Lezione 12 Sottogruppi finiti di ordine fissato. I Teoremi di Sylow.

Lezione 12
Prerequisiti: Lezioni 4, 7. Gruppi di permutazioni.
Riferimenti ai testi: [FdG] Sezione 4.14; [H] Sezione 2.7; [PC] Sezione 5.12
Sottogruppi finiti di ordine fissato. I Teoremi di Sylow.
Dal Teorema di Lagrange (4.2) sappiamo che, per ogni sottogruppo H di un gruppo finito G,
l’ordine di H divide l’ordine di G. In altri termini, condizione necessaria affinché un gruppo finito G
abbia un sottogruppo di un certo ordine n, è che n divida G . Questa condizione, in generale, non è
sufficiente. Esaminiamo la situazione in particolari classi di gruppi, e stabiliamo, in ogni caso, se
per ogni divisore n di G esiste un sottogruppo H di G tale che H = n. Iniziamo con un semplice
risultato, che è un richiamo dal corso di Algebra 1.
Proposizione 12.1 Dato il gruppo ciclico moltiplicativo G = g di ordine n, per ogni divisore
n
(positivo) m di n il sottogruppo
gm
ha ordine m.
k
nk
 n
nk
Dimostrazione: In effetti, si ha che  g m  = g m = 1G se e solo se n divide
, il che avviene se e
m
 
k
solo se
è un intero. Il più piccolo intero positivo k per cui ciò si verifica è m. Per definizione di
m
 n
periodo, si ha dunque che o  g m  = m.
 
Nota Per ogni divisore m di n esiste, in realtà, un unico sottogruppo di G avente ordine m. Chi sa
dimostrarlo?
Il teorema di Lagrange “si inverte” dunque per i gruppi ciclici. Passiamo ai gruppi di permutazioni.
Esempio 12.2 Per ogni divisore di S3 = 6 e di S4 = 24 troviamo un sottogruppo di S3 e S4
rispettivamente. Le tabelle seguenti riepilogano i sottogruppi che già abbiamo incontrato nei
capitoli precedenti. Indicheremo, di volta in volta, un solo sottogruppo per ogni classe di
isomorfismo.
S3
Sottogruppo
{id}
Divisore di 6
1
(12)
2
(123)
3
S3
6
S4
Sottogruppo
{id}
Divisore di 24
1
(12)
2
(123)
3
(1234) , {id,(12)(34), (13)(24), (14)(23)}
4
S3
C((12)(34))
A4
6
8
12
S4
24
Estendiamo ora la ricerca al gruppo S5 di ordine 120. Ci potrà essere utile determinare gli ordini dei
centralizzanti degli elementi di S5, contando gli elementi delle classi di coniugio.
Struttura ciclica
(1,1,1,1,1)
(1,1,1,2)
Elementi nella classe di coniugio
1
5
 
