EDEXCEL PURE MATHEMATICS P6 (6676) – JUNE 2004 MARK

EDEXCEL PURE MATHEMATICS P6 (6676) – JUNE 2004
Question
number
MARK SCHEME
Scheme
1 2
æ dy ö
ç ÷ = x0 − y0 = 1 − 0.4
10
è dx ø 0
1.
Marks
(= 0.6)
(Possibly implicit)
B1
æ dy ö
y1 = 0.1ç ÷ + y0 = (0.1 × 0.6) + 2 = 2.06
è dx ø 0
M1 A1
1 2
1
æ dy ö
2
ç ÷ = x1 − y1 = 1.1 − (2.06)
10
10
è dx ø1
A1ft
(= 0.67564)
æ dy ö
y2 = 0.1ç ÷ + y1 = 0.067564 + 2.06 = 2.13
è dx ø1
(2 d.p.)
M1 A1
6
2.
(a)
f ′( x) = sec 2 x
f ′′( x) = 2 sec x(sec x tan x)
f ′′′( x) = 2 sec 2 x(sec2 x) + 2 tan x(2 sec 2 x tan x)
(or equiv.)
M1 A1
(or equiv.)
A1
(3)
A1(cso)
(3)
(2 sec 2 x + 6 sec 2 x tan 2 x)
(2 sec 4 x + 4 sec 2 x tan 2 x) , (6 sec 4 x − 4 sec 2 x) , (2 + 8 tan 2 x + 6 tan 4 x)
(b)
tan
π
π
= 1 or sec = 2
4
4
(1, 2, 4, 16)
2
B1
3
π ö æπ ö 1æ
π ö æπ ö 1æ
π ö æπ ö
æπ ö æ
tan x = f ç ÷ + ç x − ÷f ′ç ÷ + ç x − ÷ f ′′ç ÷ + ç x − ÷ f ′′′ç ÷
4 ø è 4 ø 2è
4 ø è 4 ø 6è
4ø è4ø
è4ø è
2
πö æ
π ö 8æ
πö
æ
= 1 + 2ç x − ÷ + 2ç x − ÷ + ç x − ÷
4ø è
4 ø 3è
4ø
è
(c)
x=
3π
æ 3π π ö
, so use ç
− ÷
10
è 10 4 ø
M1
3
(Allow equiv. fractions)
æ π ö
ç= ÷
è 20 ø
π æ
π2 ö æ8 π3 ö
π π2
π3
3π
÷
ç
÷
ç
tan
= 1+ +
+
+ ×
≈ 1+ + ç2×
10
10 è
400 ÷ø çè 3 8000 ÷ø
10 200 3000
M1
(*)
A1(cso)
(2)
8
1
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Question
number
3.
MARK SCHEME
Scheme
(a)
æ − 4ö
ç ÷
AB = ç 3 ÷
ç − 4÷
è ø
Marks
æ 2 ö
ç ÷
AC = ç − 2 ÷
ç 3 ÷
è ø
M1
æ1ö
ç ÷
AB × AC = − 4 3 − 4 = ç 4 ÷ A1: One value correct, A1: All correct
ç 2÷
2 −2 3
è ø
M1 A1 A1
(4)
(b)
æ1ö æ 3 ö æ1ö
ç ÷ ç ÷ ç ÷
r .ç 4 ÷ = ç − 1÷ . ç 4 ÷ = 3 − 4 + 8
ç 2÷ ç 4 ÷ ç 2÷
è ø è ø è ø
M1 A1ft
(2)
(c)
AD . AB × AC
i
æ2ö
æ − 2ö
ç ÷
ç ÷
ç 3 ÷ or ç − 3 ÷
ç −1÷
ç 1 ÷
è ø
è ø
j
k
æ1ö
ç ÷
r .ç 4 ÷ = 7
ç 2÷
è ø
(Attempt suitable triple scalar product)
M1
(if using AD)
B1
æ 2 ö æ1ö
1ç ÷ ç ÷ 1
Volume = ç 3 ÷ . ç 4 ÷ = (2 + 12 − 2) = 2
6ç ÷ ç ÷ 6
è − 1ø è 2 ø
M1 A1(cso) (4)
10
2
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Question
number
4.
MARK SCHEME
Scheme
(a)
(
Marks
)
d x
e cos x = e x cos x − e x sin x
dx
n = 1:
(Use of product rule)
1
πö
π
π
æ
(cos x − sin x )
cosç x + ÷ = cos x cos − sin x sin =
4ø
4
4
2
è
1
πö
d x
æ
e cos x = 2 2 e x cosç x + ÷
dx
4ø
è
(
)
True for n = 1
M1
M1
(c.s.o. + comment) A1
Suppose true for n = k.
