Il teorema dell,angolo esterno 1 Il teorema

,OWHRUHPDGHOO¶DQJRORHVWHUQR
,OWHRUHPDGHOO¶DQJRORHVWHUQR
$OHVVDQGUR&RUGHOOL
,OWHRUHPD
Il teorema esposto nella proposizione 16 del primo libro degli (OHPHQWL (universalmente
noto come WHRUHPDGHOO¶DQJRORHVWHUQR) riveste una notevole importanza nel sistema della
geometria di Euclide; in particolare è essenziale per dimostrare alcuni risultati riguardanti
le rette parallele.
Questo teorema esprime una disuguaglianza, e precisamente il fatto che in un triangolo
l’angolo esterno (quello formato da un lato e dal prolungamento di un altro lato) sia
maggiore degli altri due angoli interni. La dimostrazione si basa su una costruzione
geometrica e richiede il primo criterio di uguaglianza dei triangoli.
,QRJQLWULDQJRORVHVLSUROXQJDXQRGHLODWLO¶DQJRORHVWHUQRqPDJJLRUHGLFLDVFXQR
GHLGXHDQJROLLQWHUQLHGRSSRVWL
Per la dimostrazione facciamo riferimento alla
figura 1. Il triangolo di partenza è $%&,
prolunghiamo il lato %& dalla parte di &
ottenendo la semiretta &'. L’angolo esterno è
$&ˆ ' , la tesi del teorema è che %$ˆ & < $&ˆ ' e
che $%ˆ & < $&ˆ ' .
Sia ( il punto medio del segmento $&.
Tracciamo poi la semiretta %( su cui riportiamo il
punto ) tale che %( = () . Osserviamo che in
quest’ultima operazione si è fatto ricorso a uno )LJXUD 'LPRVWUD]LRQH GHO WHRUHPD
dei postulati (e precisamente il secondo), quello GHOO
DQJRORHVWHUQR
che dice che un segmento può essere prolungato
indefinitamente (e quindi, per quanto sia lungo %(, sarà sempre possibile riportare un
segmento () tale che %( = () sul prolungamento di %().
Consideriamo adesso i due triangoli $%( e &)(; essi sono uguali in base al primo
criterio di uguaglianza in quanto hanno: $( = (& e %( = () (per costruzione) e
$(ˆ % = )(ˆ & (poiché sono angoli opposti al vertice). Pertanto %$ˆ ( = )&ˆ ( poiché sono
elementi corrispondenti in triangoli uguali.
Ora, l’angolo )&ˆ ( è compreso in $&ˆ ' e noi sappiamo che – in base all’ottava delle
nozioni comuni – il tutto è maggiore della parte. Quindi: $&ˆ ' > )&ˆ ( = %$ˆ ( = %$ˆ & , e
questo dimostra la prima parte della tesi.
Per dimostrare che è anche $&ˆ ' > $%ˆ & , ripetiamo i passaggi precedenti considerando
come angolo esterno %&ˆ * , ottenuto prolungando il lato $& dalla parte di &. In questo
modo il lato che viene diviso a metà sarà %&, ecc. e si arriverà a dimostrare che
%&ˆ * > $%ˆ & . Ora, osserviamo che %&ˆ * = $&ˆ ' in quanto opposti al vertice. Pertanto
sarà anche $&ˆ ' > $%ˆ & , e questo completa la dimostrazione.
Vediamo adesso di scrivere in maniera formale i passaggi della dimostrazione:
1
,OWHRUHPDGHOO¶DQJRORHVWHUQR
,SRWHVL: $%& triangolo, $&ˆ ' angolo esterno
$( = (& (costruzione)
%( = () sul prolungamento di %( (costruzione, secondo postulato)
$(ˆ % = )(ˆ & (costruzione, angoli opposti al vertice)
$%( = &)( (1, 2, 3, primo criterio di uguaglianza dei triangoli)
%$ˆ ( = )&ˆ ( (4, elementi corrispondenti in triangoli uguali)
$&ˆ ' > )&ˆ ( (ottava nozione comune)
$&ˆ ' > %$ˆ ( = %$ˆ & (6, 5)
%&ˆ * > $%ˆ & (stessa dimostrazione dei punti 1 – 7 riferita al lato %&)
%&ˆ * = $&ˆ ' (angoli opposti al vertice)
$&ˆ ' > $%ˆ & (8, 9)
7HVL: $&ˆ ' > %$ˆ & , $&ˆ ' > $%ˆ & (7, 10).