 2  = 10
 
(1,1,3)
 5
 3  2 = 20
 
5
 4  3! = 30
 
4! = 24
1  54
= 15
2  4   2 
(1,4)
(5)
(1,2,2)
(2,3)
Ordine dei centralizzanti
120
Esempio
C(id) = S5
12
C((12))
6
C((123))
4
C((1234))
5
C((12345))
8
C((12)(34))
6
C((12)(345))
5
2   = 20
2
Determiniamo esplicitamente questi sottogruppi:
C ((12)) = {id, (12), (34), (35), (45), (345), (354), (12)(34), (12)(35), (12)(45), (12)(345), (12)(354)}
C ((123)) = {id, (123), (132), (45), (123)(45), (132)(45)}
C ((1234) = {id, (1234), (13)(24), (1432)}
C ((12345)) = {id, (12345), (13524), (14253), (15432)}
C ((12)(34)) = {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23), (1324), (1423)}
C ((12)(345)) = {id, (12)(345), (12), (345), (354), (12)(354)}
Quest’ultimo gruppo è isomorfo a C((123)), Infatti è isomorfo a
C ((123)(45)) = {id, (123)(45), (132)(45), (123), (132), (45)} ,
che coincide con C((123)). Questo è un gruppo abeliano di ordine 6. S5 ha anche sottogruppi di
ordine 6 non abeliani, ad esempio S3. In generale, l’elenco sopra non esaurisce le classi di
isomorfismo dei sottogruppi di S5. C((1234)) è un sottogruppo di ordine 4 isomorfo a 2 × 2 ,
mentre (1234) è un sottogruppo di ordine 4 ciclico. L’elenco non comprende nessun sottogruppo
di ordine 10 o di ordine 60: però sappiamo che S5 ha un sottogruppo isomorfo a D5 (Esercizio 10.9),
che ha ordine 10, e sappiamo anche che il gruppo alterno A5 ha ordine 60.
Mancano ancora all’appello altri possibili ordini di sottogruppi: 15, 20, 24, 30, 40. Ciò può far
sorgere il sospetto che, in questo caso, il Teorema di Lagrange non si inverta: più avanti saremo in
grado di confermare il sospetto.
Per il momento, possiamo trovare in A4 un controesempio: possiamo infatti provare che A4, che ha
ordine 12, non ha alcun sottogruppo di ordine 6. Supponiamo per assurdo che esista un sottogruppo
H di A4 avente ordine 6, sia σ un suo elemento diverso dall’identità. Per una conseguenza del
Teorema di Lagrange (Corollario 4.3) o(σ ) è un divisore di H , quindi si ha uno dei seguenti casi:
o(σ ) = 6 : ciò è però impossibile, nessuna permutazione di S4 ha periodo 6;
o(σ ) = 2 : gli unici elementi di periodo 2 in A4 sono le permutazioni aventi struttura ciclica
(2,2). A meno di ridenominare gli elementi, possiamo supporre che (12)(34) ∈ H . In tal caso
nessun altro elemento dello stesso tipo può appartenere ad H: se, per fissare le idee,
(13)(24) ∈ H , allora (12)(34)(13)(24) = (14)(23) ∈ H , e quindi
-
{id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} ⊂ H ,
che contraddirebbe il Teorema di Lagrange, poiché 4 non divide 6. Pertanto H deve contenere
un elemento di ordine 3, possiamo supporre che sia (123). Allora
(132) ∈ H , (123)(12)(34) = (134) ∈ H , quindi (134)(132) = (14)(23) ∈ H ,
-
e si conclude, come prima, con una contraddizione.
o(σ ) = 3 : in tal caso, per quanto appena dimostrato, tutti gli elementi di H diversi dall’identità
hanno periodo 3. Se uno di questi è (123), ad H appartengono anche il suo inverso ed un altro 3ciclo, che possiamo supporre sia (134), insieme al suo inverso (143). Quindi
-
(123)(134) = (234) ∈ H , quindi (243) ∈ H ,
ma allora H ha più di 6 elementi.
Poiché ogni caso conduce ad una contraddizione, non esiste alcun sottogruppo di ordine 6 in A4.
