(italian)

Onde
e
Musica
Matteo Casati
SISSA – Area of Mathematics
Trieste, 28 febbraio 2013
Sommario
1. La forma dei suoni
1. Vedere i suoni
2. L'onda sonora
3. Onde diverse per suoni diversi
2. Combinare le onde
3. Produrre i suoni
La forma dei suoni: Vedere i suoni
Rappresentazione artistica della musica suonata
Cosa viene rappresentato?
La forma dei suoni: Vedere i suoni
La forma dei suoni: l'onda sonora
Il computer (il lettore musicale) manda all'altoparlante un
segnale elettrico con la forma voluta
L'altoparlante si
muove (vibra)
secondo la forma data
La forma dei suoni: l'onda sonora
Nel nostro orecchio abbiamo una membrana, il timpano,
che vibra, e l'orecchio traduce le vibrazioni in un segnale
elettrico che viene interpretato dal cervello come suono
o rumore.
Come arrivano le vibrazioni dall'altoparlante all'orecchio?
La forma dei suoni: l'onda sonora
L'altoparlante comprime e dilata l'aria immediatamente a
contatto con esso
La compressione e la dilatazione
dell'aria propaga nell'ambiente
La forma dei suoni: l'onda sonora
La perturbazione (l'onda) si sposta, senza che lo faccia
l'aria
La forma dei suoni: l'onda sonora
λ
Lunghezza d'onda: distanza tra due 'picchi' (o due punti
corrisponenti) dell'onda
T
Periodo: tempo tra due 'picchi' (o due punti corrispondenti) nello
stesso punto. Per comodità Frequenza = 1/T
La forma dei suoni: onde diverse per suoni
diversi
Frequenza ed altezza
440 Hz
660 Hz
La forma dei suoni: onde diverse per suoni
diversi
Ampiezza ed intensità
La forma dei suoni: onde diverse per suoni
diversi
Forma e timbro
Sommario
1. La forma dei suoni
2. Combinare le onde
1. Il mattone di base: “sinusoide”
2. Il Teorema di Fourier
3. Onde e spettri
3. Produrre i suoni
Combinare le onde: la sinusoide
L'onda più facile da 'pensare' per un matematico
E' anche la più facile da 'produrre' in pratica!
Combinare le onde: la sinusoide
y
φ
A
t
1/ν
y (t )= Asin (2 π ν t +ϕ)
Ampiezza: A
Frequenza: ν
Costante di fase: φ
Combinare le onde: il teorema di Fourier
Cosa otteniamo sommando due onde con frequenza diversa?
Questo fenomeno si chiama 'battimento'
Ma se le onde hanno frequenza doppia?
Otteniamo un'onda con una forma diversa!
Combinare le onde: il teorema di Fourier
Combinando onde di frequenza multipla ed intensità diversa,
possiamo ottenere molte forme d'onda diverse
Onda quadra
Dente di sega
Triangolare
Combinare le onde: il teorema di Fourier
Teorema di Fourier: Qualsiasi funzione periodica può essere
espressa come combinazione lineare di funzioni sinusoidali
Trasformata di Fourier
Combinare le onde: onde e spettri
La suddivisione di un'onda nelle frequenze fondamentali che la
costituiscono si chiama spettro
Dallo spettro è possibile (fino ad un certo punto!)
distinguere non solo la nota suonata, ma anche lo
strumento che la suona!
Sommario
1. La forma dei suoni
2. Combinare le onde
3. Produrre i suoni
1.Risonanza e frequenza fondamentale
2.Armonici
3.Corde, tubi e membrane
Produrre i suoni: risonanza e f. fondamentale
Come posso produrre un'onda della frequenza che voglio?
Idea!
Posso muovere 'su e giù' ad esempio una corda con la
velocità che voglio
ν = 0.159 Hz
ν = 0.250 Hz
Risonanza
L'idea non funziona...
Produrre i suoni: risonanza e f. fondamentale
Nuova idea!
Per produrre un suono di una certa frequenza, costruisco uno
strumento che abbia quella frequenza come frequenza
fondamentale di risonanza
Cosa determina la frequenza/le frequenze di risonanza?
In pratica, molte cose (che vedremo per alcuni esempi)
Fondamentalmente, la velocità a cui l'onda si propaga e le
dimensioni della 'cosa' che si muove
Produrre i suoni: risonanza e f. fondamentale
L=10 m
v=1 m/s
5/100 = 0.05 Hz
L=12 m
v=1 m/s
4/100 = 0.04 Hz
L=10 m
v=√3 m/s
8.5/100 = 0.085 Hz
L=12 m
v=√3 m/s
7/100 = 0.07 Hz
Produrre i suoni: risonanza e f. fondamentale
La frequenza fondamentale dipende dalla forma iniziale della
corda?
NO!
O SÌ?
Produrre i suoni: armonici
C'è più di una frequenza “naturale” per ogni sistema oscillante!
Si chiamano “modi di vibrazione”
Le onde che li formano si chiamano
“onde stazionarie”
I suoni che producono si chiamano
“armonici” della frequenza fondamentale
Gli armonici più bassi sono più intensi e
si sentono di più, caratterizzando la nota
Produrre i suoni: armonici
Costruiamo un sistema che ha frequenza 260 Hz
Fondamentale: 260 Hz
Do
2° armonica: 520 Hz
Do
3° armonica: 780 Hz
Sol
4° armonica: 1040 Hz
Do
5° armonica: 1300 Hz
Mi
Produrre i suoni: corde, tubi e membrane
La frequenza fondamentale (e le armoniche) dipendono da
velocità di propagazione dell'onda e dimensioni del sistema.
Alcuni esempi:
Corde (vibranti o percosse)
ν=
√
1 T
2L μ
Colonna d'aria in un tubo
v
ν=
2L
La velocità dipende dalla
tensione della corda e dalla
densità del materiale di cui è
fatta
La velocità dipende dalla
densità dell'aria, dalla sua
pressione e dal tipo di gas
Produrre i suoni: corde, tubi e membrane
Membrane
Le frequenze che si formano percuotendo una
membrana o una lamina in generale non sono
'ordinate' come quelle in un tubo o su una corda.
Per questo i tamburi o i piatti della batteria non
fanno una nota precisa, ma solo 'rumore'
Ciò nonostante, anche le membrane hanno (più
complicati) modi normali di vibrazione