Matematica Finanziaria Avanzata: secondo modulo

Matematica Finanziaria
Avanzata: secondo modulo
• Nozioni fondamentali sul rischio di credito
• Modelli di portafoglio in forma matriciale:
revisione e implementazione in Excel
– Paris e Zuanon, Elementi di Finanza Matematica
– Benninga, Modelli finanziari
• CAPM, revisione e implementazione in Excel
– Paris e Zuanon, Elementi di Finanza Matematica
– Benninga, Modelli finanziari
Andrea Resti, Matematica Finanziaria Avanzata
– John Hull, Opzioni, futures e altri derivati
Ottimizzazione di portafoglio:
definizioni
N
}
~
X = ∑ xi Fi
insieme degli N investimenti possibili,
ognuno con rendimento atteso µi e volatilità σi
portafoglio con pesi xi (Σxi =1), µX=Σxi µi e σX
i =1
[ ] [ ] [
V = v ij = σ ij2 = σ iσ j ρij
es,
 σ 12 σ 122 
V= 2
2 
σ 21 σ 22 
]
matrice di varianze/covarianze
2
2

 x
σ
σ
2
1
12  1 
σ X = x′Vx = [x1 x2 ] 2
=

2 
σ 21 σ 22   x2 
2
= x12σ 12 + x22σ 22
+ 2 x1 x2σ 122
Andrea Resti, Matematica Finanziaria Avanzata
{
~
Fi i = 1,...N
Ottimizzazione di portafoglio:
il problema vincolato
µ X = µ′x = π
s.t.
 1 = e′x
Σxi µi
Σxi =1
rendimento
obiettivo
ad es. π = 5%
e’ = [1 1 … 1]
“Minimizza la varianza del portafoglio garantendo
un certo rendimento atteso. Ricorda che le quote
devono assommare a uno”
Andrea Resti, Matematica Finanziaria Avanzata
min σ X2 = x′Vx
Derivate parziali
di una forma quadratica
x′Vx
, ad es.: [x1
Le sue derivate parziali sono:
∂ 2 2
2
(
x1 σ 1 + x22σ 22
+ 2 x1 x2σ 122 ) = 2 x1σ 12 + 2 x2σ 122
∂x1
∂ 2 2
2
(
x1 σ 1 + x22σ 22
+ 2 x1 x2σ 122 ) = 2 x2σ 22 + 2 x1σ 122
∂x2
Cioè, in forma compatta:
2Vx
Andrea Resti, Matematica Finanziaria Avanzata
Data
 σ 12 σ 122   x1 
x2 ] 2

2 
x
σ 21 σ 22   2 
Ottimizzare f(x) convessa soggetta a g(x)=k
equivale a ottimizzare L(x,λ) = f(x) - λ[g(x)-k]
a cui è stata aggiunta una nuova variabile λ.
Ottimizzare f(x) convessa soggetta a g(x)=k e a h(x)=m
equivale a ottimizzare L(x,λ,η) = f(x)-λ[g(x)-k]-η[g(x)-k]
a cui sono state aggiunte due nuove variabili λ e η.
Dovrò uguagliare a zero le derivate parziali di L(.)
rispetto a x1, x2, …, xn, λ e η.
Andrea Resti, Matematica Finanziaria Avanzata
Ottimizzazione vincolata:
la lagrangiana
Ottimizzazione di portafoglio:
Lagrangiana:
Condizioni del primo ordine:
 Lx′ = 2Vx − λµ − ηe = 0

 Lλ′ = π − µ′x = 0
 L′ = 1 − e′x = 0
 η
Riassume
N condizioni
Andrea Resti, Matematica Finanziaria Avanzata
L( x, λ ,η ) = x′Vx − λ (µ′x − π ) − η (e′x − 1)
K ≡ [µ e]
2Vx − Kl = 0