Riassumendo: se n divide l’ordine di un gruppo finito G:
- G non ha necessariamente un elemento avente periodo n (nessun elemento di S4 ha periodo 6);
- G non ha necessariamente un sottogruppo di ordine n (nessun sottogruppo di A4 ha ordine 6).
Il seguente risultato stabilisce un criterio sufficiente per l’esistenza, in un gruppo finito, di elementi
aventi un certo periodo.
Teorema 12.3 (Teorema di Cauchy) Dato un gruppo finito G, se p è un numero primo tale che
p | G , allora G ha un elemento di periodo p.
Dimostrazione: Sia G = np. Procediamo per induzione su n ≥ 1. Se n = 1, il gruppo G è ciclico di
ordine p (v. Corollario 4.8), e la tesi è vera. Sia ora n > 1 , e supponiamo la tesi verificata per i valori
di n più piccoli.
Supponiamo dapprima che G sia abeliano. Se G è ciclico, la tesi segue dalla Proposizione 12.1.
Supponiamo allora che G non sia ciclico. Sia x ∈ G , x ≠ id. Allora 1 < o( x ) < G . Se p | o( x ) ,
allora, per l’ipotesi induttiva, il sottogruppo ciclico x ha un elemento di periodo p, e la tesi segue
G
= G / x < G . Per
o( x )
l’ipotesi induttiva, il gruppo quoziente G / x ha un elemento x y di periodo p. Si ha:
per G . Se, invece, p /| o( x ), allora, per il Teorema di Lagrange (4.2), p |
( x y )o ( y ) = x ,
dunque p = o( x y ) | o( y ). Poiché G non è ciclico, y è un sottogruppo proprio, dunque la tesi
segue per l’ipotesi induttiva.
Supponiamo ora che G non sia abeliano. Allora Z (G ) ≠ G. Se p | Z (G ) , la tesi segue per l’ipotesi
induttiva. Altrimenti, nell’equazione delle classi
s
G = Z (G ) + ∑
i =1
G
C ( xi )
il primo membro è multiplo di p, mentre non lo è il primo addendo del secondo membro. Segue
G
che non lo è nemmeno la restante somma, e quindi non lo è uno dei suoi termini
. Ciò
C ( xi )
significa che p | C ( xi ) . D’altra parte C ( xi ) ≠ G , dunque la tesi segue, anche in questo caso, per
l’ipotesi induttiva.
Esempio 12.4 Il gruppo simmetrico Sn ha cicli di lunghezza p per ogni primo p che divide n!.
Infatti, ogni primo siffatto è minore o uguale a n.
Con considerazioni analoghe a quelle effettuate nella precedente dimostrazione si può provare il
seguente, fondamentale enunciato.
Teorema 12.5 (Teoremi di Sylow) Sia G un gruppo finito, e sia p un numero primo che divide
G . Sia pn la massima potenza di p che divide G . Allora valgono le seguenti proprietà.
a) G ha un sottogruppo di ordine pi per ogni i=1, ..., n.
b) Ogni sottogruppo di ordine pi è contenuto in un sottogruppo di ordine pn.
c) I sottogruppi di ordine pn sono a due a due coniugati.
d) Il numero di sottogruppi di ordine pn è congruo a 1 modulo p, ed è un divisore di G .
Dimostrazione: Vedi i testi consigliati, oppure il sito internet:
http://www.pitt.edu/~gmc/ch1/node6.html
Definizione 12.6 Rispetto alle notazioni del precedente enunciato, un sottogruppo di ordine pi si
dice p-gruppo. Un sottogruppo di ordine pn si dice p-Sylow.
Esercizio 12.7 Determiniamo i p-sottogruppi ed i p-Sylow di S4. I valori di p da considerare sono
p = 2 e p = 3. I 2-Sylow hanno 8 elementi, i 3-Sylow hanno 3 elementi.
Sottogruppi di ordine 2:
(12) , (13) , (14) , (23) , (24) , (34)
Sottogruppi di ordine 4:
(1234) = {id, (1234), (13)(24), (1432)}

