5.4 Il teorema fondamentale del calcolo inte- grale

Esercizi 5.3
1. Sia f : R → R una funzione continua, e supponiamo che f abbia
asintoti obliqui per x → ±∞. Provare che f è uniformemente continua
in R.
2. Esibire una funzione f : R → R limitata e di classe C ∞ , ma non
uniformemente continua su R.
3. Si provi che |xα − y α | ≤ |x − y|α per ogni x, y ≥ 0 e per ogni α ∈ [0, 1];
se ne deduca che se α ∈ [0, 1[ la funzione f (x) = xα è uniformemente
continua in [0, ∞[, ma non è lipschitziana in tale semiretta.
4. Si provi che per ogni α > 0 la funzione f (x) = x−α non è uniformemente
continua in ]0, 1].
5. Dimostrare che ogni funzione limitata in [a, b], e continua salvo che in
un numero finito di punti, è integrabile in [a, b].
6. Sia f : [a, b] → R una funzione convessa. Provare che
Z b
f (a) + f (b)
1
a+b
f (x) dx ≤
.
≤
f
2
b−a a
2
5.4
Il teorema fondamentale del calcolo integrale
Se f è una funzione integrabile secondo Riemann in un intervallo [a, b], sappiamo dalla proposizione 5.2.7 che si ha anche f ∈ R(a, x) per ogni x ∈ [a, b].
Quindi possiamo definire la funzione
Z x
F (x) =
f (t) dt,
x ∈ [a, b],
a
che si chiama Rfunzione integrale della f . Si noti, di passaggio, che non è
x
lecito scrivere a f (x) dx: la variabile di integrazione non va confusa con gli
estremiPdell’intervalloP
di integrazione, esattamente come nelle sommatorie si
n
scrive k=0 ak e non nn=0 an .
Analizziamo le proprietà della funzione integrale F .
357
Proposizione 5.4.1 Se f ∈ R(a, b), allora la sua funzione integrale F è
continua, anzi lipschitziana, in [a, b], e risulta F (a) = 0.
Ra
Dimostrazione Ovviamente F (a) = a f (x) dx = 0. Proviamo che F è
lipschitziana (esempio 5.3.3 (2)). Siano x, x0 ∈ [a, b] con, ad esempio, x < x0 :
per la proposizione 5.2.9 ed il corollario 5.2.10 si ha
Z
Z
Z x
Z x0
x
x
0
|f (t)| dt ;
f (t) dt ≤ f (t) dt = f (t) dt −
|F (x) − F (x )| = a
x0
x0
a
scelta la suddivisione banale σ1 = {x, x0 } dell’intervallo I = [x, x0 ], si ottiene,
per definizione di integrale,
Z x
0
|F (x) − F (x )| ≤ |f (t)| dt ≤ S(|f |, σ1 ) = sup |f | · |x − x0 |.
x0
I
Ne segue la tesi.
Teorema 5.4.2 (teorema fondamentale del calcolo integrale) Sia f
una funzione continua in [a, b]. Allora la sua funzione integrale F è derivabile
in [a, b] e si ha
F 0 (x) = f (x)
∀x ∈ [a, b].
Dimostrazione Fissiamo x0 ∈ [a, b]. Per ogni x ∈ [a, b] \ {x0 } consideriamo
il rapporto incrementale di F in x0 :
Z x
1
F (x) − F (x0 )
=
f (t) dt.
x − x0
x − x 0 x0
Poiché f è continua in x0 , fissato ε > 0 esisterà δ > 0 tale che
|t − x0 | < δ
=⇒
|f (t) − f (x0 )| < ε.