K ′x = p
N ×2
λ 
l = 
2×1
η 
π 
p = 
2×1
1 
Nota: l’inversa di
V esiste se gli n
investimenti sono
indipendenti tra
loro
2x = V Kl

−1
2p = K ′V Kl
−1
Andrea Resti, Matematica Finanziaria Avanzata
Riscrivo usando
una notazione più compatta:
=A
−1
−1
′
r

′
′
r
V
r
r
V
e α


−1
−1
A ≡ K ′V K =   V [r e] =  −1
≡
−1 
e′
e′V r e′V e  β
β
γ 
Nota: V è definita positiva perché matrice di var/cov; anche V-1 lo è perché è la
sua inversa, anche A lo è in quanto ottenuta per pre- e post-moltiplicazione per
una matrice di rango due (r≠e). Dunque A è invertibile e ha determinante positivo
 γ
1
1
A =
aggA =
A
αγ − β 2 − β
−1
−β
α 
Andrea Resti, Matematica Finanziaria Avanzata
La matrice
-1
K’V K
Soluzione dell’ottimo vincolato
 γ
1 −1
x=
V [r e] 
A
( n×2 )  − β
, cioè:
Andrea Resti, Matematica Finanziaria Avanzata
l = 2 A −1p

−1
−1
x = V KA p
− β  π  1 −1
π 
=
V [γr − βe − βr + αe]   =



α  1  A
( n× 2 )
1 
( 2×2 )
( 2×1)
(
( 2×1)
1 −1
(γV −1r − βV −1e)π − βV −1r − αV −1e
=
V [(γr − βe)π − βr + αe] =
A
αγ − β 2
( n×1)
)
Proprietà dei portafogli efficienti
• Unicità: dato un certo rendimento p, la formula
individua un unico portafoglio a rischio minimo:
−1
−1
• Linearità: ogni xi (peso dell’i-esimo titolo nel
portafoglio efficiente) viene in pratica calcolato
come una funzione lineare del rendimento π
desiderato:
xi = ai + biπ
Andrea Resti, Matematica Finanziaria Avanzata
x = V KA p
Soluzione dell’ottimo vincolato/2
−1
−1
Da x = V KA p segue che:
σ 2 = x′Vx = (V −1KA −1p)′VV −1KA −1p =
−1
−1
−1
−1
′
V
V
K
A
p
p
A
p
= p′A −1 K ′V
=
I
A
I
Cioè,
 γ
1
2
sviluppando: σ = [π 1]
A
− β
1
[πγ − β
=
A
− β  π 
=



α 1 
π  π 2γ − 2 βπ + α
− βπ + α ]  =
2
1
αγ
−
β
 
Andrea Resti, Matematica Finanziaria Avanzata
min
Soluzione dell’ottimo vincolato/3
2
π
γ − 2 βπ + α
2
σ =
αγ − β 2
β
αγ − β 2
π= +
σ
γ
γ
π
0’(0,β/γ)
σ
1
γ
β
αγ − β 2
π= −
σ
γ
γ
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è, chiaramente una parabola nel piano π, σ2. Cerchiamo il vertice…
Nel piano σ, π è invece un’iperbole equilatera
Significato della frontiera efficiente
π
0’(0,β/γ)
1
γ
Per ogni π* esiste un solo portafoglio efficiente;
Esiste un π che rende minimo σ (portafoglio a rischio minimo);
dalla figura (e dall’analisi del vertice della parabola)
vediamo che questo punto ha coordinate
σ0 = 1
γ
; π0 = β
γ
Andrea Resti, Matematica Finanziaria Avanzata
σ
Composizione del portafoglio a
rischio minimo:
)
(
)
2
2
β
αγ
β
−
−1
−1
−1
−1
−1
βV r −
V e − βV r + αV e
V e
−1
V e
γ
γ
=
=
=
2
2
αγ − β
αγ − β
γ
Andrea Resti, Matematica Finanziaria Avanzata
(
(γV −1r − βV −1e)π 0 − βV −1r − αV −1e
x0 =
=
2
αγ − β
β
−1
−1
(γV r − βV e) − βV −1r − αV −1e
γ
=
2
αγ − β
• Dato il portafoglio efficiente x ≠ x0, esiste
sempre un portafoglio efficiente y
ortogonale, cioè perfettamente incorrelato,
(cov(x,y)=0)
• Se πx>π0, allora πy<π0 e viceversa
• Vedremo come individuare i portafogli
ortogonali algebricamente e graficamente
Andrea Resti, Matematica Finanziaria Avanzata
Portafogli ortogonali
Portafogli ortogonali: metodo algebrico
cov(x, y ) = x′Vy = (V −1KA −1p x )′VV −1KA −1p y =
−1
−1
−1
−1
′
V
V
K
A
p
p
A
py =
= p′x A −1 K ′V
=
y
x
I
A
− β  π y 
 γ
1
[π x 1]
=0
=



