esercitazione 5 - Dipartimento di Matematica

ESERCITAZIONE 5: PROBABILITÀ
DISCRETA
Giacomo Tommei
e-mail: [email protected]
web: www.dm.unipi.it/∼tommei
Ricevimento: Lunedi 14 - 17
Dipartimento di Matematica, piano terra, studio 114
5 Novembre 2013
Esercizi 1 - 2
All’esame di Matematica puoi prendere un voto compreso tra 18 e 30
(con lode o senza), oppure essere respinto.
a)
b)
c)
d)
Qual è lo spazio degli eventi?
Come rappresenti l’evento “promosso”?
Qual è l’evento complementare all’evento “voto maggiore di 24”?
Fra gli eventi “voto minore di 22”, “voto maggiore di 22”, “voto
minore di 28”, “voto maggiore di 28”, quali sono incompatibili?
Un esperimento aleatorio consiste nel lanciare una moneta non
truccata e due dadi a sei facce non truccate.
a) Qual è lo spazio degli eventi?
b) Cosa cambia se la moneta e il dado sono truccati?
Giacomo Tommei
Probabilità
Esercizio 3
Possono esistere due eventi A e B di uno spazio degli eventi Ω tali che
P (A) = 1/4, P (B) = 2/7 e P (A ∪ B) = 9/14?
Soluzione
Si ha
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
da cui
P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B)
e sostituendo i valori del testo
P (A ∩ B) =
1
4
+
2
7
−
9
14
=
7 + 8 − 18
28
=−
3
28
si ottiene una probabilità negativa per l’intersezione: non possono quindi esistere i due eventi
con le probabilità date.
Giacomo Tommei
Probabilità
Esercizio 3
Possono esistere due eventi A e B di uno spazio degli eventi Ω tali che
P (A) = 1/4, P (B) = 2/7 e P (A ∪ B) = 9/14?
Soluzione
Si ha
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
da cui
P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B)
e sostituendo i valori del testo
P (A ∩ B) =
1
4
+
2
7
−
9
14
=
7 + 8 − 18
28
=−
3
28
si ottiene una probabilità negativa per l’intersezione: non possono quindi esistere i due eventi
con le probabilità date.
Giacomo Tommei
Probabilità
Esercizio 4
Siano A e B due eventi con probabilità P (A) = 0.4 e P (B) = 0.1.
Determina:
a) la probabilità che B non si verifichi;
b) la probabilità che A e B si verifichino contemporaneamente sapendo
che P (A|B) = 0.3;
c) la probabilità che si verifichi almeno uno dei due eventi.
Soluzione
a) La probabilità che B non si verifichi è la probabilità dell’evento B c (complementare di
B) quindi
c
P (B ) = 1 − P (B) = 1 − 0.1 = 0.9
b) La probabilità che A e B si verifichino contemporaneamente è la probabilità dell’evento
A ∩ B quindi, ricordando la formula della probabilità condizionale
P (A ∩ B) = P (B) · P (A|B) = 0.1 · 0.3 = 0.03
c) La probabilità che si verifichi almeno uno dei due eventi è la probabilità dell’evento
A ∪ B quindi
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 0.4 + 0.1 − 0.03 = 0.47
Giacomo Tommei
Probabilità
Esercizio 4
Siano A e B due eventi con probabilità P (A) = 0.4 e P (B) = 0.1.
Determina:
a) la probabilità che B non si verifichi;
b) la probabilità che A e B si verifichino contemporaneamente sapendo
che P (A|B) = 0.3;
c) la probabilità che si verifichi almeno uno dei due eventi.
Soluzione
a) La probabilità che B non si verifichi è la probabilità dell’evento B c (complementare di
B) quindi
c
P (B ) = 1 − P (B) = 1 − 0.1 = 0.9
b) La probabilità che A e B si verifichino contemporaneamente è la probabilità dell’evento
A ∩ B quindi, ricordando la formula della probabilità condizionale
P (A ∩ B) = P (B) · P (A|B) = 0.1 · 0.3 = 0.03
c) La probabilità che si verifichi almeno uno dei due eventi è la probabilità dell’evento
A ∪ B quindi
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 0.4 + 0.1 − 0.03 = 0.47
Giacomo Tommei
Probabilità
Esercizi 5 - 6 - 7
Sia Ω lo spazio degli eventi di un esperimento probabilistico. Sia
B ⊂ Ω un sottoinsieme dello spazio degli eventi. Gli insiemi B e B C
sono incompatibili? E indipendenti?
Dati due eventi A e B incompatibili, possono essere indipendenti? Ed
il viceversa?
Sia Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} lo spazio degli eventi del lancio di un dado a 6
facce non truccato. Gli eventi A=”risultato pari” e B=”risultato
divisibile per 3” sono indipendenti?
