Gli insiemi Il concetto di insieme

Gli insiemi
ITIS Feltrinelli – anno scolastico 2007-2008
R. Folgieri 2007-2008
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Il concetto di insieme
• Un insieme è una collezione di elementi, ovvero un raggruppamento di
elementi aventi una o più caratteristiche in comune. Noi usiamo gli
insiemi tutti i giorni, in modo naturale
– Es. l’insieme di tutti gli studenti della classe 1 A (una caratteristica in
comune: sono tutti nella stessa classe)
– L’insieme degli studenti della 1 A di sesso maschile (2 carrateristiche in
comune: sono tutti nella stessa classe e sono tutti di sesso maschile
– L’insieme degli studenti della 1 A di sesso maschile, con i capelli biondi(3
caratteristiche in comune…)
• Per indicare molti concetti primitivi, cioè fondamentali e ovvi (non hanno
bisogno di essere dimostrati) in matematica si usano le DEFINIZIONI.
DEFINIZIONE di INSIEME
un insieme è una collezione di elementi aventi una o più caratteristiche in
comune
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Alcune notazioni e altro…
• Gli insiemi si indicano SEMPRE con una lettera maiuscola (A, B, C,…)
• Gli elementi generici di un insieme si indicano con le lettere
minuscole (a, b, c…)
• Per indicare che un elemento APPARTIENE (cioè E’ CONTENUTO) in
un insieme, si usa il simbolo ∈
– Es. a
∈ A vuol dire “l’elemento a appartiene all’insieme A”
• Un insieme si dice FINITO quando posso contare (elencare) tutti i suoi
elementi:
– Es. le dita della mano: pollice, indice, medio, anulare, mignolo
• Un insieme si dice INFINITO quando non posso contare (elencare) tutti i
suoi elementi
– Es. le stelle in cielo
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Come si rappresenta un insieme?
• Si possono elencare tutti gli elementi di un insieme (RAPPRESENTAZIONE ESTESA):
– Es. gli alunni della classe {Maria, Marco, Mario, Giuseppe, Gianni}: metto gli
elementi tra parentesi graffe.
• Ma se gli elementi sono troppi? Pensiamo a tutti i numeri interi… Non possiamo
elencarli tutti… l’insieme è infinito!
In questo caso è meglio usare la RAPPRESENTAZIONE CARATTERISTICA, cioè
indicare qual è la caratteristica comune a tutti gli elementi dell’insieme. Si usa una certa
simbologia che è più “compatta” di quella estesa e che quindi è comoda da usare
anche nel caso degli insiemi finiti. Facciamo un esempio:
– {a ∈A | a è un numero positivo}
• Con a indico il generico elemento dell’insieme A e dico che questo elemento è un
numero positivo. Il simbolo | significa “tale che”. Quindi leggerò quello che ho scritto
sopra così: “l’elemento a appartenente all’insieme A è tale che a è un numero positivo”
• Posso scrivere anche la condizione “numero positivo” in modo più “matematico”, cioè
usando il “linguaggio matematico”. Basta osservare che i numeri positivi sono quelli
divisibili per 2, per cui la condizione “a è un numero positivo” si può scrivere:
– a/2 dà resto 0
– Oppure (ancora meglio) a MOD 2= 0 (l’operazione MODULO, che si indica con
MOD dà come risultato il RESTO della divisione del primo numero per il secondo,
quindi ho scritto che il resto della divisione di a per 2 è 0)
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Rappresentazione di Eulero-Venn
• Si disegna una regione e dentro si mettono gli elementi
– es. le dita della mano
• mignolo
• indice
• medio
• pollice
• anulare
• Si dice UNIVERSO l’ambiente totale di tutti gli elementi di un
insieme. Per capirci, è la categoria degli elementi a cui appartengono
gli elementi dell’insieme… nel nostro esempio, l’insieme universo
potrebbe essere quello delle DITA tutte, anche quelle del piede…
• L’insieme vuoto (cioè ‘insieme che non contiene elementi) si indica
con { } oppure, più comunemente, con ∅
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I sottoinsiemi
• La rappresentazione di Eulero-Venn è comoda per introdurre in modo visivo e intuitivo
alcuni concetti
• se in un insieme (per es. quello delle ragazze) raggruppo tra loro gli elementi che
hanno una caratteristica in comune (le ragazze che hanno i capelli biondi), ottengo un
SOTTOINSIEME
– es.
• Anna
• Carla
• Tina
• Alice
• Maria
– Indichiamo con A l’insieme delle ragazze e con B l’insieme delle ragazze con i
capelli biondi.
Si dice che B è contenuto in A e si scrive B⊂A. Il simbolo ⊂ si legge “contenuto in”
(equivalentemente, potremmo scrivere A⊃B)
In questo caso B è un SOTTOINSIEME PROPRIO di A perché oltre agli elementi di B, in
A ci sono altri elementi (le ragazze che NON hanno i capelli biondi)
Se i due insiemi coincidono, si dice che il sottoinsieme è IMPROPRIO e che il
sottoinsieme B è contenuto, coincidente in A. In questo caso si scrive B⊆A (o,
equivalentemente A⊇B)
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Operazioni tra insiemi…
• Ora siamo pronti per parlare di operazioni tra insieme (alla prossima puntata)…
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