sistemi a dati campionati

CONTROLLI DIGITALI
Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica
SISTEMI A DATI CAMPIONATI
Ing. Cristian Secchi
Tel. 0522 522235
e-mail: [email protected]
http://www.dismi.unimo.it/Members/csecchi
Sistemi a dati campionati
•
Analogamente a quanto fatto nel corso di Controlli Automatici per i
sistemi continui, sarebbe possibile approfondire ulteriormente l’analisi
dei sistemi discreti usando la Z trasformata
•
Nell’ambito dell’automazione,
dell’a toma ione è necessario
necessa io considerare
conside a e sistemi “misti”
dove l’algoritmo di controllo è un sistema a tempo discreto che opera
su segnali discreti mentre il plant è un sistema a tempo continuo
e
A/
D
Calcolatore
digitale
D/
A
Attuatore
Impianto
Trasduttore
Cristian Secchi
Cristian Secchi
Controlli Digitali
CD -- 2
Pag. 1
Sistemi a dati campionati
•
•
Sono necessari campionatori e ricostruttori, dispositivi che trasformino
segnali tempo continuo in segnali a tempo discreto e viceversa.
Il ruolo dei campionatori e dei ricostruttori è fondamentale per
capire la risposta di un sistema di controllo digitale
I sistemi dove compaiono sia segnali a tempo discreto che segnali a
tempo continuo sono detti sistemi a dati campionati
Cristian Secchi
Controlli Digitali
CD -- 3
Campionatore impulsivo
•
Viene detto anche convertitore A/D
•
Converte un segnale tempo continuo in una sequenza di campioni
prelevati agli istant 0, T, 2T, 3T …, dove T è un parametro del
campionato e ed è detto periodo
campionatore
pe iodo di campionamento
A/ D
•
Nell’ambito dei controlli digitali, si suppone che il campione sia preso
esattamente all’istante di campionamento e che il campionamento sia
esattamente sempre uguale e di periodo T. In pratica questo non è
sempre verificato, ma le deviazioni dal comportamento ideale non
introducono effetti significativi al fine del progetto del controllore.
Cristian Secchi
Cristian Secchi
Controlli Digitali
CD -- 4
Pag. 2
Campionatore impulsivo
Un modello matematico del campionatore può si ottiene facendo ricorso
all’impulso di Dirac. Per questo si parla anche di campionatore impulsivo. Si
consideri un treno di impulsi di Dirac (Dirac comb).
∞
δ T (t ) = ∑ δ (t − kT )
k =0
E’ possibile rappresentare la sequenza campionata mediante il segnale un
treno di impulsi modulato dal segnale da campionare:
x * (t ) = x(t )δ T (t )
• Il segnale x‫(כ‬t) rappresenta quindi una sequenza di impulsi di Dirac
modulati in ampiezza dai campioni x(kT).
• L’operazione di moltiplicazione di un segnale x(t) per una sequenza di
impulsi δT (t) prende il nome di campionamento impulsivo del segnale x(t).
Cristian Secchi
CD -- 5
Controlli Digitali
Campionatore impulsivo
Il campionatore impulsivo verrà indicato mediante i seguenti simboli:
δT(t)
x(t)
x*(t)
x(t)
X(s)
X*(s)
X
(s)
X(s)
x*(t)
δT(t)
X*(s)
Quando il periodo di campionamento è chiaro dal contesto, si
ometterà di indicare δT(t).
Il campionatore impulsivo è un modello ideale del campionatore reale
(convertitore A/D) considerato adeguato alle esigenze di analisi e
progetto dei controlli digitali.
Grazie al treno di impulsi di Dirac è possibile dare una rappresentazione
tempo continua di una sequenza di campioni!
Cristian Secchi
Cristian Secchi
Controlli Digitali
CD -- 6
Pag. 3
Campionatore impulsivo
x*(t)
x(t)
δT(t)
t
Cristian Secchi
t
CD -- 7
Controlli Digitali
Ricostruttore di Ordine Zero (ZOH)
•
Il ricostruttore di ordine zero (Zero Order Hold – ZOH) è il convertitore
D/A più usato nell’ambito dei controlli digitali.
•
Produce un segnale tempo continuo mantenendo in uscita per
kT≤t<(k+1)T il campione ricevuto
ice to in ingresso
ing esso all’istante t=kT.
t kT
xr(t)
ZOH
t
∞
xr (t ) = ∑ x(kT )(h(t − kT ) − h(t − (k + 1)T )
k =0
⎧0 t < t0
h(t − t0 ) = ⎨
⎩1 t ≥ t0
Cristian Secchi
Cristian Secchi
Controlli Digitali
gradino
all’istante t0
CD -- 8
Pag. 4
Ricostruttore di Ordine Zero (ZOH)
Il ricostruttore lega una serie di campioni, che può essere descritto
come un treno di impulsi di Dirac modulati, a un segnale tempo
continuo xr(t). E’ pertanto un sistema dinamico. Qual è la funzione di
trasferimento del ricostruttore?
∞
∞
k =0
k =0
L[ xr (t )] = X r ( s) = L[∑ x(kT )(h(t − KT ) − h(t − (k + 1)T )) = ∑ x(kT )
∞
∞
k =0
k =0
e − kTs − e − ( k +1)Ts 1 − e −Ts
=
s
s
∞
∑ x(kT )e
− kTs
k =0
L[ x * (t )] = X * ( s ) = L[∑ x( kT )δ (t − kT )] =∑ x( kT )e − kTs
X r (s) =
1 − e −Ts
X * (s)
s
H 0 ( s) =
X r ( s ) 1 − e −Ts
=
X * (s)
s
Il campionatore è un sistema dinamico e la sua funzione di trasferimento
è data da H0(s)
Cristian Secchi
Controlli Digitali
CD -- 9
Campionamento e ricostruzione
≠
T 1
T=1
Cristian Secchi
Cristian Secchi
ZOH
Controlli Digitali
CD -- 10
Pag. 5
Spettro del segnale campionato
•
Dalla sequenza di campioni non siamo riusciti a riottenere il segnale
tempo continuo originale tramite il ricostruttore. Se aumentiamo il
periodo di campionamento, la situazione peggiora ulteriormente.