ù
é d k +1 x
ê k +1 e cos x ú
û
ë dx
(
)
=
d
dx
æ 12 k x
kπ ö ö
ç 2 e cosæç x +
÷ ÷÷
ç
4
è
øø
è
M1
é
kπ ö x æ
kπ öù
æ
= 2 êe x cosç x +
÷ − e sin ç x +
÷
4 ø
4 øúû
è
è
ë
1
k
2
1
k
2
=2 e
(b)
A1
( k +1) x
kπ π ö
πö
æ
æ
+ ÷ = 22
2 cosç x +
e cosç x + (k + 1) ÷
4 4ø
4ø
è
è
1
x
M1 A1
∴True for n = k + 1, so true (by induction) for all n. (≥ 1)
A1(cso)
π ö 1æ
πö
1æ
3π ö
1
æ
1 + ç 2 cos ÷ x + ç 2 cos ÷ x 2 + ç 2 2 cos ÷ x 3 + (4 cos π )x 4
4ø
2è
2ø
6è
4 ø
24
è
M1
(1)
(0)
1
1
e x cos x = 1 + x − x 3 − x 4
3
6
(–2)
(or equiv. fractions)
(8)
(–4)
A2(1,0)
(3)
11
3
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Question
number
MARK SCHEME
Scheme
Marks
æ 1 4 − 1öæ 1 3 a ö æ k 0 0 ö
ç
֍
÷ ç
÷
MM = ç 3 0 p ÷ç 4 0 b ÷ = ç 0 k 0 ÷
ç a b c ÷ç − 1 p c ÷ ç 0 0 k ÷
è
øè
ø è
ø
T
5.
(a)
æ 3ö
ç ÷
(1 4 − 1)ç 0 ÷ = 0 Þ p = 3
ç p÷
è ø
(b)
æ1ö
ç ÷
(1 4 − 1)ç 4 ÷ = k Þ k = 18
ç − 1÷
è ø
(c)
2 equations:
(d)
a + 4b – c = 0
(ft on their p, if used)
3a + 3c = 0
M1 A1
(2)
M1 A1ft
(2)
M1
a and b in terms of c (or equiv.): a = – c
1
b = 2 c (ft on their p)
M1 A1ft
æaö æaö
ç ÷ç ÷
Using ç b ÷ . ç b ÷ = 18 (a 2 + b 2 + c 2 = 18) :
çc÷ çc÷
è øè ø
a = 2√2, b = –√2, c = –2√2
M1 A2(1,0) (6)
⏐det M⏐= ⏐(3√2) – 4(–12√2) –1(–3√2)⏐ = 54√2
M1 A1(cso) (2)
12
Alternatives:
(c)
(d)
æaö
ç ÷
Require ç b ÷ parallel to
çc÷
è ø
æ 12 ö
æ 1 ö æ 3ö
ç
÷
ç ÷ ç ÷
ç 4 ÷ × ç0÷ , = ç − 6 ÷
ç − 12 ÷
ç − 1÷ ç 3 ÷
è
ø
è ø è ø
M1, M1 A1
(Then as in main scheme, scaling to give a, b and c.)
M1 A2(1,0) (6)
det (MM T ) = 183 , det M = det M T , ⏐det M⏐= 18√18 (=54√2)
M1 A1
4
(2)
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Question
number
6.
MARK SCHEME
Scheme
(a)
(3 − λ ) 2 − 1 = 0
det A = 0
λ2 − 6λ + 8 = 0
(b)
Marks
M1
(λ − 2)(λ − 4) = 0
λ = 2, λ = 4
A1
æ − 1ö
Eigenvector çç ÷÷
è1ø
λ = 2:
æ1 1öæ x ö
çç
÷÷çç ÷÷ = 0,
è1 1øè y ø
λ = 4:
æ − 1 1 öæ x ö
æ1ö
çç
÷÷çç ÷÷ = 0, − x + y = 0, Eigenvector çç ÷÷
è 1 − 1øè y ø
è1ø
æ1 − 1ö
÷÷
P = k çç
è1 1 ø
x + y = 0,
M: eigenvectors as columns, k =
(or equiv.)
M1 A1
(or equiv.)
1
2
A1
(5)
M1, A1
ì −1
1 æ 1 1ö ü
T
ç
÷ý
íP = P =
2 çè − 1 1÷ø þ
î
D = P −1 AP =
(c)
1 æ 1 1ö æ 3 1 ö 1 æ1 − 1ö æ 4 0 ö
çç
÷÷, çç
÷÷
çç
÷÷ = çç
÷÷
2 è − 1 1ø è 1 3 ø 2 è1 1 ø è 0 2 ø
π
clockwise (about (0, 0)).
4
2. Stretch, × 4 parallel to x-axis, × 2 parallel to y-axis.
π
3. Rotation of
anticlockwise (about (0, 0)).
4
1. and 3. both rotation, or both reflection.
Correct angles, opposite sense or correct lines (reflection).
Stretch.
All correct, including order.
M1, M1 A1 (5)
1. Rotation of
5
M1
A1
B1
A1
(4)
14
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Question
number
7.
MARK SCHEME
Scheme
(a)
arg z =
w=
π
4
z = λ + λi
Þ
Marks
(or putting x and y equal at some stage)
(λ + 1) + λ i
, and attempt modulus of numerator or denominator.
λ + (λ + 1) i
B1
M1
(Could still be in terms of x and y)
(λ + 1) + λ i = λ + (λ + 1) i = (λ + 1) 2 + λ2 ,
(b)
w=
z +1
z +i
z =1
zw + w i = z + 1
Þ
Þ
z=
Þ
1 − wi = w − 1
For w = a + i b,
1 − wi
w −1
A1, A1cso
(4)
M1
M1 A1
(1 + b) − a i = (a − 1) + i b
M1
(1 + b) 2 + a 2 = (a − 1) 2 + b 2
b=–a
∴ w = 1 (*)
M1
Image is (line) y = – x
A1
(6)
B1 B1
(2)
(c)
(d)
z=i
z=i
marked (P) on z-plane sketch.
Þ
w=
B1
1+ i i −1 1 1
= − i
=
2i
−2 2 2
marked (Q) on w-plane sketch. B1
(2)
14
6