Esercizi preparatori

Esempio 51. In un club sportivo, 36 soci giocano a tennis, 28 a squash e 18 a badminton.
Inoltre, 22 soci giocano sia a tennis che a squash, 12 sia a tennis che a badminton,
9 sia a squash che a badminton e infine 4 giocano a tutti e tre gli sport. Quanti
membri del club giocano ad almeno uno di questi sport?
Soluzione Sia N il numero dei membri del club e introduciamo la probabilità assumendo che un socio del club sia scelto a caso. Se per ogni sottoinsieme C di soci del club,
definiamo P(C) la probabilità che il socio scelto a caso vi appartenga, allora
numero dei soci in C
Ora, se T denota l'insieme dei soci che giocano a tennis, S quello dei soci che giocano a squash e B quello dei soci che giocano a badminton, grazie alla
Proposizione 4.4 abbiamo che
P(TUSUS) = P(T) + P(S) + P(B) - P(TS) - P(TB) - P(SB) + P(TSB)
- 36 + 28 + 1 8 - 2 2 - 1 2 - 9 + 4 _ 43
N
~ N
Quindi possiamo concludere che 43 soci del club giocano ad almeno uno dei tre
sport.
•
II prossimo esempio di questo paragrafo non presenterà solo una risposta sorprendente, ma sarà anche di interesse teorico.
Esempio Sm. // problema degli accoppiamenti Supponiamo che N uomini a una
festa gettino il proprio cappello al centro della sala. I cappelli vengono inizialmente mescolati e poi ogni uomo ne sceglie uno a caso. Qual è la probabilità che
(a) nessuno degli uomini scelga il proprio cappello;
(b) esattamente k di essi scelgano il proprio cappello?
Soluzione (a) Calcoliamo da principio la probabilità che almeno un uomo scelga il proprio cappello. Denotiamo con Et, i = 1, 2, . . . , N l'evento che l'z-esimo
/ N
\= l
babilità che almeno un uomo abbia scelto il suo cappello, è data da
\o
/
sc
Ù £/) = Ì)
Se consideriamo l'esito di questo esperimento come un vettore di 7V numeri, dove
l'j-esimo elemento rappresenta il numero del cappello scelto dall'uomo /'-esimo, ci
sono N\i esiti. [L'esito (1,2,3,..., N) significa, per esempio, che ogni uomo
ha scelto il suo cappello.] Inoltre, E^E^... EJa, l'evento che ognuno degli n uomini z'j, i2, • • • , in scelga il proprio cappello, può accadere in ognuno degli (N ~ n)
(N - n - 1) • • • 3 • 2 • 1 = (N - «)! possibili modi; infatti, dei rimanenti N - n
uomini, il primo sceglie uno qualunque degli N - n cappelli, il secondo può scegliere
ognuno degli 7V - n — 1 cappelli rimasti e così via. Perciò, supponendo che tutti gli
NI esiti siano equiprobabili, vediamo che
(N - n)\e ci sono I
n)
I termini in
^
P
<'i«y ••<'•„
J'2
'"
N\(N ~ n)\ J_
(N - n)l ni N}
ni
e quindi
/ N
"N
1 1
PI I l£, = 1 - — + —
Vhi 7
2! 3!
1
+ (-1)A'+1—
V
;
7V!
Perciò la probabilità che nessuno degli uomini scelga il proprio cappello vale
che, per N grande, può essere approssimata da e : ~ 0.36788. In altre parole, per
N grande, la probabilità che nessun uomo scelga il proprio cappello è approssimativamente uguale a 0.37. (Quanti lettori sbagliandosi avrebbero pensato che tale
probabilità dovesse tendere a 1 per N —» co?).
(b) Per calcolare la probabilità che esattamente k degli N uomini scelgano il
proprio cappello, iniziamo considerando una particolare &-upla di uomini. Il
numero di modi in cui questi k uomini (e solo loro) possono scegliere i loro propri cappelli è uguale al numero di modi nei quali gli altri N - k uomini possono
scegliere tra i loro cappelli in modo tale che nessuno abbia il suo. Ma, siccome
2!
3!
(N - k)\ la probabilità che nessuno degli N
li, prenda il suo, segue che il numero di modi nei quali l'insieme di uomini che
hanno scelto uno dei loro cappelli corrisponde all'insieme dei k uomini fissati all'inizio vale
i
I
N
;
i
) possibili scelte di un gruppo di k uomini, segue che
ci sono
1
1
"'*
modi nei quali esattamente k degli uomini scelgano il proprio cappello. La probabilità desiderata è quindi pari a
N
(N - k)}
1
1
N\!
k\e per N grande può
sono di interesse per la teoria perché rappresentano i termini della distribuzione
di Poisson. Torneremo su questo nel prossimo Capitolo 4.2
•