T=1
T=2
T=3
T=6.28
•
Questa perdita di informazioni è dovuta al campionamento? Oppure
non abbiamo scelto un ricostruttore sufficientemente sofisticato?
•
Quale periodo di campionamento bisogna usare per riuscire a
ricostruire il segnale originale dai campioni? Quale ricostruttore
bisogna usare per effettuare la ricostruzione?
Cristian Secchi
Controlli Digitali
CD -- 11
Spettro del segnale campionato
Un segnale x(t), nullo per t≤0, può essere rappresentato dal suo spettro
X(ω) che può essere ottenuto dalla sua trasformata di Laplace.
S (ω ) = X ( s )|s = jω
L
x(t )
L-1
X (s )
s=jω
ω=s/j=-js
S (ω )
S(ω) è una funzione di variabile reale a immagine complessa e si può
visualizzare usando i diagrammi di Bode. Nel caso x(t) sia la risposta
impulsiva di un sistema lineare e tempo invariante, il suo spettro è noto
anche come funzione di risposta armonica del sistema.
|S(ω)|
x(t)
log ω
t
Cristian Secchi
Cristian Secchi
Controlli Digitali
CD -- 12
Pag. 6
Spettro del segnale campionato
Per capire qual è il legame tra il segnale tempo continuo x(t) e il segnale
x*(t) ottenuto campionando x(t) mediante un campionatore impulsivo, è
possibile analizzare la relazione tra lo spettro del segnale x(t) e quello del
segnale x*(t).
Supponendo che il segnale x(t) sia nullo per t<0, il segnale campionato
x*(t) può essere espresso come il prodotto di x(t) per la sequenza δT(t) di
impulsi di Dirac estesa a tutto l’asse del tempo, ossia considerando come
estremo inferiore della sommatoria n =−∞
∞
x * (t ) = x(t )δ T (t ) = x(t ) ∑ δ (t − kT )
n = −∞
Cristian Secchi
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CD -- 13
Spettro del segnale campionato
E’ un segnale periodico (di
periodo T) e, pertanto
espandibile in serie di
Fourier
δT(t)
δ T (t ) =
∞
∑c e
n = −∞
jnωst
n
∞
1
1
δ (t − nT )e jnωst dt =
∑
∫
T −T / 2 n = −∞
T
T /2
cn =
ωs =
2π
T
Pulsazione di
campionamento
da cui segue che:
x * (t ) = x(t )
Cristian Secchi
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1 ∞ jnωst 1 ∞
x(t )e jnωs t
∑ e = T n∑
T n = −∞
= −∞
Controlli Digitali
CD -- 14
Pag. 7
Spettro del segnale campionato
Trasformando secondo Laplace il segnale campionato si ottiene:
X * ( s ) = L[ x * (t )] =
1 ∞
∑ L[ x(t )e jnωst ]
T n = −∞
Teorema della traslazione in s
X * (s) =
L[ f (t )e ] = F ( s − a )
at
Lo spettro del segnale campionato è
quindi dato da:
X * ( jω ) =
A meno della costante
moltiplicativa 1/T , lo spettro del
segnale campionato si ottiene
dalla somma degli infiniti termini
X(jω−jnωs), ciascuno dei quali è
ottenuto da X(jω) mediante
traslazione di jnωs nel campo
complesso.
1 ∞
∑ X ( jω − jnωs )
T n = −∞
Cristian Secchi
1 ∞
∑ X (s − jnωs )
T n = −∞
CD -- 15
Controlli Digitali
Spettro del segnale campionato
Per comprendere bene il processo di campionamento da un punto di vista
frequenziale, prendiamo ora in considerazione un segnale x(t) avente uno
spettro limitato in frequenza, o come spesso si dice “a banda limitata”.
|X(jω)|
1
-ωc
0
ωc
ω
Il segnale x(t) non contiene nessuna componente frequenziale al di sopra
della pulsazione ωc.
Cristian Secchi
Cristian Secchi
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CD -- 16
Pag. 8
Spettro del segnale campionato
X * ( jω ) =
Se ωs> 2ωc
1 ∞
∑ X ( jω − jnωs )
T n = −∞
|X*(j )|
|X*(jω)|
1
T
− 2ω s
−
3ω s
2
− ωs
−
ωs
2
ωc
0
ωs
2
ωs
3ω s
2
2ω s
ω
Nello spettro di |X*(jω)|, la componente |X(j ω)|/T è detta componente
primaria, mentre tutte le componenti |X(j ω±jn ωs|/T sono dette componenti
complementari. La condizione ωs>2ωc mantiene distinta la componente
primaria da quelle complementari per cui, mediante filtraggio, è possibile
ricostruire completamente il segnale x(t) a partire da quello campionato x*(t).
Cristian Secchi
CD -- 17
Controlli Digitali
Spettro del segnale campionato
|X*(jω)|
Se ωs> 2ωc
1
T
− 2ω s
−ωs
0
ωs
ω
2ω s
La componente primaria è parzialmente sovrapposta alle componenti
complementari contigue per cui mediante filtraggio NON è più possibile
ricavare il segnale originario a partire dal segnale campionato.