Giacomo Tommei
Probabilità
Esercizio 8
Un codice di accesso è costituito da 5 cifre che possono essere ripetute. Sia
A l’evento “il codice inizia per 3” e B l’evento “il codice è un numero pari”.
Determina se i due eventi A e B sono indipendenti.
Soluzione
La probabilità dell’evento A è P (A) = 1/10, ovvero corrisponde alla probabilità di scegliere la
cifra “3” tra le dieci possibili. La probabilità dell’evento B è P (B) = 1/2, ovvero corrisponde a
scegliere cinque cifre (quelle che rappresentano numeri pari) tra dieci possibili da piazzare nel
posto delle unità (ti ricordo che per identificare un numero pari è sufficiente vedere se è pari il
numero delle unità). Calcoliamo la probabilità dell’evento intersezione di A e B (“il codice
inizia per 3 ed è un numero pari) come rapporto tra numero di codici che soddisfano la
condizione e numero di codici possibili:
P (A ∩ B) =
5 · 102
104
=
1
20
= P (A) P (B)
I due eventi sono quindi indipendenti. Si poteva anche ragionare pensando che il fatto che il
codice inizi per “3” non influenza l’essere pari o dispari, cosı̀ come l’essere pari o dispari non
influisce sul fatto di avere il “3” come cifra iniziale: P (A|B) = P (A), P (B|A) = P (B).
Giacomo Tommei
Probabilità
Esercizio 8
Un codice di accesso è costituito da 5 cifre che possono essere ripetute. Sia
A l’evento “il codice inizia per 3” e B l’evento “il codice è un numero pari”.
Determina se i due eventi A e B sono indipendenti.
Soluzione
La probabilità dell’evento A è P (A) = 1/10, ovvero corrisponde alla probabilità di scegliere la
cifra “3” tra le dieci possibili. La probabilità dell’evento B è P (B) = 1/2, ovvero corrisponde a
scegliere cinque cifre (quelle che rappresentano numeri pari) tra dieci possibili da piazzare nel
posto delle unità (ti ricordo che per identificare un numero pari è sufficiente vedere se è pari il
numero delle unità). Calcoliamo la probabilità dell’evento intersezione di A e B (“il codice
inizia per 3 ed è un numero pari) come rapporto tra numero di codici che soddisfano la
condizione e numero di codici possibili:
P (A ∩ B) =
5 · 102
104
=
1
20
= P (A) P (B)
I due eventi sono quindi indipendenti. Si poteva anche ragionare pensando che il fatto che il
codice inizi per “3” non influenza l’essere pari o dispari, cosı̀ come l’essere pari o dispari non
influisce sul fatto di avere il “3” come cifra iniziale: P (A|B) = P (A), P (B|A) = P (B).
Giacomo Tommei
Probabilità
Esercizio 9
Per procedere all’acquisto on line di un biglietto aereo è necessaria una
password composta da 4 simboli che possono essere cifre (da 1 a 9, lo 0 è
escluso) o lettere (di un alfabeto di 21 lettere).
a) Quanti sono i possibili codici?
b) Qual è la probabilità che tutti i simboli di un codice preso a caso siano
lettere? E che tutti i simboli siano cifre?
c) Qual è la probabilità che un codice preso a caso contenga esattamente
due cifre e due lettere?
Soluzione
Abbiamo a disposizione 9 cifre e 21 lettere per un totale di 30 simboli.
a) I possibili codici, essendo un codice formato da 4 simboli (non necessariamente distinti)
sono 304 .
b) La probabilità che tutti i simboli di un codice preso a caso siano lettere vale
21 4 =
7 4 . La probabilità che tutti i simboli siano cifre vale
9 4 =
3 4.
30
10
30
10
2 9 2 . Di sequenze di
c) Una sequenza con due lettere e due cifre ha probabilità 21
· 30
30
4
questo tipo ne possiamo costruire
= 6 quindi la probabilità cercata è
2
6·
Giacomo Tommei
21
30
2
·
9
2
30
Probabilità
Esercizio 9
Per procedere all’acquisto on line di un biglietto aereo è necessaria una
password composta da 4 simboli che possono essere cifre (da 1 a 9, lo 0 è
escluso) o lettere (di un alfabeto di 21 lettere).
a) Quanti sono i possibili codici?
b) Qual è la probabilità che tutti i simboli di un codice preso a caso siano
lettere? E che tutti i simboli siano cifre?
c) Qual è la probabilità che un codice preso a caso contenga esattamente
due cifre e due lettere?
Soluzione
Abbiamo a disposizione 9 cifre e 21 lettere per un totale di 30 simboli.
a) I possibili codici, essendo un codice formato da 4 simboli (non necessariamente distinti)
sono 304 .
b) La probabilità che tutti i simboli di un codice preso a caso siano lettere vale
21 4 =
7 4 . La probabilità che tutti i simboli siano cifre vale
9 4 =
3 4.