2
αγ − β
− β α   1 
π y 
[γπ x − β α − βπ x ]  = 0
1
βπ x − α
πy =
γπ x − β
Andrea Resti, Matematica Finanziaria Avanzata
I
Portafogli ortogonali: versione grafica
π
πy
y
σ
Il rendimento del portafoglio ortogonale y
è pari all’intercetta della tangente
alla frontiera nel punto (σx, πx)
Andrea Resti, Matematica Finanziaria Avanzata
x
Versione grafica: demo
Da:
2πγ − 2 β
d [σ ] =
dπ = 2σdσ
2
αγ − β
2
dπ αγ − β 2
σ
=
πγ − β
dσ
dπ αγ − β 2
=
σx
Nel punto (σx, πx):
dσ π xγ − β
e l’equazione della retta tangente risulta:
αγ − β 2
π −π x =
σ x (σ − σ x )
π xγ − β
Derivata
della frontiera
Andrea Resti, Matematica Finanziaria Avanzata
2
π
γ − 2 βπ + α
2
σ =
αγ − β 2
Versione grafica: demo/2
L’intercetta di questa retta si ottiene ponendo σ=0:
αγ − β γπ − 2 βπ x + α
=πx −
=
2
π xγ − β
αγ − β
2
x
2
γπ − βπ x − γπ + 2 βπ x − α βπ x − α
=
=πy
=
π xγ − β
π xγ − β
2
x
2
x
Andrea Resti, Matematica Finanziaria Avanzata
αγ − β 2
2
π =πx +
(−σ x ) =
π xγ − β
Teorema dei due fondi
Qualsiasi portafoglio efficiente x può essere ottenuto come
combinazione lineare di due portafogli efficienti xa e xb
tali che πa ≠πb
π = ηπ a + (1 − η )π b ⇒ π = ηp a + (1 − η )p b
Dunque anche qualunque x efficiente può scriversi come:
−1
−1
−1
−1
x = V KA p = V KA [ηp a + (1 − η )p b ] =
−1
−1
−1
−1
Andrea Resti, Matematica Finanziaria Avanzata
Demo: ∀π e ∀p possono essere scritti come
= ηV KA p a + (1 − η )V KA p b = ηx a + (1 − η )x b
Divieto di vendite allo scoperto
xn-1 = xn = 0
Frontiera
senza vendite
allo scoperto
Frontiera con n-2 titoli
Frontiera con n-1 titoli
σ
Frontiera con n titoli
Andrea Resti, Matematica Finanziaria Avanzata
π
xn = 0
π
(σm,πm)
(0,ρ)
σ
In un mercato
efficiente, ρ < π0;
Combinando (0, ρ)
con qualunque x
della frontiera si
ottiene una semiretta
(l’unica varianza è
quella di x);
Tra queste semirette,
quella efficiente è
tangente alla
frontiera in (σm,πm)
Andrea Resti, Matematica Finanziaria Avanzata
Con un investimento risk-free
Investimento risk-free:
coordinate del punto di tangenza
βπ m − α
=ρ
π mγ − β
βπ m − α = ρ (π mγ − β )
π m ( β − ργ ) = α − ρβ
ρβ − α
πm =
ργ − β
Andrea Resti, Matematica Finanziaria Avanzata
Il tasso risk-free ρ è il rendimento del portafoglio ortogonale a
quello di tangenza (σm,πm):
Investimento risk-free: coordinate
del punto di tangenza/2
Sostituendo πm nell’equazione della varianza efficiente
ottengo σ2m (il tutto richiede solo pazienza e algebra):
 βρ − α 
βρ − α