Teorema di Shannon
Sia ωs=2π/T la pulsazione di campionamento (o pulsazione di Nyquist),
dove T è il periodo di campionamento, e sia ωc la più alta componente
spettrale del segnale tempo-continuo x(t). Il segnale x(t) è completamente
ricostruibile a partire dal segnale campionato x‫(כ‬t) se la pulsazione di
campionamento è maggiore del doppio della pulsazione ωc: ωs >2ωc
Cristian Secchi
Cristian Secchi
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CD -- 18
Pag. 9
Teorema di Shannon
•
Il teorema di Shannon dà un’indicazione su quale valore scegliere per
la frequenza di campionamento al fine di riuscire a ricostruire il
segnale tempo continuo a partire dai campioni
•
Se la condizione del teorema viene rispettata, non è possibile che il
segnale tempo continuo abbia un comportamento dinamico tra due
punti (intersample dynamics), che non sarebbe possibile ricostruire
utilizzando solamente i campioni
•
Il teorema di Shannon garantisce che non si perdano informazioni a
causa del campionamento. In altre parole, i campioni e il segnale
tempo
p continuo hanno lo stesso contenuto informativo.
•
Il fenomeno per cui alcune componenti secondarie si sovrappongono
alla componente primaria si chiama aliasing. Questo fenomeno
comporta la generazione di nuove componenti spettrali alla stessa
frequenza della componente primaria e impediscono di ricostruire il
segnale originale
Cristian Secchi
Controlli Digitali
CD -- 19
Aliasing
In realtà, un segnale reale ha componenti spettrali su tutte le pulsazioni.
Il segnale considerato nella dimostrazione del teorema di Shannon è
ideale.
Tuttavia,
T
tt i ttutti
tti i segnalili possiedono
i d
una pulsazione
l i
all di sopra della
d ll quale
l il
contributo frequenziale cala fino a diventare irrilevante.
Tuttavia, tutti i segnali possiedono una pulsazione al di sopra della quale il
contributo frequenziale cala fino a diventare irrilevante. Tale pulsazione
può essere considerata come ωc e per i segnali passa basso è la
pulsazione di taglio.
Tuttavia
T
tt i per minimizzare
i i i
l’effetto
l’ ff tt di aliasing
li i che
h può
ò essere introdotto
i t d tt
dalle componenti ad alta frequenza di un segnale, è consigliabile
scegliere pulsazioni di campionamento maggiori di quelle strettamente
richieste dal teorema di Shannon. Nei casi pratici, è consigliabile
scegliere ωs≥ 8÷10 ωc
Cristian Secchi
Cristian Secchi
Controlli Digitali
CD -- 20
Pag. 10
Esempio
Si consideri il problema di campionare la risposta impulsiva g(t) di un
sistema tempo continuo descritto dalla funzione di trasferimento
G(s) =
25
s + 6s + 25
p1, 2 = 3 ± 4 j
2
ωn = 5
Lo spettro della risposta impulsiva è dato da G(jω)
Lo spettro è diverso da
0 per ogni pulsazione
Cristian Secchi
Controlli Digitali
CD -- 21
Esempio
ωs
2
ωs
2
= 10ωn
T=
= 5ωn
T=
π
50
π
25
Avvicinando la pulsazione di campionamento ωs a ωn le componenti
spettrali complementari tendono ad avvicinarsi e a sovrapporsi sempre
più. In questo caso, mediante filtraggio, non è più possibile ricostruire
il segnale x(t) a partire da x‫(כ‬t).
Cristian Secchi
Cristian Secchi
Controlli Digitali
CD -- 22
Pag. 11
Filtraggio Ideale
•
Se sono soddisfatte le condizioni del teorema di Shannon, è possibile
ricavare lo spettro del segnale originale da quello del segnale
campionato
|X*(j )|
|X*(jω)|
− 2ω s
−
3ω s
2
− ωs
−
ωs
ωc
0
2
ωs
2
⎧
⎪T
X ( j ω ) = G I ( j ω ) X ( jω ) G I ( jω ) = ⎨
⎪⎩ 0
*
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3ω s
2
ωs
−
ωs
ω
2ω s
≤ω ≤
ωs
2
2
altrove
CD -- 23
Filtraggio Ideale
Il filtro ideale GI(jω) non è fisicamente realizzabile in quanto non
rappresenta un sistema causale. Questo si può vedere calcolando la
risposta all’impulso gI(t) del filtro. Avendo a disposizione l’andamento
spettrale GI(jω), per calcolare gI(t) utilizziamo la trasformata inversa di
Fourier:
g I (t ) =
1
2π
∫
∞
−∞
GI ( jω )e jωt dω =
1
2π
ωs
∫ ω Te
2
−
s
jωt
dω =
2
T
[e jωs t / 2 − e − jωst / 2 ] =
2πjt
ωst
=
T
ω t sin 2
ωt
sin s =
= sinc( s )
ωs t
πt
2
2
2
Cristian Secchi
Cristian Secchi
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CD -- 24
Pag. 12
Filtraggio Ideale
gI(t) con T=2
La risposta all’impulso gI(t) è diversa da zero anche per t<0. Ad un impulso
di Dirac applicato all’istante t=0, il filtro GI(jω) risponde con un segnale che
è non nullo anche per t<0. Il sistema GI(jω) risulta dunque anticipativo e
quindi non fisicamente realizzabile.
Cristian Secchi
CD -- 25
Controlli Digitali
Filtraggio Ideale
In che cosa si traduce la non causalità del filtro ideale nell’ambito della
ricostruzione del segnale?