30
10
30
10
2 9 2 . Di sequenze di
c) Una sequenza con due lettere e due cifre ha probabilità 21
· 30
30
4
questo tipo ne possiamo costruire
= 6 quindi la probabilità cercata è
2
6·
Giacomo Tommei
21
30
2
·
9
2
30
Probabilità
Esercizio 10
Un sacchetto contiene 15 palline, etichettate con i numeri da 1 a 15. Ne
scegli 4 a caso. Calcola la probabilità che:
a) le palline scelte siano la 2,3,5,8;
b) tutte le palline scelte abbiano etichette minori o uguali a 8;
c) tutte le palline scelte abbiano etichette minori o uguali a 8, sapendo
che la pallina col numero 2 è stata scelta.
Soluzione
a) Dato che le palline sono scelte a caso, tutte le possibili selezioni di 4 palline hanno la
stessa probabilità di verificarsi. Quindi la probabilità cercata sarà 1/C, dove C è il
numero delle possibili selezioni di 4 palline e vale
15
C = C15,4 =
= 1365
4
b) Il numero di possibili selezioni di 4 palline tra le prime 8 vale
8
C8,4 =
= 70
4
quindi la probabilità cercata è 70/1365
c) Si deve calcolare una probabilità condizionata. Indicando con A l’evento “la selezione
contiene la pallina etichettata col numero 2” e con B l’evento “la selezione contiene solo
palline con etichette minori o uguali a 8”, dobbiamo calcolare
P (B|A) = P (B ∩ A)/P (A). Poiché stiamo usando una distribuzione di probabilità
uniforme, la probabilità P (E) di un qualsiasi evento E è data da P (E) = #E/1365,
dove #E indica il numero di elementi di E. Quindi
P (B|A) = #(B ∩ A)/#A = C7,3 /C14,3 = 35/364.
Giacomo Tommei
Probabilità
Esercizio 10
Un sacchetto contiene 15 palline, etichettate con i numeri da 1 a 15. Ne
scegli 4 a caso. Calcola la probabilità che:
a) le palline scelte siano la 2,3,5,8;
b) tutte le palline scelte abbiano etichette minori o uguali a 8;
c) tutte le palline scelte abbiano etichette minori o uguali a 8, sapendo
che la pallina col numero 2 è stata scelta.
Soluzione
a) Dato che le palline sono scelte a caso, tutte le possibili selezioni di 4 palline hanno la
stessa probabilità di verificarsi. Quindi la probabilità cercata sarà 1/C, dove C è il
numero delle possibili selezioni di 4 palline e vale
15
C = C15,4 =
= 1365
4
b) Il numero di possibili selezioni di 4 palline tra le prime 8 vale
8
C8,4 =
= 70
4
quindi la probabilità cercata è 70/1365
c) Si deve calcolare una probabilità condizionata. Indicando con A l’evento “la selezione
contiene la pallina etichettata col numero 2” e con B l’evento “la selezione contiene solo
palline con etichette minori o uguali a 8”, dobbiamo calcolare
P (B|A) = P (B ∩ A)/P (A). Poiché stiamo usando una distribuzione di probabilità
uniforme, la probabilità P (E) di un qualsiasi evento E è data da P (E) = #E/1365,
dove #E indica il numero di elementi di E. Quindi
P (B|A) = #(B ∩ A)/#A = C7,3 /C14,3 = 35/364.
Giacomo Tommei
Probabilità
Esercizio 11
In un sacchetto ci sono 3 palline rosse, 4 nere e 2 gialle. Si eseguono cinque
estrazioni con rimessa. Calcola:
a) la probabilità di estrarre esattamente tre gialle;
b) la probabilità di estrarre almeno una gialla.
Soluzione
P (R) =
3
P (N ) =
9
4
9
P (G) =
2
9
a) La probabilità di estrarre esattamente 3 gialle è data da
P (3 G) =
5
3
2
9
3 7
2
9
=
3920
59049
b)
P (almeno 1 G) = P (G) + P (2G) + P (3G) + P (4G) + P (5G)
5
7
P (almeno 1 G) = 1 − p(5 ¬G) = 1 −
9
Giacomo Tommei
Probabilità
Esercizio 11
In un sacchetto ci sono 3 palline rosse, 4 nere e 2 gialle. Si eseguono cinque
estrazioni con rimessa. Calcola:
a) la probabilità di estrarre esattamente tre gialle;
b) la probabilità di estrarre almeno una gialla.