Una volta formalizzata la dimostrazione possiamo anche rappresentare per mezzo di un
diagramma le relazioni logiche tra i vari punti (figura 2):
)LJXUD6FKHPDORJLFRGHOODGLPRVWUD]LRQHGHOWHRUHPDGHOO
DQJRORHVWHUQR
,FRUROODUL
Il teorema dell’angolo esterno ha alcuni importanti corollari. Il primo di questi corollari
è enunciato e dimostrato nella proposizione successiva (la 17 del primo libro degli
(OHPHQWL) a quella del teorema:
,QRJQLWULDQJRORODVRPPDGLGXHDQJROLFRPXQTXHSUHVLqPLQRUHGLGXHUHWWL
2
,OWHRUHPDGHOO¶DQJRORHVWHUQR
Per la dimostrazione facciamo ancora riferimento alla figura 1. Abbiamo dimostrato che
ˆ
$%& < $&ˆ ' , quindi $%ˆ & + $&ˆ % < $&ˆ ' + $&ˆ % in base alla quarta nozione comune (6H
FRVH XJXDOL VRQR DGGL]LRQDWH D FRVH GLVXJXDOL OH WRWDOLWj VRQR GLVXJXDOL). Ora, $%ˆ & e
$&ˆ % sono due angoli interni, mentre $&ˆ ' + $&ˆ % è l’angolo piatto %&ˆ ' ; questo
dimostra la tesi (per le altre coppie di angoli interni basta considerare un diverso angolo
esterno).
Il secondo corollario afferma che:
,QXQWULDQJRORSXzHVVHUYLXQVRORDQJRORPDJJLRUHRXJXDOHDOO¶DQJRORUHWWR
In caso contrario infatti (due angoli retti, o due angoli ottusi, o un angolo retto e un
angolo ottuso) la somma di due angoli interni sarebbe maggiore o uguale all’angolo piatto,
in contraddizione con il precedente corollario.
Il terzo ed ultimo corollario afferma che:
*OLDQJROLDOODEDVHGLXQWULDQJRORLVRVFHOHVRQRDFXWL
Infatti, gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali. Se dunque tali angoli
fossero retti o ottusi avremmo una contraddizione con il precedente corollario.
&ODVVLILFD]LRQHGHLWULDQJROL
I corollari del teorema dell’angolo esterno ci permettono di formulare alcune definizioni
utili per classificare i triangoli in base agli angoli. Abbiamo visto (secondo corollario) che
in un triangolo ci può essere al massimo un angolo retto o ottuso, ma può anche non
essercene nessuno. Un triangolo con tutti e tre gli angoli acuti si dice DFXWDQJROR. Se
invece il triangolo ha un angolo ottuso e due acuti si dice RWWXVDQJROR. Infine, un triangolo
con un angolo retto e due acuti si chiama UHWWDQJROR. Nel triangolo rettangolo i lati che
formano l’angolo retto si chiamano FDWHWL, mentre il lato opposto all’angolo retto si chiama
LSRWHQXVD.
)LJXUD 7ULDQJROR
DFXWDQJROR
)LJXUD7ULDQJRORRWWXVDQJROR
3UREOHPDVYROWR
)LJXUD 7ULDQJROR
UHWWDQJROR
Dato il triangolo $%& prolunga il lato $% oltre %; sia ' un punto su questa semiretta
esterno ad $%. Traccia poi le bisettrici degli angoli &$ˆ % e &%ˆ ' , che si incontrano in (.
Dimostra che il triangolo $%( è sempre ottusangolo.
3
,OWHRUHPDGHOO¶DQJRORHVWHUQR
'LPRVWUD]LRQH
Osserviamo che l’angolo esterno &%ˆ ' è
sempre minore di un angolo piatto, pertanto
la sua metà (%ˆ ' è sempre minore di un
angolo retto. Ora, l’angolo $%ˆ ( è
supplementare di (%ˆ ' e quindi è un angolo
ottuso. Se infatti la somma di due angoli è
uguale ad un angolo piatto e il primo dei
due è minore di un angolo retto, il secondo
)LJXUD3UREOHPDVYROWR
sarà necessariamente maggiore di un angolo
retto.