∞
x(t ) =
X ( jω ) = G I ( jω ) X ( jω )
*
*
I
(t − τ )dτ =
−∞
=
∞
∑
k = −∞
x(t ) =
∫ x (τ ) g
∞
∞
k = −∞
−∞
∑ x(kT ) ∫ δ (τ − kT )
∞
x(kT ) ∫ δ (τ − kT )
−∞
sin(ω s (t − τ ) / 2)
dτ
ω s (t − τ ) / 2
sin(ω s (t − kT ) / 2)
dτ =
ω s (t − kT ) / 2
Per ricostruire il segnale originario al tempo t occorrono tutti i campioni
x(kT) passati e futuri. Nei problemi riguardanti controlli in
retroazione tale soluzione non può essere assolutamente adottata.
Cristian Secchi
Cristian Secchi
Controlli Digitali
CD -- 26
Pag. 13
Filtraggio Ideale
•
Siccome non è possibile realizzare fisicamente il filtro ideale, e
siccome i segnali di controllo reali hanno sempre contenuti armonici
ad elevata frequenza dovuti a rumori di varia natura, ne consegue
che, indipendentemente dal periodo di campionamento scelto, non è
mai possibile ricostruire esattamente un segnale a tempo continuo a
partire dal corrispondente segnale campionato.
•
Nel campo dei controlli, i ricostruttori che vengono utilizzati in pratica
sono i ricostruttori di ordine zero, di ordine uno, ecc. Essi hanno una
risposta frequenziale che è solo una grossolana “approssimazione” di
quella del filtro ideale. Essi hanno tuttavia il pregio di essere causali e
facilmente realizzabili.
Cristian Secchi
CD -- 27
Controlli Digitali
Ricostruttori di Segnale
x(kT)
x(t)
Ricostruttore
•
•
I ricostruttori di segnale sono dispositivi che ricevono in ingresso una
sequenza x(kT) di valori campionati e forniscono in uscita un segnale
continuo xr(t) che in qualche modo approssima il segnale x(t) da cui è
stata ricavata la sequenza x(kT).
Quelli di uso più comune si ottengono dall’espansione in serie di
Taylor del segnale x(t) nell’intorno del punto t = kT:
xr (t ) = x(kT ) +
•
t = kT
(t − kT ) +
d 2x
dt 2
t = kT
(t − kT ) 2
+L
2!
Essendo dispositivi di interfaccia tra sistemi tempo-discreti e tempocontinui, possono essere rappresentati da una funzione di
trasferimento continua Hr(s) se la sequenza x(kT) viene interpretata
come una sequenza di impulsi di Dirac aventi “area” pari ai valori
x(kT)
Cristian Secchi
Cristian Secchi
dx
dt
Controlli Digitali
CD -- 28
Pag. 14
Ricostruttori di Segnale
Avendo a disposizione solamente i valori campionati x(kT), le derivate del
segnale x(t) nel punto t = kT vengono calcolate secondo le seguenti
espressioni:
dx
dt
t = kT ≈
2
d x
dt 2
t = kT
x(kT ) − x((k − 1)T )
T
dx
≈ dt
t = kT
dx
dt
T
−
t = ( k −1)T
=
x(kT ) − 2 x((k − 1)T ) + x((k − 2)T )
T2
Il numero di termini derivativi che vengono presi in considerazione
nell’espansione di Taylor è detto ordine del ricostruttore. Al crescere
dell’ordine migliora la capacità di ricostruzione del dispositivo, ma
aumentano anche la complessità realizzativa del dispositivo stesso e gli
effetti negativi dovuti all’introduzione di ritardi più elevati nell’anello di
controllo.
Cristian Secchi
Controlli Digitali
CD -- 29
Ricostruttore di Ordine Zero (ZOH)
•
Il legame ingresso-uscita è
x(kT ) ≤ t < x((k + 1)T )
x0 (t ) = x(kT )
•
La risposta all’impulso del sistema g0(t) è:
g0(t)
1
-T
•
0
T
2T
3T
Indicando con h(t-t*) la funzione gradino unitario applicata all’istante
t=t*, la funzione di trasferimento H0(s) del ricostruttore di ordine zero
si ottiene trasformando secondo Laplace la risposta all’impulso
all impulso g0(t):
1 e − sT 1 − e − sT
=
H 0 ( s ) = L[ g 0 (t )] = L[h(t ) − h(t − T )] = −
s
s
s
Cristian Secchi
Cristian Secchi
Controlli Digitali
CD -- 30
Pag. 15
Ricostruttore di ordine uno
•
Fornisce in uscita un segnale x(t) che è funzione non solo del
campione x(kT) all’istante t = kT, ma anche del campione x((k − 1)T)
all’istante precedente. L’uscita é data da:
x1 (t ) = x(kT ) +
•
x(kT ) − x((k − 1)T )
(t − kT )
T
x(kT ) ≤ t < x((k + 1)T )
La risposta all’impulso g1(t) è:
g1(t)
1
-T
Cristian Secchi
0
T
2T
3T
Controlli Digitali
CD -- 31
Ricostruttore di ordine uno
•
Indicando con h(t−kT) e r(t−kT) rispettivamente il gradino e la rampa
unitaria applicati all’istante t=kT, la risposta all’impulso g1(t) è la
seguente:
g1 (t ) = h(t ) +
•
r (t )
2r (t − T )
r (t − 2T )
− 2h(t − T ) −
+ h(t − 2T ) +
T
T
T
La funzione di trasferimento è:
1 1 2e − sT 2e − sT e − 2 sT e − 2 sT 1 + Ts ⎛ 1 − e − sT
⎜
H1 ( s ) = + 2 −
− 2 +
+
=
s Ts
s
s
s
Ts 2
T ⎜⎝ s
•
2
Ricostruttori di ordine più elevato (due, tre, ecc.) in genere non
vengono utilizzati per l’eccessiva complessità realizzativa e per gli
eccessivi ritardi introdotti nell’anello di controllo.
