I test post-hoc nel caso del test di Friedman e il test L

Approfondimento 6.4 - I test post-hoc nel caso del test di Friedman
e il test L di Page
Nel caso dei test post-hoc per il test di Friedman, le ipotesi sono:
H0: Mε1 = Mε2 → la mediana della popolazione 1 è uguale alla mediana della popolazione 2
H1: Mε1 ≠ Mε2 → la mediana della popolazione 1 è diversa dalla mediana della popolazione 2
I test post-hoc per il test di Friedman sono molto simili a quelli per il test di Kruskal-Wallis. In
questo caso vengono prese in considerazione le differenze in valore assoluto fra le somme dei
ranghi di due condizioni (e non i ranghi medi, come nel test di Kruskal-Wallis), trasformate a punto
z con la formula:
| R1 − R2 |
z=
nk (k + 1)
6
La regola di decisione è:
se |z calcolato| > |z critico| → è troppo improbabile che i dati osservati siano il risultato del fatto che
H0 è vera, per cui la rifiutiamo → la mediana della popolazione 1 è diversa dalla mediana della
popolazione 2
se |z calcolato| < |z critico|→ non è così improbabile che i dati osservati siano il risultato del fatto
che H0 è vera, per cui la accettiamo → la mediana della popolazione 1 è uguale alla mediana
della popolazione 2
Per individuare lo z critico dobbiamo tenere conto del numero di confronti che realizziamo per
evitare l’inflazione dell’errore di I tipo, ossia della probabilità di respingere un’ipotesi nulla vera in
almeno un confronto. In questo caso realizziamo k(k−1)/2 = 3(3−1)/2 = 3 confronti, avremo che
αcomaprisonwise = ,05/3 = ,0167, ma dato che l’ipotesi alternativa è bidirezionale dobbiamo trovare lo z
critico per αcomaprisonwise/2 = ,0167/2 = ,0083, che è 2,39. Eseguiamo quindi i confronti:
Inizio vs 3 mesi: z =
Inizio vs 6 mesi: z =
3 mesi vs 6 mesi: z =
| R1 − R2 |
=
nk (k + 1)
6
| R1 − R2 |
10 × 3 × (3 + 1)
6
=
nk (k + 1)
6
| R1 − R2 |
nk (k + 1)
6
| 14 − 18 |
| 14 − 28 |
10 × 3 × (3 + 1)
6
=
| 18 − 28 |
10 × 3 × (3 + 1)
6
= 0,89 < 2,39 → Accettiamo H0
= 3,13 > 2,39 → Rifiutiamo H0
= 2,24 < 2,39 → Accettiamo H0
Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria – Copyright © 2010 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia
Conclusione: Possiamo rifiutare l’ipotesi nulla solo nel caso del confronto fra l’Inizio e 6 mesi. I
risultati suggeriscono che la soddisfazione di vita dei pazienti con disturbo di personalità aumenta
nel corso della terapia, ma gli effetti sono evidenti solo dopo 6 mesi.
Rappresentiamo graficamente i dati mediante un box-and-whisker (Figura 6.4.1).
Figura 6.4.1 Grafico Box-and-whisker del punteggio di soddisfazione di vita di 10 pazienti con
disturbo di personalità in base al momento della rilevazione nel corso della psicoterapia
Nel caso che abbiamo appena visto era lecito aspettarsi che, se la psicoterapia avesse funzionato, i
punteggi della soddisfazione di vita sarebbero aumentati col procedere della psicoterapia. Le
condizioni, quindi, potevano essere ordinate e si poteva tener conto nell’analisi di questa loro
caratteristica mediante il test per lo studio degli andamenti di Page (Page, 1963). L’ipotesi nulla del
test di Page è identica a quella del test di Friedman, mentre l’ipotesi alternativa è la seguente:
H1: MεInizio < Mε3 mesi < Mε6 mesi → le mediane di almeno due popolazioni sono diverse e possono
essere ordinate
Il valore L di Page si calcola mediante una somma ponderata delle somme dei ranghi per ogni
condizione. In pratica, si assegna rango 1 alla condizione con la somma dei ranghi minore, 2 alla
condizione successiva in base alla teoria, 3 a quella che segue in base alla teoria, etc. Nel nostro
caso la somma dei ranghi minore è quella della condizione ‘Inizio” (14), per cui questa avrà rango
1. A questo punto, quella che dovrebbe seguire in base alla teoria è la condizione ‘3 mesi’, che
quindi avrà rango 2. Infine, la condizione ‘6 mesi’ avrà rango 3. Calcoliamo il valore L di Page:
k
L = ∑ jR j = R1 + 2 R2 + 3R3 + 4 R4 + ... + kRk
j =1
dove j è la posizione della condizione. Nel nostro caso avremo quindi:
k
L = ∑ jR j = 14 + 2 × 18 + 3 × 28 = 134
j =1
Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria – Copyright © 2010 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia
Per campioni piccoli, ossia n ≤ 12, esistono delle Tavole per l’individuazione di L critico (vedi
Tavola 12 in Appendice), per cui la regola di decisione sarà:
se |L calcolato| > |L critico| → è troppo improbabile che i dati osservati siano il risultato del fatto
che H0 è vera, per cui la rifiutiamo → vi è un ordinamento fra le mediane delle tre condizioni
se |L calcolato| < |L critico|→ non è così improbabile che i dati osservati siano il risultato del fatto
che H0 è vera, per cui la accettiamo → non vi è un ordinamento fra le mediane delle tre
condizioni
In base alla Tavola di L troviamo che il valore di L critico è 128 (Figura 6.4.2)
Figura 6.4.2 Individuazione del valore critico di L di Page per numero di soggetti n = 10, numero di
condizioni 3 e livello α di significatività ,05.
Conclusione: Poiché L calcolato > L critico (134 > 128), è troppo improbabile che quanto osservato
sia il risultato di un’ipotesi nulla vera, per cui la rifiutiamo. Questi risultati suggeriscono che molto
probabilmente vi è un ordinamento crescente nel delle mediane delle tre condizioni.
Eventualmente, i test post-hoc possono essere eseguiti come illustrato per il test di Friedman.
Se n > 12, si può utilizzare l’approssimazione alla distribuzione normale standardizzata
mediante la formula:
 nk (k + 1) 2 
L−