Scriviamo i punti della dimostrazione:
,SRWHVL: $%& triangolo, &%ˆ ' angolo esterno, &$ˆ ( = ($ˆ % ,
&%ˆ ( = (%ˆ '
&%ˆ ' < π (costruzione)
π
(%ˆ ' <
(1)
2
$%ˆ ( + (%ˆ ' = π (costruzione)
π
$%ˆ ( > (2, 3)
2
π
7HVL: $%ˆ ( > (4).
2
Costruiamo infine lo schema logico della dimostrazione.
9HULILFKHGLFRPSUHQVLRQHHFRQRVFHQ]D
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
)LJXUD 6FKHPD ORJLFR
GHOODGLPRVWUD]LRQH
Che cosa sono gli angoli esterni in un triangolo?
Enuncia ipotesi e tesi del teorema dell’angolo esterno.
Come si trova il punto medio di un segmento con riga e compasso?
Disegna la costruzione geometrica necessaria per la dimostrazione del teorema
dell’angolo esterno.
Cosa dice il secondo postulato?
Dove si applica il secondo postulato nella dimostrazione del teorema dell’angolo
esterno?
Enuncia il primo criterio di uguaglianza dei triangoli.
Cosa dice l’ottava nozione comune?
Dove si applica l’ottava nozione comune nella dimostrazione del teorema
dell’angolo esterno?
Dimostra il teorema dell’angolo esterno.
Enuncia e dimostra i tre corollari del teorema dell’angolo esterno.
Quando è che un triangolo si definisce DFXWDQJROR?
Quando è che un triangolo si definisce RWWXVDQJROR?
Quando è che un triangolo si definisce UHWWDQJROR?
Come vengono chiamati i lati in un triangolo rettangolo?
4
,OWHRUHPDGHOO¶DQJRORHVWHUQR
3UREOHPL
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Sulla base $% del triangolo isoscele $%& prendi un punto ' qualsiasi. Dimostra
che l’angolo &'ˆ % è maggiore dell’angolo &%ˆ $ .
È dato un triangolo isoscele $%& di base $%. Sul prolungamento di $% dalla
parte di $ prendi un punto ' qualsiasi. Dimostra che l’angolo &'ˆ $ è minore
dell’angolo &%ˆ $ .
Dimostra che i quattro triangoli in cui un quadrilatero convesso qualsiasi viene
diviso dalle sue diagonali non possono essere tutti acutangoli.
Dimostra – senza fare ricorso ai primi due corollari del teorema dell’angolo
esterno – che: dato un triangolo $%& in cui l’angolo in % è ottuso, si ha $ˆ < %ˆ .
È data un retta U, un punto $ non giacente su di essa e cinque punti %, &, ', ( ed
) posti in successione sulla retta. Dimostra che $%ˆ & < $(ˆ ) .
È dato un quadrilatero $%&'; sia ( un punto sul prolungamento di %& dalla
parte di % e ) un punto sul prolungamento di &' dalla parte di '. Dimostra che
l’angolo interno %&ˆ ' è minore della somma dei due angoli esterni
$%ˆ ( + $'ˆ ) .
È dato un pentagono $%&'(; sia ) un punto sul prolungamento di %& dalla
parte di %, * un punto sul prolungamento di &' dalla parte di ' e + un punto
sul prolungamento di '( dalla parte di (. Dimostra che l’angolo interno %&ˆ ' è
minore della somma dei tre angoli esterni $%ˆ ) + ('ˆ * + $(ˆ + . (3ULPD GL
VYROJHUHTXHVWRSUREOHPDqFRQVLJOLDELOHVYROJHUHLOSUHFHGHQWHSUREOHPD)
È dato un esagono $%&'(); sia * un punto sul prolungamento di %& dalla
parte di %, + un punto sul prolungamento di '& dalla parte di ', , un punto sul
prolungamento di '( dalla parte di (, - un punto sul prolungamento di () dalla
parte di ). Dimostra che l’angolo interno %&ˆ ' è minore della somma dei
quattro angoli esterni $%ˆ * + ('ˆ + + )(ˆ , + -)ˆ$ (3ULPD GL VYROJHUH TXHVWR
SUREOHPD q FRQVLJOLDELOH VYROJHUH L SUHFHGHQWL SUREOHPL H Ê SRVVLELOH
JHQHUDOL]]DUHLULVXOWDWLGHLSUREOHPLHDSROLJRQLFRQQODWL")
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