Cristian Secchi
Cristian Secchi
⎞
⎟⎟
⎠
Controlli Digitali
CD -- 32
Pag. 16
Ricostruttore di ordine frazionario
•
É una variante del ricostruttore di ordine uno. La relazione ingressouscita è:
x1 (t ) = x(kT ) + K
•
x(kT ) − x((k − 1)T )
(t − kT )
T
La risposta all’impulso è:
K=
gf(t)
1
-T
•
0 ≤ K ≤1
0
T
2
3
2T
3T
La funzione di trasferimento è:
H f (s) =
K + Ts ⎛ 1 − e − sT
⎜
T ⎜⎝ s
Cristian Secchi
2
⎞
(1 − e − sT ) − sT
⎟⎟ + (1 − K )
e
s
⎠
CD -- 33
Controlli Digitali
Ricostruttore ad uscita continua
•
Questo ricostruttore viene utilizzato nei casi in cui si desideri avere un
segnale continuo all’uscita del ricostruttore in modo da non sollecitare
eccessivamente l’attuatore. L’uscita é data da:
xc (t ) = x((k − 1)T ) +
•
x(kT ) − x((k − 1)T )
(t − kT )
T
x(kT ) ≤ t < x((k + 1)T )
La risposta all’impulso gc(t) ha il seguente andamento:
gc(t)
g c (t ) =
1
-T
•
0
T
3T
La funzione di trasferimento del ricostruttore ad uscita continua
corrisponde a:
H c (s) =
Cristian Secchi
Cristian Secchi
2T
r (t ) 2r (t − T ) r (t − 2T )
−
+
T
T
T
1 ⎛ 1 − e − sT
⎜
T ⎜⎝ s
⎞
⎟⎟
⎠
2
Controlli Digitali
CD -- 34
Pag. 17
Panoramica dei Ricostruttori di Segnale
Per la sua semplicità realizzativa e il limitato ritardo introdotto, il
ricostruttore di ordine zero è quello di gran lunga più usato nelle
applicazioni pratiche.
Cristian Secchi
CD -- 35
Controlli Digitali
Corrispondenza tra il piano s e il piano z
x*(t)
x(t)
t
δT(t)
t
Il segnale campionato può essere interpretato come un treno di impulsi
di Dirac modulati. E’ quindi possibile rappresentare il segnale
campionato tramite la sua trasformata di Laplace:
∞
X * ( s ) = ∑ x( kT )e − kTs
k =0
Il segnale campionato può essere interpretato come una sequenze. E’
quindi possibile rappresentare il segnale campionato tramite la sua Z
trasformata
∞
X ( z ) = ∑ x( kT ) z − k
k =0
Cristian Secchi
Cristian Secchi
Controlli Digitali
CD -- 36
Pag. 18
Corrispondenza tra il piano s e il piano z
La X(z) e la X*(s) sono due rappresentazioni nel piano complesso del segnale
campionato.
Qual è la relazione tra X(z) e X*(s)?
Qual è la relazione tra il piano s e il piano z?
X * ( s ) = X ( z ) z =e sT
Le variabili complesse s e z sono legate fra di loro dalla relazione:
z = e sT
Posto s=σ+jω si ha che:
z = e (σ + jω )T = eσT e jωT = eσT e
Cristian Secchi
jT (ω +
2 kπ
)
T
Punti del piano s la cui pulsazione
differisce di un multiplo intero della
pulsazione di campionamento 2π/T
vengono trasformati nello stesso
punto del piano z. Quindi la
relazione non è biunivoca
Controlli Digitali
CD -- 37
Corrispondenza tra il piano s e il piano z
Se è possibile rappresentare la sequenza di segnali campionati tramite la
trasformata di Laplace, perché si è dovuta introdurre la trasformata Z?
•
La trasformata di Laplace di segnali campionati ha un’espressione
trascendente (e quindi poco maneggevole) mentre la trasformata Z ha
un’espressione razionale fratta per la maggior parte dei segnali
campionati di interesse
•
Grazie al legame tra la trasformata Z e la trasformata di Laplace, è
possibile mappare sul piano z alcuni luoghi caratteristici del piano s
•
Tali luoghi caratteristici potranno poi essere utilizzati per il progetto di
controllori discreti direttamente sul piano z, in maniera del tutto
analoga a quanto si fa per il progetto di controllori analogici sul piano
s
Cristian Secchi
Cristian Secchi
Controlli Digitali
CD -- 38
Pag. 19
Corrispondenza tra il piano s e il piano z
•
I punti del piano s a parte reale negativa (σ<0) sono in
corrispondenza con i punti del piano z all’interno del cerchio unitario
z = eσT + jωT = eσT e jωT = eσT < 1
•
I punti sull’asse immaginario (σ=0) vengono mappati sul cerchio
unitario (|z| = 1), mentre quelli a parte reale positiva (σ > 0) vengono
mappati all’esterno del cerchio unitario (|z| > 1).
•
È possibile suddividere il piano s in strisce orizzontali di ampiezza ωs
tali che ogni striscia sia in corrispondenza biunivoca con tutto il piano
z.