Rx
Quindi possiamo scrivere (essendo x0 c dt = c(x − x0 ) per ogni costante c)
Z x
F (x) − F (x0 )
1
=
[f (t) − f (x0 ) + f (x0 )] dt =
x − x0
x − x 0 x0
Z x
1
=
[f (t) − f (x0 )] dt + f (x0 ).
x − x 0 x0
358
Se ora x → x0 , il primo termine all’ultimo membro è infinitesimo: infatti non
appena |x − x0 | < δ avremo, per la monotonia dell’integrale,
Z x
Z x
1
1
≤
[f
(t)
−
f
(x
)]
dt
≤
|f
(t)
−
f
(x
)|
dt
0
0
x − x0
|x
−
x
|
0
x0
Zx0x
1
≤
ε dt = ε.
|x − x0 | x0
Pertanto
lim
x→x0
F (x) − F (x0 )
= f (x0 )
x − x0
∀x0 ∈ [a, b],
e ciò prova la tesi.
Osservazioni 5.4.3 (1) La continuità di f è essenziale nel teorema precedente: vedere l’esercizio 5.4.1.
(2) Nella dimostrazione precedente in effetti si è provato un risultato più
preciso: se f ∈ R(a, b) e f è continua in un punto x0 , allora F è derivabile
in quel punto, con F 0 (x0 ) = f (x0 ).
Perché il teorema fondamentale del calcolo integrale ha questo nome? Perché,
come presto scopriremo, per mezzo di esso è possibile calcolare una gran
quantità di integrali: già questo lo rende un teorema basilare. Ma la sua
importanza è ancora maggiore per il fatto che esso mette in relazione fra
loro l’integrale e la derivata, cioè due operazioni i cui significati geometrici
sembrano avere ben poca relazione fra di loro: il calcolo di un’area delimitata
da un grafico e la nozione di retta tangente a tale grafico. In realtà, in un
certo senso, l’integrazione e la derivazione sono due operazioni “l’una inversa
dell’altra”.
Per capire meglio come stanno le cose, è necessario introdurre la nozione di
“primitiva” di una data funzione.
Definizione 5.4.4 Sia f : [a, b] → R una funzione qualunque. Diciamo
che una funzione G : [a, b] → R è una primitiva di f se G è derivabile in
[a, b] e se risulta G0 (x) = f (x) per ogni x ∈ [a.b]. L’insieme delle primitive
di una funzione f si chiama
integrale indefinito di f e si indica talvolta
R
con l’ambiguo simbolo f (x) dx (il quale quindi rappresenta un insieme di
funzioni e non una singola funzione).
359
Non tutte le funzioni sono dotate di primitive (esercizio 5.4.1); però, se ne
esiste una allora ne esistono infinite: infatti se G è una primitiva di f , allora
G + c è ancora una primitiva di f per ogni costante c ∈ R. D’altra parte,
sappiamo dal teorema fondamentale del calcolo integrale che ogni funzione f
continua su [a, b] ha una primitiva: la sua funzione integrale F .
Corollario 5.4.5 Se f è continua in [a, b] e G è un’arbitraria primitiva di
f , allora si ha
Z y
f (t) dt = G(y) − G(x)
∀x, y ∈ [a, b].
x
Rx
Dimostrazione Sia F (x) = a f (t) dt la funzione integrale di f . Essendo
f continua, si ha F 0 = G0 = f in [a, b], e in particolare (F − G)0 = 0 in
[a, b]. Quindi F − G è una funzione costante in [a, b] (proposizione 4.3.4),
ossia esiste c ∈ R tale che G(x) = F (x) + c per ogni x ∈ [a, b]. Ne segue
Z y
f (t) dt
∀x, y ∈ [a, b].
G(y) − G(x) = F (y) − F (x) =
x
Osservazioni 5.4.6 (1) Si suole scrivere [G(t)]yx in luogo di G(y) − G(x).
(2) La dimostrazione precedente mostra, più in generale, che se f ha una
primitiva F , allora ogni altra primitiva G di f è della forma G(x) = F (x) + c:
in altre parole, se F è una assegnata primitiva di f si ha
Z
f (x) dx = {F + c, c ∈ R}.