(1243) = {id, (1243), (14)(23), (1342)}  isomorfi

(1324) = {id, (1324), (12)(34), (1423)}
{id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}
Sottogruppi di ordine 8 (2-Sylow):
C ((12)(34)) = {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23), (12), (34), (1324), (1423)}
C ((13)(24)) = {id, (13)(24), (12)(34), (14)(23), (13), (24), (1234), (1432)} = (23)C ((12)(34))(23)
C ((14)(23)) = {id, (14)(23), (13)(24), (12)(34), (14), (23), (1342), (1243)} = (24)C ((12)(34))(24)
Abbiamo verificato che i 2-Sylow sono a due a due coniugati (e quindi isomorfi). È facile rendersi
conto che ogni gruppo di ordine 2 o 4 è contenuto in un sottogruppo di ordine 8.
Inoltre, il numero di 2-Sylow è congruo a 1 modulo 2: è infatti uguale a 3.
Sottogruppi di ordine 3 (3-Sylow):
(123) ,
(124) = (34) (123) (34)
(134) = (24) (123) (24)
(234) = (14) (123) (14)
Il numero dei 3-Sylow è 4, congruo a 1 modulo 3.
I prossimi esercizi sono applicazioni dei teoremi di Cauchy e di Sylow.
Esercizio 12.8 Sia n il prodotto di numeri primi a due a due distinti. Provare che allora ogni gruppo
abeliano di ordine n è ciclico.
Svolgimento: Sia G un gruppo di ordine n, e sia n = p1 p2 ps la decomposizione di n in fattori
primi. Procediamo per induzione su s. Se s=1, per il Corollario 4.8 il gruppo G è ciclico. Sia allora
s>1, supponiamo la tesi vera per i valori di s più piccoli. Per il teorema di Cauchy, esiste in G un x
elemento di ordine ps, Poiché, per il Teorema di Lagrange (4.2), G / x = p1 ps −1 , l’ipotesi
induttiva si applica al gruppo quoziente G / x , che è abeliano, e pertanto è ciclico. Sia x y un
generatore di G / x . Allora o( y ) è un multiplo di o( x y ) = p1 ps −1 (oltre ad essere un divisore
di G ). Se o( y ) = p1 ps , si ha che G = y , e la tesi è provata. Altrimenti o( y ) = p1 ps −1 , e
dunque x ∩ y = {1G } , e pertanto,
k
1G = ( xy ) = x k y k ⇒ x k = y − k ⇒ x k ∈ x ∩ y ⇒ x k = y k = 1 ⇒ p1 ps −1 ps | k
Dunque il sottogruppo xy di G ha ordine p1 ps ps −1 , cioè coincide con G.
Osservazione 12.9 Dal precedente esercizio segue, in particolare, che ogni gruppo abeliano avente
ordine del tipo pq, con p e q primi distinti, è ciclico. Ciò vale, ad esempio, per il gruppo somma
diretta p × q . Ma ciò già lo sapevamo: il Teorema Cinese dei Resti stabilisce, infatti, che
p × q ≅ pq .
Esercizio 12.10 Provare che un gruppo di ordine 15 è ciclico.
Svolgimento: Sia G un gruppo di ordine 15. Sia k il numero dei suoi 5-Sylow, che sono i suoi
sottogruppi di ordine 5. L’intersezione di due 5-Sylow distinti è {1G } : quindi il numero di elementi
di periodo 5 è 4k. D’altra parte, per il Teorema di Sylow, d), k ≡ 1 (mod 5) , e k divide 15. Segue
che k=1, e gli elementi di periodo 5 sono 4.
Analogamente, si trova che il numero degli elementi di periodo 3 è uguale a 2. Contando insieme
l’identità, e gli elementi di periodo 5 e 3, non si esauriscono tutti gli elementi del gruppo. Per il
Teorema di Lagrange (4.2), i restanti elementi hanno necessariamente periodo 15, e quindi ognuno
di essi è un generatore di G.
G ha un unico 3-Sylow e un unico 5-Sylow: d’altra parte, sappiamo che in un gruppo ciclico esiste
un solo sottogruppo avente un ordine fissato. (v. Nota dopo la Proposizione 12.1)
Nota In un gruppo ciclico di ordine 15 il numero di generatori è pari a ϕ (15) = 8 . I conti tornano:
1 + 4 + 2 + 8 = 15 .
Osservazione 12.11 Dall’Esercizio 12.10 possiamo concludere che S5 non ha sottogruppi di ordine
15. Infatti, S5 non ha elementi di periodo 15.