•
La striscia di piano s delimitata dalle rette orizzontali s = jωs/2 e
s=−jωs/2 prende il nome di striscia primaria
Cristian Secchi
Controlli Digitali
CD -- 39
Corrispondenza tra il piano s e il piano z
Cristian Secchi
Cristian Secchi
Controlli Digitali
CD -- 40
Pag. 20
Corrispondenza tra il piano s e il piano z
Cristian Secchi
Controlli Digitali
CD -- 41
Luoghi a decadimento esponenziale costante
s = σ + jω
Cristian Secchi
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| z |= e (σ + jω )T = eσT
Controlli Digitali
CD -- 42
Pag. 21
Luoghi a pulsazione costante
Cristian Secchi
CD -- 43
Controlli Digitali
Luoghi dei punti a smorzamento costante
•
Nel piano s, il luogo dei punti a cui corrisponde un coefficiente di
smorzamento costante δ=δ1 è una retta uscente dall’origine s=0, che
forma con il semiasse immaginario positivo un angolo β pari a arcsinδ1
s = −ω tanβ + jω = −ω
δ1
1− δ1
+ jω
z = esT = e(−ω tanβ + jω)T = e−ϕ tanβ e jϕ
Cristian Secchi
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Controlli Digitali
ω≥0
ϕ = ωT
CD -- 44
Pag. 22
Luoghi dei punti a smorzamento costante
Cristian Secchi
Controlli Digitali
CD -- 45
Posizione dei poli in z e risposte campionate
•
I punti del piano s e del piano z, posti in corrispondenza, possono
essere interpretati anche come poli corrispondenti di trasformate F(s)
ed F(z), dove F(z) è calcolata campionando F(s).
•
Usando i lluoghi
oghi caratteristici
ca atte istici indi
individuati
id ati si possono assegna
assegnare
e
caratteristiche di risposta nel tempo alle posizioni dei poli nel piano z.
•
Bisogna notare che, supposte soddisfatte le condizioni di Shannon sul
campionamento, le caratteristiche di una funzione f(t) campionata
sono le stesse della funzione prima del campionamento. Per esempio,
ad una funzione esponenziale corrisponde un andamento esponenziale
della sequenza dei suoi valori campionati
Cristian Secchi
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Controlli Digitali
CD -- 46
Pag. 23
Posizione dei poli in z e risposte campionate
Cristian Secchi
CD -- 47
Controlli Digitali
Sistemi a dati campionati
U(s)
T(z)
Y(s)
H(z)
G(s)
Y ( s ) = G ( s )U ( s )
U(s)
W(z)
W ( z ) = G ( z )T ( z )
W(z)
Y(s)
G(s)
A/ D
H(z)
???
U (s )
W (z )
Per analizzare il comportamento di un sistema di controllo digitale, è
necessario riuscire a calcolare la trasformata di un segnale di uscita per
sistemi che contengono sia elaborazioni discrete che continue
Cristian Secchi
Cristian Secchi
Controlli Digitali
CD -- 48
Pag. 24
Sistema continuo con ingressi impulsivi
u(t)
u*(t)
G(s)
y(t)
y*(t)
Ricorda: Se il
campionamento
soddisfa Shannon le
caratteristiche di
y*(t) sono le stesse
di y(t)
Poiché il sistema descritto dalla G(s) è un sistema lineare continuo, e poiché
al suo ingresso è presente una sequenza di impulsi la risposta y(t) è data
dalla somma delle risposte ai singoli impulsi. In altri termini si ha che
⎧ g (t )u (0)
⎪ g (t )u (0) + g (t − T )u (T )
⎪⎪
y (t ) = ⎨M
⎪ g (t )u (0) + g (t − T )u (T ) + L + g (t − kT )u (kT )
⎪
⎪⎩
Cristian Secchi
0≤t <T
T ≤ t < 2T
L
kT ≤ t < (k + 1)T
CD -- 49
Controlli Digitali
Sistema continuo con ingressi impulsivi
•
Poiché g(t)=0 per t<0 (fisica realizzabilità) e, pertanto, g(t-kT)=0 per
t<kT, si ha che:
k
y (t ) = g (t )u (0) + g (t − T )u (T ) + L + g (t − kT )u (kT ) = ∑ g (t − hT )u (hT )
h =0
•
Campionando y(t) si ottiene
sommatoria di
convoluzione
k
y (kT ) = ∑ g (kT − hT )u (hT )
h =0
Y ( z ) = G ( z )U ( z )
∞
G ( z ) = ∑ g (kT ) z − k
k =0
Cristian Secchi
Cristian Secchi
Controlli Digitali
CD -- 50
Pag. 25
Sistema continuo con ingressi impulsivi
•
Se un sistema è continuo è modellato da una funzione di
trasferimento G(s), la funzione di trasferimento discreta G(z) che lega
una sequenza derivante da un campionamento impulsivo a una
sequenza di uscita campionata impulsivamente è data dalla Ztrasformata della sequenza ottenuta dal campionamento della risposta
impulsiva g(t) = L−1(G(s)) del sistema.
•
Con la notazione Z[G(s)] indicheremo la Z-trasformata associata alla
funzione di trasferimento G(s).
