà dunque: |E| = Ex2 + Ey2 = 2Ex2 = 2Ex = 106V /m
1
Ey =
4πǫ0
Z
d+l
Esercizio 2
Una sottile bacchetta isolante di lunghezza finita L possiede una carica totale
q distribuita uniformemente. Ponendo l’asse y ortogonale alla sbarretta e
centrato alla sua metà, calcolare il campo E(y). Cosa succede se la sbarretta
diventa di linghezza infinita? E se diventa di lunghezza infinitesima?
1
y
P
y0
x
L
Soluzione
Per simmetria il campo in P sarà il doppio del campo generato dalla distribuzione di cariche contenuta nel piano xy e sarà allineato lungo y (i
contributo paralleli alla sbarretta si elidono reciprocamente).
Il modo più semplice per risolvere il problema è considerare come variabile di integrazione l’angolo dθ sotto cui viene vista un elemento infinitesimo
della sbarretta da un punto dell’asse y. In questo modo, la carica infinitesima dq che possiamo attribuire a un tratto infinitesimo dx della sbarretta
λr
sarà: dq = λdx = cos
θ dθ, se r è la distanza tra dq e il punto P generico
sull’asse y. Il campo infinitesimo sarà dunque:
dE(y) =
λ
r
1 dq
1 cos
θ
cos
θ
=
dθ
cos
θ
4πǫ0 r 2
4πǫ0 r2
A questo punto, osservando che r =
λ
2
4πǫ0 y
Z
y
cos θ ,
il campo E(y) sarà dato da:
φ
cos θdθ =
0
λ
sin φ
2πǫ0 y
dove l’angolo φ è determinato dalla geometria del problema, in quanto vale
in generale:
L
φ = arctan
2y
Se immaginiamo che di estendere all’infinito la lunghezza del filo, l’angolo
φ → π2 e dunque il campo diventa:
E(y)L→∞ ≃
λ 1
2πǫ0 y
Al tenere invece di L → 0, l’angolo φ → 0 e dunque il sin φ → φ =
L
L
≈ 2y
. Sostituendo nell’espressione del campo si trova:
arctan 2y
E(y)L→0 ≃
1 q
λL
=
4πǫ0 y 2
4πǫ0 y 2
come atteso, essendo diventata la sbarretta equiparabile ad una carica puntiforme.
2