Soluzione
P (R) =
3
P (N ) =
9
4
9
P (G) =
2
9
a) La probabilità di estrarre esattamente 3 gialle è data da
P (3 G) =
5
3
2
9
3 7
2
9
=
3920
59049
b)
P (almeno 1 G) = P (G) + P (2G) + P (3G) + P (4G) + P (5G)
5
7
P (almeno 1 G) = 1 − p(5 ¬G) = 1 −
9
Giacomo Tommei
Probabilità
Esercizio 12
Nel sacchetto A ci sono 6 palline Rosse e 3 Blu, mentre nel sacchetto B ce
ne sono 4 Rosse e 5 Blu. Si estrae una pallina dal sacchetto A con
probabilità 2/3 e dal sacchetto B con probabilità 1/3.
a) Se si estrae una pallina Rossa calcola la probabilità di aver scelto il
sacchetto A.
b) Si sceglie un sacchetto e da questo si fanno due estrazioni con rimessa.
Calcola la probabilità di ottenere 2 palline Blu.
c) Si sceglie un sacchetto e da questo si fanno due estrazioni con rimessa
ottenendo 2 palline Blu. Calcola la probabilità di aver scelto il
sacchetto B.
Giacomo Tommei
Probabilità
Esercizio 12
Soluzione
Siano P (A) la probabilità di scegliere il sacchetto A, P (B) la probabilità di scegliere il
sacchetto B, P (Ro) la probabilità di pescare una pallina Rossa e P (Bl) la probabilità di
pescare una pallina Blu:
2
1
P (A) =
P (B) =
3
3
P (Ro|A) =
P (Ro|B) =
6
9
4
9
P (Bl|A) =
P (Bl|B) =
3
9
5
9
a) Stiamo cercando P (A|Ro), ma per poter applicare la formula di Bayes (o della
probabilità condizionale) dobbiamo per prima cosa calcolare la probabilità di estrarre
una pallina Rossa:
P (Ro) = P (A) P (Ro|A) + P (B) P (Ro|B) =
2 6
3 9
+
Adesso possiamo calcolare P (A|Ro):
P (A|Ro) =
P (A) P (Ro|A)
Giacomo Tommei
P (Ro)
=
12 27
27 16
Probabilità
=
3
4
1 4
3 9
=
16
27
Esercizio 12
Soluzione
b) Si estrae con rimessa, quindi la probabilità di estrarre una pallina di un certo colore non
cambia da un’estrazione all’altra:
P (2Bl) = P (A) P (2Bl|A) + P (B) P (2Bl|B)
ma P (2Bl|A) = P (Bl|A)2 quindi
P (2Bl)
=
=
2
2
P (A) P (Bl|A) + P (B) P (Bl|B)
2
2
2
3
1
5
43
+
=
3
9
3
9
243
c) In questo caso si utilizza la formula di Bayes sfruttando la probabilità calcolata
precedentemente:
P (B|2Bl) =
P (B) P (2Bl|B)
P (2Bl)
Giacomo Tommei
=
25 243
243 43
Probabilità
=
25
43
Esercizio 13
Una casa automobilistica rileva che per un suo modello di macchina in
produzione si possono presentare due difetti, uno nella carburazione (difetto
C) e l’altro nell’impianto elettrico (difetto E). Il 3% delle macchine presenta
il difetto C, e il 7% il difetto E. Dallo studio della procedura di produzione,
si riscontra che la presenza di un difetto è indipendente dalla presenza
dell’altro.
a) Qual è la probabilità che una macchina presenti entrambi i difetti?
b) Qual è la probabilità che una macchina abbia un difetto?
c) Qual è la probabilità che una macchina difettosa presenti il difetto C?
d) Qual è la probabilità che una macchina difettosa presenti uno solo dei
due difetti?
e) Qual è la probabilità che una macchina presenti il difetto E sapendo
che ha il difetto C?
f) Un’analisi più accurata rivela che il difetto E è legato alla presenza
nella macchina dell’optional O. Per l’esattezza, la probabilit̀a che una
macchina accessoriata con O presenti il difetto E è del 21%, e la
probabilità che una macchina con il difetto E sia fornita dell’optional
O è del 30%. Quale percentuale delle macchine prodotte dalla casa
automobilistica sono fornite dell’optional O?
Giacomo Tommei
Probabilità
Esercizi vari
14) Una moneta truccata realizza Croce con probabilità 1/4. Calcola la
probabilità di fare almeno 3 Croci in 5 lanci.
15) In un sacchetto ci sono 3 palline Blu e 3 Rosse. Si fanno quattro
estrazioni senza rimessa. Calcola la probabilità di ottenere almeno 2
palline Blu.
16) Indichiamo con P (A) la probabilità di un evento A, con P (B) la
probabilità di un evento B, infine con P (A ∪ B) la probabilità della
loro unione. Se P (A) = 2/15, P (B) = 1/5, P (A ∪ B) = 4/15, A e B
sono incompatibili?
Giacomo Tommei
Probabilità