4


z=
3
2
n( k − k )
144(k − 1)
La regola di decisione sarà quella che conosciamo:
se |z calcolato| > |z critico| → è troppo improbabile che i dati osservati siano il risultato del fatto che
H0 è vera, per cui la rifiutiamo → vi è un ordinamento fra le mediane delle tre condizioni
se |z calcolato| < |z critico|→ non è così improbabile che i dati osservati siano il risultato del fatto
che H0 è vera, per cui la accettiamo → non vi è un ordinamento fra le mediane delle tre
condizioni
Carlo Chiorri, Fondamenti di psicometria – Copyright © 2010 The McGraw-Hill Companies S.r.l., Publishing Group Italia
A puro scopo illustrativo, vediamo quale sarebbe stato il risultato utilizzando i dati della Tabella
6.8. Se consideriamo un livello di significatività α = ,05, il valore critico di z a una coda è 1,65.
10 × 3 × (3 + 1) 2 
 nk (k + 1) 2 
−
134
L−



4
4
 = 3,13



=
z=
3
2
3
2
10 × (3 − 3)
n( k − k )
144 × (3 − 1)
144(k − 1)
Poiché z calcolato > z critico (3,13 > 1,65), possiamo rifiutare l’ipotesi nulla e concludere come
mostrato in precedenza.
Per calcolare la dimensione dell'effetto per il test L di Page, che per n > 12 viene
approssimato alla distribuzione normale standardizzata, si può utilizzare la trasformazione di z in r,
mediante la formula:
r=
z
nk
=
3,13
3 × 10
= 0,57 → Effetto Grande
Il valore di r viene interpretato come in Tabella 5.6 del manuale.
Il test di Page non è particolarmente diffuso, e non è implementato in SPSS
Per i test post-hoc, indipendentemente dal fatto di aver realizzato un test di Friedman o di Page,
z
utilizziamo l’indice r di Cohen (1988) r =
, dove n = numero di casi e k = numero di
nk
osservazioni. Nel caso che stiamo considerando, n = 10, k = 3, per cui:
Inizio vs 3 mesi: r =
Inizio vs 6 mesi: r =
3 mesi vs 6 mesi: r =
z
=
3 × 10
nk
z
=
nk
3,13
3 × 10
nk
z
0,89
=
2,24
3 × 10
= 0,16 → Effetto Piccolo
= 0,57 → Effetto Grande
= 0,41 → Effetto Moderato
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