Ry
Dunque per calcolare l’integrale x f (t) dt occorre determinare una primitiva
G di f (per poi calcolarla negli estremi dell’intervallo), il che corrisponde
essenzialmente a fare l’operazione inversa della derivazione. Per questa operazione non ci sono purtroppo ricette prestabilite, come invece accade per
il calcolo delle derivate: vi sono funzioni continue molto semplici, quali ad
2
esempio e−x oppure sinx x , le cui primitive (che esistono, per il teorema fondamentale del calcolo integrale) non sono esprimibili in termini di funzioni
elementari; il che, peraltro, non impedisce di calcolarne gli integrali con qualunque precisione prestabilita, utilizzando “formule di quadratura” oppure
scrivendo le primitive come somme di opportune serie di potenze.
È utile a questo punto riportare la seguente tabella di primitive note:
360
integrando
p+1
x (p 6= −1)
x
p+1
x−1
p
integrando
primitiva
∞
X
∞
X
primitiva
an x
n
1
an xn+1
n+1
n=0
n=0
ln |x|
1
1 + x2
arctan x
eλx (λ 6= 0)
eλx
λ
1
√
1 − x2
arcsin x
cos x
sin x
1
√
1 + x2
ln x +
1
cos2 x
tan x
1
sin2 x
−
sin x
− cos x
cosh x
sinh x
sinh x
cosh x
√
1 + x2
1
tan x
Esercizi 5.4
1. Si consideri la funzione “segno di x”, definita da

 1 se 0 < x ≤ 1
0 se x = 0
f (x) = sgn(x) =

−1 se − 1 ≤ x < 0.
Rx
(i) Si calcoli 0 f (t) dt per ogni x ∈ [−1, 1].
(ii) Si provi che f non ha primitive in [−1, 1].
2. Provare che esistono funzioni f discontinue in R, ma dotate di primitive.
[Traccia: posto F (x) = x sin(1/x) per x 6= 0 e F (0) = 0, si verifichi
che F è derivabile e si prenda f = F 0 .]
3. Si dica sotto quali ipotesi si ha:
Z x
d
(i)
f (t) dt = f (x),
dx a
361
Z
(ii)
a
x
f 0 (t) dt = f (x) − f (a).
4. Sia f una funzione continua in R. Calcolare
Z 3x
Z 2x
Z −x2
d
d
d
f (t) dt,
f (t) dt,
sin
f (t) dt .
dx x
dx −x
dx
2x
[Traccia: si tratta di derivare opportune funzioni composte.]
5. Sia f una funzione continua e non negativa in [a, b]. Si provi che se
Rb
f (x) dx = 0, allora f ≡ 0 in [a, b], e che la conclusione è falsa se si
a
toglie una qualunque delle ipotesi.
6. Sia f : R → R continua e tale che f (x) → λ ∈ R per x → ∞. Si provi
che
Z
1 x
f (t) dt = λ.
lim
x→∞ x 0
7. Determinare le primitive delle funzioni arcsin x, arctan x, settsinh x.
8. Sia f : R → R una funzione periodica di periodo T > 0, cioè tale che
f (x + T ) = f (x) per ogni x ∈ R. Provare che se f ∈ R(0, T ) allora
f ∈ R(a, a + T ) per ogni a ∈ R e
Z a+T
Z T
f (t) dt =
f (t) dt
∀a ∈ R.
a
5.5
0
Metodi di integrazione
Non esiste una procedura standard per il calcolo delle primitive e quindi degli
integrali. I metodi che esporremo adesso servono a trasformare gli integrali
(e non a calcolarli), naturalmente con la speranza che dopo la trasformazione
l’integrale risulti semplificato e calcolabile.
Integrazione per parti
Il metodo di integrazione per parti nasce come conseguenza della formula per
la derivata di un prodotto: poiché
D (f (x)g(x)) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x),
avremo
f 0 (x)g(x) = D (f (x)g(x)) − f (x)g 0 (x),
362