Teorema fondamentale del calcolo integrale

Luca Lussardi
Appunti di Analisi I
Teorema fondamentale del calcolo
integrale
Il Teorema fondamentale del calcolo integrale fornisce lo strumento essenziale per il calcolo effettivo di integrali; inoltre esso rappresenta il raccordo tra calcolo delle derivate e calcolo integrale,
mostrando che sono uno l’inverso dell’altro. Per questi motivi il Teorema fondamentale del calcolo
integrale rappresenta il risultato fondamentale dell’intero calcolo infinitesimale in una variabile
reale.
Proprietà elementari dell’integrale di Riemann
Siano f, g : [a, b] → R due funzioni limitate e integrabili secondo Riemann su [a, b], con a, b reali,
e sia c ∈ R; allora valgono le proprietà:
1) f + g è integrabile e si ha
Z
b
Z
(f (x) + g(x)) dx =
a
b
Z
f (x) dx +
a
b
g(x) dx.
a
2) cf è integrabile e si ha
b
Z
b
Z
(cf (x)) dx = c
a
f (x) dx.
a
3) Se f ≤ g si ha
b
Z
Z
f (x) dx ≤
a
b
g(x) dx.
a
4) Per ogni d ∈ (a, b) si ha
Z
b
d
Z
f (x) dx =
a
Z
f (x) dx +
a
b
f (x) dx.
d
5) |f | è integrabile e si ha
Z
Z
b
b
f (x) dx ≤
|f (x)| dx.
a
a
Il Teorema della media
Sia f : [a, b] → R una funzione integrabile secondo Riemann; il numero reale
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1
b−a
b
Z
f (x) dx
a
1
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Appunti di Analisi I
si chiama media integrale di f su [a, b]; se f è continua su tutto [a, b] allora esiste x̄ ∈ [a, b] tale
per cui si abbia
Z b
1
f (x̄) =
f (x)dx.
b−a a
Il Teorema fondamentale del calcolo integrale
Sia f : [a, b] → R una funzione integrabile secondo Riemann. Per c, x ∈ [a, b] sia A : [a, b] → R la
funzione integrale definita come
Z x
A(x) =
f (t) dt.
c
Teorema (fondamentale del calcolo integrale): Se f è continua in x allora A è derivabile in x e si ha A0 (x) = f (x).
Dimostrazione. Per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale per cui se y ∈ (x−δ, x+δ) allora |f (y)−f (x)| < ε,
ovvero f (x) − ε < f (y) < f (x) + ε. Ma allora se y ∈ (x, x + δ) si ha
Z y
1
f (t) dt < f (x) + ε
f (x) − ε <
y−x x
mentre se y ∈ (x − δ, x) si ha
f (x) − ε <
x
1
x−y
Z
1
y−x
Z
f (t) dt < f (x) + ε.
y
In ogni caso dunque si ha
f (x) − ε <
y
f (t) dt < f (x) + ε
x
e dunque
1
A(y) − A(x)
=
y−x
y−x
da cui
Z
y
f (t) dt
x
A(y) − A(x)
− f (x) < ε
y−x
che conclude la dimostrazione.
Applicando il Teorema fondamentale del calcolo integrale si ha facilmente la formula che consente
il calcolo di un integrale:
Z b
f (x) dx = F (b) − F (a)
a
dove F : [a, b] → R è una qualunque funzione derivabile con F 0 = f , ovvero una primitiva di f .
2
Esempio: Sia f (x) = x − 3x2 ; dal momento che la funzione F (x) = x2 − x3 è una primitiva di
f si ha
Z 1
1
1
f (x) dx = F (1) − F (0) = − 1 = − .
2
2
0
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Qualche formula di integrazione
I seguenti due risultati sono spesso utili per il calcolo di integrali.
Integrazione per sostituzione: Siano f : [a, b] → R una funzione continua e φ : [α, β] → R
una funzione derivabile con derivata continua tale per cui Im(φ) ⊆ [a, b]. Allora si ha
Z
φ(β)
Z
β
f (φ(t))φ0 (t) dt.
f (x) dx =
φ(α)
α
Esempio: Sia da calcolare
2
Z
ex
1
1
dx.
+1
Ponendo x = log t si trova
2
e2
1
1
−
dt
t
t+1
1
1
e
e+1
2
2
.
= log(e ) − log e − log(e + 1) + log(e + 1) = 1 + log
e2 + 1
Z
1
dx =
ex + 1
Z
ee
2
1
dt =
t(t + 1)
Z
Integrazione per parti: Siano f, g : [a, b] → R due funzioni continue e F, G : [α, β] → R due
primitive di f e g rispettivamente; allora si ha
Z
b
Z
F (x)g(x) dx = F (b)G(b) − F (a)G(a) −
a
b
G(x)f (x) dx.
a
Esempio: Sia da calcolare
Z
2
log x dx.
1
Procedendo per parti si pone F (x) = log x e g(x) = 1; allora si ha
Z
2
Z
log x dx = 2 log 2 −
1
dx = 2 log 2 − 1.
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