Cristian Secchi
CD -- 51
Controlli Digitali
Esempio
Si consideri il sistema descritto dalla funzione
1
G(s) =
s +1
Si vuole analizzare la sequenza che si ottiene campionando la risposta
del sistema nei seguenti casi:
(a)
u(t)
G(s)
(b)
y(t)
u(t)
u*(t)
G(s)
y(t)
( )
(c)
u(t)
u*(t)
H0(s)
G(s)
y(t)
dove u(t)=e-t
Cristian Secchi
Cristian Secchi
Controlli Digitali
CD -- 52
Pag. 26
Esempio – caso a
Ya ( s ) = G ( s )U ( s ) =
1 1
1
=
s + 1 s + 1 (s + 1)2
antitrasformando si ottiene:
ya (t ) = te − t
campionando la risposta con periodo T si ottiene:
ya (kT ) = kTe − kT
Cristian Secchi
CD -- 53
Controlli Digitali
Esempio – caso b
•
La risposta del sistema descritto da G(s) al segnale impulsivo x*(t)
può essere espressa mediante l’integrale di convoluzione
t
y b (t ) = ∫ g (t − τ )u * (τ )dτ
0
•
•
dove u*(t) ha la seguente espressione
∞
∞
k =0
k =0
u * (t ) = u (t )∑ δ (t − kT ) = ∑ u (kT )δ (t − kT )
La risposta yb(t) è somma delle risposte ai singoli impulsi (proprietà di
linearità)
⎧ g (t )u (0)
⎪ g (t )u (0) + g (t − T )u (T )
⎪⎪
yb (t ) = ⎨M
⎪ g (t )u (0) + g (t − T )u (T ) + L + g (t − kT )u (kT )
⎪
⎩⎪
Cristian Secchi
Cristian Secchi
Controlli Digitali
0≤t <T
T ≤ t < 2T
L
kT ≤ t < (k + 1)T
CD -- 54
Pag. 27
Esempio – caso b
•
Essendo g(t) = e−t (anti-trasformata di G(s)) si ha
⎧e −t
⎪ −t
− ( t −T ) −T
e = 2e − t
⎪⎪e + e
yb (t ) = ⎨M
⎪e −t + e −( t −T ) e −T + L + e −(t − kT ) e − kT = (k + 1)e −t
⎪
⎪⎩
•
0≤t <T
T ≤ t < 2T
L
kT ≤ t < (k + 1)T
N li istanti
Negli
i t ti di campionamento
i
t t=kT
t kT sii ha
h che:
h
yb (kT ) = (k + 1)e − kT
Cristian Secchi
Controlli Digitali
CD -- 55
Esempio – caso c
1 − e − sT 1
1
1 − e −T
e −T z −1
Yc ( z ) = M ( z )U ( z ) = Z [
]Z [
] = −T
s
s +1 s +1
e
(1 − e −T z −1 ) 2
Antitrasformando si ha che:
yc (kT ) =
Cristian Secchi
Cristian Secchi
1 − e −T − kT
ke
e −T
Controlli Digitali
CD -- 56
Pag. 28
Esempio
La presenza del campionatore e del ricostruttore altera significativamente
la risposta del sistema! Questi effetti dovranno essere presi nella dovuta
considerazione quando si dovrà implementare un algoritmo di controllo su
un microprocessore digitale.
Cristian Secchi
CD -- 57
Controlli Digitali
Composizione di schemi a blocchi
•
Si considerino i due seguenti schemi a blocchi
(a)
u(t)
u*(t)
G(s)
y(t)
yy*(t)
(t)
LL’ingresso
ingresso è un
segnale campionato
(b)
u(t)
Cristian Secchi
Cristian Secchi
G(s)
y(t)
Controlli Digitali
L’ingresso è un
segnale tempo continuo
CD -- 58
Pag. 29
Composizione di schemi a blocchi: Schema (a)
u(t)
u*(t)
G(s)
y(t)
y*(t)
Y ( s ) = G ( s )U * ( s )
campionamento
Y * ( s ) = (G ( s )U * ( s ) )* = G * ( s )U * ( s )
Z-trasformata
Y ( z ) = G ( z )U ( z )
Cristian Secchi
Controlli Digitali
CD -- 59
Composizione di schemi a blocchi: Schema (b)
u(t)
G(s)
y(t)
Y ( s) = G ( s )U ( s )
campionamento
Y * ( s ) = (G ( s )U ( s ) )*
Z-trasformata
Y ( z ) = Z [G ( s )U ( s )] = GU ( z ) ≠ G ( z )U ( z )
Cristian Secchi
Cristian Secchi
Controlli Digitali
CD -- 60
Pag. 30
Composizione di schemi a blocchi
•
•
•
Nel caso (a) si può definire la funzione di trasferimento discreta G(z)
l’ingresso e l’uscita, in quanto ingresso e uscita sono sequenze
discrete
Nel caso (b) si può solo definire la zeta trasformata del segnale di
uscita Y (z)
(z). La quantità GU(z) dipende in modo non separabile dal
segnale continuo di ingresso e dalla dinamica G(s)
Tale sostanziale differenza deve essere tenuta attentamente in conto
nell’analisi di schemi misti composti da blocchi a dinamica continua e
discreta.
Cristian Secchi
CD -- 61
Controlli Digitali
Blocchi in cascata
x(t)
x*(t)
G(s)
u(t)
u*(t)
H(s)
y*(t)
y(t)
All’ingresso dei due sistemi dinamici G(s) e H(s) sono presenti sequenze
discrete. É facile verificare che:
Y * ( s) = G * ( s) H * ( s) X * ( s)
o, equivalentemente
Y ( z) = G( z)H ( z) X ( z)
e dunque la funzione di trasferimento discreta della cascata è:
Y ( z)
= G( z) H ( z)
X ( z)
Cristian Secchi
Cristian Secchi
Controlli Digitali
CD -- 62
Pag. 31
Blocchi in cascata
x*(t)
x(t)
u(t)
G(s)
H(s)
y(t)
y*(t)
Tra i due sistemi dinamici G(s) e H(s) non c’è il campionatore, per cui va
considerata
id t la
l dinamica
di
i complessiva
l i G(s)H(s)
G( )H( ) prima
i
di procedere
d
all
calcolo delle Z-trasformate. Precisamente:
Y ( s) = G ( s) H ( s) X * ( s)
Quindi:
Y * ( s ) = [G ( s ) H ( s)]* X * ( s )
da cui:
Y ( z ) = GH ( z ) X ( z )
GH ( z ) = Z [G ( s ) H ( s)] ≠ G ( z ) H ( z )
Cristian Secchi
CD -- 63
Controlli Digitali
Esempio
x(t)
x*(t)
1 − e − sT
s
u(t)
u*(t)
G(s)
y(t)
y*(t)
H0(s)
( )
Y ( z) Y ( z) U ( z)
=
= H 0 ( z )G ( z )
X ( z) U ( z) X ( z)
⎡1 − e − sT ⎤
1
⎡1⎤
−1
−1
H 0 ( z) = Z ⎢
=1
⎥ = (1 − z ) Z ⎢ ⎥ = (1 − z )
(1 − z −1 )
⎣s⎦
⎣ s ⎦
Y ( z)
= Z [G ( s)] = G ( z )
X ( z)
Cristian Secchi
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Controlli Digitali
CD -- 64
Pag. 32
Esempio
•
Da un punto di vista discreto, il ricostruttore di ordine zero si
comporta come una costante unitaria.