 γ − 2 β
+α
2
γρ − β
π mγ − 2 βπ m + α  γρ − β 
2
=
σm =
=
2
2
αγ − β
αγ − β
γρ − 2 βρ + α
= ... =
(γρ − β ) 2
2
Andrea Resti, Matematica Finanziaria Avanzata
2
Investimento risk-free:
equazione della frontiera
π
πm − ρ
π =ρ+
σ=
σm
(σm,πm)
(π m − ρ ) 2
σ
=ρ+
2
σm
ρ
σ
Andrea Resti, Matematica Finanziaria Avanzata
Dalla figura è
evidente che:
Investimento risk-free:
equazione della frontiera/2
Calcolo a parte:
 βρ − α


− ρ 
2
γρ − β
(π m − ρ )

 =
=
...
=
γρ 2 − 2 βρ + α
σ m2
(γρ − β ) 2
(γρ 2 − 2 βρ + α ) 2
(
γρ − β )2
2
=
=
γρ
− 2 βρ + α
2
γρ − 2 βρ + α
(γρ − β ) 2
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2
Investimento risk-free:
equazione della frontiera/2
E infine sostituisco:
(π m − ρ )
π =ρ+
σ
2
σm
π = ρ + γρ 2 − 2 βρ + α σ
che è l’equazione della semiretta
indicata nella figura (CML)
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2
Capital Asset Pricing Model
Vettore delle covarianze tra gli n investimenti puri (azioni) e il
portafoglio di mercato:
s = Vx m = V(V −1KA −1 )pm = KA −1p m
− β  π m 
 γπ m − β 
 γ
1
− β α   1  = αγ − β 2 − βπ + α  =
m

 


1

γπ m − β  βπ − α  γπ m − β  1 
=
=
m
2 −
αγ − β  γπ − β  αγ − β 2 − ρ  (per l’ortogonalità)
m


1
A pm =
A
−1
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Sviluppo a parte:
CAPM / 2
γπ m − β
A pm =
αγ − β 2
 1  γπ m − β π m − ρ  1 
− ρ  = αγ − β 2 ⋅ π − ρ ⋅ − ρ  =
 
 
m
 1 
γπ m − β 
βπ m − α  1

=
⋅ π −
⋅  =
2  m
αγ − β 
γπ m − β  π m − ρ − ρ 
 1 
γπ m − β  γπ m2 − βπ m − βπ m + α  1

=
⋅
⋅  =
2 
αγ − β 
γπ m − β
 π m − ρ − ρ 
 1 
1
γπ m2 − 2 βπ m + α
σ m2  1 
=
⋅
⋅  =
⋅ 
2
αγ − β
π m − ρ − ρ  π m − ρ − ρ 
Andrea Resti, Matematica Finanziaria Avanzata
−1
CAPM/3
Dunque il vettore s risulta:
Da cui:
πm − ρ
r − ρ ⋅e =
s
2
σm
uguaglianza tra vettori il cui generico elemento è:
πm − ρ
πm − ρ
rj − ρ =
sj =
cov(m, j )
2
2
σm
σm
che rappresenta l’equazione fondamentale del CAPM
Andrea Resti, Matematica Finanziaria Avanzata
 1 
σ m2  1 
σ m2
[r e] 
s=K
=


π m − ρ − ρ  π m − ρ
− ρ 