•
Considerando la relazione ingresso uscita, i due sistemi seguenti sono
eq i alenti
equivalenti
x*(t)
x(t)
x(t)
(t)
1 − e − sT
s
u(t)
u*(t)
x*(t)=u*(t)
Cristian Secchi
CD -- 65
Controlli Digitali
Esempio
x(t)
x*(t)
1 − e − sT
s
u(t)
G(s)
y(t)
y*(t)
Y ( z)
1 − e − sT
⎡ G ( s) ⎤
= Z [H 0 ( s )G ( s )] = Z [
G ( s )] = (1 − z −1 ) Z ⎢
X ( z)
s
⎣ s ⎥⎦
Cristian Secchi
Cristian Secchi
Controlli Digitali
CD -- 66
Pag. 33
Esempio
x(t)
x*(t)
G(s)
G( s) =
u(t)
u*(t)
1
s+a
H(s)
H ( s) =
y*(t)
y(t)
1
s +b
Y ( z) Y ( z) U ( z)
=
= G( z) H ( z)
X ( z) U ( z) X ( z)
Y ( z)
⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤
= G( z)H ( z) = Z ⎢
Z
=
X ( z)
⎣ s + a ⎥⎦ ⎢⎣ s + b ⎥⎦
1
1
=
(1 − e − aT z −1 ) (1 − e −bT z −1 )
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CD -- 67
Controlli Digitali
Esempio
x(t)
x*(t)
G(s)
G( s) =
H(s)
1
s+a
H ( s) =
y*(t)
y(t)
1
s +b
Y ( z)
1 ⎤
⎡ 1
= Z [G ( s ) H ( s )] = Z ⎢
⎥ = GH ( z )
X ( z)
⎣s + a s + b⎦
⎡ 1 ⎛ 1
1 ⎞⎤
⎞
1 ⎛
1
1
= Z⎢
−
⎜⎜
⎟=
−
⎜
⎟⎥ =
− aT −1
−bT −1 ⎟
⎣ b − a ⎝ s + a s + b ⎠⎦ b − a ⎝ (1 − e z ) (1 − e z ) ⎠
=
⎞
1 ⎛
(e − aT − e −bT ) z −1
⎜⎜
⎟
− aT −1
− bT −1 ⎟
b − a ⎝ (1 − e z )(1 − e z ) ⎠
Cristian Secchi
Cristian Secchi
Controlli Digitali
CD -- 68
Pag. 34
Schema in retroazione
R(s)
E(s)
E*(s)
-
G(s)
C(s)
H(s)
si ha che:
E ( s ) = R( s ) − H ( s )C ( s )
C (s) = G(s) E * (s)
da cui:
E ( s ) = R( s ) − H ( s )G ( s ) E * ( s )
Cristian Secchi
Controlli Digitali
CD -- 69
Schema in retroazione
Campionando
E * ( s ) = R(*s ) − GH * ( s ) E * ( s )
C * ( s) = G * ( s) E * ( s)
Si ottiene
C * ( s) =
G * ( s) R * ( s)
1 + GH * ( s)
In termini di Z trasformata si ha:
C ( z) =
G ( z ) R( z )
1 + GH ( z )
Cristian Secchi
Cristian Secchi
C ( z)
G( z)
=
R( z ) 1 + GH ( z )
Controlli Digitali
CD -- 70
Pag. 35
Possibili configurazioni di sistemi in retroazione
E(s)
R(s)
-
G(s)
C(z)
C(s)
C ( z)
G( z)
=
R( z ) 1 + GH ( z )
H(s)
E(s)
R(s)
-
G(s)
C(z)
C(s)
C ( z)
G( z)
=
R( z ) 1 + G ( z ) H ( z )
H(s)
Cristian Secchi
CD -- 71
Controlli Digitali
Possibili configurazioni di sistemi in retroazione
R(s)
E(s)
-
G1(s)
H(s)
R(s)
E(s)
-
G1(s)
G2(s)
C(s)
C(z)
C ( z)
G1 ( z )G2 ( z )
=
R( z ) 1 + G1 ( z )G2 H ( z )
G2(s)
C(s)
C(z)
H(s)
C ( z) =
Cristian Secchi
Cristian Secchi
Controlli Digitali
G2 ( z )G1 R( z )
1 + G1 ( z )G2 H ( z )
CD -- 72
Pag. 36
CONTROLLI DIGITALI
Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica
SISTEMI A DATI CAMPIONATI
Ing. Cristian Secchi
Tel. 0522 522235
e-mail: [email protected]
http://www.dismi.unimo.it/Members/csecchi
Cristian Secchi
Pag. 37